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SEK-CATALUNYA COL·LEGI INTERN ACIONAL Quadern d’estiu 2012/13 Àmbit: Científic-Tecnològic Matèria: Matemàtiques I Alumn@: Curs: 1BAT COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 2 ALUMN@: GENERAL Data de lliurament : primer dia del curs 2013/14 Estudia (abans de fer els exercicis) la teoria que calgui en cada cas. Els exercicis tenen dificultat gradual. Podeu utilitzar altres fulles que afegireu al final del dossier. COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 3 ALUMN@: TEMARIO MATEMÁTICAS 1º BAT PARTE 1-REPASO DE CONCEPTOS 1.1.- Repaso Identidades notables 1.2.- Repaso de operaciones con fracciones 1.3.- Repaso de trigonometría básica 1.4.- Repaso de ecuaciones de 2º grado, bicuadráticas y SE. 1.5.- Repaso de representaciones gráficas PARTE 2-RACIONALIACIÓN 2.1.- Identidades notables 2.2.- Raíces y potencias 2.3.- Propiedades de las raíces. Operaciones con raíces. 2.4.- Racionalización de denominadores 2.5.- Simplificación de expresiones. Racionalización y potenciación. PARTE 3-TRIGONOMETRÍA 3.1.- Razones trigonométricas 3.2.- Transformaciones de sumas en productos y productos en sumas 3.3.- Razones trigonométricas del ángulo doble, mitad, ángulo suma y resta 3.4.- Teorema del seno y del coseno 3.5.- Resolución de Ecuaciones trigonométricas e interpretación geométrica PARTE 4-AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA 4.1.- Representación gráfica de funciones trigonométricas básicas. 4.2.- Periodo, dominio y continuidad de funciones trigonométricas 4.3.- C/D, Máximos y mínimos relativos en funciones trigonométricas 4.4.- Paridad de funciones trigonométricas 4.5- Rep. Gráf. de funciones trigonométricas complejas: valor absoluto, etc PARTE 5-VECTORES 5.1.- Definiciones y operaciones con vectores. 5.2.- Combinaciones lineales entre vectores 5.3.- Producto escalar COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 4 ALUMN@: 5.4.- Aplicaciones geométricas PARTE 6-ANALÍTICA DE LA RECTA 6.1.- Ecuaciones de la recta: explícita, implícita, canónica, continua 6.2.- Paralelismo y perpendicularidad 6.3.- Puntos de intersección 6.4.- Ángulo entre dos rectas. Distancia entre dos puntos. PARTE 7-FUNCIONES. LÍMITES 7.1.- Concepto de función. Dominio y recorrido. 7.2.- Funciones algebraicas y operaciones con funciones. 7.3.- Función compuesta y función inversa 7.4.- Funciones exponenciales y logarítmicas 7.5.- Límite en un punto, laterales y en el infinito 7.6.- Función continua en un punto 7.7.- Interpretaciones gráficas del límite PARTE 8-INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS 8.1.- Variación de una función en un punto 8.2.- Derivada de una función en un punto 8.3.- Función derivada. Cálculo de derivadas 8.4.- Aplicaciones de la derivada. Recta tangente y Optimización PARTE 9-INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES 9.1.- Concepto de matriz 9.2.- Matrices de 2x2. Operaciones con matrices de 2x2 9.3.- Determinante de una matriz 2x2 9.4.- Adjunta de una matriz 2x2. Inversa de una matriz 2x2 9.5.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones con matrices 9.6.- Introducción a las matrices de 3x2, 2x3 y 3x3 9.7.-Métodos de inducción para potencia de matrices. PARTE 10-INTRODUCCIÓN A LAS INTEGRACIÓN 10.1.- Introducción al concepto de función primitiva 10.2.- Cálculo de integrales inmediatas 10.3.-Integrales definidas. Aplicaciones: Regla de Barrow COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 5 ALUMN@: 1. Resolver las siguientes ecuaciones irracionales: a) x 2 x - 1 4 c) b) x 4 2x - 1 6 0 d) x 20 3 x - 1 2x 9 x 1 x - 4 0 2. Racionalizar las siguientes expresiones: a) 5 7 7 5 b) 3 5 5 3 3. Halla todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x = 0 2 b) cos 2x = 2 c) 1 + cos x = 0 d) tg 3x = -1 4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas sus soluciones: a) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0 b) sen x – sen 2x = 0 sen2 x tgx c) 3 4 d) sen x + cos x = 0 e) 2 tg2 x + sec2 = 2 5. Resolver los sistemas: senx seny 1 a) senx seny 1 sen2 x y 2 b) cos 2 x y 2 cosx cosy 1 c) cos2x cos2y 0 6. Determina si son ciertas las siguientes igualdades: a) tg (45 + a) – tg (45 – a) = 2 tg 2a COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 6 ALUMN@: b) ( cos x + sen x)2 = sen 2x + 1 c) (tg x + ctg x)2 = sec2 x + cosec2 x x 1 2λ 7. Dadas las rectas r ax – 2y + 3 = 0 y s Calcular “a” : y - 1 - λ a) Para que r y s sean paralelas b) Para que r y s sean perpendiculares 8. Los puntos A(-1 , 3), B(5 , 6) y C(7 , 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Hallar el cuarto vértice D. 9. Calcular el valor de x para que el punto A(x,-3) pertenezca a la recta que pasa por B(1,-1) y C(4,7) x2 y 1 se pide: 2 a) Comprobar que A no pertenece a r b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a r. c) Obtener las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r. 10. Dados el punto A (1,1) y la recta r : 11. Calcular el dominio de las funciones: 3x - 5 a) y 3 b) y 3 x 3 x 2 x x 2x c) y log x 3 4x x 2 2x 1 d) y x 3 3x 2 12. Representar las funciones: x 2 si x 1 a) f(x) 2 si x 1 2 - x si x 1 d) f(x) x 2 - x 2 x 2 si x 3,1 b) f(x) si x 1, 0 e) f(x) x 2 2x - 3 13. Calcular los límites siguientes: 3x - 1 si x 0 c) f(x) x 2 1 si 0 x 2 4 si 2 x - x 2 2x 3 si x -1 f) f(x) x 5 si x -1 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 7 ALUMN@: a) lím 3x 4 7x 2 x 2 x x 2 5x 2 g) lím x 5x 3 x 2 1 2x5 2x 3 5x 3 x 2x 5 b) lím 2x 5x 5 4x 3 x 2 2x 3 3 d) lím 5x 3 2 x x x 7 e) lím x x 2 c) lím 3x 2 x 2 5x 5 h) lím 4x 2 6x 2 4x 2 7x 3 x 2x 5 f) lím x 3x 2 x 2 1 x 3 x 3x 1 i) lím 2 x x 3 2 14. Calcular las asíntotas de las funciones: a) y 3x 2 5x 1 x2 9 b) y 5x 2 2x 1 x d) y 5x - 2 x 2x 3 2 15. Calcular los puntos de discontinuidad de las funciones siguientes: a) y 3x - 5 3 x x 2 2x b) y 3 x 3 x c) y log x 3 4x x 2 2x 1 d) y x 3 3x 2 16. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: x 2 si x 1 a) f(x) 2 si x 1 2 - x si x 1 d) f(x) x 2 - x 2 x 2 si x 3,1 b) f(x) 0 si x 1, e) f(x) x 2x - 3 2 3x - 1 si x 0 c) f(x) x 2 1 si 0 x 2 4 si 2 x - x 2 2x 3 si x -1 f) f(x) x 5 si x -1 x 3 kx2 2 x 4 sea un x 2 x2 x 2 17. Calcula el valor de k para que el límite lím número real. Calcula cuál es ese número. 3x2 x 1 5x 4 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 8 ALUMN@: 18.Calcular la derivada de las funciones siguientes: a) y = 3x 2 e) y = b) y = 5x 4 2 3 x 4x 2 3x + 5 5 c) y = 4x 3 5 d) y = 5x 4 4x 3 - 2x + 3 f) y = 3x + 2 5x 2 2x - 1 19. Aplicando la regla de la cadena, calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = (5x +3)5 d) y = 3x + 2 3x - 2 b) y = x 2 7 2 x e) y = c) y = 3x2(x2+3)8 1+ x f) y = 1- x g) y = L(2x-1) h) y = ln j) y = x 3 e 5x-2 k) y = 2x + 1 2x - 1 2x + 3 x 2 3 2 i) y = x3 L(x2-1) ln x x l) y = e 2x x2 20. Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: a) y = sen x2 d) y = cos (7x2 + 3) b) y = sen2 x e) y = cos c) y = sen (x2 + 2x + 3) 2x f) y = sen 2x + 1 x g) y = cos e 2x h) y = sen2 3x 2 i) y = sen 2x · cos 3x k) y = sen 2x l) y = tg 5x2 m) y = tg ( x3 + 2x) n) y = tg 2 ñ) y = tg e2x o) y = L (sen 5x) COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 9 ALUMN@: p) y = tg 5x2 q) y = tg2(10x) r) y = arc sen ( 5x2+2) 21. Calcula la derivada de las siguientes funciones implícitas: x+y 1 x-y a) x2+y2+3x-2y = 5 b) 3x2- 2y2+ 3xy = 0 c) d) sen (x + y) = x f) sen x + cos y = 0 g) Ln y = 3x2 22. Aplica la derivación logarítmica para calcular la derivada de las funciones siguientes: a) y = 33x+5 b) y =x5x-2 c) y = e x 2 23. a) Calcular la segunda derivada de y = 3x + 1 x2 3 b) Calcular la tercera derivada de y = cos 3x. c) Calcular la cuarta derivada de y = e2x 24. Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a las curvas siguientes en los puntos que se indican: a) y = x4 – 2x + 3 en el punto (-1, 6) b) y = 2x3 + x2 + 1 en el punto de abscisa -1 c) y x 2 en el punto (2, ) 2 5 1 x COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 10 ALUMN@: 25. Calcular la ecuación de la tangentes a la función y = 3x2 + 6x – 2 paralelas a la recta de ecuación 6x + 3y + 5 = 0 26. Calcular las ecuación de la tangente a la función y = x+4 en el punto x = 2 4-x 27. Calcular las ecuación de la tangentes a la función y = x4 – 2x2 que sean horizontales 28. Halla la pendiente de la tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado: a) 3x2 + y2 =7 en el punto (-1,2) b) x3 - 3xy + y2 = 8 en el punto (-2,2) 29. Hallar b, c y d en la función f(x) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un punto de inflexión de abcisa x = 3, y alcance un mínimo en el punto (1,0) 30. Determinar a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto de inflexión en (-2, 6) con tangente en él paralela a la recta 8x + y + 10 = 0 y tome el valor –2 para x = 0 31. Calcula la derivada n-ésima de las siguientes funciones: a) y = e2x b) y = x·ex c) y = sen (3x) 32. Estudia y representa las siguientes funciones: a) y = x3 + x2 b) y = x4 – 4x2 c) y = x2 1 x COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 11 ALUMN@: d) y x2 1 x 2 e) y x2 x2 1 f) y x3 2x 2 8 33.En una amplia pradera atravesada por un camino recto se quiere vallar un campo rectangular tomando como uno de sus lados el camino. Se sabe que el metro de valla del lado del camino vale a 100 € el metro y la de los otros lados a 20 € el metro. ¿Cuál es la medida del mayor campo que se puede vallar con 36000 €? 34. De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima? 35. Se quiere construir un recipiente cónico cuya generatriz mida 10 cm y tenga capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base? 36. Se quiere construir una ventana rectangular con 2 m 2 de luz. Se sabe que el precio del marco vertical es de 80 €/metro y el horizontal 10 €/metro. ¿Cuáles serán las medidas del marco más económico? 37. Encuentra las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un círculo de radio 4 m. 38. Se quieren vallar dos campos de deporte rectangulares iguales con un lado común con 600 m de valla (se trata de vallar el contorno de ambos y el lado de separación). Halla las dimensiones si el cercado encierra una superficie máxima. 39. Se sabe que el rendimiento r en % de un estudiante que realiza un examen de una hora viene dado por: rt300t1tsiendo 0 < t < 1 a. Explica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b. ¿Cuándo se anula?. c. ¿Cuándo es máximo? 40. Se desea construir una lata de conserva de área total 150 cm 2 y de volumen máximo. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones? 41. Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular de 40 m de perímetro, ¿qué radio debe de tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie posible? COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 12 ALUMN@: 42. Una noche oscura y lluviosa, la temperatura T (en grados centígrados) a. b. c. d. varió con el tiempo t (en horas) según la función T tt 2 9t 8 si 0 t 12 . ¿Qué temperatura había a las dos de la mañana? ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados? ¿Cuál fue la temperatura máxima?¿A qué hora se produjo? ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 0 horas hasta las 12 horas? e. Dibuja la gráfica de la función en el intervalo 0,12horas. 43. Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de dicha pista sea de 200 m, haya las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular. 44. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo equilátero de 2 m de lado si el rectángulo tiene dos vértices consecutivos en un lado y los otros dos vértices uno en cada uno de los lados del triángulo. 45. Calcula las dimensiones de un cono cuya generatriz es constante e igual a 12 m si su volumen ha de ser máximo. 46. Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a mediada que transcurre la jornada laboral. (Dicho número corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que expresa dicho rendimiento es: Rt30t 10,5t 2 t3 siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. 47. Se desea construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular recto de modo que sus tres dimensiones sumen 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las cajas sea máxima? 48. Hallar los puntos de la curva y2 = 6x cuya distancia al punto P(4,0) sea mínima. COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 13 ALUMN@: MATRICES COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 14 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 1 1) (2 puntos) 2) (2 puntos) 3) (2,5 puntos) Estudio de las asíntotas y de la monotonía (C/D, máx y mín y Concavidad/Convexidad) de la función siguiente: COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 15 ALUMN@: 4) (2 puntos) 5) (1,5 puntos) CONOCIMIENTOS 2 1) (2 puntos) Representa gráficamente la función y. 2) (2 puntos) Calcula también la monotonía (C/D, máx y mín) de la función y. COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 16 ALUMN@: 3) (3 puntos) Estudio de las asíntotas y de la monotonía (C/D, máx y mín y Concavidad/Convexidad) de la función siguiente: 4) (3 puntos) Determinar el ángulo que forman las rectas siguientes: r1 : x y 3 r2 : x y 1 2 Determinar también el punto de intersección de las rectas. Y finalmente calcular las ecuaciones explícitas de sus bisectrices y representar gráficamente las 4 rectas que intervienen en el ejercicio. CONOCIMIENTOS 3 1) Estudi d´extrems (Màx-Mín-C/D) de la funció f x 2) a) Donades les calculeu A B C matrius x2 2 x 2 x 1 c 0 0 1 1 1 B C on c R A 1 0 1 1 1 1 1 1 0 calculeu per inducció A 55 . b) Si A 0 1 3) Calculeu els paràmetres a i b, tals que f ( x) a Ln( x) b x 2 x tingui extrems relatius (màxims o mínims) en els punts x=1 i x=2. (Utilitzeu matrius si surt un S.E. de 2 equacions amb 2 incògnites) COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 17 ALUMN@: 4) Determineu l´angle que formen les rectes següents (no utilitzeu decimals): x 2 y 1 0 i 8 5 3 x y 3 0 Representeu gràficament les rectes. Calculeu els punts de la gràfica de la funció f ( x) x 3 2 x 2 x 1 on la recta 1 tangent té pendent m . Determineu la equació explícita d´aquesta recta tangent. 3 Dibuixeu un gràfic esquemàtic del problema. 5) CONOCIMIENTOS 4 1) Simplificar las expresiones polinómicas siguientes (obteniendo su forma más compacta): x 3 x 2 2x 1 b) x 2 2x x 9 3 3 x6 2 1 a) x x x x x 1 c) Desarrolla utilizando el binomio de Newton la expresión siguiente: ( x c) 7 , c R 2) Factoriza y simplifica la siguiente función polinómica. Luego, representa gráficamente la función de forma aproximada (utiliza la expresión simplificada e incluye las asíntotas verticales si las hay). f ( x) x x 12 x 3 4 x 3 7x 2 x 6 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 18 ALUMN@: 3)Representa gráficamente de forma aproximada las funciones siguientes. Calcular además: dominio, recorrido, cortes con abcisas, cortes con ordenadas, vértices y asíntotas verticales: a) f ( x) x 2 4 x 3 y a partir de su gráfica (tómala como base) y utilizando las transformaciones de funciones representar también: f ( x 3 ) x 2 2 x 3 si x 2 1 b) f ( x) x 6 si 2 x 4 . 2 4 x si 4 x 6 4) Repaso de conceptos: a) Una recta r1 pasa por los puntos A(0,4) y B(4,0). Determinar las ecuaciones explítitas de 2 rectas ( r2 y r3 ): r2 es paralela a r1 ; y r3 es perpendicular a r1 ; pasando ambas ( r2 y r3 ) por el origen de coordenadas. b) Representa gráficamente la función: f ( x) 1 Sen x 2 . Indica su Periodo, Dominio y Recorrido. CONOCIMIENTOS 5 1) Calcular la segunda derivada f´´(x) de las siguientes funciones: a) f ( x) 2 e x b) f ( x) x Ln x c) f ( x) Ln 1 x 4 2) Realiza el estudio asintótico completo de la siguiente función (debe incluirse estudio AL y gráfico orientativo de las asíntotas): f ( x) 1 x 4 2 3)Estudiar la monotonía de la siguiente función (Intervalos D/C y extremos): f ( x) 1 1 x 2 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 19 ALUMN@: 4) Calcular los parámetros a y b de la función: f ( x) a Ln x b x 2 x con a, b R sabiendo que presenta extremos en los puntos x=1 y x=2. 5) Responde a las siguientes cuestiones: a) Define de forma ràpida en una sola frase el concepto geométrico de derivada de una función en un punto. b) Si v1 (0,3) y v 2 (1,1) , determina el ángulo que forman entre si ambos vectores. c) Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a la recta y=x+3 y pase por el origen de coordemnadas. CONOCIMIENTOS 6 1) Opera y expresa de forma simplificada : a)2 5 3 20 125 b) x 7 x 28 2 x 63 c) 20 10 2) Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones: a) a a3 b) 1 x y c) x y x y 2 xy x x y 3)Si tg x = 6, calcular el Sen x y el Cos x sin utilizar la calculadora y sin decimales. ¿En qué cuandrante/s podría estar el ángulo x? 4) Simplifica las expresiones trigonométricas siguientes: COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 20 ALUMN@: a) Sec 2 x 1 b) Sec x Cos x Sec x Sen 2 x x y Sen x Sen y 2 x y Sen x Sen y tg 2 tg c) Comprueba que: 5) Siendo tg x = 2 y tg y = 3 calcula las siguientes expresiones. Utiliza las fórmulas de la tangente del ángulo doble y la tangente de la suma. a) tg (2 x) b) tg ( x y) CONOCIMIENTOS 7 1) Soluciona los límites siguientes: 1 x 6 b) lim 5 x x 2 x 4 3x 1 2x 3 9 a) lim 5 x x 6 c) lim x 2 x3 3 x 2 x3 2) Soluciona los límites siguientes e interpreta gráficamente el resultado: x x42 a) lim x 6 x 10 x 4 5 x 2 x 0 3x 5 2 x b) lim c) lim x 0 6x 2 6x x 3)Estudiar las asíntotas de las siguientes funciones (Incluir gráficas finales): a) f ( x) x2 x 1 b) f ( x) 3x 2 x 3 4x COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 21 ALUMN@: 4) Analítica de la recta: a) Hallar el punto de intersección (Pi) entre la recta r1 : y 2 x 8 y una recta r2 que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta r1 b) Gráfica completa del problema (gráfico GRANDE Y CLARO) c) Obtener r1 en sus formas: implícita, segmentaria y vectorial. 5) Calcula el valor del parámetro k en las siguientes expresiones: x k x 2 1 0 siendo k R k 0 x x x 4 4x 2 3 lim 0 siendo k N k 0 xk 12 3 x 2 a) lim b) CONOCIMIENTOS 8 1) Determinar un número positivo cuya suma con 100 veces su inverso sea mínima. 2) Calcular el diámetro de la base de un recipiente cónico de generatriz capacidad màxima. 3 m. y de 3) ¿Qué puntos (de abcisa positiva) de la gráfica f ( x) 2 x 2 está más cerca del punto que hace de “ordenada en el origen” en la recta 2 x y 1 0 ? Adjuntar esquema del problema. 4) a) Determina justificadamente la continuidad y la derivabilidad de la función f ( x) x . Adjuntar esquema del problema. COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 22 ALUMN@: b) Explicar con detalle la continuidad y derivabilidad de funciones. Formulación analítica, ejemplos numéricos, tipos de discontinuidades con ejemplos... 5) a) Obtener la ecuación de la recta (r1) tangente a la curva f ( x) 1 en el punto de x 1 2 abcisa 2. b) Obtener la ecuación de la recta (r2) tangente a la curva f ( x) x e x en el punto de abcisa nula. c) Obtener el ángulo entre las rectas r1 y r2 obtenidas en los apartados anteriores. d) ¿En qué punto de abcisa la recta x y 12 0 es tangente a la función f ( x) Sen( x) NOTA: Adjuntar esquema del problema para cada uno de los apartados. CONOCIMIENTOS 9 1) a) (1p.) Determinar dos números positivos cuya suma sea 30 y tengan mínima la suma de sus cuadrados. b) (1p.) Calcula la matriz X que se cumpla la expresión matricial siguiente: A1 X B siendo: 1 0 A 1 2 1 2 B 3 4 Calcula también el determinante de la matriz X. 2) a) (1,5p.) Determina el dominio, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas, los intervalos de Crecimiento/Decrecimiento y los extremos relativos de la siguiente función: x2 5x 7 f ( x) b) (0,25p.) ¿Qué tipo de discontinuidades presenta? ¿En qué puntos? x3 c) (0,75p.) Representa gráficamente la función f(x) COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 23 ALUMN@: 3) (2p.) Se sabe que f ( x) ax 2 bx 12 presenta un mínimo en el punto P(4,-4). Calcula la abcisa x1 para la cual la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) es ese punto x1 , es x y paralela a la recta 6 3 1 4) Dada la función definida por tramos siguiente: ax b f ( x) 2 2 x 3 si x 2 si x 2 a, b R a) (1p.) Encontrar los valores de los parámetros a y b que hagan que la f(x) sea derivable en el punto x= 2 5)a)Calcular f ( x) 18 e x b) (1p.) Calcular: la derivada 3 1 f ( x) dx de las siguientes funciones: f ( x) 8 x 3 2 x 2 b) Calcular las integrales indefinidas siguientes: 6) x 4 2 dx e x 3 x 2 dx (2p.) Calcula el área encerrada entre el eje OX, las rectas x=1 y x=e, y la función 2 x f ( x) x 3 CONOCIMIENTOS 10 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1213-1B-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 24 ALUMN@: 5- Considerem la paràbola y = x2 i la recta y – x – 6 = 0. a) Dibuixeu gráficament la parábola, la recta i el recinte delimitat per elles. b) Calculeu la superficie d´aquest recinte.
