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Campos Electromagnéticos. Tabla de fórmulas
Fuerza eléctrica sobre una distribución de carga
Carga en un sistema de conductores
Qi = Qi 0 + ∑ CikVk
F = ∑ qi E ( ri ) + ∫ λE dl + ∫ σ s E dS + ∫ ρE dτ
Cik = −ε0 v∫ ∇φk ·dS i
Si
k
i
Campo y potencial creados por una distribución
Coeficiente de capacidad de una esfera
C = 4πε 0 R
⌠ ( r − r′)
⌠ ( r − r ′) ⎞
1 ⎛ qi ( r − ri ) ⌠ ( r − r′)
dl ′ + ⎮ σ s
dS ′ + ⎮ ρ
dτ′ ⎟
E (r ) =
+⎮λ
⎜∑
3
3
3
⎟ Capacidades de condensadores típicos
4 πε0 ⎝⎜ i r − ri 3
r − r′
⌡ r − r′
⌡
⌡ r − r′
⎠
Energía electrostática de una distribución
Ue =
1
1
1
1
1
qi φ ' ( ri ) + ∑ QV
σ s φ dS + ∫ ρφ dτ = ∫ ε0 E 2 dτ
∑
i i +
∫
2 i
2 i
2
2
2
Potencial y campo de un dipolo eléctrico
Acción de un campo sobre un dipolo
F = ( p·∇ ) E
M = r×F + p×E
pa
U e = −p·E
1 ⎛ Q p·r
⎞
⎜ + 3 + "⎟
4πε 0 ⎝ r r
⎠
Q = ∑ qi + ∫ λ dl + ∫ σ s dS + ∫ ρ dτ
i
p = ∑ qi ri + ∫ λr dl + ∫ σ s r dS + ∫ ρr dτ
i
Potencial en un sistema de conductores
φ ( r ) = φ0 + ∑ Vk φk
k
III
Coaxial: C =
2πε 0 L
ln ( b / a )
Cik = −Cik
(i ≠ k )
Cik = −Cik
Esférico: C =
4πε 0 ab
b−a
(i ≠ k )
Cii = ∑ Cik
Cii = ∑ Cik
k
k
Energía de un sistema de conductores
1
1
QkVk = ∑ CikVV
∑
i k
2 k
2 i ,k
Energía de un circuito equivalente
Desarrollo multipolar eléctrico
φ (r ) =
ε0 S
a
Relación entre los Cik y los Cik
Ue =
De
2
1 3 ( p·r ) r − r p
1 p·r
E (r ) =
φ (r ) =
4πε0
r5
4πε0 r 3
p
E (r ) =
( 2 cos θu r + sen θuθ )
4 πε0 r 3
Plano: C =
rt
am
U e
n
VE ive nto
RS rs de
IÓ ida F
N d ísi
DE de ca
EX Se Ap
AM vil lic
EN la ada
⎞
1 ⎛
qi
⌠ λ
⌠ σs
⌠ ρ
dl ′ + ⎮
dS ′ + ⎮
dτ′ ⎟
φ (r ) =
+⎮
⎜∑
4 πε0 ⎝ i r − ri ⌡ r − r′
⌡ r −r'
⌡ r −r'
⎠
Ue =
1
1
2
CiiVi 2 + ∑ Cik (Vi − Vk )
∑
2 i
2 i ,k
i<k
Presión electrostática
1
1 σ 2s
pe = ε 0 E 2 =
= ue
2
2 ε0
Imagen de una carga en una esfera
q′ = − q
R
r0
R2
r0′= 2 r0
r0
Energía en un sistema de conductores y dieléctricos
Ue =
1
1
1
(Ql )i Vi = ∫ E·Ddτ = ∫ εE 2dτ
∑
2 i
2
2
Campos Electromagnéticos. Tabla de fórmulas
Corrientes en un sistema de electrodos
I i = ∑ GikVk
Potencial y campo de un dipolo magnético
2
μ 0 3 ( m·r ) r − r m
μ0 m × r
B (r ) =
A=
4π
r5
4π r 3
μm
B ( r ) = 0 3 ( 2 cos θu r + sen θu θ )
4 πr
Gik = − v
∫ σ∇φk ·dSi
Si
k
Resistencias y conductancias usuales
Filiforme: R = ⌠
⎮
dl
⌡ σS
Esférico: G =
4πσab
b−a
Desarrollo multipolar magnético
m×r
μ0 ⎛
⎞
Espira plana: m = ISn
⎜ 0 + 3 + "⎟
r
4π ⎝
⎠
1
1
1
m = I ∫ r × dr + ∫ r × K dS + ∫ r × J dτ
2
2
2
Relación entre los Gik y los Gik
Gik = −Gik
Gii = ∑ Gik
III
(i ≠ k )
(i ≠ k )
Gii = ∑ Gik
k
k
rt
am
U e
n
VE ive nto
RS rs de
IÓ ida F
N d ísi
DE de ca
EX Se Ap
AM vil lic
EN la ada
Gik = −Gik
A (r ) =
Fuerza electromotriz electromagnética
Potencia en un sistema óhmico
2
P = ∫ J·Edτ = ∑Vk I k = ∑ GikVV
i k = ∑ GiiVi + ∑ Gik (Vi − Vk )
τ
k
i ,k
i
i ,k
i<k
2
Fuerza magnética sobre una distribución de corrientes
Fm = ∑ qi v i × B + I ∫ dr × B + ∫ K × B dS + ∫ J × B dτ
pa
i
De
Campo magnético de una distribución de corriente
⌠ F
E= ⎮
vΓ q ·dr = v∫ Γ ( E + E′)·dr = v∫ Γ ( E + v × B )·dr
⌡
Relación entre flujos y corrientes
Φ i = ∑ Lik I k
Lik =
k
1
Ik
v∫
Si
B k ·dSi
Autoinducción de una bobina larga
μ N 2S
0
⌠
⌠
r − r ′) ⌠
r − r ′)
r − r ′) ⎞ L = h
(
(
(
μ 0 ⎛ qi v i × ( r − ri )
dS ′ + ⎮ J ×
dτ′ ⎟
B (r ) =
+ I ⎮ dr′ ×
+⎮K×
⎜∑
3
3
3
3
⎟
4π ⎜⎝ i
r − ri
r − r′
r − r′
r − r′
⌡
⌡
⌡
⎠ Energía magnética de una distribución
Campo de un segmento rectilíneo
B (r ) =
μ0 I
( sen α2 − sen α1 ) uϕ
4πρ
Acción de un campo sobre un dipolo
F = ∇ ( m·B ) = ( m × ∇ ) × B = ( m·∇ ) B
M = r×F + m×B
U m = −m·B
Um =
1
1
Φ k I k = ∑ Lik I i I k
∑
2 k
2 i ,k
1
1
1 ⌠ B2
1
U m = ∫ K ·A dS + ∫ J·A dτ = ⎮
dτ = ∫ B·H dτ
2
2
2 ⌡ μ0
2
Teorema de Poynting
d ⌠ ⎛1
1
⎞
∫ J·Edτ = − dt ⎮⌡ ⎜⎝ 2 E·D + 2 B·H ⎟⎠ dτ − v∫ ( E × H )·dS
τ
τ
∂τ