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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
PÁGINA 198
REFLEXIONA
Observa algunas de las herramientas y útiles de medida y trazado.
■ La plomada señala la dirección vertical (perpendicular al suelo). El nivel
marca una dirección horizontal (paralela al suelo).
¿Qué tipo de ángulos consigue la chica albañil con nivel y plomada?
■
El inglete sirve para cortar listones con ángulos de
90° o de 45°, según convenga.
Al carpintero aún le falta poner cuatro listones, en a, b, c y d para cantear esta tabla. Dibújalos.
■ Observa tu escuadra y tu cartabón.
Averigua cómo son los tres ángulos de cada uno de estos instrumentos.
■ La plomada y el nivel permiten construir ángulos rectos.
■
a
b
c
d
a
b
c
d
■
60°
90°
45°
45°
ESCUADRA
90°
30°
CARTABÓN
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1 Traza un segmento AB en tu cuaderno. Dibuja su
mediatriz m con ayuda de regla y compás. Señala un
punto, Q, en m.
— —
Comprueba, midiendo con el compás, que QA QB.
Se comprueba que es cierto.
Unidad 10. Rectas y ángulos
Q
A
m
B
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Pág. 2
C
2 Dibuja dos segmentos concatenados, AB y BC (el
extremo de uno coincide con el origen del otro). Con
ayuda de regla graduada y escuadra, traza sus mediatrices, que se cortan en un punto P.
Razona que P está a la misma distancia (equidista)
de A, de B y de C.
P
B
A
Por estar P en la mediatriz de AB → distancia de P a A es igual a
distancia de P a B.
Por estar P en la mediatriz de BC → distancia de P a B es igual a
distancia de B a C.
Por tanto, la distancia de P a A, B y C es la misma.
PÁGINA 201
1 Dibuja en tu cuaderno un ángulo de lados r y s.
Construye su bisectriz, b, con ayuda de regla y compás.
Señala un punto, P, en b. Traza las perpendiculares,
PR y PS, desde P a los lados.
— —
Comprueba que PR = PS.
r
R
P b
S
s
Se comprueba que es cierto.
2
r
b
P
A
s
b'
B
t
∧ y st
∧ como se ve en la
Dibuja en tu cuaderno dos ángulos rs
figura. Traza sus bisectrices b y b', que se cortan en un
punto P. Razona que las distancias de P a r, a s y a t
coinciden.
∧
Por estar P en la bisectriz de rs → distancia de P a r es
igual a distancia de P a s.
∧
Por estar P en la bisectriz de st → distancia de P a s es
igual a distancia de P a t.
Por tanto, la distancia de P a r, a s y a t es la misma.
3 Divide un ángulo recto en cuatro partes iguales.
Se traza la bisectriz del ángulo recto y se obtienen dos ángulos de 45°.
Se trazan nuevamente las bisectrices en estos dos últimos
ángulos.
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Pág. 3
PÁGINA 202
1 Dibuja en tu cuaderno un ángulo de 30°.
Dibuja otros dos ángulos con los lados paralelos a los del anterior, uno que
sea igual y otro que sea suplementario.
Por ejemplo:
30°
150°
30°
2 Halla el complementario y el suplementario
de cada uno de los siguientes ángulos:
a) 40°
b) 20°
c) 50°
d) 68°
e) 73°
f) 89°
COMPLEMENTARIO
SUPLEMENTARIO
50°
70°
40°
22°
17°
1°
140°
160°
130°
112°
107°
91°
40°
20°
50°
68°
73°
89°
PÁGINA 203
3 De estos ángulos di dos que sean iguales por ser:
∧
B
∧
A
∧
F
∧
C
∧
E
∧
D
b) Correspondientes.
c) Alternos internos.
Unidad 10. Rectas y ángulos
∧
H
a) Opuestos por el vértice.
d) Alternos externos.
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
a) A y C; B y D; E y G;
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
b) B y F; C y G; A y E;
∧
G
∧
F y
∧
D y
∧
H
∧
H
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Pág. 4
∧ ∧ ∧ ∧
c) D y F; C y E
∧ ∧ ∧
∧
d) A y G; B y H
4 ¿Cuánto miden los ángulos restantes?
∧
A
∧
E
∧
F
∧
B
∧
D
50°
∧
C
∧
G
Razona, para cada ángulo, cómo deduces su medida.
∧
A130° → Es suplementario de 50°.
∧
B50° → Es opuesto por el vértice de 50°.
∧
∧
∧
C130° → Es suplementario de B50°. Es opuesto por el vértice de A130°.
∧
∧
D50° → Es alterno interno de B50°.
∧
∧
∧
E130° → Es correspondiente con A130°. Es suplementario de D50°.
∧
∧
F50° → Es correspondiente con B50°.
∧
∧
∧
G130° → Es correspondiente con C. Es opuesto por el vértice de E130°.
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1 ¿Cuántos minutos son 5°? ¿Y 7°? ¿Y 18°?
5°300'
7°420'
18°1 080'
2 Pasa a segundos las siguientes expresiones:
a) 3'
b) 5'
c) 10'
d) 15'
a) 3'180"
b) 5' 300"
c) 10' 600"
d) 15' 900"
3 Transforma en minutos las siguientes cantidades:
a) 120"
b) 180"
c) 3 600"
a) 120" 2'
b) 180" 3'
c) 3 600"60'
Unidad 10. Rectas y ángulos
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4 Pasa a grados las siguientes expresiones:
a) 60'
b) 180'
c) 240'
d) 120'
a) 60' 1°
b) 180' 3°
c) 240' 4°
d) 120' 2°
5 Con la ayuda del transportador, dibuja en tu cuaderno ángulos de 40°, 55°,
110° y 175°.
55°
40°
110°
175°
6 Calcula el ángulo suplementario de los ángulos que has dibujado en la actividad anterior.
El suplementario de 40° mide 140°.
El suplementario de 55° mide 125°.
El suplementario de 110° mide 70°.
El suplementario de 175° mide 5°.
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7 Pasa a segundos:
a) 53° 45' 13"
b) 81° 37'
c) 26° 11"
a) 53 3 600" 4560" 13"193 513"
b) 813 600" 37 60" 293 820"
c) 26 3 600" 11" 93 611"
8 Pasa a forma compleja:
a) 32 220"
a) 32 220" 60
222
537'
420
57'
00"
Unidad 10. Rectas y ángulos
b) 59 233"
60 → 8° 57'
8°
c) 9 123"
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b) 59 233" 60
523
987'
433 387'
13" 27'
60 → 16° 27' 13"
16°
c) 9 123"
312
123
03"
60 → 2° 32' 3"
2°
60
152'
32'
PÁGINA 206
1 Realiza las siguientes sumas:
a) 35° 27' 14"62° 48' 56"
b) 62° 46" 25' 43"39° 58'
a)
35° 27' 14"
62° 48' 56"
b)
97° 75' 70" → 98° 16' 10"
62°
46"
25' 43"
39° 58'
101° 83' 89" → 102° 24' 29"
2 Realiza las siguientes restas:
a) 82° 2' 7"39° 43' 27"
b) 56° 14'34° 42"
a)
82° 2' 7"
39° 43' 27"
81° 61' 67"
→ 39° 43' 27"
42° 18' 40"
b)
56° 14'
34°
42"
56° 13' 60"
→ 34°
42"
22° 13' 18"
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3 Halla el suplementario del ángulo de 108° 49' 1".
180°
179° 59' 60"
– 108° 49' 1" → – 108° 49' 1"
71° 10' 59"
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Pág. 7
4 Efectúa:
a) 36° 51'' 2° 11' 3''46' 59''
a)
b) 37' 11" × 13
36°
51"
2° 11' 3"
46' 59"
38° 57' 113" → 38° 58' 53"
b) 37° × 13 481°
11" × 13 143" 2' 23"
Así, 37° 11" × 13 481° 2' 23"
∧
5 Dado el ángulo A 35° 46' 23", halla:
∧
a) 2 A
∧
b) 5A
∧
A
c) 4
2 ∧
d) A
3
a) 2(35° 46' 23") 71° 32' 46"
b) 5 (35° 46' 23") 178° 51' 55"
c) 35° 46' 23"
4
3° →180'
8° 56' 35"
226'
26
2' →120"
143"
23
 Cociente → 8° 56' 35"
3"
Solución: 
 Resto → 3"
d) 2 (35° 46' 23") 71° 32' 46"
71° 32' 46"
3
11
23° 50' 55"
2° →120'
152'
2' →120"
166"
16
 Cociente → 23° 50' 55"
1"
Solución: 
 Resto → 1"
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Pág. 8
6 Divide 151° 6' 17" entre 7, de dos formas:
a) Como se acaba de explicar.
b) Pasándolo a segundos, dividiendo entre 7 y pasando el resultado a grados,
minutos y segundos. ¿Obtienes lo mismo que en a)?
a) 151° 6' 17"
7
11
21° 35' 11"
4° → 240'
246'
36
1' → 60"
77"
07
 Cociente → 21° 35' 11"
0"
Solución: 
 Resto → 0"
b) 151° 6' 17" 151 · 3 600" 660"17"543 977"
543 977 : 777 711"
77 711"
177
571
311
11"
60
1 295
095
35'
60
21°
Es decir, 21° 35' 11", como en a).
7 Un grifo llena 5/12 de un depósito en una hora. ¿Cuánto tardará en llenar el
depósito completo?
12
5
Si llena de depósito en una hora, tardará horas en llenar un depósito.
5
12
12
2
120
horas 2 h h2 h min2 h 24 min
5
5
5
PÁGINA 208
∧
∧
1 En un triángulo rectángulo, A mide 32° 40'. ¿Cuánto mide C ?
∧
C180°(90°32° 40') 180°122° 40' 57° 20'
A
B
Unidad 10. Rectas y ángulos
C
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Pág. 9
2 Si un ángulo de un rombo mide 39°, ¿cuánto miden los demás?
El ángulo correspondiente a su vértice opuesto mide 39°.
Cada uno de los otros dos mide:
360° (239°)
180°39°141°
2
3 ¿Cuánto miden los ángulos iguales de una cometa con esta forma?
Cada uno mide:
360°(40°100°) 220°
110°
2
2
100°
40°
4 ¿Es posible construir un cuadrilátero con un solo ángulo recto? ¿Y con solo
dos? ¿Y con solo tres?
Sí es posible construir un cuadrilátero con un solo ángulo recto. Por ejemplo:
También se puede construir con solo dos ángulos rectos. Por ejemplo:
Pero no es posible que tenga solo tres ángulos rectos, pues 360°390°90°;
es decir, si tres de los ángulos de un cuadrilátero son rectos, entonces el cuarto
también ha de serlo.
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5 Averigua cuánto suman todos los ángulos de un decágono cualquiera y cuánto mide cada ángulo de un decágono regular.
Hazlo de dos formas:
a) Volviendo a hacer todo el razonamiento: "Un decágono se puede descomponer en ocho triángulos...".
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Pág. 10
b) Aplicando las fórmulas anteriores.
a) Un decágono (regular o no) se puede descomponer en ocho triángulos.
De esta forma, la suma de los ángulos de esos triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos del decágono, es:
8180°1 440°
Si el decágono es regular, cada ángulo medirá: 1 440° : 10 144°
b) Para un decágono, la suma de todos sus ángulos es:
(n2)180°(10 2) 180°8180°1 440°
6
Justifica que el ángulo así construido mide 60°.
Por la construcción, los segmentos rectilíneos miden lo
mismo. Por tanto, se trata de un triángulo equilátero.
En este tipo de triángulos, todos sus ángulos miden 60°.
En particular, el señalado.
7 Los ángulos señalados en rojo se llaman ángulos exteriores o externos del polígono.
1
2
5
3
4
3
2
1
5
4
Copia esta figura en un papel, recorta los ángulos externos, júntalos, como
ves en la figura de la derecha, y comprueba que suman 360°.
Como se ve en la figura de la derecha, su suma es un ángulo completo, es decir,
360°.
8 Justifica que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360°.
En cualquier polígono se puede proceder como se ha hecho en el ejercicio 7.
De este modo, se ve que la suma de los ángulos exteriores es 360°.
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Pág. 11
PÁGINA 211
1 Teniendo en cuenta que cada arco señalado en la circunferencia es de 60°, di
el valor de los ángulos marcados en rojo.
B
C
A
D
F
E
CAE 60°, porque abarca el mismo arco que un ángulo
central de 120°.
FBC90°, porque abarca el mismo arco que un diámetro.
CDE 120°, porque abarca el mismo arco que un ángulo central de 240°.
CED 30°, porque abarca el mismo arco que un ángulo central de 60°.
BFC30°, por el mismo motivo que el anterior.
NOTA:
Cada división en la circunferencia son 60°.
2 Averigua cuál es la medida angular de los cinco arcos iguales en que se ha dividido la circunferencia. Di el valor de los ángulos señalados en rojo.
360°
B
Cada arco mide 72°
5
36°
A
C
BAE 108°, porque abarca el mismo arco que un ángu108°
36°
lo central de 216°.
P
E
72°
108°
D
EBD 36°, porque abarca el mismo arco que un ángulo
central de 72°.
ECD 36°, por el mismo motivo que el anterior.
BED 72°, porque abarca el mismo arco que un ángulo central de 144°.
∧
Como el ángulo P no está inscrito en la circunferencia, no podemos obtenerlo
directamente. Procedemos del siguiente modo:
Los ángulos PED y PDE sí están inscritos en la circunferencia. Sus medidas
son la misma: 72° : 236°.
∧
Por tanto, P180°(36°36°)108°.
3 Dibuja una semicircunferencia y recorta una esquina de una hoja de papel
(ángulo recto).
Unidad 10. Rectas y ángulos
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
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Pág. 12
Comprueba que, siempre que hagas pasar los lados del ángulo por los extremos del diámetro, el vértice estará situado sobre la semicircunferencia.
Se comprueba que es cierto.
PÁGINA 212
1 Señala todos los ejes de simetría de cada una de las siguientes figuras.
a)
b)
a)
c)
d)
b)
e)
c)
No tiene ejes de simetría.
Dos ejes de simetría.
Cinco ejes de simetría.
d)
e)
Un eje de simetría.
Unidad 10. Rectas y ángulos
Tres ejes de simetría.