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Facultad de Ingeniería - Universidad de la República
IMERL - Instituto Matemática y Estadística
Geometría y Álgebra Lineal 1
Clase 11: Rectas y planos en R3
Eugenia Ellis
[email protected]
April 5, 2017
Puntos y vectores de R3
1
Los puntos y vectores en R3 se representan como una terna (x, y , z)
PUNTO
Eugenia Ellis | Determinantes
VECTOR
Operaciones con puntos y vectores en R3
Suma de vectores
Suma de vectores, en R2 :
En R3 :
(v1 , v2 , v3 ) + (w1 , w2 , w3 ) = (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 )
Eugenia Ellis | Determinantes
2
Operaciones con puntos y vectores en R3
Punto mas vector y resta de puntos
Resta de puntos
B−A=v
(b1 , b2 , b3 ) − (a1 , a2 , a3 ) = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 )
Punto mas vector
A+v =B
(a1 , a2 , a3 ) + (v1 , v2 , v3 ) = (a1 + v1 , a2 + v2 , a3 + v3 )
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3
Ecuación paramétrica de la recta en el espacio
4
Una recta esta determinada por un punto P = (P1 , P2 , P3 ) y un vector
v = (v1 , v2 , v3 ). Los puntos Q de esta recta se escriben como

 x = P1 + λv1
y = P2 + λv2
Q = P + λv

z = P3 + λv3
Ejemplo
Sea P = (−1, 0, 2) y v = (2, −2, 1) la ecuación paramétrica de la
recta

 x = −1 + 2λ
y = 0 − 2λ
r : Q = P + λv

z =
2+λ
¿(10, 1, 0) ∈ r ? ¿(5, −6, 5) ∈ r ?
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Ecuaciones reducida de la recta en el espacio
5
Son ecuaciones que tienen que cumplir los puntos para estar en la
recta. En el ejemplo anterior

 x = −1 + 2λ
y = −2λ
R = (x, y , z) ∈ r ⇔ Existe λ ∈ R tal que (S)

z = 2+λ
⇔
(S) es un sistema compatible en λ
⇔
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x = 2z − 3
y = −2z + 4
Observaciones
6
I
No todo sistema de ecuaciones representa a una recta
I
Una misma recta tiene varias formas de ser expresada con
diferentes ecuaciones paramétricas y reducidas.
Eugenia Ellis | Determinantes
Posiciones relativas de dos rectas
7
Sean r y s dos rectas en el espacio, puede pasar lo siguiente
I
r y s son la misma recta
I
r y s se cortan en un punto
I
r y s son paralelas
I
r y s se cruzan
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Ecuación paramétrica de un plano
8
Un plano esta determinado por un punto P = (P1 , P2 , P3 ) y dos
vectores v = (v1 , v2 , v3 ) y w = (w1 , w2 , w3 ). Los puntos Q del plano
se escriben como

 x = P1 + λv1 + µw1
y = P2 + λv2 + µw2
Q = P + λv + µw

z = P3 + λv3 + µw3
Ejemplo
Sean P = (−1, 0, 2), v = (2, −2, 1) y w = (1, 1, 2) la ecuación
paramétrica del plano

 x = −1 + 2λ + µ
y = 0 − 2λ + µ
π : Q = P + λv + µw

z = 2 + λ + 2µ
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Posiciones relativas de tres planos
9
Eugenia Ellis | Determinantes
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