Download UNIDAD DIDÁCTICA 8: Funciones II ÍNDICE 1. Funciones

Unitat d’accés
Unidad de acceso
accés a la universitat
dels majors de 25 anys
acceso a la universidad
de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
UNIDAD DIDÁCTICA 8: Funciones II
ÍNDICE
1.
2.
3.
4.
5.
Funciones polinómicas
Funciones trigonométricas
Función exponencial
Funciones logarítmica
Función logarítmica y su inversa, la función exponencial
INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL
ESTUDIO
En esta unidad introducimos la representación de las funciones polinómicas de
grado menor o igual que tres, de las funciones trigonométricas básicas, es decir, la
función seno, coseno y tangente. Así como, la representación gráfica de las funciones
exponencial y logarítmica.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Estudiar en general las propiedades y características de las funciones
polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Llegar a reconocer las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor o
igual que 3. Se pretende que observando el polinomio y sus coeficientes se
determine qué forma tiene la gráfica, sin necesidad de acudir a la tabla de
valores.

Identificar, construir y representar las funciones trigonométricas

Conocer la definición de las funciones exponenciales y logarítmicas
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
1. Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas son funciones reales de variable real, cuyo dominio es el
conjunto de todos los números reales y cuya imagen es un subconjunto de los
números reales o el conjunto de los números reales, dependiendo del grado del
polinomio y del valor de los coeficientes. A continuación detallamos el caso de las
funciones polinómicas de grado menor o igual que tres. Así como las características
fundamentales para la representación de dichas funciones.
Unidad 08: Funciones II
Página 1 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
1.1. Representación de funciones polinómicas de grado uno
Las gráficas de las funciones polinómicas de grado uno son de la forma f(x)=ax+b,
como estudiamos en la unidad didáctica 5, son rectas, si la pendiente a>0 son
crecientes y si a<0, son decrecientes. El coeficiente b nos da un punto de la recta: el
punto de corte con el eje y. Por tanto, el coeficiente de x, a, determina, salvo
traslación, la gráfica de f(x)=ax+b.
Recuerda, antes de nada, que para dibujar una recta nos sobra con conocer dos puntos
de ésta. Utilizaremos esta propiedad para representar una recta.
En general los pasos que podemos seguir para representar una función de grado 1,
f(x)=ax+b, son los siguientes:
1. Determinar el punto de corte con el eje de ordenadas y. Punto de coordenadas
(0; b).
2. Determinar el punto de corte con el eje de abscisas x. Punto de coordenadas
 b

  ; 0 .
 a

3. Trazar la recta que pasa por los dos puntos anteriores.
Unidad 08: Funciones II
Página 2 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
Ejemplo:

f(x)=-2x-3


Unidad 08: Funciones II
f(x)=5x-3
f(x)=3x+4
Página 3 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
1.2. Representación de funciones polinómicas de grado 2
Las funciones polinómicas de 2º grado f(x)=ax2+bx+c representan parábolas cuyo
eje de simetría es paralelo al eje y. Son valles, si a>0, y montañas, si a<0; a
determina la concavidad de la parábola. Entre b y a se halla el eje de simetría: x=
-b/2a. Por otra parte c nos da el punto de corte con el eje y, es decir, el punto de
coordenadas (0,c).
Adicionalmente, no es muy complicado obtener los puntos de corte del polinomio
de grado 2 con el eje X. Para ello bastaría con resolver la ecuación ax2+bx+c=0, que
como aprendimos en la Unidad 1 tiene raíces de la forma:
Ejemplo:
f(x)= 2x2+4x-1
Unidad 08: Funciones II
f(x)= -x2+2x+2
Página 4 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
1.3. Representación de funciones polinómicas de grado 3
Las cúbicas: f(x)=ax3+bx2+cx+d son como sillas, unas con el asiento hundido y
otras sin hundir, podemos observar que el signo de a decide si el respaldo de la silla
está a la derecha o a la izquierda y todas son simétricas respecto del punto en el que
la x vale -b/3a, punto de inflexión.
En este caso, NO basta con el coeficiente a del máximo grado para saber la forma de
la función, tal y como ocurre con las gráficas de las funciones polinómicas de menor
grado. Para polinomios de grado 3 se necesita estudiar el signo de b2-3ac.
Ejemplo:
f(x)=x3-x2+x-2
Observa
que f(x)=-x3+3x2-1. En este caso a=-1<0 y
a  0 b 2  3ac  0 , d=-2 y –b/3a=1/3
b 2  3ac  9  0 , d=-1 y –b/3a=1
Unidad 08: Funciones II
Página 5 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
2. Funciones trigonométricas
En la unidad didáctica 6 estudiamos cómo obtener el seno, el coseno y la tangente de un
ángulo. En esta unidad vamos a estudiar las representaciones gráficas de las funciones
seno, coseno y tangente.
2.1. Función seno
Se llama función seno a la aplicación que asigna al número real x, el número real
seno de x. El dominio de la función seno es el conjunto de todos los números
reales (R) y su imagen es el intervalo [-1,1]. Puesto que una vez que hemos dado
una vuelta completa a la circunferencia, el valor del seno de un ángulo se repite, se
dice que la función seno es una función periódica de período 360o o 2 radianes
(función periódica con período de ángulo completo).
En el gráfico siguiente, el eje X está expresado en radianes (360o = 2 rad).
Grados ‐30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 Ángulo x radianes ‐ 1/6  ‐0,5235987 0 0 1/6  0,52359878 1/3  1,04719755 1/2  1,57079633 2/3  2,0943951 5/6  2,61799388 1  3,14159265 7/6  3,66519143 8/6  4,1887902 9/6  4,71238898 10/6  5,23598776 11/6  5,75958653 2  6,28318531 13/6  6,80678408 14/3  7,33038286 Unidad 08: Funciones II
Sin(x) ‐0,5 0 0,5 0,8660254 1 0,8660254 0,5 0 ‐0,5 ‐0,8660254 ‐1 ‐0,8660254 ‐0,5 0 0,5 0,8660254 Eje OX en grados
Página 6 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
2.2. Función coseno
Se llama función coseno a la aplicación que a cada número real x le asigna el
número real coseno de x. La función coseno, al igual que la función seno, tiene
como dominio el conjunto de los números reales (R) y como imagen el intervalo
[-1,1]. Análogamente, es una función periódica de período 360o o 2 radianes (es
decir, también es función periódica de período de ángulo completo).
Grados ‐30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 Ángulo x radianes ‐ 1/6  ‐0,5235987 0 0 1/6  0,52359878 1/3  1,04719755 1/2  1,57079633 2/3  2,0943951 5/6  2,61799388 1  3,14159265 7/6  3,66519143 8/6  4,1887902 9/6  4,71238898 10/6  5,23598776 11/6  5,75958653 2  6,28318531 13/6  6,80678408 14/3  7,33038286 Unidad 08: Funciones II
Cos(x) 0,8660254 1 0,8660254 0,5 0 ‐0,5 ‐0,8660254 ‐1 ‐0,8660254 ‐0,5 0 0,5 0,8660254 1 0,8660254 0,5 Página 7 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
2.3. Función tangente
Se llama función tangente a la aplicación que asigna a cada número real x, el
número real tangente de x. En este caso, recuerda que la tangente de un ángulo se
puede definir como el cociente
sen( x)
, por tanto, el dominio de la función tangente
cos( x)
no es todo el conjunto de los números reales, pues no está definida para aquellos
valores en los que el coseno del ángulo vale cero. Es decir, el domino de la función
tangente es dom(tan( x ))  R  (2t  1)* 90, t  Z  si trabajamos en grados y


dom(tan( x))  R  (2t  1) *
2


t  Z  si trabajamos en radianes. Sin embargo la

imagen de la función tangente es todo el conjunto de los números reales (R).
Observa, utilizando la definición de tangente, así como la siguiente gráfica, que los
valores que toma la tangente también vuelven a repetirse. Es decir, esta función
también es periódica, pero en este caso de periodo 180 grados o  radianes.
Grados ‐30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 Ángulo x radianes ‐ 1/6  ‐0,5235987 0 0 1/6  0,52359878 1/3  1,04719755 1/2  1,57079633 2/3  2,0943951 5/6  2,61799388 1  3,14159265 7/6  3,66519143 8/6  4,1887902 9/6  4,71238898 10/6  5,23598776 11/6  5,75958653 2  6,28318531 13/6  6,80678408 14/3  7,33038286 Unidad 08: Funciones II
Tan(x) ‐0,57735027 0 0,57735027 1,73205081 ‐‐‐ ‐1,73205081 ‐0,57735027 0 0,57735027 1,73205081 ‐‐‐ ‐1,73205081 ‐0,57735027 0 0,57735027 1,73205081 Página 8 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
3. Función exponencial
La función exponencial es muy importante en matemáticas. Es la función con más
presencia en los fenómenos observables. Así presentan comportamiento exponencial: la
reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva,
algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado
a interés compuesto, etc.
Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde
la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x.
Además, asumiremos que la base de la potencia, a, es mayor estricto que cero y distinta
de uno.
Ejemplo: Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la
célula en dos cada espacio de tiempo muy pequeño, en algunos casos cada 15 minutos.
¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día?
Minutos
15
Nº Bacterias 2
30
45
60
x
4
8
16
2x
Siendo x los intervalos de 15 minutos, en una hora tendremos 24 = 16 bacterias, en dos
horas 28 = 256 bacterias,... en un día 224·4 = 296 = 7,9·1028 bacterias. Esto nos da idea del
llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy
deprisa.
La gráfica de la función exponencial de base 2 es la siguiente:
x y=2x ‐100 7,88861E‐31 ‐10 0,000976563 ‐6 0,015625 ‐5 0,03125 ‐4 0,0625 ‐3 0,125 ‐2 0,25 ‐1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 10 1024 100 1,26765E+30 Unidad 08: Funciones II
Página 9 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
A continuación representamos las funciones exponenciales de base 2 y de base 0.5 en
un mismo gráfico.
y=2x x ‐100 7,88861E‐31 ‐10 0,000976563 y=(1/2)x 1,26765E+30 1024 ‐6 0,015625 64 ‐5 0,03125 32 ‐4 0,0625 16 ‐3 0,125 8 ‐2 0,25 4 ‐1 0,5 2 0 1 1 1 2 0,5 2 4 0,25 3 8 0,125 4 16 0,0625 5 32 0,03125 6 64 0,015625 10 1024 100 1,26765E+30 0,000976563 7,88861E‐31 Del gráfico anterior podemos observar que la función exponencial satisface las
siguientes propiedades:
 El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los
números reales (R).
 En todos los casos, es decir, independientemente del valor de la base,
siempre pasa por un punto fijo, que es el punto de coordenadas (0,1).
 Su imagen son los números reales positivos (R+).
 La función exponencial es creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1.
En la siguiente gráfica se representan las funciones 2x y 3x en azul y la función y = ex en
verde. Quizás ya conozcas el número "e". Si no lo conocías, se trata de un número
irracional, por tanto con infinitas cifras decimales y no periódico, cuyo valor es
2,718281... en sus seis primeras cifras decimales.
La función exponencial que
tiene por base el número e
tiene un especial interés que
conocerás mejor cuando se
estudien los límites y los
logaritmos. Evidentemente
e>1, luego la función ya es
conocida.
Además
de
escribirse como y = ex ,
también se escribe como
y=exp(x), por tratarse de la
función exponencial más
utilizada.
Unidad 08: Funciones II
Página 10 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
4. Función logarítmica
La función logarítmica es muy importante en matemáticas. Constituye un poderoso
instrumento en la práctica del cálculo numérico. Por ser la recíproca de la exponencial,
esta función es una de las de más presencia en los fenómenos observables.
Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a"
es constante (un número positivo) y se denomina la base del logaritmo.
A continuación presentamos la gráfica de la función logarítmica de base a=2>1 y la de
base 0<a=1/2<1 para que observes las similitudes y las diferencias.
x y=log2(x) ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,125 ‐3 0,5 ‐1 1 0 2 1 4 2 6 2,5849625 8 3 16 4 128 7 x y=log1/2(x) ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,125 3 0,5 1 1 0 2 ‐1 4 ‐2 6 ‐2,584962501 8 ‐3 16 ‐4 128 ‐7 La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo
neperiano", tiene base a=e, y se simboliza normalmente como ln(x), (la función
logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x)).
Unidad 08: Funciones II
Página 11 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
y=ln(x) = loge(x) x ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,1 ‐2,30258509 0,5 ‐0,69314718 1 0 2 0,693147181 2,71828183 1 3 1,098612289 7,3890561 2 20,0855369 3 22026,4658 10 x y=log(x) ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,01 ‐2 0,1 ‐1 1 0 8 0,90308999 10 1 90 1,95424251 100 2 1000 3 100000 5 De las gráficas anteriores se puede observar las siguientes propiedades de la función
logarítmica:

Observa que la función existe sólo para valores de x mayores que 0, a diferencia
de la exponencial que existe para cualquier valor de x. (puedes utilizar la
calculadora para ver que el logaritmo de un número negativo ó 0 no existen).
Decimos por tanto que el dominio de la función logarítmica es R+ o el intervalo
(0, +∞)

Observa que en todos los casos la función pasa por un punto fijo (1,0)

Observa que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia
abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1.
Unidad 08: Funciones II
Página 12 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
5. Función logarítmica y su inversa, la función exponencial
En la siguiente gráfica se te presenta la función logarítmica de base "a" y la función
exponencial de la misma base (concretamente a=2).
Las funciones exponencial y logarítmica se dice que son una inversa de la otra.
Gráficamente se observa viendo que son simétricas respecto a la recta y = x, como se
ve en la gráfica anterior. Numéricamente se observa que, siendo f(x)=2x y g(x)=log2(x),
f(2)=22=4 y g(4)= log2(4)=2, f(3)=23=8 y g(8)= log2(8)=3, etc.
x
f(x)
g(f(x))
2
22=4
log2(4)=2
3
23=8
log2(8)=3
-2
2-2=0,25
log2(0,25)=-2
10
210=1024
log2(1024)=10
Unidad 08: Funciones II
Página 13 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
RESUMEN
 Representación de funciones polinómicas
o Grado 1 (rectas) f(x)=ax+b. Punto de corte con el eje de ordenadas
(0,b). Punto de corte con el eje de abscisas (-b/a,0).
o Grado 2 (parábolas) f(x)=ax2+bx+c.
a>0, valles y a<0 montañas. El eje de simetría tiene como coordenada
de abscisas x=-b/2a. El punto de corte con el eje de abscisas es el
punto de coordenadas (0,c).
o Grado 3 (funciones cúbicas) f(x)=ax3+bx2+c son como sillas, si a>0
el respaldo está a la derecha y si a<0, el respaldo está a la izquierda.
So simétricas respecto del punto en el que la x=-b/3a. En este caso
NO es suficiente con conocer el coeficiente “a” para saber la forma de
la función.
 Las funciones seno y coseno
o Su dominio es todo el conjunto de los números reales R, y su
recorrido o imagen es el intervalo [-1,1]. Es una función periódica de
período 360º o 2 radianes.
 La función tangente
o El dominio de la función es dom(tan( x ))  R  (2t  1)* 90, t  Z 
y su imagen es todo el conjunto de los números reales R.
o Es una función periódica de período 180 grados o  radianes.
 Función exponencial
o El dominio es el conjunto de los números reales y la imagen es el
conjunto de los números reales positivos R+.
o Independientemente de la base en la que estemos trabajando, todas las
funciones exponenciales pasan por el punto de coordenadas (0,1).
o Es una función creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1.
 Función logarítmica
o Es la función inversa de la función exponencial. Por tanto, su dominio
es el conjunto de los números reales positivos R+ y la imagen el
conjunto de los números reales R.
o Independientemente de la base en la que estemos trabajando, todas las
funciones logarítmicas pasan por el punto de coordenadas (1,0).
o se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia
abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1.
BIBLIOGRAFÍA
 Emilio Bujalance y otros. Matemáticas especiales. Editorial Sanz y Torres
(1998). 2ª Edición
 María E. Ballvé y otros. Problemas de matemáticas especiales. Editorial
Sanz y Torres (1996). 2ª Edición.
 José T. Pérez Romero y José A. Jaramillo Sánchez. Matemáticas. Pruebas
de acceso a la universidad para mayores de 25 años. Editorial MAD.
(2002).
 http://descartes.cnice.mecd.es/
 http:www.uoc.edu
Unidad 08: Funciones II
Página 14 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES
1. Dadas las siguientes funciones polinómicas: f(x)=2x-3; g(x)=3x2+6x-2 y
h(x)=-x3+x2-4. Determina el dominio y la imagen y esboza la gráfica de cada
una de ellas.
2. Dadas las siguientes funciones trigonométricas (el eje X está expresado en
radianes):
Unidad 08: Funciones II
Página 15 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
Determina para cada una de ellas:
a) Dominio e imagen
b) Período
c) El valor que toman dichas funciones para los siguientes valores de x (ayúdate
con la calculadora)
Ángulo
0º
x rad
sen(2x)
sen(3x)
cos(2x)
2sen(x)
-1+sen(x)
1+cos(x)
Unidad 08: Funciones II
45º
90º
180º
270º
360º
Dom
Img
Período
Página 16 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
3. ¿La gráfica siguiente corresponde 4. ¿La gráfica siguiente corresponde
con la función cuya expresión con la función cuya expresión
algebraica es f(x)=(x-2)2-3?
algebraica es f(x)=2x-x2?
5. ¿La gráfica siguiente corresponde 6. ¿La expresión f(x)=-(x-1)x(x+1) se
con la función cuya expresión corresponde con la gráfica siguiente?
algebraica es f(x)=2x-x2?
Unidad 08: Funciones II
Página 17 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
7. ¿Se corresponde la expresión y=3-x 8. ¿Se corresponde la expresión y=-(2x )
con la gráfica siguiente?
con la gráfica siguiente?
9. ¿Se corresponde la expresión y=-ln(x) 10. ¿Se corresponde la expresión
con la gráfica siguiente?
y=2log(x) con la gráfica siguiente?
Unidad 08: Funciones II
Página 18 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
Universitat Miguel Hernández
Unitat d’accés
Universidad Miguel Hernández
Unidad de acceso
accés a la universitat dels majors de 25 anys
acceso a la universidad de los mayores de 25 años
MATEMÀTIQUES
MATEMÁTICAS
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
1.
Representa las gráficas de las siguientes funciones
si x  2
 1
a) f ( x)  
2 x  3 si x  2
 x 2  1 si
b) g ( x)  
2 x  1 si
c) h( x)  x 2  6 x  9
d) j ( x)  sen( x)  3
2.
x 1
x 1
Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5% anual.
Actualmente uno de sus productos vale 18 euros. Encuentra la función que
te proporcione el precio del producto en función de los años transcurridos. A
partir de ésta, contesta a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años?
b) ¿Cuánto costaba hace 4 años?
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
1.
a)
b)
c)
2.
d)
a) 18  (1.05) 4  21.879
Unidad 08: Funciones II
b) 18  (1.05) 4  14.809
Página 19 de 19
Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio