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1.5
Funciones trigonométricas
Haciendo uso de las razones trigonométricas vistas anteriormente, se puede definir un nuevo tipo de función,
que llamaremos f unciones trigonométricas.
Notemos que para cada ángulo en posición estándar o normal, cuya medida se encuentre expresada en
radianes (x radianes) , existe un valor asociado para cada una de las razones trigonométricas, lo que nos
permite definir con éstas las funciones trigonométricas
Definición Se definen las funciones trigonométricas básicas de la siguiente manera:
1. Función seno:
sen : R −→ [−1, 1]
x 7−→ sen x
donde sen x es el seno del ángulo de medida x, en radianes.
2. Función coseno:
cos : R −→ [−1, 1]
x 7−→ cos x
donde cos x es el coseno del ángulo de medida x, en radianes.
3. Función tangente:
tan : R − A −→ R
x 7−→ tan x
donde tan x es la tangente del ángulo de medida x en radianes, y
n
o
π
A = x ∈ R/x = (2k + 1) , con k ∈ Z
2
Si analizamos los valores de A como ángulos sobre el círculo trigonométrico, podemos notar que el lado
terminal de cada uno de ellos está ubicado sobre el eje y (ya sea en la parte positiva o la parte negativa
sen x
del mismo), sabemos que para estos ángulos el valor del coseno es cero, por lo que tan x =
está
cos x
indefinida si x ∈ A.
4. Función cotangente:
cot : R − B
−→ R
x 7−→ cot x
donde cot x es la cotangente del ángulo de medida x, en radianes, y
B = {x ∈ R/x = kπ, con k ∈ Z}
Si analizamos los valores de B como ángulos sobre el círculo trigonométrico, podemos notar que el lado
terminal de cada uno de ellos está ubicado sobre el eje x (ya sea en la parte positiva o la parte negativa del
cos x
está indefinida
mismo), sabemos que para estos ángulos el valor del seno es cero, por lo que cot x =
sen x
si x ∈ B.
18
5. Función secante:
sec : R − A −→ R − ]−1, 1[
x 7−→ sec x
donde sec x es la secante del ángulo de medida x, en radianes, y
o
n
π
A = x ∈ R/x = (2k + 1) , con k ∈ Z
2
Nota: por la justificación dada en la función tangente tenemos que la secante esta indefinida para valores
x, tal que x ∈ A.
6. Función cosecante:
csc : R − B
−→ R − ]−1, 1[
x 7−→ csc x
donde csc x es la cosecante del ángulo de medida x, en radianes, y
B = {x ∈ R/x = kπ, con k ∈ Z}
Nota: por la justificación dada en la función cotangente tenemos que la cosecante esta indefinida para
valores x, tal que x ∈ B.
1.5.1
Propiedades de la funciones trigonométricas
Claro que todas las propiedades e identidades vistas para las razones trigonométricas en las secciones anteriores
siguen siendo válidas al considerarlas como funciones trigonométricas. Pero además tenemos algunas otras
propiedades que estudiaremos a continuación.
Paridad de las funciones trigonométricas
Definición (paridad de una función)
Sea f una función real de variable real, se dice que f es una función par si y sólo si f (−x) = f (x) , para
toda x en el dominio de la función, y se dice que f es una función impar si y sólo si f (−x) = −f (x), para
toda x en el dominio de la función.
Se dice que las funciones coseno y secante son funciones pares, mientras que las restantes funciones trigonométricas son impares.
Observe la siguiente tabla:
sen (−α) = − sen α
cos (−α) = cos α
tan (−α) = − tan α
cot (−α) = − cot α
sec (−α) = sec α
csc (−α) = − csc α
Ejemplo 14. Utilice la calculadora y verifique que las siguientes igualdades se cumplen
4. cos (−30◦ ) = cos 30◦
1. sen (−π) = − sen π
³ π´
π
2. tan −
= − tan
6
6
µ
¶
2π
2π
3. sec −
= sec
3
3
5. cot (−60◦ ) = − cot 60◦
6. csc (−45◦ ) = − csc 45◦
19
Periodicidad de las funciones trigonométricas
Definición (periodicidad de una función)
Sea f : D −→ C, una función, se dice que f es una función periódica, si existe un número real p > 0 tal
que f (x + p) = f (x) , para todo x ∈ D. Al menor número p que tiene la propiedad anterior se llama el
período de f.
Una de las características más importante de las funciones trigonométricas es su periodicidad.
Teorema (Periodicidad de las funciones seno y coseno)
Las funciones trigonométricas seno y coseno son periódicas, de período 2π. Es decir, para todo número
real t, se tiene que:
cos (t + 2π) = cos t
∧
sen (t + 2π) = sen t
y 2π es el menor número real con esta propiedad.
Demostración :
Sean α y β dos ángulos en posición estándar, con medidas t y t + 2π respectivamente; como se muestra
en las siguientes figuras:
1
1
P(x,y)
P(x,y)
t+2π
t
-1
-1
1
1
-1
-1
Seno y coseno son periódicas
Se tiene que α y β son ángulos coterminales, de modo que tanto el seno como el coseno son funciones
periódicas, pues se puede observar que:
sen (t + 2π) = sen t,
cos (t + 2π) = cos t
Teorema (Periodicidad de algunas otras funciones trigonométricas)
Las funciones secante y cosecante son periódicas de período 2π y las funciones tangente y cotangente son
periódicas de período π. Es decir:
sec (t + 2π) = sec t
tan (t + π) = tan t
;
;
csc (t + 2π) = csc t
cot (t + π) = cot t
De estos teoremas se puede deducir que para todo número entero k y todo número real t, en el que las
funciones estén bien definidas, se cumple que:
sen (t + 2kπ) = sen t
tan (t + kπ) = tan t
sec (t + 2kπ) = sen t
cos (t + 2kπ) = cos t
cot (t + kπ) = cot t
csc (t + 2kπ) = csc t
Definición (Amplitud)
Sea f una función periódica, con período p, sea M el máximo valor que puede tomar f y m el mínimo
valor que puede tomar f , se define la amplitud de la función como
M −m
2
Es decir, la amplitud se define como el promedio entre el valor máximo y el valor mínimo que puede tomar
la función.
amplitud =
20
Ejemplo 15.
1.5.2
Gráficas de las funciones trigonométricas
Las propiedades de paridad y periodicidad son muy útiles para cuando trabajamos con la gráficas de las funciones
trigonométricas.
Gráfica de la función seno. Observemos la gráfica de la función f definida por f (x) = sen x, en la que
podemos observar las propiedades de la función trigonométrica seno estudiadas anteriormente y algunas otras
que se pueden deducir de su gráfica:
y
1
x
f(x)=sen(x)
-2π
-3π
π
2
-π
π
3π
2π
-1
Propiedades
1. El dominio de la función seno es R.
2. El ámbito de la función seno es [−1, 1] . De donde podemos concluir que −1 ≤ sen x ≤ 1.
3. La función seno es periódica, de período 2π. Lo que quiere decir que para todo número real x en el
dominio, se cumple que sen (x + 2kπ) = sen x
4. La amplitud de la función seno es 1.
5. Corta el eje x en los puntos (kπ, 0) con k ∈ Z.
6. Corta el eje y en el punto (0, 0) .
Gráfica de la función coseno. Observemos la gráfica de la función g definida por g (x) = cos x, en la que
podemos observar las propiedades de la función trigonométrica coseno estudiadas anteriormente y algunas otras
que se pueden deducir de su gráfica:
y
1
π
-π
-5π
2
-3π
2
π
2
-π
2
-1
x
3π
2
5π
2
g(x)=cos(x)
Propiedades
1. El dominio de la función coseno es R.
2. El ámbito de la función coseno es [−1, 1] . De donde podemos concluir que −1 ≤ cos x ≤ 1.
21
3. La función coseno es periódica, de período 2π. Lo que quiere decir que para todo número real x en el
dominio, se cumple que cos (x + 2kπ) = cos x
4. La amplitud de la función coseno es 1.
³
π ´
5. Corta el eje x en los puntos (2k + 1) , 0 con k ∈ Z.
2
6. Corta el eje y en el punto (0, 1) .
Observando las gráficas de la función seno y la función coseno, podemos determinar que una corresponde a
π
una traslación horizontal de la otra de unidades. Por lo que se puede verificar que, para todo número real x,
2
³
³
π´
π´
se tiene que sen x +
= cos x, o bien, sen x = cos x +
.
2
2
Ejemplo 16. (se omite)
Gráfica de la función tangente. Observemos la gráfica de la función h definida por h (x) = tan x, en la que
podemos observar las propiedades de la función trigonométrica tangente estudiadas anteriormente y algunas
otras que se pueden deducir de su gráfica:
y
h(x)=tan(x)
π
-π
-5π
2
-3π
2
π
2
-π
2
3π
2
5π
2
x
Propiedades
1. El dominio de la función tangente está constituido por todos los números reales menos aquellos de la forma
π
(2k + 1) , con k un número entero.
2
2. El ámbito de la función tangente es R.
3. La función tangente es periódica, de período π. Lo que quiere decir que para todo número real x en el
dominio, se cumple que tan (x + kπ) = tan x.
4. Corta el eje x en los puntos (kπ, 0) con k ∈ Z.
5. Corta el eje y en el punto (0, 0) .
Gráfica de la función cotangente. Observemos la gráfica de la función f definida por f (x) = cot x, en
la que podemos observar las propiedades de la función trigonométrica cotangente estudiadas anteriormente y
22
algunas otras que se pueden deducir de su gráfica:
y
f(x)=cot(x)
π
-π
-5π
2
π
2
-π
2
-3π
2
3π
2
5π
2
x
Propiedades
1. El dominio de la función cotangente está constituido por todos los números reales menos aquellos de la
forma kπ, con k un número entero.
2. El ámbito de la función cotangente es R.
3. La función cotangente es periódica, de período π. Lo que quiere decir que para todo número real x en el
dominio, se cumple que cot (x + kπ) = cot x.
³
π ´
4. Corta el eje x en los puntos (2k + 1) , 0 con k ∈ Z.
2
5. No corta al eje y.
Gráfica de la función secante. Observemos la gráfica de la función g definida por g (x) = sec x, en la que
podemos observar las propiedades de la función trigonométrica secante estudiadas anteriormente y algunas otras
que se pueden deducir de su gráfica:
y
-π
-5π
2
-3π
2
1
-π
2 -1
π
π
2
x
3π
2
5π
2
g(x)=sec(x)
Propiedades
1. El dominio de la función secante está constituido por todos los números reales menos aquellos de la forma
π
(2k + 1) , con k un número entero.
2
2. El ámbito de la función secante es R − ]−1, 1[ . De donde podemos concluir que sec x ≥ 1 ó sec x ≤ −1,
para cualquier x en el dominio.
3. La función secante es periódica de período 2π. Lo que quiere decir que para todo número real x en el
dominio, se cumple que sec (x + 2kπ) = sec x.
4. No corta al eje x.
5. Corta el eje y en el punto (0, 1) .
23
Gráfica de la función cosecante. Observemos la gráfica de la función h definida por h (x) = csc x, en la
que podemos observar las propiedades de la función trigonométrica cosecante vistas anteriormente y algunas
otras que se pueden deducir de su gráfica:
1
-π
-3π
-2π
-π
-1
x
π
2π
3π
h(x)=csc(x)
Propiedades
1. El dominio de la función cosecante está constituido por todos los números reales menos aquellos de la
forma kπ, con k un número entero.
2. El ámbito de la función cosecante es R − ]−1, 1[ . De donde podemos concluir que csc x ≥ 1 ó csc x ≤ −1,
para cualquier x en el dominio.
3. La función cosecante es periódica de período 2π. Lo que quiere decir que para todo número real x en el
dominio, se cumple que csc (x + 2kπ) = csc x.
4. No corta al eje x.
5. No corta al eje y.
1.6
Funciones trigonométricas inversas
En los temas anteriores, trabajamos encontrando el valor de una razón trigonométrica para un ángulo dado.
Tarde o temprano necesitaremos encontrar el ángulo para el cual una razón trigonométrica tome un cierto valor.
Para esto, necesitamos definir para cada una de las funciones trigonométricas una función que reciba el valor
de dicha función y retorne la medida del ángulo. A estas funciones se conocen como funciones inversas de la
funciones trigonométricas.
∙
¸
−π π
Por ejemplo, si a la función seno se le restringe el dominio a
,
que es un intervalo donde la función
2 2
es creciente y se toma el codominio como [−1, 1] , que corresponde al ángulo de la función seno, entonces se
tiene que la función es biyectiva, por lo que la función seno con ese dominio y ese codominio posee una función
inversa.
Inversa de la función
h π seno
πi
arcsen : [−1, 1] −→ − ,
2 2
R 7−→ arcsen R = θ
donde θ = arcsen R si y sólo si sen θ = R
h π πi
Es decir, arcsen R es un ángulo en radianes en el intervalo − ,
, para el cual el valor del seno es R. Otra
2 2
−1
manera de denotar la función inversa del seno de R es con sen R. Es importante indicar que sen−1 R no es
un potencia, sino, es la notación de función inversa, como lo es f −1 (x) .
24
Recuerde que al componer dos funciones mutuamenteh inversas,
el resultado es la función identidad, por lo
π πi
que al componer sen y arcsen, para un R ∈ [−1, 1] y θ ∈ − ,
, se tiene que:
2 2
sen (arcsen x) = x
arcsen (sen θ) = θ
En la siguiente figura, podemos observar la gráfica de la función arcseno y su función inversa seno, que nos
permite observar la simetría de ambas respecto a la recta y = x.
π
y
2
g(x)=s en(x)
x
-1
1
-π
f(x)=arcsen(x)
2
En la gráfica anterior, podemos observar algunas características de la función arcseno.
1. El dominio de la función es [−1, 1] .
∙
¸
−π π
2. El ámbito de la función es
,
.
2 2
3. La función siempre es creciente.
4. Corta a los ejes coordenados en el punto (0, 0) .
Inversa de la función coseno
arccos : [−1, 1] −→ [0, π]
R 7−→ arccos R = θ
donde θ = arccos R si y sólo si cos θ = R
De la misma manera que la función inversa del seno, la función inversa del coseno se puede denotar por cos−1 R
y corresponde a un ángulo en [0, π] cuyo coseno sea R.
Además tenemos que si R ∈ [−1, 1] y θ ∈ [0, π] , se tiene que:
cos (arccos x) = x
arccos (cos θ) = θ
En la siguiente figura, podemos observar la gráfica de la función arcocoseno y su función inversa coseno, que
25
nos permite observar la simetría de ambas respecto a la recta y = x.
π
y
f(x ) = ar cc os(x)
π
2
x
-1
1
π
2
g(x)=cos(x)
En la gráfica anterior, podemos observar algunas características de la función arcocoseno.
1. El dominio de la función es [−1, 1] .
2. El ámbito de la función es [0, π] .
3. La función siempre es decreciente.
4. Corta al eje x en el punto (1, 0) .
³ π´
5. Corta al eje y en el punto 0,
.
2
Inversa de la∙función
¸ tangente
−π π
arctan : R −→
,
2 2
R 7−→ arctan R = θ
donde θ = arctan R si y sólo si tan θ = R
De la misma manera que las funciones inversas del ∙
seno y el¸ coseno, la función inversa de la tangente se puede
−π π
denotar por tan−1 R y corresponde a un ángulo en
,
cuya tangente sea R.
2 2
∙
¸
−π π
Además tenemos que si R ∈ R y θ ∈
,
, se tiene que:
2 2
tan (arctan x) = x
arctan (tan θ) = θ
En la siguiente figura, podemos observar la gráfica de la función arcotangente y su función inversa tangente,
que nos permite observar la simetría de ambas respecto a la recta y = x.
π
2
y
f(x )=arctan(x)
x
-π
2
g(x)=tan(x)
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En la gráfica anterior, podemos observar algunas características de la función arcotangente.
1. El dominio de la función es R.
¸
∙
−π π
2. El ámbito de la función es
,
.
2 2
3. La función siempre es creciente.
4. Corta a los ejes coordenados en el punto (0, 0)
Ejemplo 17. Sin hacer uso de la calculadora, determine el valor numérico de las siguientes expresiones
Ã
à √ !!
2
• cos arccos
3
µ
µ ¶¶
1
• sen arcsen
2
µ
µ ¶¶
5π
• arccos sen
4
Solución:
√
2
• Notemos que
∈ [−1, 1] , por lo que:
3
Ã
à √ !! √
2
2
=
cos arccos
3
3
• Notemos que
1
∈ [−1, 1] , por lo que:
2
µ
µ ¶¶
1
1
=
sen arcsen
2
2
• Sabemos que sen
µ
5π
4
¶
¶
µ ¶
5π π
3π
3π
−
= cos
, además
∈ [0, π], por lo que tenemos que:
4
2
4
4
µ
µ ¶¶
µ µ ¶¶
5π
3π
arccos sen
= arccos cos
4
4
3π
=
4
= cos
µ
27