Download Ficha 11ª Geom _2ºESO-09-10

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1.-
SEMINARIO DE MATEMÁTICAS
C
D 10m A
7m
E
30m
B
El dibujo presenta un método aproximado para
medir la anchura de un río sin necesidad más que
de tomar medidas en una orilla.
Situándonos en el punto A hemos realizado un
desplazamiento de 30 m hasta situarnos en el
punto B y, desde el mismo punto A pero en
sentido contrario, otro de 10 m hasta el punto D. A
continuación, nos desplazamos
perpendicularmente a la orilla del río desde el
punto D hasta el punto E una distancia de 7 m.
Demostrar que los triángulos ABC y ADE son
semejantes.
Utilizando el concepto de semejanza, obtener la
medida del lado BC, la anchura del río.
2.- Dado el triángulo equilátero ABC de la figura, de 6cm de lado, calcula el área de la parte sombreada
AMNE, sabiendo que M y N son los puntos medios de los lados AB y CB respectivamente.
3.- Las áreas de dos polígonos semejantes son 121 cm2 y 324 cm2. Si el perímetro del primero es 44 cm,
¿cuál es el perímetro del segundo?
4.-.Del triángulo rectángulo, se sabe: AB = c = 8 cm
AD = m = 3,5 cm .
DC = n,
Calcula:
AC = a, BC = b y BD = h
5.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 24 cm y la hipotenusa mide 18 cm más que el otro cateto.
Halla el perímetro y el área de dicho triángulo.
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6.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 5/13 de la longitud de la hipotenusa y el otro cateto mide 48
cm. Halla el perímetro y el área de dicho triángulo.
7.- Los radios de dos circunferencias concéntricas difieren en 24 cm y uno mide 5/7 de la longitud del
otro. Calcula el área de la corona circular limitada por las dos circunferencias.
8.- El perímetro de un trapecio isósceles mide 196 m y cada lado oblicuo mide 34 m. Halla las bases y el
área del trapecio, sabiendo que una base mide 3/5 de la longitud de la otra.
10.- La proyección de un cateto de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa mide 54 cm y la suma de
la altura con la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 60 cm. Calcula dicha proyección
12.- La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6cm y las medidas de las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa difieren entre sí en 9cm, Calcula las medidas de dichas
proyecciones, el perímetro y el área del triángulo.
13.- Si un ∆ rectángulo tiene un ángulo de 30º, ¿cómo es, en magnitud, el cateto opuesto con respecto a la
hipotenusa? Razona la respuesta.
14.- En un triángulo rectángulo isósceles, la mediana relativa a uno de los lados iguales mide 10 cm.
Calcular la hipotenusa y el área del triángulo.
15.- En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide 4cm, el ángulo B =30º. Calcular
el área del triángulo.
16.- Los Triángulos ABC y ADE ¿son semejantes? ¿Por qué?
Calcula:
Los lados x, y, z
La razón de semejanza
El área del triángulo ABC
El área del triángulo ADE en función de la razón de semejanza
B
5,09 cm
D
z
6,07 cm
y
3,73 cm
x
A
6,82 cm
E
C
17.-
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C
E
D o'
A
CO'=h= 6,5cm
EO'=r= 3cm
BO=R= 5cm
Calcula la altura del cono CO.
El volumen y su área total
B
o
18.- El perímetro y el área de un rectángulo es de 40 cm y de 100 cm2. Calcula el área de otro semejante a
él que tiene un perímetro de 80 cm.
19.-
G
1,63 cm
F
1,43 cm
E
2,03 cm
3,58 cm
B
C
AD =5,80 cm
A
Hallar los segmentos:
AB,BC,CD,BE,CF
D
20.A
Sabiendo que:
AC = 4,71 cm AB = 5,11 cm
AD = 1,66 cm BC = 4,29 cm
Calcula:
AF ; FB ; DF
1,66 cm
4,71 cm
C
D
F
5,11 cm
B
4,29 cm
21.- La figura representa una finca de forma de trapecio isósceles, con las medidas que se indican.
Calcular el área de la finca dada en ha (hectáreas)
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B 4km
C
60º
8km
A
D
22.Calcular:
a) el segmento AB
b) El segmento CD
c) El área total de la figura dada
d) El perímetro de la figura dada
B
4,33 cm
2,37 cm E
3,82 cm
A
C
1,27 cm
23.-
x
1,88 cm
1,01 cm
1,37 cm
0,86 cm
y
z
1,25 cm
24.O
M
P
N
Dadas dos circunferencias secantes,
sabiendo que PQ = 3 cm, segmento
que une los puntos centrales. Si
trazamos una recta paralela a PQ, por
el punto O, obtenemos un segmento
MN con los puntos de corte con los
círculos.
¿Cuánto mide el segmento MN?
Q
25.-
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Calcular el radio del círculo
sabiendo:
AB = 8cm
BC = 3cm
A
B
C
26.-
A
D
En una plaza circular de r = 9 m, se
quiere construir un estanque de forma
rómbica, según la figura.¿Cuánto
mide el lado del rombo?
B
C
E
27.- Calcular la superficie de una habitación rectangular que dibujada en un plano a escala 1: 200 tiene de
medidas 2 y 5 cm de ancho y largo, respectivamente. No se necesita calcular las medidas reales de la
habitación.
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28.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto miden 30 y 24 m respectivamente. Hallar el área
y el perímetro de dicho triángulo.
Para un nuevo triángulo rectángulo, semejante al anterior, obtener su perímetro y su área sabiendo que las
medidas de sus lados son tres veces mayor que las correspondientes a sus lados homólogos, en el primer
triángulo.
No es necesario calcular las medidas de los lados del nuevo triángulo rectángulo.
30 m
24m
29.- Calcular x, y, z, sabiendo que las figuras A y B son semejantes
G
5m
G'
z
6m
F
H
5m
y
E'
F'
H'
x
E
B
A
6m
D'
3m
6m
C
9m
D
C'
30.- Los ángulos de un pentágono son proporcionales a los números 7, 8, 9, 10 y 11. Hallarlos.
ˆ = 180.(n − 2) → donde " n" = al número de lados )
(Recuerda: Σ
31.- Descompón la figura dad en otras más elementales y obtén el área y perímetro
6cm
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32.- Halla la superficie de círculo que resta de inscribir un hexágono y un cuadrado, según la figura
4cm
15m
33.- Hallar el área y el perímetro de las siguientes figuras
B
B
C
10 cm
8cm
60º
45º
C
A
B
16cm
60º
A
30º
A
C
B
C
12cm
B
12cm
C
60º
20 cm
A
45º
D
A
D
24 cm
34.- La razón de semejanza es 2/3. Calcula x, y, z.
90
60
y
36
54
x
y
48
35.- ¿Puede existir un triángulo de lados 2, 4 y 7 cm? ¿Y uno de lados 2, 4 y 5 cm?: En los casos
afirmativos, dibújalo.
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36.- En un triángulo de lados a = 10 cm, b = 11 cm y c = 14 cm. ¿Cuál de los tres ángulos es el mayor?,
¿Y el menor?
37.- Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5cm y 8 cm. Calcula su área aplicando la fórmula de Herón:
(A =
p ( p − a )( p − b)( p − c) → siendo p = semiperímetro =
P
)
2
38.- Calcula el área del triángulo del ejercicio nº 36.
39.Sea ABCDEF un hexágono que tiene todos sus ángulos
de 120° y AB = 1, BC = 4, CD = 2 y EF = 3. Hallar las
medidas
de
AF
y
ED.
40.- Dos figuras geométricas se llaman equivalente si tienen la misma área. Justifica si la siguiente
afirmación es cierta o no: “El círculo es equivalente a un triángulo cuya base tiene la longitud de la
circunferencia y cuya altura es igual al radio de la misma”
A
r
r
B
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L
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41.- El siguiente problema fue hallado en el capítulo IX del libro chino: "Chu Chang Suan Shu" o "Arte
Matemático en Nueve Secciones"
Crece en medio de una laguna circular de 3m (300cm) de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm del
agua cuando se inclina hasta que lo cubre de agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué
profundidad tiene el agua?
42.- El área de dos polígonos semejantes son 144 cm2 y 441 cm2. Sabiendo que el perímetro es 48 cm,
calcular el del segundo.
43.- Un sector circular tienen 8cm2 de área y el ángulo central correspondiente mide 40º. Calcula el área
del círculo a que pertenece el sector y la longitud del arco que le sirve de base.
44.- Junto a la torre del Oro, la ciudad ha levantado una estatua en homenaje al compositor W. A. Mozart
que, conjuntamente con su pedestal, mide 2’10 m y que a las 10 de la mañana tiene una sombra de 1’20
m. A la misma hora hemos realizado la medición de las sombras que tienen todas las torres obteniendo los
resultados de la tabla:
Torre de...
Oro
Schlinder
San Marcos
Perdigones
Don Fadrique
Sombra ( m )
24
52
12’6
17
19
45.- En un triángulo isósceles de 6 m de base se traza la altura correspondiente a uno de los lados iguales,
y su longitud es 4’8 m. Hallar el área del triángulo.
46.- En un triángulo rectángulo un ángulo mide 60º, y su hipotenusa 6 m. Calcúlese la longitud de los dos
catetos.
47.- La razón entre los radios de dos círculos es igual a 2/3; la suma de las áreas de ellos es 367’38 m.
Hallar sus áreas.
48.- Recortando en cada vértice de un triángulo equilatero de 9 cm de lado, un cierto triángulo equilatero,
se obtiene un hexágono regular. Calcular la superficie del hexágono.
49.-En un trapecio rectángulo ,ABCD, los ángulos A y D miden 90º y el ángulo B = 45º.La diagonal AC
⊥ CB y mide 8 cm. Calcular la superficie del trapecio.
50.- Desde un punto M de una circunferencia se traza la perpendicular a un diámetro, la cual divide a éste
en dos segmentos que miden 9,6 y 5’4 cm. Calcula las longitudes de las cuerdas que unen el punto M con
los extremos de dicho diámetro.
51.- En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide 4 cm, el ángulo B =30º .
Calcular el área del triángulo.
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52.- Halla la distancia que hay desde un vértice a la diagonal opuesta de un rectángulo cuyos lados miden
192 y 144 cm, respectivamente.
53.- En el triángulo rectángulo ABC, de catetos 5 y 12, dibujamos dos arcos, uno con centro C y
radio 12 y otro con centro B y radio 5, que cortan a la hipotenusa en los puntos M y N. Calcula la
longitud de MN
54.- En un juego de ordenador, el” monstruo ” es el sector sombreado de un círculo de radio 1,
como se muestra en la figura. La parte no sombreada (la boca) tiene un ángulo central de 60º.
¿Cuál es el perímetro del monstruo?
55.- El lado AB de un triángulo equilátero ABC es un diámetro de una circunferencia de radio 1.
Los punto E y G son las intersecciones de la circunferencia con los lados AC y BC
respectivamente. Calcula la longitud del segmento BE.
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