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Lógica matemática
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste
en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras
áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con
las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el
que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos,
números, demostraciones y computación.
Lógica proposicional
En lógica, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar
ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan
proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas,
capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas
lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la
noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.
Concepto de Proposición
Es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa.
Expresión verbal que afirma o niega algo.
Secuencia finita de signos con significado y sentido de ser calificado como
verdadero o falso.
Expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. Hace
referencia explícita a las oraciones aseverativas o enunciativas.
EJEMPLOS:
CIERTOS
La raíz cuadrada de 4 es 2.
Los bebes lloran.
Un cuadrado tiene 4 lados.
FALSOS
Todos los carros tienen 2 ruedas.
20 + 20 = 20.
Ningún hombre sabe leer.
Enunciados
Tipos de enunciados
Interrogativos: Formula preguntas. No se le pueden dar un valor de verdad.
Imperativos: Señalan órdenes. No se le pueden dar un valor de verdad.
Declarativos: Son los únicos con los que se trabajan en la Lógica Matemática. Se
les pueden asignar un valor de verdad.
Proposiciones
Tipos de proposiciones:
Atómicas: Están compuestas por una sola proposición.
Moleculares: Están formadas por varias proposiciones y están acompañadas por
conectivos.
Conectivos lógicos
La negación
La conjunción
La disyunción
La implicación
La bicondicional
¿De qué color son los flamingos?
¿Deseas una taza de té?
¿Vives en Guayaquil?
Abre la ventana
Corre a la esquina
Enciende la luz
Los flamingos son azules
Pablo vive en Guayaquil
Carla encendió la luz.
Eduardo es estudiante de Ecomundo.
Las computadoras trabajan más rápido que los hombres.
No tengo auto azul.
Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja.
Bailamos o tomamos café
Si cantamos entonces necesitamos viajar.
Leeré este libro si y solo sí tiene pocos hojas.
No es cierto que si no tomamos café implica que no es de día.
La tierra gira alrededor del sol o no se da que la luna es un planeta.
Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no perdería el vuelo.
Es falso que vivo en Loja, pero visitaré a mi familia en Cuenca.
No iremos al partido a menos que salga el sol.
Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la vez.
REGLAS DE PRECEDENCIA
Tablas de Verdad
Para empezar debemos de conocer los Símbolos de las conectivas:
NEGACION:
¬,
se lee “No es cierto que …”
CONJUNCION:
^,
se lee “… y …”
DISYUNCION:
v,
se lee “… o …
CONDICIONAL:
→,
se lee “si … entonces …”
BICONDICIONAL: ↔,
se lee “… si y solo si …”
Proposiciones compuestas: (Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional,
Bicondicional)
DISYUNCIÓN
La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los
valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando
una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son
falsas.
Tabla de verdad de la disyunción
p v q (se lee: ” p o q”)
EJEMPLOS:
p = ” El número 2 es par”
q = ” la suma de 2 + 2 es 4″
entonces…
pvq: “El número 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″
p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2”
q = ” El número 3 es par″
entonces…
pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el número 3 es par”
CONJUNCIÓN
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los
valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando
ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera
cuando ambas son verdaderas.
Tabla de verdad de la conjunción
p ^ q (se lee: ” p y q”)
EJEMPLOS:
p = ” El número 4 es par”
q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″
entonces…
p^q: “El número 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″
p = ” El numero mas grande es el 34”
q = ”El triangulo tiene 3 lados″
entonces…
p^q: “El numero más grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados”
NEGACIÓN
La negación es un operador que se ejecuta. Sobre un único valor de verdad, devolviendo el
valor contradictorio de la proposición considerada.
Tabla de verdad de Negación
EJEMPLOS
p: ”4 + 4 es igual a 9″
-p: “4 + 4 no es igual a 9″
p: ”El 4 es un numero par”
-p: “El 4 no es un numero par”
CONDICIONAL
El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente
los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo
cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier
otro caso.
La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se
representa por p → q
Tabla de Verdad Condicional
EJEMPLOS
p: ”llueve”
q: “hay nubes”
p→q: “si llueve entonces hay nubes”
p: ”Hoy es miércoles”
q: “Mañana será jueves”
p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”
BICONDICIONAL
El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de
verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de
verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso
cuando sus valores de verdad difieren.
Tabla de Verdad Bicondicional
EJEMPLOS
p: ”10 es un número impar”
q: “6 es un número primo”
p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo”
p: ”3 + 2 = 7″
q: “4 + 4 = 8″
p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″