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Tema 2
Masas de galaxias
Esquema:
•
Hacer diagramas y esquemas para ver como se miden velocidades radiales de estrellas
desde el sol
•
Explicar como varían las velocidades de las estrellas en un escenario de rotación
galáctica
•
Utilizar el efecto Doppler en la línea de 21 cm de HI para obtener velocidades de
rotación
•
•
•
Entender como se observan las velocidades de rotación en una galaxia externa
•
•
Resultados: como varían las curvas de rotación para diferentes tipos de galaxias
Determinaciones de masa en galaxias espirales a partir de las curvas de rotación.
Modelos de masas: modelo de disco máximo, modelos de optimización
La relación de Tully-Fisher
Estimación de la dispersión de velocidades: la base teórica. La técnica de la correlación
cruzada
•
Determinaciones de masa en galaxias elípticas. La relación de la dispersión de
velocidades con otros parámetros galácticos.
•
Valores de cocientes M/L para diferentes galaxias. Variaciones dentro de una misma
galaxia. Implicaciones: la existencia de masa oscura
2.1. Introducción
El único método directo de determinar masas totales de galaxias o distribuciones de
masa dentro de galaxias, es considerar la aceleración de estrellas, gas o galaxias enteras
bajo la acción del campo gravitatorio ejercido por el objeto bajo estudio. El método más
utilizado es aquel en el cual se mide la velocidad rotacional de un subsistema
constituyente de la galaxia (sean estrellas o gas) en función de la distancia al centro
galáctico. Este método da directamente la contribución de masa de la galaxia que,
integrada, nos da la masa total de ésta. Es el denominado método de la curva de
rotación. También se pueden determinar masas a partir de las dispersiones de
velocidades en elípticas, aplicando la tercera ley de Kepler a galaxias binarias, o usando
el teorema de Virial para galaxias en cúmulos Antes de entrar de lleno en estos temas,
vamos a hablar someramente de la dinámica y cinemática de las estrellas así como de
los métodos de medida y de las implicaciones de estas medidas. Se verán las técnicas
para comprobar cómo una galaxia rota y como obtener curvas de rotación.
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2.2. Conceptos básicos de cinemática galáctica
La dinámica estelar y su cinemática están directamente relacionadas con la estructura
de la galaxia, de manera que esta se puede estimar a partir de los movimientos de sus
miembros. El objetivo, pues, es comenzar con una distribución de estrellas, así como de
sus velocidades para obtener relaciones entre ambas que nos den información acerca de
la estructura de la galaxia en su conjunto. Estas relaciones dependen del campo
gravitatorio. Una de las consideraciones iniciales es partir de que hay equilibrio
dinámico.
Teoría Dinámica Estelar---- Campo Gravitacional ----- Distribución de Masa
Si no hay equilibrio, la dinámica estelar ayudará a determinar como cambian con el
tiempo la velocidad o la densidad de masa. A veces es necesario introducir
consideraciones sobre la dinámica del gas: para saber como es la distribución de
estrellas hay que saber como fue la evolución del gas del cual se formaron, es decir,
como se ha contraído el gas primordial en un disco y en qué estados de esta contracción
se han formado las estrellas. Es decir, que la distribución de las estrellas y su
movimiento están influenciados por la evolución en el pasado pero también por
procesos de dinámica del gas que están teniendo lugar ahora mismo. Las estrellas se
forman en los brazos espirales y el movimiento de estos brazos está determinado por la
dinámica del gas interestelar original.
Suponemos que las estrellas y el gas se mueven en un campo gravitatorio producido
por el contenido total de la galaxia: estrellas, gas y polvo. Si suponemos que la galaxia
gira de una manera circular, la aceleración centrípeta es v2(r)/r en cada punto, y la
condición de equilibrio dinámico en términos de potencial es:
v 2 (r )
∂Φ
=−
r
∂r
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
Bajo la hipótesis de simetría circular se puede usar la curva de rotación observada
junto con esta ecuación para obtener la distribución de masa en una galaxia, si sabemos
la forma del potencial. Con esta idea atacamos el tema
2.2.1. Movimientos estelares y cinemática estelar
Ahora describiremos la información acerca de las estrellas, obtenida a partir de
sus movimientos, sin entrar en los detalles acerca de las causas que producen estos
movimientos en los primeros momentos de la formación del disco, ni fenómenos de
dinámica de gas como colisiones entre nubes de gas, que también caen fuera de este
tema.
Supongamos, pues, que S es el Sol y X una estrella que se mueve a una velocidad
V respecto al Sol. Las componentes de V son XA y AY, de manera que:
v = XA = V cos β , es la componente radial de la velocidad y
u = AY = Vsenβ , es la componente transversal que produce un cambio en la
dirección heliocéntrica de la estrella. Estos movimientos, llamados movimientos
propios de la estrella son a veces casi imposibles de detectar
X
v
Au
β
V
S
Y
La velocidad transversal de una estrella se puede medir por dos medios:
a) Geométricos:
Sea n el número de segundos que tiene un año; la distancia recorrida por una
estrella en ese tiempo será n veces u: n ⋅ u = XUkm , siendo u la velocidad
transversal de la estrella. La distancia S-X es d Km. De manera que el ángulo
subtendido XSU es µ
y por tanto, suponiendo que es pequeña:
tan µ =
n ⋅u
n ⋅u
⇒ µ = 206265
d
d
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
d
µ
S
P
T
S a
P = 206265
µ
a
P µ
⇒ =
⇒ u = 4,74
d
a un
P
Por otro lado, el paralaje de la estrella P, que es el ángulo subtendido por la
estrella cuando la tierra se mueve un año alrededor del Sol,
siendo a el semieje de la órbita de la Tierra (149.6 106 Km) y n=31.56 106 seg, se
tiene que u=4.74 µ/P, así midiendo µ y P se obtiene u.
b)Espectroscópicos.
El segundo método se basa en el efecto Doppler que hace que haya un corrimiento
en las líneas de un espectro cuando el objeto se está moviendo:
∆λ
λ
=
v´
c
2.2.2. Distribuciones de velocidades
Cuando no solo hay una estrella sino muchas moviéndose alrededor de un origen,
podemos suponer que sus velocidades están distribuidas de manera aleatoria.
Supongamos N estrellas de modo que cada una tiene un movimiento propio en
ascensión recta µαρ. Dicho movimiento se puede descomponer en el movimiento
alrededor de un origen O, y en el movimiento propio producido por el movimiento
del sol: µα r = µ´α r + µα
Si todas las estrellas están es una misma región de modo que el ángulo subtendido
sol-estrellas es el mismo, así como su paralaje, se puede suponer que µα será la
misma para todas las estrellas.
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En ese caso, podemos sumar todas las contribuciones de las estrellas:
µα 1 + µα 2 + µα 3 + L µ´α N = ( µ´α 1 + µ´α 2 + µ´α 3 + L µ´α N ) + Nµα
Debido a la naturaleza aleatoria del movimiento, la cantidad entre paréntesis debe
ser prácticamente cero. De manera que:
µα =
( µα 1 + µα 2 + µα 3 + L µ´α N )
N
De manera similar se obtiene para el movimiento propio en declinación de un
conjunto de estrellas
µδ + µδ 2 + µδ 3 + L µ´δ N )
µδ = 1
N
Usando el mismo procedimiento, suponemos que la velocidad solar es V, y su
componente radial Vcos Φ. Esta velocidad produce en cada estrella de una región,
un movimiento paraláctico propio -Vcos Φ. Si Vr es el movimiento radial
observado de la estrella y V´r el movimiento en su propio espacio de velocidades
tendremos que:
Vr = V ´r −V cos Φ
Sumando para todas las estrellas en una región:
V 1 + V 2 + V 3 + L V N = V ´1 + V ´ 2 + V ´ 3 + L V ´ N − NV cos Φ
y así:
V =
V1 + V2 + V3 + LV N
N cos Φ
Encontrándose un valor de 19 km/s para el sol respecto a las estrellas del grupo
local.
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2.2.3. Rotación Galáctica
Partimos de la base de que la galaxia tiene pues una estructura espiral y que hay
equilibrio y simetría axial. Verdaderamente los brazos espirales no muestran tal
simetría, pero estos están principalmente formados por estrellas jóvenes y brillantes
y gas, que sólo son un tanto por ciento pequeño de la masa total de la galaxia, de
manera que podemos suponer que la mayor parte de la galaxia, formada por
estrellas viejas presenta simetría axial y que están actualmente en equilibrio.
La forma de la Galaxia sugiere que esta está en rotación alrededor de su núcleo.
Existen evidencias observacionales de que esto es así, como puede comprobarse al
ver el movimiento circular que tienen las estrellas cercanas al sol alrededor del
centro de la galaxia.
Supongamos que, bajo la acción gravitatoria de las estrellas que hay en la parte
interna de las galaxias, las estrellas de la vecindad solar rotan, moviéndose en
órbitas circulares de manera que tenemos el esquema siguiente, en el que dibujamos
como vectores las velocidades de rotación.
o Primero calculamos las velocidades relativas respecto al Sol. Las que están más
cercanas al centro tendrán mayores velocidades y las más lejanas tendrán
velocidades menores.
o A continuación calculamos las distintas componentes de esta velocidad respecto
al sol. Las velocidades relativas serán cero para aquellas estrellas que estén a la
misma distancia galactocéntrica que el sol, mientras que serán positivas para las
internas y negativas para las externas.
o En el último cálculo, obtenemos la componente radial de cada una de estas
velocidades en dirección heliocéntrica.
o Si se puede observar este esquema de velocidades eso significa que la
galaxia rota.
Las velocidades proyectadas sobre las direcciones
heliocéntricas implican que algunas estrellas
se acercan en algunos casos, y se alejan en otros,
siguiendo el esquema final.
Así, el método observacional nos permite
comprobar que la galaxia rota con una velocidad
de 220 km/s y un periodo T = 240 millones de
años. El sol ha dado unas 20 vueltas alrededor
del centro de la galaxia desde que nació hace
unos 5000 millones de años.
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
Con estos métodos se han determinado las velocidades de rotación y dispersiones
de velocidades de las estrellas de la galaxia y se ha comprobado que ambas cosas
están correlacionadas con el tipo de población y con su posición en la galaxia, así
como con su abundancia
2.2.4. Campos de velocidades de los discos de las galaxias
Los discos galácticos se modelan como anillos circulares concéntricos. Si V es la
velocidad angular del anillo y r el vector que va hasta el centro, siendo n el vector
unitario normal a éste, la velocidad de rotación es:
r
v
cuyo módulo es:
RRR
y su módulo está relacionado con la velocidad que se ve desde el sol, llamada
velocidad heliocéntrica o velocidad en la línea de visión
Donde Dónde R es el vector unitario desde el observador hacia la galaxia. En caso de ser
un disco plano, todas las direcciones n coinciden de manera que:
Vhel= W (r) sen i r k
siendo i la inclinación de la galaxia y k el vector unitario en dirección al eje mayor
del disco
r
r R × nr
k=
seni
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
El contorno de velocidades que se observa debido a una curva de rotación
normal de una galaxia espiral es un diagrama de araña
2.3. El uso de la línea de hidrógeno de 21 cm.
El método más habitual para obtener curvas de rotación es a través de la línea del H
neutro que tiene una λ de 21 cm (ν = 1428 MHz). Esta es una transición prohibida del
átomo de hidrógeno entre los niveles F=1 y F=0 del estado fundamental. Es una
transición dipolar magnética con un coeficiente A21= 2,84 10-15, es decir, con una
probabilidad baja de ocurrencia, y una vida media de 2,35 1014s= 1,1 107 años, de
manera que solo va darse por colisiones que se realizan a expensas de la energía interna
del medio interestelar.
La temperatura de excitación está definida por la ecuación:
N2 g2
 − hυ 
exp
=
,
N 1 g1
 KT 
c2
, lo cual implica que:
de manera que el coeficiente: B21 = A21
2hυ 3
N
K L = 2,5810 −15
T
esta línea tiene un ensanchamiento por efecto Doppler, de manera que lo que se
observa es un rango en la temperatura de brillo, directamente relacionado con la
frecuencia de la transición:
Ic 2
TB =
⇒ ∆TB = 5,44 ⋅ 10 −4 N H (υ )
2
2κυ
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
El gas neutro está distribuido por toda la galaxia y se ha detectado a distancias mucho
mayores que las que definen los discos ópticos de las galaxias. Usando el efecto
Doppler que cambia la λ (ο ν) de la línea cuando hay movimiento, se calculan las
velocidades. Imaginemos una serie de nubes de HI que están en la misma línea de
visión desde el Sol pero a distintas distancias. Imaginemos cómo podemos calcular
estas velocidades y como obtenemos así una V(R):
Si vemos el esquema siguiente podemos ver como una
serie de nubes, en una misma dirección heliocéntrica,
va a dar una cierta velocidad cada una de ellas
que va a ensanchar la línea dando lugar a algo
parecido a la figura mostrada abajo:
2.3.1. Como extraer información de los perfiles de las líneas.
Se deben seguir 5 pasos:
•
•
•
•
•
Aislar la línea del continuo
Asignar una velocidad a cada frecuencia
Integrar sobre todas las frecuencias para calcular la masa de gas atómico
Construir mapas de densidad y de velocidad
Calcular la dispersión de velocidades
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
Existen algunos factores de incertidumbre en estas estimaciones:
•
•
•
•
Cualquier desviación a gran escala de la velocidad circular
Desviaciones locales sistemáticas respecto a la rotación general
Ambigüedad en la conversión de la velocidad radial en distancia cerca
del centro galáctico
Movimientos aleatorios dentro de las propias regiones de HI
2.4. Curvas de Rotación
Con el método descrito es fácil calcular las curvas de rotación de las galaxias
espirales. Se conocen miles de curvas de rotación de galaxias espirales. Como resultado
general se obtiene que V(R) sube rápidamente y luego se mantiene aproximadamente
constante hasta largas distancias, mayores que los diámetros ópticos. La pendiente de
crecimiento y el valor al que finalmente la velocidad se mantienen constante dependen
del tipo de la galaxia siendo mayores para galaxias de tipo temprano y menores en las
galaxias de tardía.
Persic, Salucci & Steel (1996) observaron 1100 espirales obteniendo la curva de
rotación de cada una de ellas. Estas curvas las normalizaron y obtuvieron una expresión
empírica que ajustaba a todas ellas. A esta expresión la llamaron curva de rotación
universal puesto que describía todas las curvas con un único parámetro, la luminosidad
de la galaxia V(R)=f(LB)
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
Debido a la poca resolución de las curvas de rotación obtenidas con HI algunos
astrónomos han comenzado a medir con otras líneas, como Hα o CO, esto es útil
cuando se quiere mas resolución aunque no se llega tan lejos. Estas curvas son mucho
más detalladas y útiles para las partes internas de los discos dónde la velocidad aumenta
mucho más rápidamente de lo que parecía en las curvas de HI, pero sigue habiendo un
aumento hasta llegar a una zona casi plana.
A veces hay también un máximo brusco en el centro, que se interpreta como un
agujero negro central. Sin embargo, si se normalizan estas curvas, también se
obtiene la misma forma para todas ellas. De manera que aunque la expresión de la
Curva de rotación universal no sea enteramente válida, el concepto si puede serlo,
aunque tal vez haya más de un parámetro
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2.5. Distribuciones de masa en galaxias espirales: modelos de masas
El potencial gravitacional está determinado por la masa que hay en un sistema y las
características cinemáticas de éste vienen asimismo definidas por ese potencial. A partir
de las velocidades y dispersiones de velocidades de las galaxias podemos estimar sus
masas. El problema es que no puede hacerse este cálculo directamente, es necesario
usar hipótesis o parámetros libres: Modelos. Un modelo de masa consiste en calcular la
distribución de densidad de cada componente de la galaxia para determinar la
distribución total de masa.s de
•
Para ello, se usan los datos que dan información sobre las fuerzas gravitatorias
combinadas de estos componentes, y se calculan las distribuciones de densidad que
optimicen el acuerdo entre las predicciones cinemáticas del modelo y las observaciones.
Estos modelos pueden ser muy simples o muy complicados dependiendo del número de
componentes que se incluyan. Así los primeros cálculos de masas de galaxias se hacían
con dos componentes, el disco estelar y el gas. Y, sin embargo, en 1998, hubo
científicos que presentaron modelos con 5 componentes: 2 discos estelares, un disco de
gas, un bulbo y un halo
Existen varios métodos para estimar las masas de las galaxias:
•
•
•
•
Métodos de cuentas de estrellas en los que, a partir de las distribuciones
de luminosidad se estima el número de estrellas necesarias para
reproducirlas. Se usa para analizar los datos de los satélites de nuestra
vecindad solar
Métodos cinemáticos que se basan en el análisis de los movimientos
propios de las estrellas. Se necesitan modelos que predigan la
distribución de velocidades de cada punto de la galaxia, además de la
densidad de número de estrellas. Difíciles de construir pues hay que dar
el campo de velocidades completo.
Modelos dinámicos que resuelven el teorema de Jeans
Modelos de partículas que resuelven las ecuaciones hidrodinámicas de
los fluidos
Todos los modelos deben ajustarse a unos ciertos datos observados. Por ejemplo,
para el caso de la Vía Láctea, que es para la que disponemos de mayor número de
observaciones, serán:
1) Las velocidades de rotación (220 km/s en el sol)
2) Las constantes de Oort (relacionadas con la vel angular Ω )
3) La densidad total de masa de la vecindad solar (71 Msol/pc2)
4) La densidad de masa estelar en la vecindad solar (40 Msol /pc2)
5) La masa total estimada de la galaxia completa (7.1011Msol)
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Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
1. El modelo más simple es considerar la galaxia como una masa puntual y
rv 2 (r )
= 2.32 10 5 rv 2 (r ) si se pone r
entonces, por la dinámica clásica: M (r ) =
G
en kpc y v en km/s. Este método da una masa M=1.5 1011 Mo para la galaxia y
constituye probablemente un límite superior.
2. El siguiente método en simplicidad es considerar un esferoide homogéneo. Se
obtiene entonces:
av 2 (a )
Gα
siendo a el semieje mayor de la galaxia, c el menor y α un parámetro en c/a
M (r ) =
En el interior de un esferoide homogéneo, la masa contenida en esferoides
semejantes, (con el mismo cociente c/a) es:
4πρ c 3
M (r ) =
r
3 a
 4πρGα c 
y v(r ) = 

c
 3
1/ 2
r
Es decir, si la distribución de masa se representa mediante un esferoide
homogéneo, la curva de rotación es lineal, la galaxia se comporta como un sólido
rígido. Este método permite estimar la densidad de la galaxia en ρ=3.6 10-2 Mo/pc3.
El método puede extenderse a varios esferoides homogéneos o a una masa puntual
más varios esferoides homogéneos.
3. Los modelos más realistas consideran esferoides inhomogéneos. Uno de los
modelos más útiles es el modelo de Schmidt en que una masa puntual se
complementa con un esferoide inhomogéneo. Según este modelo la densidad es
constante en una envoltura esferoidal pero varía de envoltura a envoltura. La
ecuación para una envoltura sería:
R2
z2
+
=1
a 2 a 2 (1 − a 2 )
siendo c(a)/a=(1-e2)1/2 y e=c/a
El desarrollo del modelo requiere el ajuste de la curva de rotación observada a la
distribución teórica. La aplicación a la galaxia da una Mc=0.075 1011Mo y una
densidad r = ((3.93/a)-0.0249a)Mo/pc3 con los parámetros c(a)/a=0.05 y e=0.9988
T2-13
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
Por tanto, para este modelo, la concentración de masa en el centro Mc no es muy
alta y el esferoide tiene una gran excentricidad, es decir, es una buena
aproximación a un disco galáctico. La masa total estimada por este método es
M=1.9 1011Mo
De manera que para galaxias muy achatadas parece que este método es una buena
aproximación.
4. Aproximación de disco plano de Brandt y Belton:
Si las curvas de rotación ajustadas a las velocidades medidas se usan directamente
para determinar las distribuciones de densidad, en realidad calculamos solo dichas
distribuciones en la parte de la galaxia interior al último punto medido. La
determinación de la masa será buena si la curva de rotación ha alcanzado un
máximo. Pero a veces la curva termina en un punto en el que la densidad es aún no
despreciable y hay que extrapolar la curva. En ese caso es conveniente usar:
3/ n
2
 3  Vmax Rmax
MT =  
G
 2
que es la manera clásica de determinar masas de galaxias
5. Métodos de descomposición de masas
Hoy en día el método más usado en descomponer la curva en las componentes
procedentes del disco, del bulbo y del halo por separado. Es decir, se parte de la
hipótesis de que hay varias componentes y que cada una aporta una parte a la curva
de rotación
•En caso de que haya un disco, un bulbo y un halo:
V2= Vd(gas+ estrellas)2+ Vb2+Vh2
•La componente de gas se calcula a partir de la propia distribución de H
neutro (estimando también un % --1.41--de gas molecular y de helio)
•La componente disco se estima a partir de las distribuciones de brillo
superficial, suponiendo una M/L dada
•La componente halo será lo que falte, por tanto, el parámetro libre
Existen dos métodos de ajuste clásicos:
1) El disco máximo, que intenta hacer que el disco produzca toda la
velocidad posible y lo que falte se achaca a una componente halo. O sea, que
se supone que la contribución del disco a la curva de rotación es la máxima
posible, es decir, que se alcanza la velocidad máxima, y el halo sólo servirá
para cubrir la parte que falta para que la curva no decrezca luego.
T2-14
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2) El ajuste por mínimos cuadrados, es decir, el que usa métodos de
optimización. Por ejemplo, para la galaxia, NGC 598 ajustada con un
método de mínimos cuadrados, tenemos:
–Vd(x)=G Md/Rd x2 B(x/2), siendo B(x)=I0K0-I1K1 y x=R/Rd
–Se transforma en Vd(y)=V2(1)βd(1) y2(B(1.6y)/B(1.6)), y=R/Ropt
–Se calculan
2
ω
obs
j
=
V 2 ( y j ) − Vg ( y j )
V 2 (1)
y
ω
mod
j
=
[(1 − β
g
]
(1) − β d (1) (1 + a )
2
y 2j
y +a
c
j
2
+ β d (1)
B (1.6 y j )
B (1.6)
y 2j
finalmente se optimiza χ2
Obviamente los resultados no serán iguales como podemos mostrar en la
figura
T2-15
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2.6. Dispersión de velocidades: el teorema del virial
El teorema del Virial se aplica cuando tenemos un sistema de N partículas cuyo
momento de inercia sería:
N
N
i =1
i =1
I = ∑ MiRi 2 = ∑ Mi ( xi2 + y i2 + z i2 )
después de una escala de tiempo dinámico, la primera derivada se hace cte, y la
segunda, por tanto será 0:
•
N
•
•
•
••
I = ∑ Mi(2 xi xi + 2 y i y i + 2 z i z i ) ⇒ I = 0 ⇒
i =1
•
N
• 2
•2
••
••
••
1 •• N
2
I = ∑ Mi ( xi + y i + z i ) + ∑ Mi ( xi x i + y i y i + z i z i ) = 0
2
i =1
i =1
El primer término es = sumatorio de Mi Vi= 2T, mientras que el segundo es un
sumatorio de R por una fuerza total F. Y esto da la energía del sistema:
1 ••
1 ••
I = 2T + W = 0 y promediando
I = 2 T + W = 0 es decir, la energía total del
2
2
sistema es cero.
Para una galaxia en equilibrio compuesta de estrellas se puede aplicar el teorema del
Virial según el cual: 2T+ Ω =0
Ahora bien
2T=M<V2>
y
Ω2= Σmivi2
M (r )
dM = −0.33GM 2 / Re
r
si la galaxia no rota, cómo es el caso de las galaxias elípticas.
Por otra parte
Ω = −G ∫
Las velocidades por su parte se supone que siguen una distribución de velocidades
isotrópica y gaussiana. Por tanto, la fracción de estrellas con velocidades entre vr y
vr+dvr viene dada por:
1
2
Φ (v r )dv r =
exp(−v r / 2σ r2 )dv r
1/ 2
(2π ) σ r
siendo σ=<V2>1/2
Combinando esto con el teorema del Virial, tenemos que
T=
1
βM v 2
2
siendo β un parámetro que depende de la geometría de la galaxia, y, por tanto:
T2-16
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
3σ r R (1 + β )
2 1+ β
= 7 10 9 Rσ r
Mo
αG
α
estando R en kpc, y σ en unidades de 100 km/s.
2
M =
El parámetro β se introduce para tener en cuenta que las galaxias elípticas aunque
despacio también rotan y tienen un término rotacional. A veces se ha observado
rotación en los centros de las elípticas del orden de 50 km/s aunque no hay evidencia de
rotación en las partes externas. Parece que, desde el punto de vista teórico, β=8ε/(5-8ε),
siendo ε=1-b/a y b y a los semiejes de la galaxia. Esta expresión da para una galaxia E2
como M32, que tiene ε=0.2, un valor de β=0.74
El parámetro α=0.33 en galaxias EO, donde R sería el radio mitad, R1/2, pero podrá
ser diferente dependiendo de la elipticidad en otras galaxias. Hay, además, otras
modificaciones que hacer, pues hay que multiplicar el término Ω por (a/b)2/3, y es
necesario sustituir R1/2 por R´1/2 que se mide en el eje menor. Finalmente se tiene:
a
Ω = −0.35 
b
2/3
M 2G
R ´1 / 2
Las masas de galaxias elípticas estimadas con este método van desde 3.6 1010 Mo a
3.5 1012 Mo para galaxias EO.
Existen varios métodos para determinar velocidades y dispersiones, uno de los más
generales es el método de las correlaciones cruzadas que es válido para galaxias
externas. Según este método, se parte de un espectro observado G(λ) y otro de una
estrella a velocidad cero (template), S(λ).
estrella
estrella
galaxia
T2-17
Donde:
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
A continuación se hace:
∞
c(n) = S (n) ⊗ G (n) = ∫ T (m)G (m + n)dm
−∞
siendo
n = c log λ
∞
G (n) ≈ b(n − δ ) ∗ S (n) = ∫ b( x − δ ) S (n − x)dx ⇒
−∞
C (n) = b(n − δ ) ∗ [S (n) × S (n)]
La correlación cruzada entre los dos espectros produce una función con un máximo y
una anchura que están directamente relacionados con la velocidad y la dispersión de las
estrellas que producen el espectro
galaxia
A partir de las correlaciones cruzadas se obtienen V y σ, no sólo para las galaxias
como un todo sino también en función de la posición. Las distribuciones de velocidades
en las galaxias elípticas están razonablemente bien descritas con gaussianas. Se puede
observar que:
• Hay simetría alrededor del centro
• El gradiente cambia cuando pasa por él, parece que hay rotación
alrededor del eje menor lo cual es consistente pues sin rotación serían
esféricas
T2-18
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
El grado en que el sistema está achatado está determinado por el balance
entre la V de rotación y la dispersión, que representa el movimiento
aleatorio o lo que es lo mismo, por V/σ. Se
•
define entonces
En realidad las galaxias parecen estar más achatadas de lo debido a sus velocidades
de rotación. Se puede calcular con un modelo cuanto debe ser la elipticidad para cada
valor V/σ. Se define luego (V/σ)e=Vmax/σ0/(Vmas/σ0)modelo de modo que si esto vale 1
quiere decir que el achatamiento se debe solo a rotación y si es menor que uno se debe a
otra cosa. Las más luminosas tienen valores menores de 1, solo las intermedias tienen
valores de la unidad.
•
2.7. Otros métodos de determinación de masas de galaxias
2.7.1. Masas de galaxias dobles
Los métodos usados para medir masas de estrellas binarias se pueden adaptar para
medir masas en pares de galaxias. Partimos de que solo podemos medir las
velocidades radiales y la separación angular proyectada entre las galaxias. Si esta
separación es menor de 0.2Mpc se cree que pueden ser pares. Si la velocidad es de
unos 200 km/s y la separación es de unos 0.15 Mpc, el periodo orbital es de unos 5
109 años, la edad del sol.
Supongamos un par de galaxias separadas una distancia a y un observador en la
dirección (π/2-φ, π/2-Ψ) de manera que la separación proyectada es a0=acos φ.La
deferencia de velocidades entre las galaxias será ∆v=vcosφ cosΨ. Si las masas de
las galaxias son M1 y M2, y como la fuerza centrípeta y la gravitacional serán
iguales:
M 1M 2 v M 1M 2
=
G
M1 + M 2 a
a2
y así:
M1 + M 2 =
(∆v )2 a
G
0
sec 3 φ sec 2 ψ
Si las galaxias están aleatoriamente orientadas en relación con el observador:
dΩ
3
2
∫ sec φ sec ψ 4π = 0.29
y así: M 1 + M 2 = 0.29
2.7.2. Masas de galaxias en cúmulos
T2-19
(∆v )2 a
G
0
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
Cuando se observan grandes regiones se ve que la mayoría de las galaxias están
en cúmulos con 100 o 1000 miembros. El contraste de densidad entre el cúmulo y la
zona circundante sugiere que están gravitatoriamente ligadas, de manera que, si
están en equilibrio, podría usarse también el teorema del Virial. La técnica es
similar a la usada en galaxias elípticas:
1
2
M i vi siendo Mi la masa de cada galaxia y vi la velocidad respecto al
∑
2 i
centro del cúmulo, que será vri en la línea de visión.
T=
La energía potencial del cúmulo es:
1
2
Ω = −
∑
M iM jG
r ij
i≠ j
siendo rij la distancia entre cada dos galaxias i y j. La distancia observada será
(rij)0= rijsenθ de manera que sustituimos rij por (rij)0 usando lo siguiente:
1
r0
=
1
rsen θ
1
r
=
∫
π
sen θ d θ d φ
2π 2
=
=
4π sen θ
4π r
2r
y así:
3∑ M i v ri
i
2
=
MiM jG
2
∑ (r )
π
i≠ j
ij 0
Las masas promedios de galaxias usando este método son sistemáticamente más altas
que las estimadas por pares, o con dispersión de velocidades o con curvas de rotación.
Por ejemplo, en el cúmulo de Virgo la media de masa es 3 1012 Mo y en el cúmulo de
Hércules es 1012 Mo, como 10 veces mayor que los valores dados antes. Hay dos
posibles explicaciones: a) que los cúmulos tienen más masa adicional que no está en
forma de galaxias pero que hacen su efecto gravitatorio, b) los cúmulos no son sistemas
ligados en cuyo caso las hipótesis usadas no son válidas y habría menos masa.
2.8. Relación de Tully-Fisher
Tully-Fisher analizaron una muestra de galaxias conocidas y vieron que la magnitud de
la galaxia está directamente relacionada con la velocidad de rotación: L α Vc4 , o lo
que es lo mismo, la magnitud M α –10 log Vc.
T2-20
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
Esta relación puede calibrarse para obtener la distancia de una galaxia a partir de su
magnitud y su velocidad de rotación.
Esta relación ha sido medida posteriormente para todo tipo de galaxias y cúmulos de
galaxias y para diversas bandas. Es la banda I es dónde la dispersión es menor.
Example relation between rotational velocity and I-band luminosity for a large sample of spiral
galaxies from Dell'Antonio et al. (1996). The slope of the line is -8.4, which is close to the
expected slope -10 relation derived from the Virial Theorem. The X-axis is the log of the line
width where zero corresponds to log = 2.5 (~ 300 km/s).
T2-21
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2.9. Relación M/L. La masa oscura
Además de esta posible masa adicional en cúmulos, se vio pronto con las curvas de
rotación de galaxias espirales que no tenían la forma que uno esperaría de un disco
exponencial como el observado en galaxias espirales.
Haciendo cálculos teniendo en cuenta que una densidad exponencial de un disco se
puede escribir con una integral de Bessel y usando el potencial gravitatorio y la
ecuación de Poisson, se puede estimar que esta curva debía seguir esta expresión:
V2(R)= π G µ0 Rd R2(I0K0-I1K1)
(I0 e I1 son integrales de Bessel)
Es decir, que las curvas de rotación muestran un rápido aumento y luego una región
de estabilidad que, según los datos de las líneas de HI, resulta que alcanza radios muy
grandes, sin llegar a decaer como se esperaba. Esto quiere decir que existe una
componente de masa oscura, no visible que, sin embargo, está actuando
gravitatoriamente. Al principio se pensaba que estas curvas de rotación planas debían
estar mal, ya fuera porque el gas no estaba en equilibrio (si por ejemplo es infall gas que
cae) o por la existencia de barras (en el interior de los discos) que impiden el adecuado
modelado o hacen inútiles las hipótesis usadas. Pero después de un gran número de
observaciones (miles de galaxias con curvas de rotación) parece evidente que, salvo
casos excepcionales con distorsiones en la curva o decaimientos debidos a interacciones
T2-22
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
con otras galaxias, en general, las curvas de rotación son planas en sus partes externas.
Esta masa oscura se suele caracterizar a partir de la relación M/L de las galaxias.
Así, por ejemplo, dentro de la vecindad solar, el valor de M/L, determinado a partir
de la relación M/L de cada grupo estelar y la función de luminosidad. Se encuentra que
este valor está entre 1.1 y 2.4. En la Vía Láctea, usando la curva de rotación este valor
es de 70 aprox.
En las galaxias espirales solo se puede calcular hasta el radio óptico en general, dando
valores entre 1.2 y 12. Existe una tendencia a encontrar valores más altos para las
galaxias de tipo tardío que para las galaxias de tipo temprano.
En galaxias elípticas se han encontrado valores de M/L entre 5 y 10. Además este
cociente depende de la luminosidad de la galaxia a través de la relación de Faber &
Jackson: σ α LB1/4 y M/LB α LB-1/2. En cuanto a más allá de los radios de Holmberg, la
evidencia no es total, pero parece que existen envolturas oscuras alrededor de ellas con
M/L=100.
Los análisis tradicionales de grupos pequeños de galaxias dan valores entre 30 y 260,
mientras que si los grupos son compactos es menor de 30. Para el grupo Local es > 60,
así que la mejor estimación media es de M/L=30
Para el cúmulo de Virgo estos valores son de 100 y hasta de 500 para el cúmulo de
Coma. Pero en estos casos hay un factor de incertidumbre de 3 al aplicar el teorema del
virial.
Resumiendo:
•
•
Desde que se han tenido estimaciones de la masa y a la vez de la luminosidad, se
han obtenido valores de M/L.
Los datos disponibles apoyan la existencia de altas relaciones M/L que pueden
llegar a ser tan altas como 325 en cúmulos de galaxias. Por tanto, la existencia de
masa oscura en el universo parece bien establecida.
• Estos valores varían:
–de galaxia a galaxia según el tipo de Hubble, siendo mayor para las
galaxias tardías
–dentro de la misma galaxia a lo largo del radio: son mayores para radios
externos
– según el modelo que se use...
T2-23
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2.10.
•
Posibles componentes para la masa oscura
¿Cómo podemos determinar sus propiedades, hipótesis de partida, la forma de la
distribución?
Existen varias hipótesis o explicaciones para explicar la masa oscura:
•
•
•
•
•
Existe algún tipo de materia que no ve (masa oscura) pero bariónica: gas, enanas
marrones, planetas, etc.
Esa materia oscura es en realidad gas molecular frío que no puede detectarse
Existe algún tipo de materia que no ve (masa oscura). Y, además, es no
bariónica: relación con las abundancias primordiales
La masa oscura no bariónica procede de los cálculos hechos con las teorías del
Big Bang y de la nucleosíntesis primordial que predicen una densidad de masa
total que es 100 veces la observada en materia luminosa
Teorías Mond
T2-24
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2.10.1. El halo bariónico isotermo
En principio esta distribución se tomaba como un halo isotermo. Aplicando la
teoría de la descomposición de curvas de rotación se obtiene también la
distribución de este halo. Existe una relación entre el halo y la distribución estelar
del disco. Esto llevó al hecho de que los discos debían formarse dentro de dichos
halos, y sus características están definidas por ellos incluso antes de la formación de
estrellas. Parece que hay una relación con el tipo de Hubble. Las nuevas teorías de
formación de galaxias parecen mostrar halos más concentrados de los observados.
Normalmente suponiendo que
V 2 = Vd2 + Vh2
y que
r2
V =V β 2
Ropt
2
d
2
opt
( I 0 K 0 − I1 K1 )(1.6 r
Ropt
( I 0 K 0 − I1 K1 )(1.6)
El halo se supone distribuido esféricamente con
T2-25
)
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
2
Vh2 = Vopt
(1 − β )(1 + a 2 )
x2
x2 + a2
donde
V 2 
β =  d  ⇒
 V2  R
opt
Por tanto:
Mh =
1 2
Vh f ⋅ r
G
Md =
1 2
Vd f ⋅ r
G
y
de modo que minimizando
χ =∑
2
(Vi − Vmod ) 2
σ i2
se obtiene que
ρ (r ) =
ρ 0 r03
(r + r0 )(r 2 + r02 )
Es decir, parece que hay una cierta conspiración halo-disco, pues se ajustan de tal
manera que existen galaxias donde la curva de rotación es prácticamente plana a
grandes radios. Por otra parte, en las galaxias de tipos de Hubble temprano, dicha
curva decae a grandes radios como estaba esperado. Parece así que la masa oscura
debe ser bariónica. Aquellos modelos en los que la materia oscura se supone
acoplada a la masa visible predicen ajustes excelentes a las curvas de rotación
En este caso
1
 M (r )
 M (r )  2 
V = G 2 + Γ 2   r
r
 r  

2
c
de manera que
Md
= γM (r )
r
T2-26
Tema 2. Cinemática y dinámica estelar. Masas de galaxias
y
que es justo el valor estimado por Freeman
σγ ≡
γ
2
Π
= 210 M Θ / pc 2 ⇒
2.10.2. Teorías Mond
Son teorías empíricas según las cuales la relatividad produce una aceleración, que
debe incluirse en la expresión de las curvas de rotación, de manera que no es masa
lo que hace que sean planas. Es una Teoría fenomenológica que predice una
dinámica newtoniana modificada. La idea es que existe una aceleración crítica a0 de
manera que la aceleración de la gravedad g= gNa0, siendo gN la gravedad
newtoniana. A altas aceleraciones g=gN. A bajas aceleraciones se notará su efecto,
por ejemplo en las curvas de rotación.
Se han hecho comprobaciones de estas teorías en diversos aspectos y resulta que
reproducen un gran número de observaciones:
–Relación de Tully-Fisher
–Curvas de rotación de galaxias HSB y LSB
–La relación de la fracción de gas con L y brillo
–Otras correlaciones a lo largo de la secuencia de Hubble
T2-27