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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5.2 PRIMER CRITERIO DEL PARALELISMO. TEOREMA DE LOS ÁNGULOS
ALTERNOS INTERNOS. (PRIMERA VERSIÓN).
TEOREMA 25. Teorema de los ángulos alternos internos. ( T .A.I ).
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella una pareja de ángulos
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
alternos internos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
Demostración.
Sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta que corta a l y r en los
puntos B y B' respectivamente y de modo que:
A' Bˆ ' B  CBˆ B' .
Figura 79.
Vamos a demostrar que l // r o lo que es lo mismo l  r   .
Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que los ángulos alternos internos
son congruentes y que l no es paralela a r.
Entonces se cortarán en un punto D. Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano
respecto a t en que están C y C' (Ver Figura 79).

Consideremos el triángulo B B' D . Como A' Bˆ ' B  CBˆ B' (hipótesis) entonces, BBˆ ' D  B' Bˆ A
(1). (Teorema 24).
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ahora, por el axioma de construcción de segmentos, existe E en la semirrecta B ' A' tal que
B' E  BD .


Unamos B con E. los triángulos B B' D y B B' E son congruentes (L-A-L), de donde:
EBˆ B'  BBˆ ' D
BBˆ ' D  B' Bˆ A
pero
por (1 ).
M
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co du
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Luego EBˆ B'  B' Bˆ A .
Y como BE y BA están en el mismo semiplano respecto a t, por el axioma de construcción del
ángulo BE  BA , lo que nos dice a la vez que E  BA , es decir E pertenece a la recta l.
Pero también D  l . Luego l  DE y como la recta DE es la misma r, se tiene finalmente que
r l.
Contradicción con la hipótesis ya que habíamos supuesto que l y r eran dos rectas diferentes.
COROLARIO 1.
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos
correspondientes congruentes, entonces, dichas rectas son paralelas.
COROLARIO 2.
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos alternos
externos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
COROLARIO 3.
Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, todas ellas coplanarias, entonces las
dos primeras son paralelas entre sí.
Demostración.
Sean l  t y r  t , l , r , t   . Demostremos que l // r .
M
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 80.
Como l  t , entonces ABˆ B ' es recto.
Como r  t entonces A' Bˆ ' B es recto y por la tanto su ángulo adyacente C ' Bˆ ' B es recto. Así
que ABˆ B'  C ' Bˆ ' B por ser ambos rectos. Se sigue entonces que la secante t hace con las rectas 1
y r ángulos alternos internos congruentes, luego por el teorema de los ángulos alternos
internos, l // r .
Definición 30. Ángulo exterior de un triángulo.
En un triángulo todo ángulo que hace par lineal con algún ángulo interior del triángulo, se
llama ángulo exterior del triángulo.