Download MATEMÁTICAS GRADO 6º UNIDAD 1 LÓGICA

Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
MATEMÁTICAS
GRADO 6º
UNIDAD 1
LÓGICA
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Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
LOGRO: Reconocer las propiedades de la lógica y los conjuntos
aplicando este conocimiento a la cotidianidad e identificando la estrecha
relación entre ambas teorías
INDICADORES DE LOGRO:
Reconoce las diferencias entre los diferentes conectivos lógicos
Identifica la utilización de la lógica en su cotidianidad
Determina el valor de verdad de proposiciones compuestas
Propone ejemplos relacionados con su contexto para identificar
conjuntos
 Representa un conjunto por extensión y por comprensión
 Reconoce y aplica las operaciones que se pueden dar entre
conjuntos
 Soluciona problemas de su cotidianidad relacionados con
conjuntos




¿QUÉ SIGNIFICA PARA TI TRABAJAR
LOGICAMENTE?
¿QUÉ ENTIENDES CUANDO TE DICEN QUE
POR LÓGICA DEBES HACER ALGO?
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TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD: Discute con tus compañeros y concluyan la mejor
definición para los siguientes conceptos y la escriben en los espacios en
frente:
 ¿Qué es la lógica?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
 ¿Qué es una proposición?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
 ¿Qué es una negación?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
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Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
RESEÑA HISTÓRICA
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que
consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este
estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda
estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica
filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el
modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de
modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la
recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel
fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer
término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se
refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la
"matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que
pueden
ser
modeladas
y
estudiadas
matemáticamente.
(http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica)
El año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre
la teoría de conjuntos. El estudio de los infinitos por parte de Cantor fue
considerado por Kronecker con una locura matemática. Creyendo que la
matemática sería llevada al manicomio bajo la dirección de Cantor,
Kronecker lo atacó vigorosamente con toda las armas que tuvo en su
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mano, con el trágico resultado de que no fue la teoría de conjuntos la
que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor.
Cantor murió en Halle (ciudad del centro de Alemania), el 6 de enero de
1918, teniendo 73 años de edad. Ya le habían sido concedidos múltiples
honores y su obra había logrado ser reconocida.
(http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/cantor.htm).
 ¿Qué es una proposición? Una proposición es una expresión
que se puede calificar de verdadera o falsa; no es necesario que
sea verdadera para decir que es una proposición.
En nuestro día a día, decimos un sin número de frases tales como
“el cafecito está caliente”, “el bus está demorado” las cuales
pueden calificarse de verdaderas o falsas con elativa facilidad; hay
otras frases de las que se dicen a diario que no son tan fácilmente
evaluables, por ejemplo “¿cuánto te demoras de la casa al
colegio?”, “¿mi amor, tu si me quieres?”, “¡no te demores por
favor!”, etc.
Las proposiciones matemáticas pueden ser simples o compuestas,
las proposiciones simples se simbolizan con letras minúsculas
como p, q, r, s, etc.
Ejemplo:
p: “Dos es un número primo”
q: ”Estamos estudiando en el colegio cooperativo”
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TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD: Diga cuáles de las siguientes oraciones son
proposiciones y si es una proposición, diga si es verdadera o falsa:
¿Tienes hambre?
El colegio Cooperativo de Barbosa forma gente de
bien
3 es divisor de 7
¡Hay que trabajar más!
7 es un número primo
Uribe es mortal
Hay más de 2 estudiantes en la clase de matemáticas
2+2
Existe vida en otros planetas
Todas las vacas tienen cuatro patas
Ahora escribe en tu cuaderno 5 proposiciones falsas y 5
proposiciones verdaderas; además escribe 5 oraciones que no
sean proposiciones.
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Las
proposiciones
compuestas
se
forman
uniendo
las
proposiciones simples con conectivos lógicos.
Entonces se puede decir que una proposición compuesta es una
oración, proposición o enunciado que se puede descomponer en
varias proposiciones.
 ¿Y qué son conectivos lógicos?
Los conectivos lógicos son partículas de enlace que se utilizan en
el lenguaje cotidiano y en la lógica para enlazar proposiciones
dando una coherencia a lo que se dice:
Ejemplo:
Tres es un número primo y cinco es un número impar
Está lloviendo o está haciendo sol
El lápiz es rojo y el borrador es blanco o negro
“Las partículas de enlace o conectivos lógicos entre proposiciones
pueden considerarse como las operaciones, ya que transforman dos
proposiciones simples en una proposición compuesta”. (LOGROS
MATEMÁTICOS 6, 1996)
 ¿Qué es el valor de verdad? Ya dijimos que una proposición es
una expresión que se puede calificar de verdadera o falsa, pues
bien ese valor que se le da a la proposición es su valor de
verdad. Este valor de verdad de las proposiciones es único ya que
una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
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 ¿Qué es una negación? La negación es una operación que cambia
el valor de verdad de una proposición y se denota por el símbolo
. Entonces si una proposición es verdadera, su negación será
falsa y al contrario.
EJEMPLOS
P: Don Carlos está terminando su bachillerato
P: Don Carlos no está terminando su bachillerato
La negación también puede ser dada por
P: No es cierto que don Carlos esté terminando su bachillerato
q: La piña es una fruta
q: No es cierto que la piña es una fruta
q: la piña no es una fruta
 ¿Qué es una conjunción? Una conjunción es una proposición
compuesta conectada por el conector lógico “Y” y se denota como
p ^ q; para que una proposición compuesta por una conjunción
sea verdadera es necesario que ambas proposiciones simples que
la componen sean verdaderas, así pues, se da la siguiente tabla
que ayudará a reconocer cuando una proposición compuesta por
la conjunción es verdadera o falsa:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
V
F
F
F
Ejemplos:
p: “La mayoría de los Barboseños son católicos” (V)
q: “Los Barboseños no son paisas” (F)
r: “La principal fuente económica de Barbosa es la agricultura” (V)
Entonces la combinación de estas proposiciones nos debe dar
como valor de verdad (F)
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Mirémoslo
“La mayoría de los Barboseños son católicos y Los barboseños no
son paisas”
p
^ q = (F)
V
^ F= (F)
Ahora
“La mayoría de los Barboseños son católicos y La principal fuente
económica de Barbosa es la agricultura”
p
^ q = (V)
V
^ V= (V)
TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD: Escriba en su cuaderno 5 proposiciones simples con su
valor de verdad y luego escribe su negación con su respectivo valor de
verdad, recuerde de simbolizar todas las oraciones.
En grupo con sus compañeros de clase tome las 5 proposiciones simples
y conviértalas en el cuaderno en 5 proposiciones compuestas con la
conjunción y escribe su valor de verdad con su simbolización.
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
 ¿Qué es una disyunción?: Es la proposición compuesta que surge
de conectar dos proposiciones simples con el conectivo lógico “o”
y en lógica esa “o” se simboliza “v”
Ejemplo: Analicemos el valor de verdad de las siguientes
proposiciones simples y luego las unimos por medio del conectivo
lógico “o” y analizamos nuevamente su valor de verdad.
p: “Uribe y santos son amigos” (V)
q: “Uribe y Obama se odian” (F)
r: “Santos y Chávez son amigos” (V)
Ahora unámoslas
“Uribe y santos son amigos o Santos y Chávez son amigos”
Es verdadero que pasa una cosa o pasa la otra, por lo tanto si una sola
es verdadera entonces es suficiente para decir que la disyunción es
verdadera.
“Uribe y santos son amigos o Santos y Chávez son amigos”
Es verdadero que pasa una cosa o pasa la otra, por lo tanto como en
este caso pasan ambas cosas, también podemos decir que la conjunción
es verdadera.
A continuación se presenta una tabla que nos muestra el valor de
verdad de las proposiciones compuestas con la conjunción, según el
valor de cada proposición simple.
p
V
V
q
V
F
pvq
V
V
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F
F
V
F
V
F
TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD: Escriba en el cuaderno 5 proposiciones simples con
su simbolización y su respectivo valor de verdad y, en grupo,
toman esas proposiciones simples y las convierten en compuestas
con la conjunción y determinan su valor de verdad con su
simbolización.
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
 ¿Qué es una proposición condicional?: Las proposiciones
compuestas “si hace buen clima, sale buena cosecha”; “si está
lloviendo entonces te pones saco para ir al colegio”, tienen en
común la forma como se enuncian: “si…, entonces…”. Las
expresiones que tienen esta forma se llaman CONDICIONALES y
la simbolización más utilizada para el “si…, entonces…” es ( .
Estos enunciados que establecen como una cosa se concluye de
otra son muy utilizados en la formación lógica y coherente de las
matemáticas.
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Ejemplo:
p: “hoy es Martes”
q: “ayer fue Lunes”
Utilizando el condicional pueden resultar las siguientes proposiciones
compuestas:
p(
q: “si hoy es Martes, entonces ayer fue Lunes”
p: “si ayer fue Lunes, entonces hoy es Martes”
q(
 ¿Qué es una proposición bicondicional? En el ejemplo anterior se
pudo observar que la condicional se cumplía en ambos sentidos,
es decir p( q y q( p, cuando esto pasa se dice que la
proposición es bicondicional y se puede cambiar el “si…,
entonces…” por un “ si y solo si”.
Los valores de verdad de la proposición condicional y bicondicional
dependen también de los valores de verdad de las proposiciones
simples que las componen:
P
q
p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
V
F
F
V
q
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TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:
1. Escriba en su cuaderno con sus compañeros de clase 10
proposiciones condicionales y 10 bicondicionales hallando su
respectivo valor de verdad.
2. Forma el condicional y el bicondicional de las siguientes
expresiones hallando el valor de verdad.
a. p: “Hay un abogado que se llama Juan” (V)
q: “Juan estudió derecho” (V)
b. p: “los libros de astronomía son interesantes” (V)
q: “El quijote de la mancha es un libro de ciencia” (F)
c. p: “4+3=7” (V)
q: “4-3=7” (F)
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3. Dadas las siguientes proposiciones simples con su respectivo
valor de verdad, encuentra el valor de cada proposición
compuesta:
P (F), q(V), r(F)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
p^r
pvq
q p
r q
p
q
qVr
q^r
(p
q) V r
RECOLECTEMOS LO
SEMBRADO
Preséntale a tu profesor un trabajo escrito con los siguientes
puntos resueltos para que corrija tus dudas y afiance tu
aprendizaje.
1. Analiza las siguientes proposiciones y resuelve lo que se te
pide al final de acuerdo a tu análisis:
a. El ratón es un roedor
b. 3+7=9
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c. Un triángulo es más grande que un cuadrado
d. 8+8=16
e. La cosecha de café empieza en Octubre
f. Barbosa está cumpliendo 215 años
g. Nuestro actual presidente es Antanas Mockus
h. ¿Tienes hambre?
i. El campeón del mundial fue España
i. identificar cuáles
proposiciones
son
y
cuales
no
son
ii. Hacer su representación (por ejemplo p V q)
iii. Decir su valor de verdad
iv. Niega las proposiciones que encontraste y hallas
su nuevo valor de verdad
v. Niega nuevamente las proposiciones ya negadas
y revisa su valor de verdad sacando tus propias
conclusiones.
2. Analiza las siguientes proposiciones y resuelve lo que se te
pide al final de acuerdo a tu análisis:
a. Juan Pablo segundo fue papa o presidente
b. Iván Ramiro Córdoba es ganador de la Champions
league entonces es futbolista.
c. El sol sale si y sólo si está de dia
d. La vaca es un animal cuadrúpedo y mamífero
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e. Barbosa es un municipio aledaño a Don Matías y
Girardota
f. Wildeman te enseña por lo tanto es tu profesor
g. Las proposiciones son simples o compuestas
h. Dios es piadoso y misericordioso por lo tanto nos
perdona
i. Identificar su conectivo lógico
ii. Hacer su representación (por ejemplo p V q)
iii. Separar en proposiciones simples
iv. Clasificarlas según su conectivo lógico
v. Reescríbelas de forma que aparezcan claramente
las proposiciones que forman
3. Si p, q son proposiciones falsas y r, s son proposiciones
falsas, determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones compuestas.
a. p V q
e. s v
p
b. p
f. s
q
q
c. p v q ^ r
g. r v s
d. r v s
h. q
r
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