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El Valor Absoluto
Valores Absolutos de Número Reales
Distancia entre Números Reales
Desigualdades triangulares
Demostración de las desigualdades triangulares
Propiedades de los Valores Absolutos
Ejemplos
Números reales/El valor absoluto.
El Valor Absoluto
Tomar el valor absoluto de un número es una operación que convierte
un número negativo en uno positivo cambiando el signo del número en
cuestión. El valor absoluto de un número positivo es el mismo número
positivo.
Definición
El valor absoluto |x| de un número real x se
define como
 x si x  0
x 
 x si x  0
Números reales/El valor absoluto.
El Valor Absoluto
Ejemplo
|-5| = 5 y |2| = 2.
Así si x ≥ 2 se tiene |x – 2| = x – 2
Y si x ≤ 2 se tiene |x – 2| = 2 – x.
Números reales/El valor absoluto.
El Valor Absoluto
Propiedad Importante
– |x| ≤ x ≤ |x| siempre
y
|b| ≤ |a| si y sólo si
– |a| ≤ b ≤ |a|.
Números reales/El valor absoluto.
La distancia entre Números Reales
La distancia entre dos números reales x e y
|x – y|
x
y
Números reales/El valor absoluto.
es |x – y|.
La distancia entre Números Reales
La distancia entre dos números reales x e y
es |x – y|.
Ejemplo
Hallar todos los números x
distancias a 1 y -1 sea 4.
tal que la suma de sus
Solución
Estos números cumplen |x – 1| + |x + 1| = 4.
Para resolver la ecuación , debemos eliminar los valores absolutos.
Para ello, observamos que si x ≥ 1, tanto x – 1 como x + 1 son
positivos. Por lo tanto, para x ≥ 1, se tiene
|x – 1| + |x + 1| = x – 1 + x + 1 = 2x.
La ecuación original ahora resulta 2x = 4, esto es, x = 2. Esta es
una solución ya que 2 > 1.
Si –1 < x < 1, la ecuación se simplifica hasta 2 = 4, que no tiene
solución.
Para x ≤ -1, la ecuación se convierte en -2x = 4, esto es, x = –2.
Conclusión: los puntos son x = 2 y x = -2.
Números reales/El valor absoluto.
Las desigualdades triangulares
Las desigualdades triangulares son desigualdades matemáticas muy
útiles. Se aplica a muchas situaciones. Son las siguientes:
Desigualdades
triangulares
||x| - |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
Tendremos igualdad en la parte
izquierda si el signo de x e y
son opuestos (o si uno de ellos es
0).
Las desigualdades triangulares
recibe su nombre del hecho de
que para un triángulo de lados de
longitud a, b, and c, c ≤ a + b.
Tendremos igualdad en la parte
derecha si el signo de x e y son
iguales (o si uno de ellos es 0).
a
b
c
Números reales/El valor absoluto.
Demostración de las Desigualdades
>Triangulares
Para cualquier par de números x e y, – |x| ≤ x ≤ |x| , – |y| ≤ y ≤ |y|.
Sumando estas inecuaciones obtenemos – (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|.
Lo cual implica: |x + y| ≤ |x| + |y|.
Sea x = a + b e y = – b.
La inecuación |x + y| ≤ |x| + |y| implica
|a + b – b| ≤ |a + b| + |b|  |a| – |b| ≤ |a + b|.
Intercambiando las posiciones de a y b, obtenemos |b| – |a| ≤ |a + b|.
Por tanto ||a| – |b|| ≤ |a + b| para cualquier pareja de valores a y b.
Acabamos de demostrar lo siguiente:
Desigualdades
Triangulares
||x| - |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
Números reales/El valor absoluto.
Propiedades del Valor Absoluto
1
|a| ≥ 0
2
4
|ab| = |a||b|
5
6
7
|-a| = |a|
3
-|a| ≤ a ≤ |a| 6
a2 = |a|2
|a| = |b|  a =  b
Sea b > 0. |a| > b  a > b o a < -b.
||a| - |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|. Desigualdades triangulares
Ejemplo Sea x, y,w  Ў. Demostrar que x  y  x  w  w  y .
Demostración
x  y  x w w  y  x w  w  y
por la desigualdad triangular.
Aquí sumamos y restamos un mismo número w a
|x – y|. De esta forma la expresión no varía.
Problema
¿Cuándo tenemos una igualdad en la estimación
anterior?
Números reales/El valor absoluto.
Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos
Ejemplo 1
Solución
|2x + 1| = 5
Para los valores de x tales que 2x + 1 ≥ 0 tenemos
|2x + 1| = 5  2x + 1 = 5  2x = 4  x = 2.
Si x = 2, 2x + 1 ≥ 0. Así que x = 2 es una solución.
Para los valores de x tales que 2x + 1 < 0 tenemos
|2x + 1| = 5  -2x - 1 = 5  -2x = 6  x = -3.
Si x = -3, 2x + 1 < 0. Así que x = -3 es una solución.
Conclusión
La ecuación tiene dos soluciones: x = 2 y x = -3.
Números reales/El valor absoluto.
Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos
Ejemplo 2
Solución
|2x + 3| ≥ 5
Por la propiedad 6 de los valores absolutos:
|2x + 3| ≥ 5  2x + 3 ≥ 5 o 2x + 3 ≤ -5.
2x + 3 ≥ 5  2x ≥ 2  x ≥ 1.
2x + 3 ≤ -5  2x ≤ -8  x ≤ -4.
Conclusión
Por tanto la solución es x ≤ -4 y x ≥ 1.
Números reales/El valor absoluto.
Gráficas de ecuaciones con Valores
Absolutos
Ejemplo 3
Dibuja la gráfica de x + |x| = y + |y|.
Solución
Si x  0, y  0, x  x  y  y  2x  2y  y  x.
Si x  0, y  0, x  x  y  y  0  2y  y  0.
Si x  0, y  0, x  x  y  y  2x  0  x  0.
Si x  0, y  0, x  x  y  y  0  0.
Por lo tanto todos los puntos
 x, y , x  0 , y  0,
cumplen la ecuación.
La Gráfica de la Ecuación
En el primer cuadrante: y = x y todo
el tercer cuadrante.
Números reales/El valor absoluto.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa