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Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos
triángulos:
b)
c)
cm
a)
11
,6
7m
m
a
32
8m
m
25
a
a
m
60
1
^
2
Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B en cada caso:
a)
b)
B
A
C
A
C
Unidad 7. Trigonometría
B
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3
Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes
^
triángulos rectángulos (A = 90°):
a) b = 56 cm; a = 62,3 cm
b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm
c) c = 16 cm; a = 36 cm
a)
27,3 cm
B
62,3 cm
A
56 cm
b)
B
33,9 cm
4,5 cm
A
33,6 cm
C
B
36 cm
16 cm
c)
A
4
C
32,25 cm
C
Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB
son rectángulos.
7 cm
A
24 cm
6,72 cm
C H
1,96 cm
23,04 cm
Unidad 7. Trigonometría
Halla en cada uno las razones trigonométricas
del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué
B observas?
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sen B^
cos B^
tg B^
en ABC
en AHB
5
^
^
ì
ì
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y C , ABD y CBD.
15
cm
A
12 cm
B
D
A^
16 cm
C^
^
ABD
C
^
CBD
sen
cos
tg
Relaciones fundamentales
6
Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90°).
7
Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que
cos a = 2/3 (a < 90°).
Unidad 7. Trigonometría
7
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8
Si tg a = √5 , calcula sen a y cos a (a < 90°).
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Calcula y completa esta tabla con valores aproximados:
sen a 0,92
0,12
cos a
tg a
10
0,75
Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°):
sen a 2/3
cos a
tg a
Unidad 7. Trigonometría
—
√2/3
2
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Calculadora
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Completa la tabla siguiente, utilizando la calculadora:
a
15°
55° 20'
72° 25' 40''
85,5°
sen a
cos a
tg a
12
Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos.
a) sen a = 0,58
d) sen a =
√5
3
Unidad 7. Trigonometría
b) cos a = 0,75
e) cos a =
1
√3
c) tg a = 2,5
f ) tg a = 3√2
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13
Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a
en cada uno de los casos siguientes:
a) sen a = 0,23
d) sen a =
1
√2
b) cos a = 0,74
c) tg a = 1,75
e) tg a = √3
f ) cos a =
√3
2
Resolución de triángulos rectángulos
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Halla la medida de los lados y ángulos desconocidos en los siguientes
^
triángulos rectángulos (A = 90°):
a) b = 7 cm
c = 18 cm
^
c) b = 18 cm
B = 40°
e) a = 35 cm
C = 36°
Unidad 7. Trigonometría
^
b) a = 25 cm
b = 7 cm
d) c = 12,7 cm
B = 65°
^
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Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol
mide 18 m. ¿Cuál es su altura?
40°
18 m
Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?
3m
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a
1,2 m
17
De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura,
10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos?
10 m
b
a
a
18 m
18
Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:
b) B
B
18
cm
a)
h
28 cm
h
65°
A
D
Unidad 7. Trigonometría
C
35°
D
A
C
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19
Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos:
a)
b)
B
B
70°
40°
23 cm
15 cm
A
A
20
C
C
Halla:
a) La longitud AC.
B
23 cm
b) El área del triángulo ABC.
☞ Ten en cuenta que AC = AD + DC.
Unidad 7. Trigonometría
A
h
53°
35 cm
34°
D
C
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Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
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Sitúa en la circunferencia goniométrica los siguientes ángulos e indica el
signo de sus razones trigonométricas.
a) 128°
b) 198°
c) 87°
d) 98°
e) 285°
f ) 305°
Compruébalo con la calculadora.
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Completa esta tabla sin usar la calculadora:
0°
Unidad 7. Trigonometría
90°
sen
1
cos
0
tg
No tiene
180°
270°
360°
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23
En cada uno de estos círculos está indicado el signo de las razones trigonométricas de a, según el cuadrante en el que esté a. ¿Cuál corresponde a
sen a. ¿Cuál a cos a? ¿Y cuál a tg a?
a)
–
+
–
+
b)
+
+
–
–
c)
–
+
+
–
24
Resuelto en el libro de texto.
25
Dibuja dos ángulos cuyo seno sea 2/5 y halla su coseno.
26
Dibuja un ángulo menor que 180° cuyo coseno sea –2/3 y halla su seno
y su tangente.
Unidad 7. Trigonometría
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29
B
D
45°
60°
A
75 m
Dos antenas de radio están sujetas al suelo
por cables tal como indica la figura. Calcula la
longitud de cada uno de
los tramos de cable y la
distancia AE.
100 m
28
Sabiendo que tg a = –2 y a < 180°, halla sen a y cos a.
30°
P
Una escalera para acceder a un túnel tiene
la forma y las dimensiones de la figura.
Calcula la profundidad del punto B.
C
30°
Q
E
A
25 m
30°
10 m
30 m
50°
A
x
25 m
30°
10 m
y
30 m
50°
Unidad 7. Trigonometría
B
B
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30
Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del
12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos
metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?
100
a
12
31
En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 785 m. Tres kilómetros más adelante, la altitud es de 1 265 m. Halla la pendiente media de
esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.
32
Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°.
¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?
12 cm
50°
x
Unidad 7. Trigonometría
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33
Calcula el área de cada uno de estos triángulos:
a)
12
m
B
50°
A
b)
Q
20
P
34
C
23 m
35°
m
35°
R
En el triángulo ABC calcula h y a.
B
18 cm
a
h
65°
A
Unidad 7. Trigonometría
P
C
23
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35
En el triángulo ABC halla x, h e y.
B
17 cm
A
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Calcula h, x y b.
29 cm
h
50°
x
C
y
P
A
☞ En el triángulo PAB, PB = x + 17.
58 cm
h
b
x
P
37
32°
C 17 cm B
Conocemos la distancia de nuestra casa a la iglesia, 137 m; la distancia de
nuestra casa al depósito de agua, 211 m, y el ángulo, 43°, bajo el cual se ve desde nuestra casa el segmento cuyos extremos son la iglesia y el depósito.
¿Cuál es la distancia que hay de la iglesia al depósito de agua?
I
7
13
m
43°
C
Unidad 7. Trigonometría
P
211 m
D
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38
Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con
un avión que va a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altura de 1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30°.
1200 m
¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?
D
30°
40 m
d
39
Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizontal.
32°
50°
25 m
Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre?
Unidad 7. Trigonometría
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40
Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es
inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas:
— El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea de horizonte es de 25°.
— Nos alejamos 200 metros y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10°.
h
25°
10°
x
41
200 m
—
Para calcular la altura del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que
indica la figura. Sabemos—
que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es de 250 m. Halla PQ.
P
Q
10°
25
0m
30°
R
Unidad 7. Trigonometría
S
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Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto
exterior, P, forman un ángulo de 50°. Halla la distancia PO sabiendo que el radio de la circunferencia es 12,4 cm.
12,4
cm
42
O
43
25°
P
Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está
entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 35° y 20°.
¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?
44
En dos comisarías de policía, A y C, se
escucha la alarma de un banco B.
Con los datos de la figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías.
Unidad 7. Trigonometría
B
27°
A
35°
5 km
C
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45
46
Halla el área de un octógono regular de 12 cm de lado.
En un trapecio isósceles de bases AB y DC, conocemos los lados
—
—
AB = 5m y BC = 3√2 m, y los ángulos que forma la base mayor con los lados oblicuos, que son de 45°.
Halla su área.
5m
A
B
h
47
45°
x
45°
D
—
3√2 m
C
El lado de la base de una pirámide cuadrangular reì
gular mide 6 m y el ángulo APD = 60°. Halla su volumen.
P
P
B
60°
A
B
A
O
Unidad 7. Trigonometría
C
l
D
6
C
m
D
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48
Halla el ángulo que forma la diagonal de un cubo de arista 6 cm con la
diagonal de la base.
a
49
Desde un faro F se observa un barco A bajo un ángulo de 43° con respecto a la línea de la costa; y unbarco B, bajo un ángulo de 21°. El barco A
está a 5 km de la costa, y el B, a 3 km. Calcula la distancia entre los barcos.
A
d
B
F
Unidad 7. Trigonometría
43°
21°
5 km
3 km
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50
Observa el triángulo rectángulo MPN, y en las siguientes igualdades, sustituye los puntos suspensivos por
sen, cos o tg.
a) … M = m
p
b) … N = m
p
^
c) … M = m
n
^
d) … N = n
p
^
51
M
n
P
^
¿Existe algún ángulo a tal que sen a = 3/5 y
p
m
N
tg a = 1/4?
52
¿Existe algún ángulo agudo cuyo seno sea mayor que la tangente? Justifica
la respuesta.
53
En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide el doble que el otro.
¿Cuánto valen las razones trigonométricas del ángulo menor?
—
√5
1
a
2
54
¿Puede existir un ángulo cuyo seno sea igual a 2? ¿Y uno cuyo coseno sea
igual a 3/2? Razona las respuestas.
Unidad 7. Trigonometría
7
Pág. 21
55
Indica, en cada caso, en qué cuadrante está el ángulo a:
a) sen a > 0, cos a < 0
b) tg a > 0, cos a > 0
c) sen a < 0, cos a > 0
d) sen a < 0, cos a < 0
56
Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo se llaman complementarios porque su suma es uno recto. Observa la figura, completa la tabla y
expresa simbólicamente lo que obtienes:
a
B
c
a
A
57
sen
a
90° – a
b
cos
C
tg
Usando las relaciones fundamentales, demuestra que:
a) (sen a + cos a)2 + (sen a – cos a)2 = 2
3
2
b) (sen a) + sen a · (cos a) = 1
sen a
3
2
c) (sen a) + sen a · (cos a) = tg a
cos a
d) 1 + (tg a)2 =
Unidad 7. Trigonometría
1
(cos a)2
90° – a
7
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58
Sobre la circunferencia goniométrica señalamos un ángulo a en el primer cuadrante y a partir de él dibujamos los ángulos:
180° – a
180° + a
360° – a
Busca la relación que existre entre:
a) sen (180° – a) y sen a
cos (180° – a) y cos a
tg (180° – a) y tg a
180° – a
a
b) sen (180° + a) y sen a
cos (180° + a) y cos a
tg (180° + a) y tg a
180° + a
c) sen (360° – a) y sen a
cos (360° – a) y cos a
tg (360° – a) y tg a
59
a
a
360° – a
Sitúa el ángulo dado sobre la circunferencia goniométrica y expresa sus
razones trigonométricas utilizando un ángulo agudo como en el ejemplo:
Ejemplo: 215°
sen 215° = –sen 35°
cos 215° = –cos 35°
tg 215° = tg 35°
a) 150°
d) 225°
Unidad 7. Trigonometría
b) 240°
e) 100°
c) 300°
f ) 320°
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60
Resuelto en el libro de texto.
61
Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0° Ì x Ì 360°:
a) (sen x)2 – sen x = 0
b) 2(cos x)2 – √3 cos x = 0
c) 3 tg x + 3 = 0
d) 4(sen x)2 – 1 = 0
e) 2(cos x)2 – cos x – 1 = 0
Unidad 7. Trigonometría
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Unidad 7. Trigonometría