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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Semestre: 1
Créditos: 10
Horas/semana: 5
Horas/clase: 5
Horas/taller: 2
Modo de Evaluación: Promedio de la calificación del curso y del examen departamental
Objetivo: Proporcionar a los estudiantes los conceptos fundamentales de álgebra lineal y
geometría y demostrar su interacción en el desarrollo de las matemáticas y ciencias
naturales para que sean capaces hacer uso del aparato matemático adecuado en su área
de aplicaciones y desarrollar nuevos métodos originales en solución de problemas
científicos.
Temario:
1. Conceptos fundamentales. (Introducción) (1 semana)
1.1 Conjuntos: definición (paradojas filosóficas), subconjuntos, operaciones con conjuntos
y sus propiedades.
1.2 Relaciones: equivalencia, orden, aplicaciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas).
1.3 Sistemas algebraicos: conjuntos de números naturales y números racióneles positivos
N y Q+) con operaciones suma y multiplicación ( + y *) y sus propiedades.
1.4 Conjuntos de números enteros y racionales ( Z y Q). Concepto de grupo, anillo:
ejemplos.
1.5 Campo de números reales R.
1.6 Conjuntos R x R, RxRxR. (conjunto de pares y ternas ordenadas). Aplicaciones: “lugares
geométricos” famosos. (Curvas y superficies.)
2. Introducción a la estructura de espacio vectorial. (4-5 semanas)
2.1 Concepto de vector. Operaciones algebraicas y sus propiedades. Concepto de espacio
vectorial. Interpretación geométrica (R2, R3). Espacios de columnas y de filas con
elementos del campo R.
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores. Base de un espacio vectorial.
Teoremas de dimensión. Cambio de base (o referencia) en un espacio vectorial.
Subespacio vectorial.
2.3 Aplicaciones: geometría euclidiana en V2 y V3 (solución de problemas).
2.4 Campo de números complejos. Definición, operaciones y sus propiedades.
Interpretación geométrica: isomorfismo con el espacio vectorial R2 . Forma polar (sistema
polar de coordenadas). Aplicaciones: transformaciones geométricas en el plano.
3. Algebra vectorial y geometría analítica del espacio Euclidiano. (5-6 semanas)
3.1 Producto punto (escalar). Propiedades. Aplicaciones. Proyecciones. Ángulo entre dos
vectores. Ortogonalidad.
3.2 Producto vectorial (cruz). Propiedades. Aplicaciones. Producto triple (mixto).
Propiedades. Aplicaciones.
3.3 Espacio afín y espacio euclidiano. Vector-radio (de posición). Longitudes y ángulos en
geometría euclidiana. Sistema de coordenadas afín. Sistema de coordenadas
ortonormales. 3.4 Cambio de sistemas de coordenadas afín y orthonormales.?
(ortonormadas).
3.4 Rectas. Ecuaciones vectoriales y paramétricas. Ecuación en forma canónica (simétrica).
Problemas de posición de rectas y problemas métricos en E3.
3.5 Planes. Ecuaciones vectoriales, paramétricas. Ecuaciones implícitas. Ecuación normal.
Problemas de posición de planos y planos rectas y problemas métricos en E3.
3.6 Sistemas ortogonales. Proyecciones sobre subespacios. Método de cuadrados
mínimos. Aplicaciones a Ciencias Naturales (aproximaciones lineales, cuadráticas etc.).
4. Teoría de sistemas de ecuaciones lineales. (4 semanas)
4.1 Álgebra Matricial. Operaciones con matrices. Expresión matricial de un sistema de
ecuaciones lineales.
4.2 Rango de una matriz. Criterios de consistencia de un sistema lineal. Soluciones de un
sistema consistente. Método de Gauss.
4.3 Soluciones fundamentales de un sistema homogéneo. Solución general. Aplicaciones a
Ciencias naturales (análisis de dimensión etc.)
4.4 Matrices cuadradas. Determinantes. Definiciones y propiedades: Método de Cramer.
Matriz inversa.
5. Temas Selectos (2-3 semanas).
Aplicaciones lineales de espacios vectoriales. Operadores. Diagonalización.
Formas bilineales.
Bibliografía.
1.Francis G. Florey, Fundamentos de Algebra lineal y aplicaciones, Prentice Hall, 1980
2. Eugenio Hernández, Álgebra y Geometría, Addison-Wesley/Universidad Autónoma de
Madrid, 1994.
3. Juan de Burgos Ramón ,Algebra lineal y geometría cartesiana, McGraw Hill, 2000