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Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 1 DIFERENCIADORES E INTEGRADORES En la Figura 1 tenemos un amplificador en el que las resistencias de entrada y realimentación han sido sustituidas por impedancias, es decir, Z1 y Zf representan asociaciones de resistencias y condensadores (raramente se incluyen inductancias). Zf Z1 Vi VO Figura 1. Para el circuito anterior podemos escribir una relación semejante a la del amplificador inversor estudiado en el Capítulo 3. Avf = vo vi Zf = − (1) Z1 Esta ecuación será de gran utilidad en los apartados siguientes, donde consideraremos asociaciones de componentes resistivos y capacitivos. 2. EL DIFERENCIADOR Este circuito presenta una salida proporcional a la variación de la señal de entrada. En la Figura 2, tenemos el circuito de un diferenciador elemental. CONDICION DEL CIRCUITO DIFERENCIADOR τ = RC << T/2 Aplicando la ley de Kirchhoff en el punto a tenemos C dvi dt + de donde se obtiene: vo Rf = 0 vo = −Rf C dvi dt (2) DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 2 Veamos que la señal de salida está invertida con relación a la de entrada. if Rf i Vi a C vd VO b Figura 2. Aplicando una señal triangular simétrica a la entrada de un diferenciador, presentará a la salida una señal rectangular, según se indica el la Figura 3. Vi Vp 0 T/2 T 3T/2 2T t Vo +Vop=+RfC (Vpp / T ) 2 T/2 T 3T/2 2T t -Vop= -RfC (Vpp / T ) 2 Figura 3. De hecho, la señal triangular puede ser vista como un conjunto de “rampas” ascendentes y descendentes, cuyas derivadas son constantes. Se puede demostrar (y dejaremos esto para el lector) que los valores de pico de la señal de salida vienen dados por: DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera ± Vop 3 V pp = ± R f C T / 2 Si aplicamos una señal rectangular a al entrada del diferenciador tendremos una serie de impulsos agudos (“SPIKES”) a la salida. Véase la Figura 4. Analizaremos a continuación la ganancia del circuito anterior. tenemos: Avf = − De la Ecuación 1 Rf = − j 2πfR f C 1 j 2πfC cuyo módulo vale Avf = 2πfRfC (3) Vi T + Vp T/2 T 3T/2 2T t - Vp Vo +Vop 0 T/2 T 3T/2 2T t -Vop Figura 4. La ecuación anterior demuestra que la ganancia es directamente proporcional a la frecuencia de la señal aplicada, lo que hace que este circuito sea muy sensible a variaciones de frecuencia. Por esto el diferenciador elemental presenta serios inconvenientes: DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera - 4 inestabilidad de ganancia, sensibilidad a los ruidos, proceso de saturación muy rápido. En el apartado siguiente daremos una solución práctica a estos problemas. 3. EL DIFERENCIADOR PRÁCTICO Como hemos visto, la ganancia del circuito anterior era directamente proporcional a la frecuencia, por lo que el amplificador tenía un proceso rápido de saturación. En la Figura 5 se observa un diferenciador al que hemos añadido en la entrada una resistencia y un condensador en serie, lo que permite eliminar algunos de los inconvenientes del diferenciador elemental y aumentar su estabilidad. En este caso, = Avf − Rf 1 R1 + j 2πfC Rf Vi C R1 VO RC = R1Rf / (R1+Rf) Figura 5. Y tomando el módulo, Avf = R f / R1 1 + (1 / 2πfCR1 ) 2 (4) Según esta ecuación, la ganancia se estabiliza en el valor Rf/R1 (en módulo) cuando la frecuencia crece indefinidamente. Luego en altas frecuencias el diferenciador se comporta como un amplificador inversor. Hay que tener en cuenta que los ruidos de alta frecuencia no afectan demasiado al circuito. En la práctica podemos establecer un valor DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 5 límite de frecuencia por debajo del cual el circuito se comporta como diferenciador y por encima actúa fundamentalmente como amplificador inversor. Esta frecuencia, que denominaremos fL, es exactamente la frecuencia de corte de la red de retardo del diferenciador, o sea, fL = 1 2πR1C (5) Resumiendo, sea f la frecuencia de la señal aplicada: si f < fL ⇒ el circuito actúa como diferenciador, Si f > fL ⇒ el circuito actúa como amplificador inversor de ganancia -Rf/Rl. Conviene señalar que las situaciones anteriores serán tanto más ciertas cuanto más nos alejemos de fL. Finalmente, este diferenciador será de mayor precisión si se imponen, a la hora de hacer el proyecto, las condiciones siguientes: (a) R1 C ≤ T/10 (b) Rf ≈ 10 R1 (6) es decir, la constante de tiempo de la red de retardo de la entrada deberá ser mucho menor (diez veces al menos) que el período de la señal aplicada, y la ganancia en altas frecuencias estabilizarse en torno a diez. Mientras que la condición (b) es opcional y puede no ser adecuada al proyecto, la condición (a) es fundamental y deberá aplicarse. DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 4. 6 EL INTEGRADOR Es uno de los circuitos más importantes con AO. No presenta los problemas del diferenciador, y es más utilizado en la práctica. Véase en la Figura 6 el circuito del integrador elemental y su circuito equivalente para análisis. El circuito equivalente de tierra virtual muestra que desde la entrada a la salida, se puede derivar una expresión para el voltaje entre la entrada y la salida en términos de la corriente i. Recuerde que la tierra virtual significa que podemos considerar el voltaje en la unión de R y XC como sifuera tierra (debido a que Vi ≈ 0v), pero que ninguna corriente pasa a tierra por este 1 1 punto. La impedancia capacitiva puede ser expresada como X C = = , donde s jWC sC = jw en la anotación de Laplace. CONDICION DEL CIRCUITO INTEGRADOR τ = RC >> T/2 if i i a C i a R1 Vi R1 vd VO b Vi (a) C Vd = 0 VO (b) Figura 6. Aplicando la ley de Kirchhoff en el punto a, tenemos vi Rl + C dv o dt vo = − 1 R1C = 0 O sea, t ∫v o i dt (7) La ecuación 7 indica que la salida es la integral de la entrada, con inversión y un multiplicador de escala 1/R1 C. La habilidad de integrar una señal dada proporciona a la computadora analógica la habilidad de resolver ecuaciones diferenciales y, por lo tanto, proporciona la habilidad de solucionar eléctricamente analogías de operación de sistemas físicos. La operación de integración es una sumatoria, porque suma el área bajo la curva de una onda, a lo largo de un período. Si se aplica un voltaje fijo como entrada a DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 7 un circuito integrador, la ecuación 7 muestra que el voltaje de salida crece a lo largo de un período, proporcionando una rampa de voltaje. Por lo tanto la ecuación 9 se comprende para mostrar que la salida de una rampa de voltaje (para una excitación escalón) es opuesta en polaridad al voltaje de entrada y multiplicada por el factor 1/R1 C. Aunque el circuito de figura 6a, puede operar sobre muchos tipos diversos de señales de entrada, los siguientes ejemplos usarán solamente un voltaje de entrada escalón, dando como resultado una rampa de voltaje de salida. Como ejemplo considere un voltaje de entrada, Vi = 1 (v), al circuito integrador de la figura 7a. El factor de escala de 1/RC es 1 1 − = = −1 RC (1MΩ)(1µF ) por lo que la salida es una rampa negativa (descendente) de voltaje, como se muestra al figura 7b. Si el factor de escala se cambia, haciendo R = 100 KΩ, por ejemplo, 1 1 − = = −10 RC (100 KΩ)(1µF ) y la salida es entonces un voltaje de rampa más pronunciada, igual al que se muestra en la figura 7c 0V C = 1µF 1 MΩ Vi 0V (- 1 / RC = -1) (- 1 / RC = -10 ) R1 VO (a) - 1 (v) (b) - 10 (v) (c) Figura 7. Operación de Integración con entrada escalón. Si hubiera una tensión inicial en el condensador, su valor deberá sumarse al resultado de la ecuación anterior, por lo que, en ocasiones, se utiliza un interruptor en paralelo con C para descargarlo antes de utilizar el integrador. El interruptor se cierra para la descarga y debe volver a abrirse al comenzar el proceso de integración. La Figura 8 ilustra lo que acabamos de decir. DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 8 int C Vi R1 VO Figura 8. Aplicando una señal rectangular simétrica en la entrada del integrador obtendremos una salida triangular, como se ve en la Figura 9. Se puede demostrar que los valores de pico de la tensión de salida están dados por la relación. Vop VpT = ± R C 4 1 Tarea: demostrar ecuación anterior DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 9 Vi + Vp T/2 T 3T/2 2T t VO + Vop 0 T/2 T 3T/2 2T t - Vop Figura 9. Si consideramos el circuito de la Figura 6, tendremos − Avf = − 1 j 2πfC R1 = − 1 j 2πfR1C Cuyo módulo vale Avf = 1 2πfR1C (8) Nótese que la ganancia es inversamente proporcional a la frecuencia, lo que hace que el circuito no sea tan sensible como el diferenciador a los ruidos de alta frecuencia. La Ecuación 8 muestra que, a medida que baja la frecuencia, la ganancia aumenta considerablemente, tendiendo a infinito al aproximarse aquélla a cero. Análogamente a como hicimos para el diferenciador, presentaremos un circuito que permita estabilizar la ganancia en baja frecuencia. DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 5. 10 EL INTEGRADOR PRÁCTICO El circuito de la Figura 10 permite estabilizar la ganancia cuando se tiene una señal de baja frecuencia aplicada a su entrada. Rf C R1 Vi VO R 1 // R f Figura 10. Considerando la Ecuación 1: 1 Rf • − Avf = j 2πfC 1 Rf + j 2πfC R1 De donde, después de algunos cálculos, se obtiene − Avf = − R f / R1 1 + j 2πfR f C Y tomando el módulo, se obtendrá Avf = R f / R1 ( 1 + 2πfR f C ) 2 (9) La ganancia se estabilizará en un valor igual a Rf / Rl (en módulo) cuando la frecuencia sea nula. fL = 1 2πR f C (10) DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 11 Resumiendo, sea f la frecuencia de la señal aplicada: - si f < fL ⇒ el circuito actúa como amplificador inversor de ganancia -Rf/Rl, Si f > fL ⇒ el circuito actúa como integrador. Señalaremos de nuevo que las dos situaciones anteriores son tanto más verdaderas cuando más nos distanciemos de fL. Para terminar, las condiciones que siguen permiten mejorar la respuesta de este circuito: (a) R1C ≥ 10-T (b) Rf ≈ 10 Rl (11) donde T es el período de la señal aplicada. La condición (a) es fundamental mientras que la (b), a pesar de estabilizar óptimamente el circuito, puede considerarse como opcional en el proyecto. 6. INTEGRADORES ESPECIALES Presentaremos a continuación dos circuitos integradores que pueden ser de utilidad en muchas aplicaciones prácticas. En la Figura 11 tenemos el integrador de suma. V1 R V2 C R V3 R VO Figura 11. La ecuación de salida de este circuito es: vo = 1 RC ∫ (v t o 1 + v2 + v3 ) dt Evidentemente, el número de entradas podría aumentarse. Tarea: demostrar la ecuación anterior DIFERENCIADORES E INTEGRADORES (12) Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 12 El otro circuito se denomina integrador diferencial y está representado en la Figura 12. Nótese que su ecuación de salida no presenta inversión de polaridad. Nuevamente dejamos al lector la demostración de la ecuación de salida: vo = 1 RC V1 1 ∫ (v o 2 − v1 )dt R (13) C VO V2 R C Figura 12. 6. EJERCICIOS RESUELTOS 1. En el circuito de la Figura 13 tenemos R = 50 KΩ y C = 10µF. En su entrada se aplica un impulso (o escalón de tensión) de 2 V de amplitud durante 5 segundos. Suponiendo que C está descargado inicialmente y el AOP alimentado con ± 15 v, se pide: a. Calcular Vo después de 2 segundos. b. ¿Cuántos segundos tarda en saturarse el AOP con una tensión de -13,5V, aproximadamente? c. Hacer un esbozo de la forma de onda de la señal de salida en el intervalo de 0 a 5 segundos. (Figura 14) d. Calcular la pendiente “D” (o coeficiente angular) de la señal de salida generada antes de que el AOP se sature DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 13 Vi C 0 5 R Vi t VO Figura 13. SOLUCIÓN: a. b. 1 RC VO = − vo = − t ∫ v dt , i O pero siendo vi = CONSTANTE , tenemos vi t ; v o = −8V RC -13,5 = -4t ; t = 3,375 segundos. c. VO 1 2 3 4 5 3,375 -8 - 13,5 - 16 Figura 14. DIFERENCIADORES E INTEGRADORES 6 t Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera d. D( pendiente) = −8 2 14 D = − 4V / s Comentario: Obsérvese que la señal generada es lineal y de pendiente negativa, y puede ser utilizada, por ejemplo, para accionar un circuito electrónico encargado de controlar la velocidad de un motor, reduciéndola. Decimos, en este caso, que la señal generada es una “rampa de desaceleración”. Por otro lado, cambiando la polaridad de la señal de entrada, obtendríamos una “rampa de aceleración” que aumentaría la velocidad del motor. Esta técnica se utiliza muy frecuentemente en la industria para accionar máquinas eléctricas a través de órdenes electrónicas. Nuestra intención ha sido dar al estudiante una primera idea sobre este tema. 2. En el integrador de la Figura 13 tenemos: R1 = 1 KΩ, Rf = 10 KΩ y C = 0,01 µF. Determinar la ganancia (en decibelios) del circuito cuando ω = 10.000 rad/s. SOLUCIÓN: Avf = 10 / 1 ( 1 + 10000 • 10 • 10 4 −8 ) 2 ≈ 7,07 O sea, Avf (dB) ≈ 16,99 dB 3. En el gráfico que sigue (figura 15), tenemos un período de la señal de entrada vi aplicado al circuito diferenciador de la Figura 2. Determinar la tensión de salida VO en los intervalos de 0 a 150µs y de 250 a 500 µs. Tomar Rf = 1 KΩ y C = 0,01 µF. Vi (t) 2 Vi 1 0 Vi 2 250 500 Figura 15. SOLUCIÓN: DIFERENCIADORES E INTEGRADORES t ( µs) Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera 15 Como en la entrada aplicamos una señal triangular, la salida será constante en cada semiperíodo. Para el primer semiperíodo tenemos: VO1 = -103 · 10-8 d/dt (t/125) Véase que la ecuación del semiperíodo de subida es vil = t/125, donde t viene dado en µs y vil en voltios. Luego: Vo1 10 6 = − 10 • 10 • 125 −8 3 Vo1 = −80mV ; Para el segundo semiperíodo: VO2 = -103 · 10-8 d/dt (-t/125 + 4) VO2 = -103 · 10-8 (-106/125) ; 4. Vo2 = 80 mV Demostrar que el siguiente circuito corresponde a un controlador PI (proporcional + integral). Considerar para ello un AOP ideal. I2 C I1 Vi R2 R1 VO Figura 16. SOLUCIÓN: Sean Il e I2 las corrientes en R1 y R2C respectivamente, tenemos: I1 = vi R1 ; I2 = − vi R1 pues I1 + I2 = 0 (AOP ideal). Sin embargo, Vo = VR2 = Vc DIFERENCIADORES E INTEGRADORES Universidad Técnica Federico Santa María Sede Viña del Mar - José Miguel Carrera vo −v 1 t = R2 i + ∫ i2 dt R1 C o vo R = − 2 vi R1 − 16 1 t vi dt R1C ∫o Finalmente; vo R = − 2 vi R1 R − 2 R1 1 R2C t ∫ v dt o i La ecuación final muestra que la salida del controlador consta de una parte correspondiente a la acción proporcional, asociada a otra de acción integral (que viene multiplicada por la misma ganancia de acción proporcional). Evidentemente, colocando un amplificador inversor de ganancia unitaria a la salida de este controlador, se eliminarían las salidas negativas de la ecuación anterior. 7. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dibujar la forma de la señal de salida de un diferenciador cuando a su entrada aplicamos los siguientes tipos de señales: a. b. c. d. e. cuadrada (vi = K) inclinada o en rampa (vi = Kt) senoidal (vi = Ksent) parabólica (vi = kt2) exponencial (vi = Ket) 2. Repetir el ejercicio anterior para un integrador. 3. ¿Qué aspecto se considera más crítico en el circuito diferenciador de la Figura 2? 4. ¿Qué son los “SPIKES” y cómo se producen en los circuitos con AOP’s? 5. Concepto y característica principal del diferenciador práctico. 6. Repetir lo anterior para el integrador práctico. DIFERENCIADORES E INTEGRADORES