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Teoremas y métodos generales en el cálculo de circuitos de corriente alterna
Objetivos
1. Aplicar los teoremas y métodos generales de análisis de circuitos eléctricos, en la solución
de circuitos de corriente alterna, utilizando la metodología impartida en el material y el texto.
Sumario
- Métodos generales y teoremas en corriente alterna
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 10. Epígrafes 10.9, 10.10 y 10.12
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Como se ha visto, tanto la ley de Ohm como las leyes de Kirchhoff se cumplen en los circuitos
para cualquier tipo de estímulo y, por tanto, todos los principios, teoremas y métodos
generales de análisis de circuitos lineales estudiados para estímulos de corriente directa que
se basan en estas leyes, también son válidos en circuitos lineales con estímulos de corriente
alterna, en forma fasorial.
En consecuencia, para estímulos de corriente alterna, se continuará trabajando con estos
teoremas y métodos generales en términos de impedancias, admitancias y fasores corrientes
y tensiones (amplitud o eficaces según el caso).
1 Ejemplo 1
a) Determinar la corriente I2 aplicando el teorema de Thévenin. b) ¿Qué valor debería tener
la carga, considerada a la derecha de los puntos a y b, para que en ella se disipe la máxima
potencia activa?
Solución:
a) ¿Cómo aplicar el teorema de Thévenin para determinar I2?
1. Hacer el dipolo activo. ¿Cómo se hace el dipolo activo? Se
hace quitando la rama a la derecha de los puntos a y b.
2. Cálculo de la tensión de circuito abierto Vth= (Vab)oc .
Aplicando divisor de tensión: V0 =20 ∠-180V
3. Cálculo de la Zth ¿Cómo se calcula?
ZTh =15,8 ∠ -71,6 = 5 - j 15 Ω
4) Circuito equivalente de Thévenin y circuito
total con la subred que se había eliminado.
¿Cómo se calcula la corriente pedida?
I2 = 1,41 ∠-1350 A
b) ¿Qué valor debería tener la carga para
que en ella se disipe la máxima potencia
activa?
Representando el dipolo activo por medio de
su
circuito
equivalente de Thévenin, el teorema plantea
que la potencia
activa en la carga es máxima cuando
Z = Zth *,
por tanto Z = (Zth)*= 5 + j 15 Ω
Resumen: Se han empleado las técnicas circuitales ya conocidas, pero fasorialmente
(operatoria con números complejos).
2 Ejemplo 2
Se muestra el diagrama fasorial (DF) del dipolo pasivo lineal de la figura.
La frecuencia es 50 Hz.
Determine a) parámetros del circuito equivalente paralelo.
b) Represente el triángulo de corrientes c) Calcule las componentes activa
y reactiva fasoriales del fasor corriente eficaz d) ¿Qué elemento del
circuito equivalente paralelo está asociado a cada componente?
Solución:
De acuerdo con el DF, ¿cuál es la naturaleza predominante del
dipolo, inductiva o capacitiva? En consecuencia, cualquier circuito
equivalente, ¿de qué tipos de elementos consta? Para hallar el
equivalente paralelo, ¿calculamos Z o Y?
0
a) Y = I / V = 4∠15 / 100∠750 = 0,04∠‐600 = 0,02 – j0,035 S
ÆLp= 0,092H
Gp = 0,02 S ÆRp = 50Ω y como BL = 0,035 S
quedando el circuito equivalente como se muestra
c) Del DF las componentes de la corriente son:
Ia = 2∠750 A e Ir= 3,46∠-150 A d) Calcule la corriente en cada elemento y demuestre que Ia circula por el resistor y Ir por el
inductor (elemento reactivo). 3 Ejemplo 3
Plantear las ecuaciones necesarias para determinar la
tensión vo(t) aplicando el método de las corrientes de
malla, si vs (t)=10√2 cos (2t) V
Solución:
1- ¿Cuál es el método general más ventajoso, conveniente, adecuado? ¿Mallas o nodos?
¿B?, ¿n? B =3 y dos nodos n =2.
El número de ecuaciones linealmente independientes en cada método:
B - n +1 = 2 ecuaciones de corrientes de malla
n – 1 = 1 ecuación de tensiones de nodo
Aunque es factible aplicar el método de las tensiones de nodo, se aplicará el método pedido
de corrientes de malla.
Pasando a la representación fasorial:
XL = 4 Ω, XC = 4 Ω y Vs=10 ∠00 V
2. ¿Transformaciones para aplicar mallas? No hay.
3. ¿Árbol?, ¿Eslabones? ¿Sentido de referencia de las corrientes de malla? das
4. ¿Forma general del sistema de ecuaciones?
Para una red con estímulo de corriente alterna
Z11 I1m + Z12 I2m = Σ V1
Z 21 I1m + Z 22 I2m = Σ V2
Calculando los coeficientes del sistema de ecuaciones:
0
Z 11= 4 + j2 Ω, Z 12 = Z 21 = - j2 Ω, Z 22= 4 + j2 Ω, ∑ V1 = -10 ∠0 V, ∑ V2 = 0V
El sistema de ecuaciones es:
(4 + j2 ) I1m - j 2 I2m = -10 ∠00
-j2 I1m + (4 + j2 ) I2m = 0
Resolviendo: I2m = 0,884 ∠-1350 A I0 = I2m = 0,884 ∠-1350 A
Aplicando ley de Ohm: V0 = 4 I0= 3,536 ∠-1350 V
La respuesta es: v0(t)= 5cos(2t - 1350 ) V
Resumen: Necesidad de plantear el circuito fasorialmente, y el resto es similar a lo aprendido
en corriente directa pero trabajando con números complejos en lugar de números reales.
4 Conclusiones
La aplicación circuital de los métodos generales y teoremas en corriente alterna es
esencialmente igual que en el caso de las redes resistivas.
Si se quiere plantear el sistema de ecuaciones necesarias para determinar la tensión VRL
aplicando el método general más adecuado, ¿qué se debe hacer?
Solución:
1- ¿Cuál es el método general más ventajoso, conveniente,
adecuado? ¿Mallas o nodos?
Se selecciona el método de los de nodos.
2. ¿Transformaciones para aplicar nodos? Se
unen los
puntos equipotenciales y se transforman las
fuentes
reales de tensión en fuentes reales de corriente
3. ¿Nodo de referencia? El nodo de referencia o
tierra
(potencial cero), se selecciona arbitrariamente.
En
este
caso seleccionamos el potencial de referencia
cero, y VRL
= V1. El circuito queda como se muestra.
4. ¿Forma general del sistema de ecuaciones?
Y11V1 - Y 12V2 - Y 13V3 = ∑ I1
- Y 21V1 + Y 22V2 - Y 23V3 = ∑ I2
- Y 31V1 - Y 32V2 + Y 33V3 = ∑ I3
En este caso de 1 solo nodo Y11V1 = ∑ I1
Y11= 1/2 + 1/(1+j3) + 1/(-j4) = 0,6 - j 0,05 S = 0,602 ∠ -4,760 S
Sustituyendo:
0,602 ∠ -4,760 V1 =50∠ 00 + 12,5 ∠900 Vx
Poniendo Vx en función de V1, por divisor de tensión en la red original: Vx = V1 (1/(1+ j3))
Sustituyendo y resolviendo V1 =14,7 ∠157,60 V y VRL =14,7 ∠157,60 V
Resumen: Se han empleado las técnicas circuitales ya conocidas, pero ahora fasorialmente
(operatoria con números complejos).
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudie la bibliografía señalada, Capítulo 10. Epígrafes 10.9, 10.10 y 10.12. Ejemplos 10.7 y
10.8. Prácticas 10.12 y 10.13. Ejercicios 53, 55, 57.
Realice los problemas que se muestran a continuación
1- Calcular la lectura del amperímetro
Z0 = j4 Ω Z1 = 7 Ω Z2 = 14 Ω Z3 = 28 Ω Z4 = 2- j10 Ω
Respuesta: 10 A Zeq = 10∠370 V
Z5= 1+ j 5Ω
2-Determinar I6 si:
Z1 = 6Ω Z2 = -j20Ω Z3 = Z4 = Z5 = 12 Ω Z6= j 2,5 Ω E= 104∠-300 V
Observaciones:
No simultanee ecuaciones innecesariamente.
5 Piense como calcular I6 sin alterar la rama de la incógnita. Si no se le ocurre algo, piense en
algún teorema útil y en transformaciones de fuentes reales y después………..
3-Sabiendo que E = 2√2∠400 V, calcule la corriente Ia aplicando el método general más
adecuado.
V2 = V3 = 2∠00 V
I3 = 0 A
Respuesta: nodos
4- Se sabe que ⎜V1⎜= 40V y que ⎜V2 ⎜= 50V. La primera tensión retarda a la 2da en 900
Z1 =2 - j4 Ω Z2 =2 + j4 Ω Z3 = j5 Ω Z4 = j10 Ω Z5 = -j 5 Ω
Calcule las lecturas de los amperímetros
Observaciones: en este caso piden todas las corrientes y se justifica la aplicación de un
método general. Por supuesto, elija el más adecuado que es ………
Sugerencia: tome V2 en la referencia
Respuesta: nodos 19 A 14,14 A 8,94 A 4,47 10 A
Se comenzará el análisis de los conceptos y fórmulas de los distintos tipos de potencia, o
conjunto de magnitudes que caracterizan a la transferencia de energía en corriente alterna.
¿Qué es la potencia activa? ¿Qué la reactiva? ¿Qué es la potencia aparente? ¿Qué es el
factor de potencia?
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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