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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
9.9 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
Nociones básicas.
Proposiciones fundamentales.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia coplanarias.
M
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1. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones cuales son verdaderas y cuales son
falsas, justificando su determinación.
1.1 El conjunto de todos los puntos del espacio tales que su distancia a un punto A es
igual a t, (t>0), corresponden a C ( A, t ) .
1.2 La circunferencia con radio r>0, es un figura convexa.
1.3 C(0, r)  círculo(0, r)
1.4 Una circunferencia y una de sus cuerdas diametrales se intersectan en 3 puntos
distintos.
1.5 Si A  B, A, B  C(0, r), entonces, Int C(0, r)  AB  Int ( AB )
1.6 Si A  B, A, B  C(0, r), entonces círculo(0, r)  AB  A, B
1.7 Toda recta que intersecta a una circunferencia en un solo punto es necesariamente
tangente a la circunferencia.
1.8 Todo ángulo con vértice en el centro de una circunferencia un ángulo central de la
circunferencia.
1.9 El subconjunto de la circunferencia limitado por un ángulo central y el arco
intersectado incluyendo ambos limites, corresponde exactamente al arco intersectado.
1.10 Una semicircunferencia es cada uno de los arcos subtendidos por una cuerda
diametral.
1.11 En alguna situación particular un segmento circular y un sector circular pueden
representar el mismo conjunto.
1.12 Un semicírculo es un sector circular limitado por un ángulo central llano.
1.13 Tres puntos distintos determinan una circunferencia única a la cual pertenecen.
1.14 Toda recta coplanaria con una circunferencia y perpendicular a un radio de ésta,
es tangente a la circunferencia.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.15 Si la intersección de dos circunferencias coplanarias es el conjunto vacío,
entonces, necesariamente ellas son exteriores.
1.16 Si dos circunferencias son tangentes, entonces, la intersección de sus círculos es
necesariamente un conjunto de un solo punto.
1.17 Si dos círculos coplanarios tienen intersección no vacía, entonces, es posible que
las circunferencias sean secantes.
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2. Sean C(0, r =12), C(0’, r’) coplanarias tales que d (0,0' )  8 ; r> r’ .
Determine todos los valores posibles del radio r’ tales que:
2.1 C(0’, r’) es interior a C(0, r).
2.2 C(0’, r’) es tangente interior a C(0, r).
2.3 C(0’, r’) es secante a C(0, r ).
2.4 C(0’, r’) es tangente exterior a C(0, r).
3. Sean C(0, r =9), C(0’, r’) coplanarias tales que d (0,0' )  16 ; r> r’ .
Determine todos los valores posibles de r’ tales que:
3.1 C(0’, r’) es interior a C(0, r).
3.2 C(0’, r’) es tangente interior a C(0, r).
3.3 C(0’, r’) es secante a C(0, r).
3.4 C(0’, r’) es tangente exterior a C(0, r).
3.5 C(0’, r’) es exterior a C(0, r).
4. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones cuales son verdaderas y cuales son
falsas, justificando su determinación.
Sean C(0, r), C(0, r’) y C(0’’, r’’) con r  r ‘  r’’, como se indica en la figura.
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

4.1 m( AMB)  m( A' M ' B' )


4.2 AMB  A' M ' B'




4.3 Si AOB  A' ' O' ' B' ' , entonces , AMB  A' ' M ' ' B''




4.4 Si m( AMB)  m( A' ' M ' ' B' ' ) , entonces , AOB  A' ' O' ' B' '


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4.5 m( A' M ' B' )  m( A' O' B' )


4.6 Si AOB  A' ' O' ' B' ' , entonces, AB  A' ' B' '

4.7 m( AMB)  m( AB)



4.8 m( AMB)  m( A' M ' B' )  m( AB)  m( A' B')  m( AOB)


4.9 Si AB  A' ' B' ' , entonces, AOB  A' ' O' ' B' '


4. 10 Si AOB  A' ' O' ' B' ' , entonces C(0, r)  C(0’, r’)


4.11 Si AB  A' ' B' ' , entonces, AMB  A' ' M ' ' B''
5. Demuestre:
Si A  B  C  D , todos ellos pertenecientes a una misma circunferencia con
AB // CD , entonces, AD  BC .
6. Demuestre:
Si A  B  C  D , todos ellos pertenecientes a una misma circunferencia con
AD  BC , entonces, AB // CD .
7. Demuestre que todo trapecio que tiene todos sus vértices sobre una misma circunferencia
es isósceles.
8. Demuestre:
Si A  B  C  D , todos ellos pertenecientes a una misma circunferencia con
BAˆ D  ABˆ C , AD // BC , entonces, ABCD es un trapecio isósceles.
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9. Dada C(0, r) con AB cuerda diametral, D  C pertenecientes a esta circunferencia,


OC // AD . Demuestre que DMC  CNB y OC  DB .
10. Dada C(0, r) con AB cuerda diametral, D  C pertenecientes a esta circunferencia,


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OC  DB . Demuestre que DMC  CNB y OC // AD .
11. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones cuales son verdaderas y cuales son
falsas, justificando su determinación.
Sea C(0, r) con AB tangente, TK cuerda
diametral, SH  OK , AH  BS  D y
los elementos indicados en la figura.
11. 1 AB // SH
ˆ  Hˆ
11.2 A


11.3 m(TDN )  m( MGK)
11.4 Sˆ  MOˆ K
11.5 MOˆ K  MKˆ S
11.6 MKˆ T  Hˆ
11.7 TMˆ K  OTˆB
11.8 NDˆ P  NOˆ P
11.9 TN  MK
12. Demuestre: Si A  B  C  D , pertenecientes a C(0, r) con AC bisectriz de BAˆ D , I el
incentro del ΔABD, entonces , CB  CI  CD .
13. Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos tangentes. Los
puntos de tangencia determinan dos áreas cuyas medidas están en la razón de 5 a 2,
Calcular:
13.1La medida de los arcos subtendidos por las dos tangentes.
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13.2La medida del ángulo central que se forma al trazar los segmentos radiales a
los puntos de tangencia.
13.3La medida del ángulo determinado por las dos tangentes.
13.4Las medidas de los ángulos semiinscritos que se forman al trazar la cuerda
que une los puntos de tangencia.
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14. Se inscribe un ΔABC isósceles con AB  AC en C(0, r). AX es bisectriz de BAC , con

X  C(0, r ). Demuestre que AX pasa por O y que ABX es recto.

15. Dada C(0, r), el ΔABC está inscrito en ella, AB  AC ; X  BMC . Demuestre que XA es

bisectriz de BXC .
16. Dada C(0, r) con las relaciones métricas indicadas en la figura:

i) m(COG )  75º

ii) m( AGH )  50º


iii) BT C  DWH
iv) DG cuerda diametral.
Calcular:
16.1 m ( BTˆC )
16.2 m( BMˆ D )
16.3 m (CAˆ G ) )
16.4 m ( ACˆ D )
16.5 m(GDˆ H ) ;
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16.6 Si CH  BG  E , calcule m ( HEˆ G ) .
17. Sean C(0, r) y C(0’, r’) exteriores se trazan las dos rectas tangentes interiores a ellas, como
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se indica en la gráfica; con T1T1 '  T2T2 '  P
Demuestre que:
a) T1T1 '  T2T2 '
b) O, P, O’ son colineales.
18. Sean C(0, r) y C(0’, r’) exteriores y no congruentes, se trazan las dos rectas tangentes
exteriores a ellas, T1T1 ' y T2T2 ' como se indica en la gráfica.
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Demuestre que:
18.1 T1T1 '  T2T2 '  P. Sugerencia: Razone por reducción al absurdo.
18.2 T1T1 '  T2T2 '
18.3 P, O’, O son colineales.
19. Sean C(0, r) y C(0’, r’) no congruentes y tangentes exteriormente en un punto T. A, C 
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C(0, r) . B, D  C(0’, r’); y AB  CD  T .
Demuestre que AC // BD .
20. En las condiciones del problema 19 si ambas circunferencias son tangentes interiormente,
demuestre la misma tesis.
21. La recta AB es secante a C(0, r) en los puntos A y B. Por el punto B se traza la cuerda
BC  AB . Demuestre que la cuerda diametral paralela a AB biseca a todo segmento
cuyos extremos son el punto C y cualquier punto de AB .
22. Demuestre que todo paralelogramo inscrito en una circunferencia, es un rectángulo.
23. Demuestre que la medida del lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia,
es igual al radio de la circunferencia.
24. Demuestre que en todo cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia la suma de
las medidas de dos lados opuestos, es igual a la suma de las medidas de los otros dos
lados.
25. Demuestre que todo rombo circunscrito en una circunferencia, es un cuadrado.
26. Demuestre que el radio de C(0, r), inscrita en un triángulo rectángulo de catetos con
medidas X, Y y con hipotenusa de medida Z, es igual a
1
X  Y  Z  .
2
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27. Un rectángulo está inscrito en C(0, r). Por los vértices del rectángulo se trazan las
tangentes a C(0, r) que se intersectan dos a dos. Demuestre que el cuadrilátero convexo
con vértices en los puntos de la intersección de las tangentes es un rombo.
28. Desde el punto medio M de un arco

AMB en C(0, r) se determinan las
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cuerdas MC y MD que intersectan a
AB
en
los
puntos
H
y
K
respectivamente. Demuestre que es
HKDC es inscriptible.
29. ABCD
está
inscrito
en
C(0,
r);
AD  BC  P; AB  DC  Q . Demuestre que el punto de intersección de las


bisectrices de APB y BQC , pertenece a la circunferencia de diámetro PQ .
Sugerencia: Si designamos por k el punto de intersección de las bisectrices, pruebe que

PKQ es recto.
30. El ΔABC
está inscrito en C(0, r). AD es la altura correspondiente a BC y H es el
ortocentro. N, Q, P son los puntos medios de AH , AB y AC respectivamente. Demuestre
que OPNQ es un paralelogramo.
Sugerencia: Determine las otras alturas y trace los radios que pasan por respectivamente.
Tenga en cuenta la propiedad del radio que biseca a una cuerda y utilice el teorema de la
paralela media.
31. Con relación a C(0, r), PA es secante,
PD es secante y contiene la cuerda
diametral DH , AP  r. Demuestre
que   3 .
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32. Con relación a C(0, r), PA y PB son
tangentes, S está entre P y A. G está entre
P y B, SG tangente a C(0, r) en T .
 
Demuestre que si m PA  a , entonces el
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perímetro del ΔPSG  2a .
33. La longitud de la cuerda común de dos circunferencias secantes mide 7 unidades. Si los
radios de las circunferencias miden 15 y 9 unidades respectivamente, calcule la distancia
entre los centros.
34. Con relación a la circunferencia, P es
exterior, S está entre P y T, A está entre P

  
el valor de mPˆ   mADˆ S  .




y B; m TMD  78 ; m DGB  82 . Calcule
35. Una circunferencia está inscrita en un triángulo de lados con magnitudes 11, 16 y 21
respectivamente, si el punto de tangencia divide al lado mayor en dos segmentos de
longitudes a y b con a  b ; entonces determine la razón
a
.
b
36. En C(0, r) , AB es una cuerda diametral, P  C(0, r), P  A y P  B , PD cuerda tal que
PD  AB ,
KA  KB .
PW bisectriz de DPˆ O tal que PW  C(0, r)  K  . Demuestre que