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Problemas de ecuaciones: 1. Sean dos cubos cuyas aristas se diferencian en 2 cm. y sus volúmenes en 56 cm3. Calcula las aristas. 2. Si los dos lados de un rectángulo se alargan en 2 cm. cada uno, el perímetro vale 24 cm. Sabiendo además que la diferencia de los lados es 2 cm. ¿cuánto miden los lados del rectángulo? 3. Calcula las dimensiones de un rectángulo conociendo su diagonal 17 m. y su superficie 120 m2. 4. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm. y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. 5. La diagonal de un rectángulo mide 26 m. y su superficie 240 m2. Halla los lados del rectángulo. 6. Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296. 7. Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380. Problemas de ecuaciones: 1. Sean dos cubos cuyas aristas se diferencian en 2 cm. y sus volúmenes en 56 cm 3 . Calcula las aristas. Solución: Llamamos x a la arista del primer cubo. Llamamos y a la arista del segundo cubo. x− y =2 x = 2 + y; 3 x − y 3 = 56 (2 + y )3 − y 3 x− y =2 x 3 − y 3 = 56 = 56 ; 2 3 + 3·4· y + 3·2· y 2 + y 3 − y 3 = 56 ; 8 + 12 y + 6 y 2 = 56 ; 6 y 2 + 12 y + 8 − 56 = 0; 6 y 2 + 12 y − 48 = 0; y 2 + 2 y − 8 = 0; y= − 2 ± 4 + 32 − 2 ± 6 y1 = 2 = ⇒ La única solución que nos sirve es y = 2; x = 4 ; 2 2 y 2 = −4 Por tanto, las soluciones serán 4 y 2 2. Si los dos lados de un rectángulo se alargan en 2 cm. cada uno, el perímetro vale 24 cm. Sabiendo además que la diferencia de los lados es 2 cm. ¿cuánto miden los lados del rectángulo? Solución: Llamamos x al lado mayor. Llamamos y al lado menor. 2·( x + 2 ) + 2·( y + 2 ) = 24 x− y =2 2 x + 4 + 2 y + 4 = 24 2 x + 2 y = 24 − 8 2 x + 2 y = 16 x + y = 8 x = 2+ y x− y =2 x− y =2 x − y = 2 x − y = 2 6 2 + y + y = 8; 2 y = 8 − 2 ; 2 y = 6 ; y = ; y = 3 2 x = 2 + 3; x = 5 Por tanto, las soluciones serán 5 y 3 3. Calcula las dimensiones de un rectángulo conociendo su diagonal 17 m. y su superficie 120 m2. Solución: Llamamos x al lado mayor. Llamamos y al lado menor. x 2 + y 2 = 17 2 120 x= y x· y = 120 x 2 + y 2 = 17 2 x· y = 120 2 120 14400 14400 + y 4 2 + y 2 = 289 ; + y = 289 ; = 289 ; 14400 + y 4 = 289 y 2 ; 2 2 y y y y 4 − 289 y 2 + 14400 = 0; 2 450 y = = 225 ⇒ 1 y1 = 2 289 ± 83521 - 4·14400 289 ± 161 y2 = − = ⇒ y2 = 2 2 y 2 = 128 = 64 ⇒ y 3 = 2 2 y4 = − 225 = 15 225 = −15 64 = 8 64 = −8 Por tanto, las soluciones serán 8 y 15 4. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm. y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. Solución: Llamamos x al lado mayor. Llamamos y al lado menor. x 2 + y 2 = 26 2 2 x + 2 y = 68 x 2 + y 2 = 26 2 x = 34 − y x + y = 34 (34 − y )2 + y 2 = 676; 34 2 - 2·34·y + y 2 + y 2 = 676; 1156 - 68y + 2 y 2 = 676; 2 y 2 − 68 y + 480 = 0 120 y1 = 4 = 30 68 ± 4624 - 4·480 68 ± 2704 68 ± 52 = = ⇒ y= 16 4 4 4 y2 = =4 4 Por tanto, las soluciones serán 4 y 30 5. La diagonal de un rectángulo mide 26 m. y su superficie 240 m2. Halla los lados del rectángulo. Solución: Llamamos x al lado mayor. Llamamos y al lado menor. x 2 + y 2 = 26 2 240 x= y x· y = 240 x 2 + y 2 = 26 2 x· y = 240 2 240 57600 57600 + y 4 2 + y 2 = 676 ; 676 + = = 676 ; 57600 + y 4 = 676 y 2 ; y ; 2 2 y y y 4 2 y − 676 y + 57600 = 0; 2 1152 y = = 576 ⇒ 1 y1 = 2 676 ± 456976 - 4·57600 676 ± 476 y2 = − = ⇒ y2 = 2 2 y 2 = 200 = 100 ⇒ y 3 = 2 2 y4 = − Por tanto, las soluciones serán 24 y 10 6. Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296. Solución: Llamamos x al primer número. Llamamos y al segundo número. x + y = 78 x· y = 1296 576 = 24 576 = −24 100 = 10 100 = −10 x + y = 78 1296 x= x· y = 1296 y 1296 1296 + y 2 + y = 78; = 78; 1296 + y 2 = 78 y ; y 2 − 78 y + 1296 = 0; y y 108 y = = 54 1 78 ± 6084 − 4·1296 78 ± 900 78 ± 30 2 y= ; = = 48 2 2 2 y2 = = 24 2 Por tanto, las soluciones serán 24 y 54 7. Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380. Solución: Llamamos x al primer número. Llamamos y al segundo número. x +1 = y 380 x= x· y = 380 y x +1 = y x· y = 380 380 380 + y + 1 = y; = y ; 380 + y = y 2 ; − y 2 + y + 380 = 0; y y 38 − 1 ± 1 + 4·380 − 1 ± 1521 − 1 ± 39 y1 = − 2 = −19 = = y= ; − 40 −2 −2 −2 y2 = = 20 −2 Por tanto, las soluciones serán − 20 y − 19 y también 19 y 20