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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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Observando con atención las fotografías y los objetos que aparecen en este taller de Geometría, podrás encontrar, repetidos en diferentes tamaños, todos
los polígonos que aparecen a continuación. Relaciona cada uno de ellos con las
figuras reales en las que aparecen.
→ Torre
→ Balón
→ Logotipo del metro
→ Caja
→ Caja
→ Puente
→ Puente y cubo sobre la mesa
→ Balón y panel de avispas
→ Escultura que hay delante
de la torre
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^
A
1 ¿Cuánto miden estos ángulos?
^
B
Razona tu respuesta.
^
E
∧
B = 40° (opuestos por el vértice)
∧
D = 40° (correspondientes)
^
F
40°
^
C
^
D
^
G
∧
F = 40° (alternos externos)
∧
A = 180° – 40° = 140°
∧
∧
∧
∧
∧
∧
C = A = 140° (opuestos por el vértice)
E = A = 140° (correspondientes)
G = A = 140° (alternos externos)
2 En un decágono regular (10 lados), calcula la suma de todos sus ángulos, y las
amplitudes de uno de sus ángulos y de su ángulo central.
Suma = 180° · (10 – 2) = 180° · 8 = 1 440°
Ángulo = 1 440° = 144°
10
Ángulo central = 360° = 36°
10
Unidad 7. Figuras planas
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1 Dibuja un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y 6 cm. Traza sus mediatrices, halla
su circuncentro y dibuja la circunferencia circunscrita.
A
mc
mb
m
6c
m
8c
CIRCUNCENTRO
B
C
10 cm
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA
ma
2 En un triángulo igual al anterior, halla el incentro y la circunferencia inscrita.
Justifica que el incentro equidista de los tres lados.
A
CIRCUNFERENCIA
INSCRITA
bc
bb
m
6c
m
8c
INCENTRO
B
ba
10 cm
C
Justificación de que el incentro equidista de los tres lados:
• Las bisectrices ba y bb se cortan en el incentro.
• Por pertenecer a ba , el incentro está a igual distancia del lado AB que del
lado AC.
• Por pertenecer a bb , el incentro está a igual distancia del lado AB que del lado BC.
Por tanto:
• El incentro está a igual distancia de AB que de AC que de BC; es decir,
equidista de los tres lados.
(Además, el incentro también pertenece a la bisectriz bc , por equidistar de los
lados AC y BC).
Unidad 7. Figuras planas
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3 Dibuja un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y 6 cm. Traza sus medianas y comprueba, midiendo, que la distancia del baricentro a cada vértice es doble que al
punto medio del correspondiente lado opuesto.
m
8 c mc
m
2,8 c
2,4 c
m
B
m
BARICENTRO
1,7 c
m
5,6 c
mb
m
6c
3,4 c
m
A
4,8 c
ma
m
C
10 cm
La distancia del baricentro a cada vértice es doble que al punto medio del correspondiente lado opuesto.
4 Halla, dibujando sus alturas, el ortocentro de un triángulo acutángulo, de uno
obtusángulo y de uno rectángulo. Comprobarás que en el primero está dentro
del triángulo, en el segundo, fuera, y en el tercero, en el vértice del ángulo recto.
Triángulo acutángulo
A
Triángulo rectángulo
A
Triángulo obtusángulo
A
ORTOCENTRO
B
C
B
B
ORTOCENTRO
C
C
ORTOCENTRO
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1 En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos catetos y se pide la hipotenusa (si su medida no es exacta, dala con una cifra decimal):
a) 37 cm y 45 cm
b) 16 cm y 30 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras: a 2 = 372 + 452
a)
a
37 cm
a 2 = 1 369 + 2 025 → a 2 = 3 394 →
→ a = √3 394 ≈ 58,3 cm
45 cm
b)
16 cm
a
a 2 = 162 + 302 → a 2 = 256 + 900 → a 2 = 1 156
a = √1 156 = 34 cm
30 cm
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2 En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se
pide el otro cateto (exactamente o con una cifra decimal):
a) 37 cm y 45 cm
b) 15 cm y 39 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras: 452 = b 2 + 372
a)
b
45 cm
2 025 = b 2 + 1 369 → b 2 = 2 025 – 1 369 →
→ b 2 = 656 →
37 cm
→ b = √656 ≈ 25,6 cm
b)
392 = b 2 + 152 → 1 521 = b 2 + 225 →
39 cm
15 cm
→ b 2 = 1 521 – 225
b 2 = 1 296 → b = √1 296 = 36 cm
b
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3 Averigua cómo son los triángulos de lados:
a) 49 m, 18 m y 52 m.
b) 44 cm, 17 cm y 39 cm.
a) a 2 + b 2 = 492 + 182 = 2 401 + 324 = 2 725  a 2 + b 2 > c 2 →

c 2 = 522 = 2 704
 → Triángulo acutángulo
b) a 2 + b 2 = 172 + 392 = 289 + 1 521 = 1 810  a 2 + b 2 < c 2 →

c 2 = 442 = 1 936
 → Triángulo obtusángulo
4 Halla el área de los triángulos de lados:
a) 49 m, 18 m y 52 m.
b) 44 cm, 17 cm y 39 cm.
a)
49 m
18 m
h
52 – x
52 m
x
Aplicamos el teorema de Pitágoras
en cada uno de los dos triángulos
rectángulos:
492 = h2 + (52 – x)2 

182 = h2 + x 2

h2 = 492 – (52 – x)2 

h2 = 182 – x 2

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492 – (52 – x)2 = 182 – x 2 → 2 401 – (2 704 – 104x + x 2) = 324 – x 2
2 401 – 2 704 + 104x – x 2 = 324 – x 2 → 104x = 627
x = 627 ≈ 6,03 m → x ≈ 6,03 m
104
h2 = 182 – x 2 = 324 – 36,36 = 287,64 → h = √287,64 ≈ 16,96 m
Área = base · h = 52 · 16,96 = 440,96 m2
2
2
b)
39 cm
17 cm
h
x
44 – x
44 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras en cada uno
de los dos triángulos rectángulos:
392 = h2 + (44 – x)2  h2 = 392 – (44 – x)2 
 2

172 = h2 + x 2
 h = 172 – x 2

392 – (44 – x)2 = 172 – x 2 → 1 521 – (1 936 – 88x + x 2) = 289 – x 2
1 521 – 1 936 + 88x – x 2 = 289 – x 2 → 88x = 704 → x = 704 = 8 cm
88
h2 = 172 – x 2 = 289 – 64 = 225 → h = √225 = 15 cm
Área = base · h = 44 · 15 = 330 cm2
2
2
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1 Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 30 cm. Halla la longitud de su lado.
8 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
l
l 2 = 152 + 82 → l 2 = 225 + 64 → l 2 = 289 →
15 cm
→ l = √289 = 17 cm
2 La diagonal de un estadio rectangular mide 102 m, y uno de sus lados, 90 m.
Halla el otro lado.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
2m
10
90 m
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x
1022 = 902 + x 2 → 10 404 = 8 100 + x 2
x 2 = 10 404 – 8 100 → x 2 = 2 304 →
→ x = √2 304 = 48 m
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3 La altura de un trapecio isósceles mide 16 cm y sus bases, 5 dm y 3 dm.
Halla la longitud de los dos lados iguales, aproximando hasta los milímetros.
5 – 3 = 2 dm
3 dm
→ 2 : 2 = 1 dm
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
x
1,6 dm
x
x 2 = 1,62 + 12 → x 2 = 2,56 + 1 →
→ x 2 = 3,56 →
1 dm
→ x = √3,56 ≈ 1,89 dm
x ≈ 1,89 dm = 189 mm
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1 Una circunferencia tiene un radio de 26 cm. Trazamos una recta a 10 cm de su
centro. Halla la longitud de la cuerda que determina la recta en la circunferencia.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
262 = x 2 + 102 → 676 = x 2 + 100 →
x
10 cm
→ x 2 = 676 – 100 = 576
26 cm
x = √576 = 24 cm → 2x = 48 cm mide la cuerda
2 El segmento tangente desde un punto P a una circunferencia de centro O mide 55 cm. La distancia de P a O es 60 cm. ¿Cuál es el diámetro de la circunferencia?
m
55 c
P
60 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
r
602 = r 2 + 552 → 3 600 = r 2 + 3 025
O
r 2 = 3 600 – 3 025 → r 2 = 575 →
→ r = √575 = 23,98 cm
Diámetro = 2r ≈ 2 · 23,98 = 47,96 cm
Página 153
3 Los radios de dos circunferencias son r1 = 10 cm y r2 = 6 cm. La distancia entre
sus centros, 21 cm.
a) Halla el segmento de tangente común externa.
b) Halla el segmento de tangente común interna.
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t1
10 cm
t2
6 cm
d = 21 cm
a)
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
t1
212 = t12 + 42 → 441 = t12 + 16
t1
4 cm
6 cm
21 cm
t12 = 441 – 16 = 425 →
→ t1 = √425 ≈ 20,62 cm
b)
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
m
6c
t2
1
212 = t22 + 162 → 441 = t22 + 256
t2
t22 = 441 – 256 = 185 →
21 cm
→ t2 = √185 ≈ 13,60 cm
4 Tenemos dos circunferencias de radios 8 cm y 3 cm, respectivamente, con un
segmento tangente común externo que mide 12 cm. Calcula la distancia entre
sus centros y su segmento de tangente común interna.
• Distancia entre sus centros:
12 c
3 cm
m
d 2 = 122 + 52 → d 2 = 144 + 25 = 169
12 c
m
5 cm
O
3 cm
O'
d
d = √169 = 13 cm
• Segmento de tangente común interna:
m
3c
m
8c
O
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13 cm
132 = t 2 + 112 → t 2 = 132 – 112
t
t
O'
3 cm
t 2 = 169 – 121 = 48
t = √48 ≈ 6,93 cm
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1 a) ¿Cuál es la medida angular de cada uno de los seis arcos que un hexágono
regular determina en la circuferencia circunscrita?
α
γ
β
b) Halla el valor de los ángulos α, β y γ.
C
F
α
α'
O
A
γ
E
∧
a) El ángulo central, BOD, mide 360° = 60°,
6
) ) )
luego
cada uno
) )
) de los arcos, AC, CF, FE,
ED, DB, y BA mide también 60°.
b) α es un ángulo inscrito en la circunferencia,
)
por tanto, α = BD → α = 30°
B
D
2
β es el ángulo recto de un triángulo rectángulo → β = 90°
β
El segmento FE es paralelo al segmento CD, y el segmento FD es paralelo al segmento CB. Así, α = α'.
Entonces: γ = 90° + α' = 90° + 30° = 120°
2 a) ¿Cuál es la medida angular de cada uno de los cinco arcos que un pentágono
regular determina en la circunferencia circunscrita?
β
b) Halla el valor de los ángulos α, β y γ.
γ
α
∧
a) El ángulo central AOB mide 360° = 72°.
5
Cada uno de los cinco arcos mide 72°.
β
O
A
β'
γ
α
β'
B
∧
b) Como AB = 72° → β = 72° = 36°
2
2α + β = 180° → α = 180° – 36° = 72°
2
Por otro lado, β' = β.
Como 2β' + γ = 180° → 2 · 36° + γ = 180° → γ = 180° – 72° = 108°
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∧
∧
a) CAD = ➀
3 Halla:
b) ADB = ➁
∧
∧
d) AVD = α
c) ADV
A
C
1
40° α
100°
2
V
D
AB = 100°
CD = 40°
B
∧
a) CAD = 40° = 20°
2
∧
b) ADB = 100° = 50°
2
∧
∧
c) ADV = 180° – 50° = 130°
d) AVD = 180° – 20° – 130° = 30°
∧
4 Halla: a) CBD = ➀
A
∧
C
b) ADB = ➁
∧
α
100°
c) BVD
V
40°
2
∧
D
1
d) AVB = α
AB = 100°
CD = 40°
B
∧
a) CBD = 40° = 20°
2
∧
b) ADB = 100° = 50°
2
∧
c) BVD = 180° – ➀ – ➁ = 180° – 20° – 50° = 110°
∧
d) AVB = α = 180° – 110° = 70°
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1 Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras, calculando previamente el
elemento que falta:
a
b
17 m
15 m
15 m
12 m
15 m
12 m
16 cm
d
c
5,6 cm
23 cm
6,9 cm
28 cm
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a)
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar x:
15 m
m
17
x
172 = x2 + 152 → 289 = x2 + 225 →
x
→ x 2 = 289 – 225 = 64
15 m
x = √64 = 8 m
Perímetro = 2 · (15 + 8) = 2 · 23 = 46 m
Área = b · h = 15 · 8 = 120 m2
b)
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar h:
24 m
15 m
h
12 m
15 m
152 = h2 + 122 → 225 = h2 + 144 →
→ h2 = 225 – 144 = 81
12 m
h = √81 = 9 m
Perímetro = 2 · (15 + 24) = 2 · 39 = 78 m
Área = b · h = 24 · 9 = 216 m2
c)
Llamamos x a la mitad del lado y lo calculamos
aplicando el teorema de Pitágoras:
x
5,6 cm
6,9
cm
l
l
6,92 = x 2 + 5,62 → 47,61 = x 2 + 31,36 →
→ x2 = 47,61 – 31,36 = 16,25
x = √16,25 ≈ 4,03 cm
l
l
lado = 2x = 4,03 · 2 = 8,06 cm
Perímetro = 5l = 5 · 8,06 = 40,30 cm
Área =
Perímetro · a
= 40,30 · 5,6 = 112,84 cm2
2
2
16 cm
d)
Hallamos h aplicando el teorema de Pitágoras:
232 = h2 + 122 → 529 = h2 + 144 →
h
h
23 cm
→ h2 = 529 – 144 = 385
h = √385 ≈ 19,62 cm
28 cm
12 cm
Perímetro = 28 + 23 + 16 + 19,62 = 86,62 cm
Área = (b + b') · h = (28 + 16) · 19,62 = 431,64 cm2
2
2
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Página 158
1 Halla el área de las figuras coloreadas.
a)
10 cm
b)
6 cm
120°
4c
m
m
6c
a) • El área del círculo de 10 cm de diámetro es: Sc10 = π · 52 = 25π ≈ 78,5 cm2
• El área del círculo pequeño, que tiene 2 cm de diámetro, es:
Sc2 = π · 12 = π ≈ 3,14 cm2
• El área de la elipse de semieje mayor 5 y semieje menor 3 es:
Se = π · 5 · 3 = 15π ≈ 47,1 cm2
Entonces, el área sombreada es:
S = Sc10 – 2Sc2 – Se = 25π – 2π – 15π = 8π ≈ 25,12 cm2
b) • El área del sector circular de 6 cm de radio es:
2
Ss6 = π · 6 · 120° = 12π ≈ 37,68 cm2
360°
• El área del sector circular de 4 cm de radio es:
2
Ss4 = π · 4 · 120° = 16 π ≈ 16,73 cm2
3
360°
Entonces, el área sombreada es:
S = Ss6 – Ss4 = 12π – 16 π = 20 π ≈ 20,94 cm2
3
3
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