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Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorado en Educación Matemática
Identidades Trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones
trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y
las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.
Relación pitagórica
sen 2   cos 2  1
tan  
Identidad de la razón
sen 
cos 
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones
de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si sen   21 la conversión
propuesta en la tabla indica que cos   1 - sen 2 
3
2
, aunque es posible que
obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones de ángulos negativo
sen -     sen  
cos -    cos  
cot -    Cot  
sec -    sec  
tan -     tan  
csc -    Csc  
cos   
3
2
. Para
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Fórmulas de adición.
sen      sen  cos   cos  sen 
tan     
cos      cos  cos   sen  sen 
tan   tan 
1  tan  tan 
cot     
cot  tan   1
cot   cot 
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En
términos
de
Sen
Cos
sen 
sen 
1 cos 2 
Cos 
1  sen 2
Cos 
sen 
Tan 
1  sen 
2
cot 
1  sen 2 
sen 
Sec 
1
Csc 
Tan
Sec
Csc
1
sec 2   1
sec 
1
Csc 
1
sec 
Csc 2   1
Csc 
tan 
1  tan 
1  cot 
1
Cot 
2
2
1  tan 
1  cot 
1  cos 2
cos 
Tan 
1
cot 
sec 2  1
Cos 
1
tan 
cot 
1
1  tan 2 
1  cot 2
cot 
1  tan 2
tan 
1  cot 2
2
1  cos 
2
1  sen 
1
cos 
1
ses 
1  cos 2
2
cotan
1
2
sec 2  1
Sec 
sec 
sec 2  1
1
Csc 2  1
Csc 2  1
Csc 
Csc 2  1
Csc 
Identidades de ángulos múltiples

Si Tn es el n-ésimo Polinomio de Chebyshev entonces cos nx  Tn cos x  

Formula de De Moivre: cos nx   i sen nx   cos x   i sen x  
Identidades para ángulos doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sen x  x   sen 2 x ) en las identidades
anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en
términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la fórmula de De Moivre cuando n  2 .
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Fórmula del ángulo doble
sen 2   2sen  cos 
sen 2  
2 tan 
1  tan 2
cos 2   cos 2  - sen 2 
cos 2   2 cos 2   1
tan 2  
cos 2   1  2 sen 2
cos 2  
1  tan 2 
1  tan 2
2 tan 
cot   tan
Cot 2  
2
2
1  tan 
Fórmula del ángulo triple
sen 3   3sen   4 sen3 
cos 3   4 cos 3   3 cos 
tan 3  
3 tan   tan 3
1  3 tan 2
Fórmula del ángulo medio
sen

1  cos 

2
2
cos

1  cos 

2
2
Producto infinito de Euler:
tan

 Csc   cot 
2
tan

1  cos 

2
1  cos 
tan

sen 

2 1  cos 
cot

 csc   cot 
2

 
 
 
   sen 
cos    cos    cos       cos  n  

2
4
8
 2 
n1
Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para sen2 x y cos2 x .
Sen
sen2  
1 - cos 2
2
sen3  
3sen  - sen 3
4
Cos
cos 2  
1  cos 2
2
cos3  
3sen  - sen3 
4
Otros
sen2  cos 2  
1 - cos 4
8
sen 3 cos3  
sen 3 2
8
cos5  
10 cos   5cos 3   cos 5
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Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.
cos  cos  
cos      cos   
2
sen  sen  
cos      cos   
2
sen  cos  
sen      sen   
2
cos  sen  
sen      sen   
2
Deducción de la identidad
cos      cos   
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
2
cos      cos  cos   sen  sen  Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles
cos  cos  
casos:
i. cos      cos  cos   sen  sen 
ii. cos      cos  cos   sen  sen 
Si tomamos la ecuación i y despejamos
cos  cos  nos queda que:
iii. cos  cos   cos      sen  sen 
ii al miembro izquierdo de la ecuación iii, y para
mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación ii en el lado derecho de la ecuación iii (al sumar la
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación
misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:
cos  cos   sen  sen   cos  cos   cos      sen sen   cos  -  
Simplificando el elemento sen  sen  y sumando cos  cos  quedaría:
2 cos  cos   cos      cos    Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½
queda:
cos  cos  
cos      cos   
2
Nota:

Este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones
simplemente cambiando los valores.

Usando iii y el resultado anterior se obtiene también: sen  sen  
cambio de signo.
cos      cos   
Notar el
2
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Funciones trigonométricas inversas
Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. Se nota arcsen  . El significado geométrico es: el
arco cuyo seno es dicho valor. La función arcoseno real es una función - 1,1   0 ,2  , es decir, no está
definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:
 
x  1
- 2

 1 x3 1 3x5 1 3  5 x 7
arcsen    x 
 

 -1  x  1
2
3
2
4

5
2

4

6

7

 
x1
 2


Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. Se nota arccos  .
El significado
geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede
definirse como: arcsen  


 arsen 
2
Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. Se nota arctan  . El significado
geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función
arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

x3 x5 x7
x 1
 x  3  5  7  
arctan   
.

1
1
1
  

   con x  1,  con x  -1
 2 x 3 x 3 5 x 5

 2 ,
arctan   ar cot   
  ,
 2
si x  0
si x  0
   
arctan   arctan   arctan 

 1 -  
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Series de potencias
A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones
analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:
 1k x 2 k 1  x  x 3  x 5  x 7 
1! 3! 5! 7!
k 0 2k  1!

sen   
k

 1 x 2 k
cos   
2k  !
k 0


x x2 x4 x6
   
0! 2! 4! 6!
Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con
frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones
trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las
series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales,
independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas
funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.
Relación con la exponencial compleja
Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones
trigonométricas según la fórmula de Euler: e i   cos   i sen 
Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el
obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e
imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de
exponenciales complejas:
cos  
ei   e i 
;
2
sen  
ei   e i 
2i
A partir de ecuaciones diferenciales
Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:
y   y Es decir, la segunda derivada de cada
función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que
consiste en todas las soluciones de esta ecuación,
 y0 , y 0    1,0

La función seno es la única solución que satisface la condición inicial

Y
La función coseno es la única solución que satisface la condición inicial
 y0 , y 0    0,1
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Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V.
Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de
Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella
también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, la
observación de que el seno y el coseno satisfacen y   y implica que son funciones eigen del operador
de la segunda derivada.
La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal y  1  y 2 satisfaciendo la
condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta
ecuación diferencial.
Referencias:
Stewart, J. “Cálculo. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart.
Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999
Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.
«Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste.
J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. «La
trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. «Al-Kashi, Gamshid
ibn Messaoud» (en francés).
Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC165919384.
Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0471-54397-7.