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VIAJEROS SIDERALES EN BOGOTÁ
Imagen del cometa Halley en 1986, tomado de Sky and Telescope
El Astrolabio
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OBSERVACIÓN DEL COMETA
MACHHOLZ (C/2004 Q2) Y UNA
APROXIMACIÓN A SU ÓRBITA
Freddy Moreno1, Gregorio Portilla2
1 Coordinador del CEAF 2 Profesor del Observatorio Astronómico Nacional
Recibido: 13 de mayo de 2006
Aprobado: 1 de junio de 2006
RESUMEN
SUMMARY
El cometa Machholz (C/2004 Q2), descubierto el 27
de agosto de 2004, fue visible en todo el país durante diciembre de 2004 y enero de 2005 en las primeras horas de la noche. Su brillo sólo alcanzó una
magnitud de 3.1 pero debido a su gran altura cenital
fue fácilmente visible. Se realizaron 13 observaciones entre el 19 de diciembre de 2004 y el 28 de enero
de 2005 y partir de las posiciones encontradas se
aplicó el método de Olbers para obtener una aproximación de los elementos orbitales que describen su
trayectoria.
The comet Machholz (C/2004 Q2) was discovered
on August 27th 2004, it was visible throughout the
whole country during December 2004 and January
2005, from the early hours of the night. Its shine only
reached a magnitude of 3.1 but due to its great zenital
altitude it was easy to observe. Thirteen observations
were held between December 19 th and January 28 th
2005, and from the positions founded, the Olber‘s
Method was applied to obtain an approximation of its
orbital elements which described its trajectory.
Palabras clave: Cometa,
magnitud, elementos orbitales,
periodo orbital.
Key words : Comet, magnitude,
orbital elements, orbital period.
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INTRODUCCIÓN
Los cometas son cuerpos amorfos muy pequeños con
diámetros del orden de 15 kilómetros o menos, constituidos por aglomerados básicamente de hielo, nieve y polvo. Lejos del Sol son prácticamente imposibles de detectar, pero cuando se acercan a una distancia inferior a las 2 unidades astronómicas (U. A.),
el calor de nuestra estrella comienza a sublimarlos.
El gas y el polvo emanado en este proceso forman
un envoltorio alrededor del cometa llamado coma.
Tanto la presión de radiación, que es causada por el
ingente flujo de fotones emitidos en el centro del Sol,
como el viento solar (núcleos atómicos y electrones),
empujan el gas en dirección opuesta a él, originando
la forma típica de cola larga que caracteriza a los
cometas cuando son observados desde la Tierra.
La cola de un cometa tiende a dirigirse en la dirección
opuesta al Sol. Por lo general se desarrollan dos tipos de colas: una de gas y otra de polvo. La primera
interactúa fuertemente con el viento solar ionizando
los átomos constituyentes. Algo de la luz de la cola
de gas refleja la luz solar pero su brillantez depende
principalmente de la emisión de los átomos excitados. La cola de polvo la origina la presión de radiación. Puesto que las velocidades de las partículas
El Astrolabio
que la conforman son menores que las partículas de
gas, la primera se observa más curvada que la segunda1.
Los cometas son cuerpos que están apenas agregados, es decir, su consistencia interna es frágil2. Se ha
visto que se pueden desintegrar con mucha facilidad,
principalmente cerca de su paso por el perihelio o al
acercarse a un planeta de gran masa. Debido a que
pierden cantidad sustanciales de material en sus
acercamientos al Sol, su tiempo de vida es relativamente corto, pues sobreviven a lo sumo unas cuantas miles de revoluciones en torno a él.
Los cometas han cobrado especial interés en razón
del auge reciente de la astrobiología. Se cree que gracias a ellos gran parte del material biológico, necesario para la vida, pudo llegar a la Tierra. Recientes estudios realizados por Biver3 en 24 cometas observados entre 1986 y 2001 han encontrado ocho tipos de
moléculas (HCN, HNC, CH3CN, CH3OH, H2CO, CO,
CS y H2S) en todos los cometas. Otros análisis realizados por Crovisier4 en C/1996 B2 (Hyakutake) y C/
1995 O1 (Hale-Bopp), mostraron la presencia de
moléculas más complejas como el Keteno (H2CCO) y
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la metanoamina (CH2NH). El mismo autor5 también
encontró moléculas complejas que están muy vinculadas a la química orgánica como glicolaldehido, ácido acético, etanol y glicina.
Los investigadores piensan también que gracias a los
cometas existe agua en la Tierra en grandes cantidades. Aunque observaciones de cometas de largo período tales como el Hyakutake, hechas por BockeleeMorvan6 a finales de los años noventa del siglo pasado, indicaban que el agua emitida por este cometa
tiene una composición isotópica diferente a la de los
océanos terrestres, sugiriendo así que el agua terrestre no pudo provenir en su mayoría de las regiones exteriores del sistema solar (cometas que se formaron en inmediaciones de la órbita de Neptuno), y
obligaba a los especialistas a buscar otra explicación
para el origen del agua terrestre, recientes observaciones del cometa S4 Linear7 revelaron que el agua
emitida posee una composición isotópica muy parecida a la del agua terrestre, reforzando la idea de que
esta ha sido llevada por cometas que se formaron en
inmediaciones del planeta Júpiter.
Los cometas parecen tener las respuestas a preguntas fundamentales sobre el origen del Sistema Solar.
Por tal razón, en el 2004, la misión Stardust se acercó al cometa Wild 2 y tomó muestras del material
eyectado por su núcleo. Los primeros resultados
muestran que los cometas tienen una química más
complicada de lo se había pensado. Se han encontrado materiales que sorprendentemente en la Tierra
se forman en ambientes con altas temperaturas como
el olivino8. El olivino es un mineral magmático que,
en el caso de la Tierra, se forma en las rocas fundidas bajo la superficie.
Pocos son los cometas que se pueden ver a simple
vista o con telescopios de bajo o regular aumento.
Debido al gran interés que suscitan estos cuerpos, a
partir de las razones que enumeramos anteriormente, resulta importante hacer un cálculo de los elementos que definen su trayectoria. Es el caso del cometa Machholz (C/2004 Q2) descubierto por E.
Machholz en agosto de 2004. Fue el número 32 de
ese año sin tener en cuenta los encontrados a través
del Observatorio Solar Heliosférico (SOHO). El método más sencillo (al alcance de cualquiera con dominio del álgebra y del cálculo vectorial) para tener
una aproximación a su órbita es el desarrollado por
Olbers, para lo cual se necesitan tres observaciones lo más cercanas posibles la una de las otras.
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Descubrimiento del cometa C/2004 Q2 Machholz
El cometa C/2004 Q2 fue descubierto por el astrónomo aficionado
Donald Edward Machholz el día 27 de agosto de 2004,
utilizando un telescopio reflector con 0,15 metros de
diámetro y con una relación focal f/8 a 30X. La posición reportada al Central Bureau for Astronomical
Telegrams9 fue 4h 16,8m de ascensión recta y una declinación de -22º 20’, en la constelación del Río Erídano
con una magnitud aproximada de 11.2. La longitud de
la cola del cometa era 2’ con un movimiento mayor a
un grado cada día hacia el este. Figura 1.
20 minutos de arco (Mattiazzo11). Durante diciembre,
este viajero recorrió nuevamente la constelación del
Río Erídano, esta vez de sur a norte. A finales de este
mes el brillo reportado por varios observadores11 estaba entre 3.8 y 4.2. Figura 2.
Figura 2. Imagen del cometa Machholz tomada
por Jose Fernández García el 11 de diciembre de
2004 desde Almería España.
Figura 1 El Cometa C/2004 Q2 fotografiado el
14 de Septiembre por Gianluca Masi y Franco
Mallia, usando el telescopio SoTIE en Las
Campanas, Chile.
Berkshire10 reportó un diámetro de la coma de 70
segundos y una longitud de la cola de 5 minutos de
arco. Beherend10 vio un diámetro de la coma con 1
minuto y una longitud de 3 minutos de arco.
Este cometa se desplazó hacia el oriente durante todo
el mes de septiembre alcanzando una magnitud de
9.2, al final del mes antes de salir de la constelación
del Río Erídano. Por efecto aparente de la órbita del
cometa y de su observación desde la Tierra, el
Machholz permaneció en el vértice noroccidental de
la constelación de la Paloma hasta el 22 de noviembre, haciendo una retrogradación para finalmente tomar rumbo hacia el norte y buscar el Sol. Para el 26
de octubre el cometa Machholz alcanzó una magnitud entre 7.7 y 8.0 según el reporte de Roble11. El
cometa se tornó visible con binoculares y luego a simple vista a partir del 16 de noviembre, fecha en la
cual tenía un brillo de 6.0 y una longitud de la cola de
El Astrolabio
Tabla 1. Posiciones observadas para el cometa C/2004 Q2
Machholz el día de su descubrimiento10.
Equipos
Las observaciones necesarias para calcular la órbita
del cometa Machholz (2004 Q2) se realizaron el Observatorio del Colegio Gimnasio Campestre (ϕ =4º 45’,
λ=74º 01’) situado en el norte de Bogotá. Los telescopios utilizados fueron un telescopio Meade 8” LX 200
y un Criterium 6” f/8, con oculares de 25 milímetros.
Para obtener los datos de ascensión recta y declinación del cometa se comparó la posición observada
con el catálogo de estrellas GUIDE 6.0. Se estima
que el error en la medición puede estar entre 1 y 5
minutos de arco.
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Figura 3. El cometa Machholz a su paso por el cúmulo de las
Pléyades. Imagen del 7 de enero de 2005. H. Druckmuellenova
y M. Drucmuller.
Figura 4. Imagen del 18 de enero de 2005. El cometa Machholz
en la constelación de Perseo, tomada por Walter Koprolin.
28
19
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27
30
1
9
2
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12 13
5
Figura 5. Diagrama de la órbita del cometa C/2004 Q2 Machholz
según las observaciones realizadas desde Bogotá.
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Figura 6. Posición observada del cometa Machholz el 12 de
enero de 2005 a las 03:01 U.T. Las estrellas están identificadas
según el catálogo SAO.
Figura 7. Posición observada del cometa Machholz el 13 de
enero de 2005 a las 02:26 U.T. Las estrellas están identificadas
según el catálogo SAO.
OBSERVACIONES
En Bogotá las condiciones climáticas sólo permitieron verlo hasta mediados de diciembre, ver tabla 1.
En tal época se vio después del ocaso y durante la
mayor parte de la noche. La primera observación se
realizó el 19 de diciembre, a las 20h 50m de tiempo
local, encontrándose el cometa en las siguientes coordenadas ecuatoriales: α = 4h19m y δ= – 11o 35’, en
la constelación del Río Eridano, tabla 2. El brillo del
cometa era aproximadamente de 4.5 y su cola estaba en dirección de la estrella Bellatrix de Orión. Su
coma era redondeada con una cola corta y bastante
difusa. Imágenes tomadas con telescopios de gran
aumento lo mostraban con un ligero tinte verde eléctrico. Otra característica interesante es que sólo se
observó una cola.
Durante los primeros diez días de enero el cometa
Machholz atravesó la constelación del Toro; el 5 de
ese mes pasó a 52 millones de kilómetros de la Tierra: la menor distancia con respecto a nuestro planeta. En su camino hacia el norte, el día 7 se acercó a
2.3 grados de la estrella Electra del cúmulo de las
Pléyades. Figura 3. El 28 de enero se hizo la última
observación, esta vez el cometa se localizó en la constelación de Casiopea en las coordenadas α = 2h 56m y
δ=+59o 24’. El viaje del cometa Machholz continuó
por las constelaciones boreales de la Jirafa, Cefeo, el
Dragón y la Osa Mayor situación que hizo difícil identificarlo por estar muy cerca al horizonte. Figura 4.
En total se realizaron 13 observaciones entre el 19 de
diciembre de 2004 y el 28 de enero de 2005 Figura 5.
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Figura 8. Posición observada del cometa Machholz el 14 de
enero de 2005 a las 02:21 U.T. Las estrellas están identificadas
según el catálogo SAO.
En la tabla 2 se puede ver la posición del cometa
encontrada después de comparar la posición de él y
las estrellas vecinas según el catálogo del Smithsonian
Astronomical Observatory ( SAO). Figuras 6, 7 y 8.
Cálculo de la órbita del cometa C/2004 Q2 Machholz
Una parábola sirve como una primera aproximación
a la órbita de los cometas, dada la tendencia de estos
objetos a seguir órbitas elípticas muy pronunciadas.
El método de Olbers ofrece una solución a lo anterior
pero se debe reconocer que no es muy exacto en el
desarrollo de la mayoría de los casos, especialmente,
cuando la órbita cometaria se aleja de la parábola.
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Una órbita parabólica está determinada por sólo cinco elementos orbitales10: i, la inclinación de la órbita
con respecto al plano de referencia (la eclíptica), Ω,
la longitud del nodo ascendente, ω, el argumento de
latitud del pericentro, t0, el tiempo de paso por el
pericentro y q, la llamada distancia pericéntrica o
distancia mínima al Sol. La excentricidad e toma un
valor de uno. Esta restricción se refleja en la existencia de una relación entre los dos radios vectores del
cometa y su cuerda, de un lado, y el intervalo de tiempo durante el cual el cometa se ha movido de la primera a la segunda posición, por otro lado. Esta relación es expresada por el teorema de Euler :12, 13
k (t2 – t1) / (2q3)1/2 = tan (υ2 / 2) - tan (υ1 / 2) + 1/3 [
tan3 (υ2 / 2) - tan3 (υ1 / 2) ] (1)
donde t1 y t2 son dos tiempos de observación determinados, υ1 y υ2 son las anomalías verdaderas correspondientes, q es la distancia al Sol durante el perihelio
(distancia pericéntrica) y k es la constante de Gauss,
esto es, la raíz cuadrada del producto entre la masa
del Sol y la constante de gravitación.
Si tenemos tres observaciones de un cometa, el teorema de Euler nos da una ecuación que nos puede
relacionar una primera distancia geocéntrica con la
tercera6. Olbers dedujo una segunda ecuación entre
esas cantidades desde las ecuaciones del plano, eliminando la distancia geocéntrica del medio. Para encontrar ρ1 y ρ3 (las distancias de la Tierra al cometa)
es necesario realizar un procedimiento iterativo. Como
resultado se obtienen las coordenadas heliocéntricas
del cometa, desde donde es posible calcular los elementos orbitales. Cabe anotar que no todas las coordenadas observadas entran en la solución del problema, porque de seis datos observacionales es necesario calcular cinco elementos orbitales. Olbers
mostró que las dos coordenadas de la posición inter-
Inclinación de la órbita:
Longitud del nodo ascendente
Anomalía verdadera
Anomalía verdadera
i
Ω
υ3
υ1
media del cometa dan una sola condición, no dos.
Por lo tanto es posible calcular una órbita parabólica
con tres observaciones tomadas con espacios de unos
pocos días o a intervalos de 24 horas. Puesto este
procedimiento es bastante largo se desarrolló un algoritmo para realizar el cálculo de los elementos
orbítales, el cual se calibró con los datos del cometa
Oterma II 1942-f, realizado por Herget.12
Una condición importante para aplicar este método
es que las tres observaciones deben ser lo más cercanas posibles y puesto que tenemos trece, seleccionamos tres grupos que cumplen con las condiciones a partir de los cuales podemos calcular los elementos orbitales de una manera independiente.
A continuación se hace un resumen de los datos calculados a partir de las posiciones del cometa del 12
,13 y 14 de enero de 2005, ver tablas 3 al 10. Si el
lector está interesado en conocer el desarrollo completo de este método lo puede consultar en los libros
de Herget12 y Dubyago13.
Para hallar ρ1 utilizamos el tanteo, suponemos ρ1 y
calculamos el valor de la cuerda que une las dos
posiciones por los métodos dinámico Cd y el geométrico Cg. El valor verdadero para ρ1 ocurre cuando Cd
- Cg es cero, donde12:
Cd =2 K ( t1- t3 )/(r1+r3)3/2 (2)
Cg= (M Ü 3 - Ü1) (M Ü 3 - Ü1) ρ12 - 2* (M Ü 3 - Ü1) (R 3R1) ρ12 + (R 3- R1) (3)
El valor correcto para ρ1 es 0,881, ver tabla 8, con
este valor se obtienen los valores de r2, r1 y r3 y el
vector r1x r3, los cuales nos van a permitir calcular los
coeficientes A1, A2 y A3 y estos a su vez los elementos orbitales se obtuvieron a partir de las siguientes
fórmulas12, ver las tablas 9 y 10.
= cos –1 A3
= -tan –1 [A1 / A2]
= (Σ+Φ) / 2
= (Φ−Σ) / 2
(4)
(5)
(6)
(7)
Distancia al Sol en el perihelio: q = r1 (cos u1) / 2
Argumento del perihelio
w = sen-1 [ rz1 / (r1 sen i)] - u1
Fecha del perihelio:
(8)
(9)
t0 = t1 - (2q3)1/2 [1/3 tan3 (υ1 / 2) + tan (υ1 / 2) ] / k
(10)
Los resultados se presentan en la tabla 12
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DISCUSIÓN
Los resultados obtenidos a partir de los tres grupos de observaciones son similares entre sí,
Tabla 13, pero los que más se acercan a los
publicados por el Jet Propulsión Laboratory son
el grupo correspondiente a las hechas entre el
12 y 14 de enero, que además son las más cercanas entre sí. El método de Olbers presupone
que la relación entre las áreas triangulares A y
A” sea igual a la de los sectores parabólicos
correspondientes. Esto no es correcto sino cuando los intervalos t”- t’ y t’- t son iguales pero
aún en el tercer grupo los datos difieren ya que
t”- t’ = 0, 982 y t’- t = 0,965. Cumplir con esta
exigencia del método no es fácil en Colombia
por lo cambiante de las condiciones meteorológicas.
Una comparación de los resultados obtenidos
con los elementos orbitales reales, nos muestra
que se logró una buena aproximación en lo que
respecta a la fecha del perihelio con una diferencia de 4 días.
En lo que respecta a ω, el argumento del
perihelio, se logró un aceptable acercamiento
con una diferencia de 6,3º del valor real. Para
Ω , la longitud del nodo ascendente la diferencia
fue de 10º del valor oficial.
La inclinación de la órbita y la distancia del cometa al Sol en el perihelio difieren en forma notable, error que se puede explicar por las diferencias descritas anteriormente y por inexactitudes inherentes a la localización visual del cometa y su posterior ubicación en la carta celeste. Lecturas con errores mayores a cinco minutos de arco producen valores significativamente
diferentes en el cálculo de los elementos
orbitales. Para lograr un mayor acercamiento
también se deben utilizar equipos que brinden
exactitud, es decir dar posiciones con lecturas
de décimas de segundo de arco. Los datos de la
tabla 2 sólo se logran dar con exactitud de minuto de arco.
La órbita de este cometa tiene una excentricidad de 0.9994852; a partir de este dato podemos calcular el período que tarda en dar una
vuelta alrededor del Sol.
Semieje mayor = a = q / (1 – e )
(12)
dónde q = 1.2 U.A.
Semieje mayor = 2340 unidades astronómicas.
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El período del cometa ( T ) se puede hallar a
partir de la siguiente ecuación y despreciando
su masa con respecto al Sol 16:
T 2 = 4 π 2 a 3 / ( G M sol )
(13)
donde G= 6.67x 10 -11 m 3 kg -1 s -2 y M sol = 1.998x10 30 kg
Reemplazando obtenemos que T = 115713 años
Según éste resultado, el cometa Machholz proviene de una zona mucho más lejana que
Neptuno conocida como el Cinturón de Kuiper
fuente de numerosos cometas que visitan el Sol.
CONCLUSIONES
El cometa C/2004 Q2 Machholz fue visible desde nuestro país durante los meses de diciembre
de 2004 y enero de 2005. El 5 de enero tuvo su
mayor acercamiento con nuestro planeta alcanzando su mayor brillo con una magnitud de 3.1.
La coma bien redondeada y con un ligero tinte
verdoso era su característica más relevante ya
que su cola era tenue. El cometa siguió una trayectoria sur-norte, recorriendo las constelaciones del Río Erídano, el Toro, Perseo, Casiopea,
Cefeo, la Jirafa y el Dragón, principalmente.
Su órbita, con una excentricidad muy cercana a
uno, permitió aplicar el método de Olbers. Se
realizaron trece observaciones a partir de las
cuales se seleccionaron tres grupos para hacer
el cálculo de los elementos orbitales.
Las observaciones hechas durante los días 12,
13 y 14 de enero resultaron ser las más cercanas a los datos oficiales, lográndose una buena
aproximación en la fecha del perihelio, 20 de
ω = 13,2º) y la
enero, el argumento de perihelio (ω
Ω = 83,1º). En
longitud del nodo ascendente, (Ω
lo que respecta a la inclinación de la órbita i y la
distancia q en el perihelio el cálculo difiere en
forma notable.
El período orbital del cometa es de 115713 años
por lo tanto proviene de la zona denominada
Cinturón de Kuiper.
Los principales errores provienen de la lectura
de la ascensión recta y la declinación la cual no
se hace con la exactitud necesaria y de las
condiciones climáticas.
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Tabla 2. Posiciones estimadas del cometa Machholz durante
diciembre de 2004 y enero de 2005.
Tabla 3. Agrupación de las observaciones para
aplicar el método de Olbers.
Tabla 4. Posiciones observadas el 12, 13 y 14 de enero para el
cometa C/2004 Q2 Machholz.
Tabla 5. Posiciones geocéntricas, rectangulares y ecuatoriales del Sol, R obtenidas del Ephemerides des corps du
systeme solaire. 14
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Tabla 6. Vectores unitarios U1, U2, U3
Tabla 7. Productos punto.
Tabla 8. Coeficientes para el cálculo de Cg y Cd.
Tabla 9. Vectores de posición del cometa con respecto al Sol r 1 y r3
El Astrolabio
49
Tabla 10. Cálculo por iteración para encontrar ρ1.
Tabla 11. Vectores de posición del cometa con respecto a la
eclíptica r1 y r3.
Tabla 12. Elementos orbitales y anomalías
verdaderas calculadas para el12, 13 y 14
de enero de 2005.
Tabla 13. Los elementos orbitales calculados a partir de las
diferentes observaciones y los publicados por el Jet Propulsion
Laboratory15.
Investigación y Ciencia del Gimnasio Campestre
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BIBLIOGRAFÍA
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El Astrolabio