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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 76
Pág. 1
1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho más
grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente,
los mismos valores.
B
sen 34° = BC = 35 = 0,56
AB 62
cos 34° = AC = 51 = 0,82
AB 62
62 mm
35 mm
tg 34° = BC = 35 = 0,68
AC 51
A
Unidad 7. Trigonometría
51 mm
C
7
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1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°.
sen 37° = 0,6
(cos 37°)2 + (0,6) 2 = 1 8 cos 37° = ±√1 – 0,36 = ±0,8
Solo tomamos el resultado positivo: cos 37° = 0,8
tg 37° = 0,6 = 0,75
0,8
2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°.
sen 28° = 0,53
cos 28°
(sen 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1
sen 28° = 0,53 cos 28°
(0,53 cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 8 0,28(cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 8
8 1,28(cos 28°) 2 = 1 8
√ 1,281
8 cos 28° = ±
Solo tomamos el resultado positivo: cos 28° = 0,88
sen 28° = 0,53 · 0,88 8 sen 28° = 0,46
Unidad 7. Trigonometría
8 cos 28° = ±0,88
7
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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3 Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45° mediante las relaciones fundamentales.
sen 45° = 1; sen 45° = cos 45°
cos 45°
(sen 45°) 2 + (cos 45°) 2 = 1
(cos 45°) 2 + (cos 45°) 2 = 1 8 cos 45° = ± 1 = ± √2
2
2
Solo tomamos el resultado positivo: cos 45° = √2 8 sen 45° = √2
2
2
√
4 Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30° mediante las relaciones fundamentales.
sen 30° = 1
2
(sen 30°)2 + (cos 30°)2 = 1 8 1 + (cos 30°)2 = 1 8 cos 30° = ± √3
4
2
Tomamos el resultado positivo: cos 30° = √3
2
tg 30° = 1/2 = 1 = √3
3
√3/2 √3
5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
sen a 0,94
cos a
En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su
expresión decimal.
4/5
√3/2
0,82
tg a
3,5
1
sen a 0,94 0,57
4/5
cos a 0,34 0,82
3/5
tg a
2,76 0,69
4/3
√2 /2
0,27 √3 /2 √2 /2
3,5 √3 /3 1
0,96
1/2
En todos los casos, solo tomaremos los resultados positivos.
• sen a = 0,94
• cos a = 0,82
(cos a)2 + (0,94)2 = 1 8 cos a = 0,34
tg a = 0,94 = 2,76
0,34
• sen a = 4
5
2
4 + (cos a)2 = 1 8 cos a = 3
5
5
tg a = 4/5 = 4
3/5 3
(sen a)2 + (0,82)2 = 1 8 sen a = 0,57
tg a = 0,57 = 0,69
0,82
• tg a = 3,5 = sen a 8 sen a = 3,5 · cos a
cos a
()
Unidad 7. Trigonometría
(sen a)2 + (cos a)2 = 1
(3,5 cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 cos a = 0,27
sen a = 3,5 · 0,27 8 sen a = 0,96
7
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
• cos a = √3
2
(sen a)2 + √3
2
( )
2
= 1 8 sen a = 1
2
tg a = 1/2 = 1 = √3
3
√3/2 √3
• tg a = 1
sen a = 1; sen a = cos a
cos a
(sen a)2 + (cos a)2 = 1
(cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 cos a = 1 = √2
2
√2
2
√
sen a =
2
6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°.
Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de
2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?
cos 30° = 2 8 √3 = 2 8 L = 4 ≈ 2,3 m
L
L
2
√3
Cada brazo deberá medir, aproximadamente, 2,3 m de longitud.
7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,8.
cos a = 0,8
(sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,8) 2 + (sen a) 2 = 1 8 sen a = ±0,6
Tomamos solo el valor positivo: sen a = 0,6
tg a = 0,6 = 0,75
0,8
8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7.
tg a = sen a = 0,7; sen a = 0,7 · cos a
cos a
(sen a) 2 + (cos a) 2 = 1
(0,7 cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 1,49(cos a) 2 = 1 8 cos a = ±0,82
Solo tomamos el valor positivo: cos a = 0,82
sen a = 0,7 · 0,82 8 sen a = 0,57
Unidad 7. Trigonometría
Pág. 2
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Entrénate
Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe en tu cuaderno los resultados
redondeando a las milésimas.
a) sen 86°
b) cos 59°
c) tg 22°
d) sen 15° 25' 43''
e) cos 59° 27'
f ) tg 86° 52'
g) sen 10° 30'' (atención, 10° 0' 30'')
a) sen 86° = 0,998
b) cos 59° = 0,515
c) tg 22° = 0,404
d) sen 15° 25' 43'' = 0,266
e) cos 59° 27' = 0,508
f ) tg 86° 52' = 18,268
g) sen 10° 30'' = 0,174
Unidad 7. Trigonometría
7
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 80
Pág. 1
1 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27° y la hipotenusa 46 m. Halla
los dos catetos.
b es el cateto opuesto al ángulo de 27°. Por tanto:
b
sen 27° = b 8 b = 46 · sen 27° = 20,88 m
27°
46
c
Análogamente: cos 27° = c 8 c = 46 · cos 27° = 40,99 m
46
46 m
2 ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado l = 10 cm?
l/2
a
a = 360° : 10 = 36°
tg 36° = 5 8 a = 5 = 6,88
a
tg 36°
La apotema mide 6,9 cm.
5 cm
a
a 36°
3 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y
minutos, los dos ángulos agudos.
b
tg a = 48 = 0,676 8 a = 34° 3' 39,27''
71
48 cm
a
b = 90° – 34° 3' 39,27'' = 55° 86' 51,73''
71 cm
4 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 87 m.
Halla el otro cateto y la hipotenusa.
a
87 m
c
Unidad 7. Trigonometría
sen 37° = 87 8 a = 87 = 144,56 m
a
sen 37°
37°
tg 37° = 87 8 c = 87 = 115,45 m
c
tg 37°
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 81
Pág. 1
■ Practica
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
a)
b)
25
,6
cm
7m
c)
m
a
a
a
32
8m
m
los:
Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángu-
m
60
1
11
7
2
2
a) sen a = 7 = 0,28; cos a = √25 – 7 = 24 = 0,96; tg a = 7 ≈ 0,29
25
25
24
25
2
2
b) sen a = √11,6 – 8 = 8,4 ≈ 0,724
11,6
11,6
cos a = 8 ≈ 0,69; tg a = 8,4 = 1,05
11,6
8
32
= 32 = 8 ≈ 0,47
2
√ + 60 68 17
cos a = 60 = 15 ≈ 0,88; tg a = 32 = 8 ≈ 0,53
68 17
60 15
c) sen a =
322
^
2
Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B en cada caso:
a)
b)
B
A
C
A
C
B
^
^
^
a) sen B = 2,8 ≈ 0,82; cos B = 2 ≈ 0,59; tg B = 2,8 = 1,4
3,4
3,4
2
^
^
^
b) sen B = 1,3 ≈ 0,34; cos B = 3,6 ≈ 0,95; tg B = 1,3 ≈ 0,36
3,8
3,8
3,6
3
Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes trián^
gulos rectángulos (A = 90°):
a) b = 56 cm; a = 62,3 cm
b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm
c) c = 16 cm; a = 36 cm
Unidad 7. Trigonometría
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
^
sen B = 56 ≈ 0,90
62,3
27,3 cm
a) B
Pág. 2
2
2
^
cos B = √62,3 – 56 = 27,3 ≈ 0,438
62,3
62,3
62,3 cm
A
^
tg B = 56 ≈ 2,051
27,3
C
56 cm
^
^
^
sen C = 27,3 ≈ 0,438; cos C = 56 ≈ 0,90; tg C = 27,3 = 0,4875
62,3
62,3
56
b)
33,6
= 33,6 ≈ 0,991
√4,52 + 33,62 33,9
^
cos B = 4,5 ≈ 0,133
33,9
^
B
sen B =
33,9 cm
4,5 cm
A
C
33,6 cm
^
tg B = 33,6 ≈ 7,467
4,5
^
^
^
sen C = 4,5 ≈ 0,133; cos C = 33,6 ≈ 0,991; tg C = 4,5 ≈ 9,955
33,9
33,9
33,6
c)
2
2
^
sen B = √36 – 16 ≈ 32,25 ≈ 0,896
36
36
)
^
cos B = 16 = 0,4
36
B
36 cm
16 cm
A
^
tg B = 32,25 ≈ 2,016
16
C
32,25 cm
)
^
^
^
sen C = 16 = 0,4; cos C = 32,25 ≈ 0,896; tg C = 16 ≈ 0,496
36
36
32,25
4
Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB
son rectángulos.
A
7 cm
7
6,72 cm
C H
1,96 cm
^
24 cm
B
23,04 cm
Halla en cada uno las razones trigonométricas de B
y compara los resultados. ¿Qué observas?
El triángulo ABC es rectángulo en A:
242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625
El triángulo AHB es rectángulo en H:
23,042 + 6,722 = 576 = 242
^
sen B
Unidad 7. Trigonometría
EN
ABC
EN
AHB
7
= 0,28
25
6,72
= 0,28
24
^
cos B
^
tg B
24
7
= 0,96
≈ 0,292
25
24
23,04
6,72
= 0,96
≈ 0,292
24
23,04
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
^
5
^
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y C , ABD y CBD .
B
m
5c
1
A
AD = √152 – 122 = 9 cm
12 cm
7
BC = √122 + 162 = 20 cm
D
C
16 cm
sen
cos
tg
^
A
^
C
ABD
CBD
12
= 0,8
15
9
= 0,6
15
)
12
= 1, 3
9
12
= 0,6
20
16
= 0,8
20
12
= 0,75
16
9
= 0,6
15
12
= 0,8
15
9
= 0,75
12
16
= 0,8
20
12
= 0,6
20
)
16
= 1, 3
12
Relaciones fundamentales
6
Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales
(a < 90°).
cos a = √1 – 0,282 = 0,96; tg a = 0,28 ≈ 0,292
0,96
7
Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3
(a < 90°).
sen a =
8
√1 – ( 23 ) =√1 – 49 = √35 ; tg a = √2/35/3 = √25
2
Si tg a = √5, calcula sen a y cos a (a < 90°).
° s = √5 c
sen a = √5
§
cos a
¢
1 = √6
2
2
sen a + cos a = 1 §£ (√5 c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a =
6
√6
sen a = √5 · √6 = √30
6
6
9
Calcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados:
sen a
En todos los casos, solo tomaremos valores positivos.
0,92
cos a
tg a
0,12
0,75
• sen a = 0,92 8 cos a = √1 – (0,92)2 = 0,39
tg a = 0,92 = 2,35
0,39
• tg a = 0,75
sen a = 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a
cos a
Unidad 7. Trigonometría
Pág. 3
7
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
((sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,75 · cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8
8 (cos a) 2 = 0,64 8 cos a = 0,8
sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6
• cos a = 0,12 8 sen a = √1 – (0,12)2 = 0,99
tg a = 0,99 = 8,27
0,12
10
Calcula el valor exacto (utilizando radicales)
de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°). Hazlo en tu cuaderno.
Pág. 4
sen a
0,92
0,6
0,99
cos a
0,39
0,8
0,12
tg a
2,35
0,75
8,27
sen a
2/3
√2/3
cos a
tg a
2
°sen a > 0
Como a < 90° 8 ¢
£cos a > 0
• sen a = 2 8 cos a =
3
√1 – ( 23 ) =√ 59 = √35
2
tg a = 2/3 = 2 = 2√5
5
√5/3 √5
• cos a = √2 8 sen a =
3
√
√1 – (√32 ) =√ 79 = √37
2
tg a = √7/3 = 7
2
√2/3
• tg a = 2 8 sen a = 2 8 sen a = 2 cos a
cos a
2
(sen a) + (cos a)2 = 1 8 4(cos a)2 + (cos a)2 = 1 8
8 cos a = 1 = √5 ; sen a = 2√5
5
5
√5
√7 /3 2√5 /5
cos a √5 /3 √2 /3 √5 /5
2
tg a 2√5 /5 √7/2
sen a
2/3
Calculadora
11
12
Completa en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora:
a
15°
55° 20'
72° 25' 40''
85,5°
sen a
0,26
0,82
0,95
0,997
cos a
0,97
0,57
0,30
0,078
tg a
0,27
1,45
3,16
12,71
Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos.
a) sen a = 0,58
b) cos a = 0,75
c) tg a = 2,5
d) sen a = √5
3
e) cos a = 1
√3
f ) tg a = 3 √2
a) a = 35° 27' 2''
b) a = 41° 24' 35''
c) a = 68° 11' 55''
d) a = 48° 11' 23''
e) a = 54° 44' 8''
f ) a = 76° 44' 14''
Unidad 7. Trigonometría
7
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
13
Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en
cada uno de los casos siguientes:
a) sen a = 0,23
b) cos a = 0,74
c) tg a = 1,75
d) sen a = 1
√2
e) tg a = √3
f ) cos a = √3
2
a) cos a = 0,97; tg a = 0,24
b) sen a = 0,67; tg a = 0,91
c) sen a = 0,87; cos a = 0,5
d) cos a = 0,71; tg a = 1
e) sen a = 0,87; cos a = 0,5
f ) sen a = 0,5; tg a = 0,58
Unidad 7. Trigonometría
Pág. 5
7
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 82
Pág. 1
■ Aplica lo aprendido
14
Halla la medida de los lados y los ángulos desconocidos en los siguientes
^
triángulos rectángulos (A = 90°):
a) b = 7 cm
c = 18 cm
b) a = 25 cm
b = 7 cm
^
^
c) b = 18 cm
B = 40°
d) c = 12,7 cm
B = 65°
^
e) a = 35 cm
C = 36°
a) a = √b 2 + c 2 = √72 + 182 ≈ 19,31 cm
)
^
^
tg B = b = 7 = 0,38 8 B ≈ 21° 15' 2''
c 18
^
C = 90° – 21° 15' 2'' = 68° 44' 58''
b) c = √a 2 – b 2 = √252 – 72 = 24 cm
^
^
sen B = b = 7 = 0,28 8 B ≈ 16° 15' 37''
a 25
^
C = 90° – 16° 15' 37'' = 73° 44' 23''
^
c) C = 90° – 40° = 50°
^
sen B = b 8 sen 40° = 18 8 a ≈ 28 cm
a
a
^ b
18
tg B = 8 tg 40° =
8 c ≈ 21,45 cm
c
c
^
d) C = 90° – 65° = 25°
^
tg B = b 8 tg 65° = b 8 b ≈ 27,23 cm
c
12,7
^
cos B = c 8 cos 65° = 12,7 8 a ≈ 30,05 cm
a
a
^
e) B = 90° – 36° = 54°
^
sen C = c 8 sen 36° = c 8 c ≈ 20,57 cm
a
35
^
b
cos C =
8 cos 36° = b 8 b ≈ 28,32 cm
a
35
15
Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide
18 m. ¿Cuál es su altura?
tg 40° = x 8 x = 15,1 m mide el árbol.
18
40°
18 m
Unidad 7. Trigonometría
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
16
En un triángulo isósceles, su lado desigual mide 18 m, y su altura, 10 m. Calcula sus ángulos.
)
tg a = 10 = 1,1 8 a = 48° 46''
9
10 m
b
a
b = 180° – 2a = 83° 58' 28''
a
18 m
17
Calcula el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que el ángulo desigual mide 72° y la medida del lado opuesto a ese ángulo es de 16 m.
B
^
A = 180° – 72° = 54°
2
cos 54° = 8 8 BC = 8 = 13,6 m
cos 54°
BC
72°
54°
A
16 m
54°
8m
C
• Perímetro = 13,6 · 2 + 16 = 43,2 m
• Altura, h: tg 54° = h 8 h = 8 · tg 54° = 11,01 m
8
16
·
11,01
• Área =
≈ 88,1 m2
2
18
Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?
sen 25° = x 8 x ≈ 5,07 cm
12
19
x
Calcula la altura, h, y el área de los siguientes triángulos:
a)
b) B
cm
B
A
h
65° D
28 cm
h
32 cm
C
a) sen 65° = h 8 h ≈ 16,3 cm
18
A = 32 · 16,3 = 260,8 cm2
2
Unidad 7. Trigonometría
12 cm
50°
Radio de la circunferencia ≈ 10,14 cm
18
7
D
A
35°
13 cm
C
b) sen 35° = h 8 h ≈ 16,1 cm
18
A = 13 · 16,1 = 104,61 cm2
2
Pág. 2
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
20
Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos:
a)
Pág. 3
b) B
B
70°
40°
15 cm
23 cm
A
A
C
C
a)
b) B
B
40°
70°
15 cm
h
A
A
C
h
sen 70° = h 8 h ≈ 14,1 cm
15
sen 40° = h 8 h ≈ 14,8 cm
23
Para medir la altura de un árbol, nos situamos a 20 m de su base y observamos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuánto mide el árbol?
h
50°
20 m
22
C
tg 50° = h 8 h = 20 · tg 50° = 23,8 m
20
B
Dos antenas de radio están
sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la
longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.
D
60°
A
30°
P
sen 60° = 100 8 AB ≈ 115,47 m tg 60° =
AB
sen 30° = 100 8 BC = 200 m
tg 30° =
BC
cos 45° = 75 8 CD ≈ 106,07 m tg 45° =
CD
cos 30° = 75 8 DE ≈ 86,6 m
tg 30° =
DE
AE = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m
Unidad 7. Trigonometría
45°
100
AP
100
PC
CQ
75
QE
75
30°
75 m
21
23 cm
100 m
7
C
8 AP ≈ 57,74 m
8 PC ≈ 173,21 m
8 CQ = 75 m
8 QE ≈ 43,3 m
Q
E
7
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
23
Una escalera, por la que se accede a un túnel, tiene la forma y las dimensiones de la figura.
Calcula la profundidad del punto B.
A
x
sen 50° =
30 m
50°
Unidad 7. Trigonometría
25 m
30°
10 m
sen 30° = x 8 x = 12,5 m
25
25 m
30°
10 m
y
Pág. 4
A
B
y
8 y ≈ 22,98 m
30
Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m
30 m
50°
B
7
Soluciones a la Autoevaluación
PÁGINA 82
Pág. 1
¿Dominas las razones trigonométricas de un ángulo agudo y sabes utilizarlas para calcular lados y ángulos? ¿Conoces las relaciones entre ellas?
1 a) Si cos a = 0,52, calcula sen a y tg a.
b) Si tg b = 12 , calcula sen b y cos b.
5
a) sen a = √1 – (cos a)2 = √1 – 0,522 = ±0,85; tg a = ±(0,85/0,52) = ±1,63
b) tg b = sen b = 12 °§ sen b = (12/5) cos b
5
cos b
¢
144 (cos b)2 + (cos b)2 = 1 8 169 (cos b)2 = 1 8
2
(sen b) + (cos b)2 = 1 §£
25
25
8 (cos b)2 = 25 8 cos b = ± 5
169
13
cos b = 5 8 sen b = 12 · 5 = 12
13
5 13 13
cos b = – 5 8 sen b = – 12
13
13
La calculadora científica es un instrumento básico en trigonometría. ¿Sabes manejarla
con eficacia?
2 Si sen α = 0,35, ¿cuánto mide α? Halla las otras razones trigonométricas de α con ayuda de la calculadora.
α = 20° 29' 14,33''
cos α = 0,94
tg α = 0,37
¿Sabes resolver triángulos rectángulos a partir de un lado y un ángulo o de dos lados?
3 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 50°, y la hipotenusa, 16 cm. Resuelve el triángulo.
^
C = 90° – 50° = 40°
C
b
A
sen 50° = b 8 b ≈ 12,26 cm
16
16 cm
c
50°
B
cos 50° = c 8 c ≈ 10,28 cm
16
4 Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el
suelo si su base está a 1,2 m de la pared?
Llamamos α al ángulo pedido.
cos α = 1,2 8 α = 23° 34' 41,44''
3
Unidad 7. Trigonometría
Soluciones a la Autoevaluación
5 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 70° y su altura es de
12 cm. Halla la medida de los lados del triángulo.
x
12 cm
70º
70º
12 cm
7
70º
y
sen 70° = 12 8 x = 12 = 12,77 cm
x
sen 70°
cos 70° = y 8 y = 12,77 · cos 70° = 4,37 cm
x
Los lados iguales del triángulo miden 12,77 cm, y el lado desigual, 8,74 cm.
Unidad 7. Trigonometría
Pág. 2