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Formulas de Angulo Múltiple
Julio Castiñeira Merino
[email protected]
A la memoria de mis padres: Julio y Ángeles
Este trabajo explica algunas de las propiedades de las fórmulas de ángulo múltiple. En
primer lugar expresaremos de forma concisa las fórmulas de ángulo múltiple de las funciones
trigonométricas e hiperbólicas. Posteriormente utilizaremos estas fórmulas en algunas temas de
trigonometría, álgebra y en geometría.
Para la función coseno, las fórmulas de ángulo múltiple se pueden expresar usando los
polinomios de Chebyshev [1], [6]. Estos polinomios están definidos por la relación de
recurrencia
T1 (x ) = x
 T0 (x ) = 1,

Tn (x ) = 2 x ⋅ Tn−1 (x ) − Tn−2 (x ) , n ≥ 2 .
Los ocho primeros polinomios con sus correspondientes fórmulas de ángulo múltiple son:
Polinomio
Fórmula
T0 (x ) = 1
cos 0 ⋅ a = 1
T1 ( x ) = x
cos 1 ⋅ a = cos a
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
cos 2 ⋅ a = 2 cos 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3x
cos 3a = 4 cos 3 a ⋅ −3 cos a
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
cos 4a = 8 cos 4 a − cos 2 a + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
cos 5a = 16 cos 5 a − 20 cos 3 a + 5 cos a
T6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1
cos 6a = 32 cos 6 a − 48 cos 4 a + 18 cos 2 a − 1
T7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x cos 7a = 64 cos 7 a − 112 cos 5 a + 56 cos 3 a − 7 cos a
Observamos que los polinomios de Chebyshev cumplen la propiedad
cos na = Tn (cos a ) .
Demostración
Por inducción sobre n.
Para los valores iniciales n = 0 y n = 1 tenemos:
cos 0a = 1 = T0 (cos a ),
cos 1a = cos a = T1 (cos a )
Supongamos que la fórmula es cierta para todo valor de k < n,
Aplicando la fórmula de la diferencia de cosenos
cos na − cos(n − 2)a = 2 cos(n − 1)a ⋅ cos a
es decir
cos na = 2 cos a ⋅ cos(n − 1)a − cos(n − 2)a
por hipótesis de inducción sabemos que
cos(n − 1)a = Tn −1 (cos a ) y cos(n − 2 )a = Tn −2 (cos a )
Luego
cos na = 2 cos a ⋅ Tn−1 (cos a ) − Tn−2 (cos a )
1
Sustituyendo x = cos a en la fórmula de recurrencia Tn ( x ) = 2 x ⋅ Tn −1 ( x ) − Tn− 2 ( x ) tenemos
que
Tn (cos a ) = 2 cos a ⋅ Tn −1 (cos a ) − Tn −2 (cos a ) ,
por tanto
cos na = Tn (cos a ) .
Observemos que la fórmula anterior también se verifica para valores complejos del argumento,
puesto que la fórmula de la diferencia de cosenos es cierta para argumento complejo. Una
consecuencia de este hecho es que la fórmula de argumento múltiple para el coseno hiperbólico
es
Ch na = Tn (Ch a )
En efecto
Ch na = cos ina = Tn (cos ia ) = Tn (Ch a ) .
Una propiedad que será utilizada posteriormente es
Demostración
En efecto
(− 1)(n−1) 2 ⋅ sen na
Tn (sen a ) = 
 (− 1)n 2 ⋅ cos na
n impar
n par
 π
 π


 nπ

Tn (sen a ) = Tn  cos − a   = cos n ⋅  − a  = cos
− na  ,


 2

 2
 2
como
(− 1)(n−1) 2 ⋅ sen na , n impar
nπ
nπ

 nπ
,
cos
cos na + sen
sen na = 
− na  = cos
2
2
 (− 1)n 2 ⋅ cos na ,

 2
n par
la igualdad queda demostrada.
Ejercicios
1. Demostrar que el polinomio de Chebyshev tiene grado n y tiene n raíces simples.
2. Demostrar que el polinomio de Chebyshev de grado n es una función par si n es par y es una
función impar si n es impar.
3.-Demostrar la propiedad transitiva de los polinomios de Chebyshev
Tn (Tm ( x )) = Tn⋅m ( x ) .
Fórmulas para la función seno
Derivando la formula cos na = Tn (cos a ) podemos obtener una fórmula de ángulo
múltiple para la función seno. En efecto
− n ⋅ sen na = Tn' (cos a ) ⋅ (− sen a )
Es decir
Tn' (cos a )
sen na = sen a ⋅
n
'
T (x )
, se le llama polinomio de Chebyshev de segunda clase
Al polinomio U n ( x ) = ⋅ n +1
n +1
de grado n [6]. Usando estos polinomios la fórmula de ángulo múltiple de la función seno se
expresa
sen na = sen a ⋅ U n−1 (cos a ) .
Análogamente para el seno hiperbólico tenemos la fórmula
Sh na = Sh a ⋅ U n−1 (Ch a )
que se deduce derivando la fórmula de argumento múltiple para el coseno hiperbólico.
2
Los siete primeros polinomios de Chebyshev de segunda clase con sus correspondientes
fórmulas de ángulo múltiple son:
Polinomio
U 0 (x ) = 1
Fórmula
sen 1a = sena
sen 2a = 2sen a ⋅ cos a
U1 ( x ) = 2 x
U 2 (x ) = 4 x 2 − 1
(
)
sen 4a = sen a ⋅ (8 cos 3 a − 4 cos a )
sen 5a = sen a ⋅ (16 cos 4 a − 12 cos 2 a + 1)
sen 6a = sen a ⋅ (32 cos 5 a − 32 cos 3 a + 6 cos a )
sen 6a = sen a ⋅ (64 cos a − 80 cos a + 24 cos a − 1)
sen 3a = sen a ⋅ 4 cos 2 a − 1
U 3 (x ) = 8 x 3 − 4 x
U 4 (x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1
U 5 ( x ) = 32 x 5 − 32 x 3 + 6 x
U 6 (x ) = 64 x 6 − 80 x 4 + 24 x 2 − 1
6
4
2
Ejercicio 4. Demostrar que el polinomio de Chebyshev de segunda clase de grado n es una
función par si n es par y es una función impar si n es impar.
Una fórmula que expresa sen na en función de sen a es
 (− 1)(n −1) 2 ⋅ T (sen a ),
n impar
n
sen na = 
n 2−1
(− 1)
⋅ cos a ⋅ U n −1 (sen a ), n par
Demostración
Si n es impar basta despejar el seno en la formula Tn (sen a ) = (− 1)(n−1) 2 ⋅ sen na .
.
Si n par es par tenemos que
Tn (sen a ) = (− 1)n 2 ⋅ cos na ,
derivando
Tn' (sen a ) ⋅ cos a = (− 1)n 2 ⋅ (− sen na ) ⋅ n ,
Despejando el seno del ángulo múltiple
'
T
sen na = (− 1)n 2−1 ⋅ cos a ⋅ n
(sen a )
= (− 1)n 2−1 ⋅ cos a ⋅ U n−1 (sen a ) .
n
Los polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase están relacionados por la
fórmula
Tn (x ) = U n (x ) − xU n −1 (x )
En efecto
Por tanto
sen(n +1)a = sen na ⋅ cos a + cos na ⋅ sen a
sena ⋅ U n (cos a ) = sena ⋅ U n−1 (cos a ) ⋅ cos a + Tn (cos a ) ⋅ sen a
dividiendo por sen a
U n (cos a ) = U n−1 (cos a ) ⋅ cos a + Tn (cos a )
sustituyendo cos a por x y despejando Tn obtenemos
Tn ( x ) = U n (x ) − xU n−1 ( x ) .
Los polinomios de Chebyshev de segunda clase satisfacen la siguiente relación
U 1 (x ) = 2 x
,
U 0 (x ) = 1,

U n (x ) = 2 x ⋅ U n −1 (x ) − U n −2 (x ) n ≥ 2
Demostración
Es claro que
3
1 d
U 0 (x ) = ⋅ T1 (x ) = 1
1 dx
,
1 d
1 d
2
T2 (x ) =
U1 (x ) =
2x − 1 = 2x
2 dx
2 dx
Veamos que satisfacen la relación de recurrencia.
Derivando la relación
Tn (x ) = 2 x ⋅ Tn−1 (x ) − Tn−2 (x )
obtenemos
(
)
Tn' (x ) = 2 ⋅ Tn−1 (x ) + 2 x ⋅ Tn' −1 (x ) − Tn' −2 (x )
Sustituyendo
nU n−1 ( x ) = 2 ⋅ (U n−1 (x ) − xU n−2 ( x )) + 2 x ⋅ (n − 1)U n−2 ( x ) − (n − 2)U n−3 ( x )
Operando
Dividiendo por
Por tanto
(n − 2)U n−1 (x ) = 2 ⋅ x ⋅ (n − 2) ⋅ U n−2 (x ) − (n − 2) ⋅ U n−3 (x )
n − 2 obtenemos U n−1 (x ) = 2 ⋅ xU n−2 (x ) − U n−3 (x )
U n (x ) = 2 ⋅ xU n−1 (x ) − U n−2 (x ) .
Las fórmulas de recurrencia anteriores son interesantes desde el punto de vista teórico y
permiten hallar los polinomios de Chebyshev para valores pequeños de n. Pero para valores
moderados de n son completamente inútiles. Por fortuna disponemos de las siguientes fórmulas
explicitas de los polinomios de Chebyshev de primera y de segunda clase para n mayor que
cero.
n2
(− 1)k  n − k (2 x )n−2k
n
Tn ( x ) =
2 k =0 n − k  k 
∑
y
U n (x ) =
n2
n − k 
(2 x )n−2k
k 
∑ (− 1)k 
k =0
Estas fórmulas se pueden demostrar por inducción. Demostraremos la fórmula para los
polinomios de Chebyshev de segunda clase y dejaremos la otra fórmula al lector.
Demostración
Para n = 1 y n = 2 se cumplen. En efecto
1
U1 (x ) = (− 1)0 ⋅  (2 x )1−0 = 2 x
 0
 1
 2
U 2 (x ) = (− 1)0 ⋅  (2 x )2−0 + (− 1)1 ⋅  (2 x )2−2 = 4 x 2 − 1
 1
 0
Demostremos que si se cumple para k < n entonces se cumple para n:
Sabemos que
U n (x ) = 2 ⋅ xU n−1 (x ) − U n−2 (x )
usando la hipótesis de inducción podemos afirmar que
(n −1) 2
(n − 2 ) 2
n − 2− k
k n −1− k 
n −1− 2 k
(2 x )
(2 x )n −2−2k ,
(− 1) 
(− 1)k 
−
U n (x ) = 2 ⋅ x ⋅
k
k




k =0
k =0
∑
∑
operando y renombrando el índice del segundo sumatorio
U n (x ) =
(n−1) 2
∑
k =0
(n − 2 ) 2
n −1− k 
n−2−
(2 x )n −2k +
(− 1) j +1 
j
 k


j =0
(− 1)k 
∑
haciendo el cambio de índices k = j +1 en el segundo sumatorio
4
j
(2 x )n−2−2 j ,

U n (x ) =
(n−1) 2
k n −
∑ (− 1)


k =0
Tenemos dos casos. Si n es impar
U n (x ) = (2 x )n +
(k + 1)
(2 x )

k
n−2k
+
 n − (k + 1)
(2 x )n−2k .
k −1 
n2
∑ (− 1)k 
k =1
 n − (k + 1)  n − (k + 1)
 + 
 (2 x )n−2k ,
−
k
k
1
 


n2
∑ (− 1)k 
k =1
luego la propiedad de los números combinatorios
U n (x ) = (2 x )n +
n2
n − k
 ⋅(2 x )n−2k =
(− 1)k
k


k =0
n2

∑ (− 1)k ⋅ 
k =1
Si n es par
U n (x ) = (2 x )n +
∑
n − k 
 ⋅(2 x )n−2 k .
⋅ 
k


 n − (k + 1)  n − (k + 1)
 + 
 (2 x )n−2k + (2 x )n 2 ,
−
k
k
1
 


n 2−1
∑ (− 1)k 
k =1
luego también en este caso
n2
n − k
 ⋅(2 x )n−2k .
 k 

U n (x ) = ∑ (− 1)k ⋅ 
k =0
Ejercicio 5-Demostrar las fórmulas
Tn (x ) =
∑  2k  ⋅ x n − 2k ⋅ (x 2 − 1)
n2
n
k
k =0
y
U n (x ) =
∑  2k + 1 ⋅ x n − 2k ⋅ (x 2 − 1)
n2
 n +1 
k
k =0
.
Fórmulas para la función tangente
Es sobradamente conocida la fórmula de la tangente del ángulo doble
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a
pero está poco difundida la fórmula de la tangente del ángulo múltiple a pesar de su simplicidad
[4]. En efecto
(n−1) 2
 n 
∑ (− 1)k ⋅  2k + 1 ⋅ tan 2k +1 a
tan na = k =0
n2
n
∑ (− 1)k ⋅  2k  ⋅ tan 2k a
k =0
la fórmula se demuestra fácilmente por inducción usando la fórmula de la tangente de una suma
de ángulos.
Ilustremos la sencillez de la fórmula con un ejemplo, la expresión de la tan 5 x .
En primer lugar calculamos los términos de la quinta fila del triángulo de Tartaglia. Estos
términos son
1, 5, 10, 10, 5, 1
después construimos los polinomios
1 − 10t 2 + 5t 4 y 5t − 10t 3 + t 5
tomando los términos de dos en dos y alternando los signos. Entonces
5
tan 5 x =
Las funciones racionales
5t − 10t 3 + t 5
con t = tan x .
1 − 10t 2 + 5t 4
(n −1) 2
Rn (t ) =
 n 
∑ (− 1)k ⋅  2k + 1 ⋅ t 2k +1


k =0
n2
n
∑ (− 1)k ⋅  2k  ⋅ t 2k

k =0

no reciben un nombre especial. Gozan al igual que los polinomios de Chebyshev de primera
clase de la propiedad transitiva
Rn (Rm (t )) = Rn⋅m (t ) .
Para la función tangente hiperbólica se cumple la fórmula
(n −1) 2  n 
∑  2k + 1 ⋅ Th 2k +1a


.
Th na = k =0n 2
n
2k
∑  2k  ⋅ Th a

k =0 
Por ejemplo
Th 6a =
Las funciones racionales
6 ⋅ Th a + 20 ⋅ Th 3 a + 6 ⋅ Th 5 a
1 + 15 ⋅ Th 2 a + 15 ⋅ Th 4 a + Th 6 a
.
(n −1) 2  n 
∑

 ⋅ t 2 k +1
2
1
k
+


S n (t ) = k =0
n2
 n  2k
  ⋅ t
2k 
k =0 
∑
al igual que las funciones Rn (t ) tampoco reciben un nombre especial, gozando al igual que
ellas de la propiedad transitiva
S n (S m (t )) = S n⋅m (t ) .
6
Cálculo algebraico de las razones trigonométricas
Las funciones de ángulo múltiple permiten calcular las razones trigonométricas de
muchos ángulos de forma puramente algebraica. Veamos algunos ejemplos
1) Razones trigonométrica de π / 5
Podemos calcular el coseno de π / 5 radianes usando el polinomio de Chebishev de quinto
 x
2
grado. Para ello resolvamos la ecuación T5   + 1 = 0 de dos maneras. La primera de forma
algebraica y la segunda utilizando las propiedades de las funciones trigonométricas.
 x
T5   + 1 = 0 ⇔ x 5 − 5 x 3 + 5 x + 2 = 0
2
Factorizando el polinomio
(
)
x 5 − 5 x 3 + 5 x + 2 = ( x + 2) x 4 − 2 x 3 − x 2 + 2 x + 1
luego
x + 2 = 0 ó x 4 − 2x3 − x 2 + 2x + 1 = 0
la segunda ecuación es una ecuación recíproca. Haciendo el cambio w = x −
1
queda
x
w 2 − 2w − 1 = 0 ⇒ w = 1
Por tanto
x−
1
1± 5
=1⇒ x =
x
2
observemos que por ser w = 1 una raíz doble también son raíces dobles
1+ 5 1− 5
y
.
2
2
Las raíces de la ecuación dada ordenadas de menor a mayor son
x1 = −2 , x 2 =
1− 5
1+ 5
.
, x3 =
2
2
Resolvamos ahora la ecuación utilizando las propiedades trigonométricas
 x
T5   + 1 = 0
2
Haciendo
x
2π
π
= cos α tenemos cos 5α = −1 ⇒ α = + k
2
5
5
Las soluciones de la ecuación son
2 ⋅ cos
π
5
, 2 ⋅ cos
Teniendo en cuenta que
cos
π
5
k = 0 ,1,.., 4
3π
5π
7π
9π
, 2 ⋅ cos
, 2 ⋅ cos
, 2 ⋅ cos
5
5
5
5
= cos
9π
5
y cos
las raíces ordenadas de la ecuación son
x1 = −2 , x 2 = 2 ⋅ cos
3π
7π
= cos
5
5
3π
π
, x3 = 2 ⋅ cos
5
5
Por tanto
cos
π
5
donde Φ es la razón áurea.
=
1+ 5 Φ
=
4
2
y cos
3π 1 − 5
−1
=
=
5
4
2⋅Φ
 x
2
Análogamente resolviendo la ecuación T5   − 1 = 0 obtenemos los valores
7
cos
2π − 1 + 5
1
=
=
5
4
2⋅Φ
y cos
4π − 1 − 5 − Φ
.
=
=
5
4
2
Los valores del seno de π / 5 radianes se pueden obtener análogamente resolviendo la
ecuación :
T5 ( x ) = 0 ⇔ 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x = 0 ,
y observando que sen 5a = T5 (sen a ) .
Efectuando los cálculos obtenemos
π
x1 = sen
=
5
1
10 − 2 5
4
x 2 = sen
2π 1
=
10 + 2 5
5
4
2π
, y x5 = 0 .
5
5
Observemos que la ecuación T5 ( x ) = 0 y la fórmula cos 5a = T5 (cos a ) nos
las otras raíces son x3 = − sen
proporcionan los valores
cos
π
10
=
π
y
, x 4 = − sen
1
10 + 2 5
4
y cos
3π 1
=
10 − 2 5 .
10 4
Podemos usar la fórmula
tan 5 x =
5 tan x − 10 tan 3 x + tan 5 x
1 − 10 tan 2 x + 5 tan x 4
para calcular la tangente de π / 5 radianes.
kπ
En efecto tan 5 x = 0 ⇒ x =
, k ∈ Z ; luego las raíces de la ecuación
5
5t − 10t 3 + t 5 = 0
ordenadas de menor a mayor son
− 2π
−π
π
2π
tan
, tan
, tan 0 , tan , tan
.
5
5
5
5
Calculando las raíces por métodos algebraicos tenemos
5t − 10t 3 + t 5 = 0 ⇒ t = 0 ó t 4 − 10t 2 + 5 = 0 ,
resolviendo la ecuación bicuadrada se obtienen las raíces
− 5 + 2 5 ,− 5 − 2 5 , 5 − 2 5 , 5 + 2 5 ,
Por tanto
tan
2) Calculo del coseno de
π
5
= 5 − 2 5 y tan
2π
= 5+2 5 .
5
2π
radianes
7
T7 ( x )
= 0 ⇔ 64 x 6 − 112 x 4 + 56 x 2 − 7 = 0 tiene por raíces
x
π
x k = sen k k = 1, 2 ,..., 6 .
7
2
Si en esta ecuación hacemos el cambio y = 2 x − 1 obtenemos la ecuación
La ecuación
− 8 y 3 − 4 y 2 + 4 y + 1 = 0 cuyas raíces son
2π
4π
6π
,
y1 = cos
, y 2 = cos
, y3 = cos
7
7
7
8
cambiando
el
signo
y
haciendo
el
cambio
variable z =
de
y
2
obtenemos
la
ecuación z 3 + z 2 − 2 z − 1 = 0 , cuyas raíces son
z1 = 2 cos
2π
4π
6π
.
, z 2 = 2 cos
, z 3 = 2 cos
7
7
7
Resolvamos esta ecuación usando las formulas de Cardano
Obtenemos
2π
1
= − 2 + 3 28 + 84 3 ⋅ i + 3 28 − 84 3 ⋅ i  ≅ 0.6234898

7 12 
4π − 1 
=
cos
4 + 1 + 3 ⋅ i 3 28 + 84 3 ⋅ i + 1 − 3 ⋅ i 3 28 − 84 3 ⋅ i  ≅ −0.22252



7
24
6π − 1 
=
− 2 + 1 − 3 ⋅ i 3 28 + 84 3 ⋅ i + 1 + 3 ⋅ i 3 28 − 84 3 ⋅ i  ≅ −0.9001
cos


7
24 
cos
(
)
(
(
)
)
(
)
Donde la raíz cúbica compleja se calcula en la rama principal
Ejercicio 6 Si p es primo impar las raíces del polinomio
W p (x ) = p ⋅
( p −1) 2
∑
(− 1)k  p − k  x p −1− 2k
p − k  k 
k =0
son
x = ±2 ⋅ sen
π
p
k = 1, 2 ,...,
k
p −1
2
La Ecuación de Adriaen Van Roomen
En su obra Ideae mathematicae el matemático flamenco Adriaen Van Roomen, también
conocido por su nombre latino Adrianus Romanus, propuso a los matemáticos del mundo el reto
de resolver la ecuación de grado 45 siguiente:
x 45 - 45·x 43 + 945·x 41 - 12300·x 39 + 111150·x 37 - 740259·x 35 +
+ 3764565·x 33 - 14945040·x 31 + 46955700·x 29 - 117679100·x 27 +
+ 236030652·x 25 - 378658800·x 23 + 483841800·x 21 - 488494125·x19 +
+ 384942375·x17 - 232676280·x15 + 105306075·x13 - 34512075·x11 +
+ 7811375·x 9 - 1138500·x 7 + 95634·x 5 - 3795·x 3 + 45·x = c
El problema fue resuelto por Vieta [2] dos años más tarde en su trabajo Responsum
quien, con otro lenguaje y notación al usado por nosotros, se dió cuenta que la ecuación de Van
Rooemen es en realidad la ecuación
x
2 ⋅ T45   = c .
2
Resolvamos la ecuación de Van Roomen. Haciendo x = 2 sen φ tenemos
c
sen 45φ =
2
c
y por tanto x = 2 ⋅ sin θ D + k ⋅ 8D k = 0,1, ...,44 ; siendo θ = arc sin   .
2
¿Cómo llegó Vieta a darse cuenta de este hecho? Vieta conocía perfectamente la
solución de la ecuación
(
)
9
z
z 3 − 3 z = c ⇔ 2 ⋅ T3   = c
2
Haciendo el cambio de variable
 y
z = 2 ⋅ T3   ⇔ z = y 3 − 3 y ,
2
podía también resolver la ecuación
y 9 − 9 y 7 + 27 y 5 − 30 y 3 + 9 y = c ,
que escrita en término de los polinomios de Chebyshev es
  y 
 y
2 ⋅ T3  T3    = c ⇔ 2 ⋅ T9   = c .
2
2
  
Si en la ecuación anterior hacemos el cambio de variable
 x
y = 2 ⋅ T5   ⇔ y = x 5 − 5 x 3 + 5 x
2
obtenemos la ecuación
   x 
 x
2 ⋅ T3  T3  T5     = c ⇔ 2 ⋅ T45   = c
2
2
   
que es la ecuación de Van Roomen.
10
Curvas en Polares
La ecuación polar de muchas curvas se expresa por medio de funciones trigonométricas.
Los polinomios de Chebyshev de primeray de segunda clase son útiles para calcular la ecuación
cartesiana de la curva.
Ilustraremos la técnica del paso de la ecuación polar a la cartesiana con dos ejemplos
muy sencillos: la lemniscata de Bernoulli y la cúbica de Tschirnhausen. Posteriormente
aplicaremos esta técnica a las Rosas, Curvas Botánicas, Arañas y Curvas Nodales. Las
definiciones de estas curvas pueden encontrarse en [6] y [5].
La Lemniscata de Bernoulli
La lemniscata de Bernoulli tiene la ecuación polar
r 2 = a 2 ⋅ cos 2θ
Para obtener la ecuación implícita observemos que
x
r 2 = x 2 + y 2 y cos θ = =
r
x
x2 + y2
Luego

x
x 2 + y 2 = a 2T2 
 x2 + y2





Es decir
 
x
2
2
2  
x + y = a ⋅ 2 ⋅ 
2
2
  x + y

Operando
(x
2
+ y2
)
2
(
)
= a2 ⋅ x2 − y2 .
La Cúbica de Tschirnhausen
Su ecuación polar es
r = a ⋅ sec 3
θ
3
Por tanto
cos
2




 − 1



θ
3
=3
a
3
Luego
 a
θ

T3  cos  = T3  3 
 3
3



11
2
es decir
cos
θ
3
=4
a
a
− 3⋅3
r
r
Sustituyendo
x
x2 + y2
=
4a
x2 + y2
−
3⋅3 a
6
x2 + y2
Operando
x = 4a − 3 ⋅ 3 a ⋅ 3 x 2 + y 2
Despejando las raíces y elevando al cubo
27 a ⋅ x 2 + y 2 = (4a − x )3 .
(
)
12
Rosas
Las rosas o rhodoneas son curvas cuya ecuación polar es
r = a ⋅ cos mθ ,
las ecuaciones paramétricas son por tanto
 x = a ⋅ cos mθ ⋅ cos θ

 y = a ⋅ sen mθ ⋅ sen θ
El nombre de esta familia de curvas se debe a su forma parecida a la de una flor. El
matemático italiano Grandi las llamó Rhodoneas, Rhodon significa rosa en griego, en su libro
Flora Geometrica. Si m = 0 ó m = 1 la curva es una circunferencia, para m = 2 la curva se llama
quadrifolium, para m = 3 se llama trifolium, para m entero impar rosa de m pétalos y para m par
rosa de 2n pétalos. El nombre hace referencia al número de pétalos que tiene la curva. La curva
está definida también para valores fraccionarios. Para m = ½ se llama Folium de Durero.
Aplicando el mismo procedimiento a la ecuación polar que el realizado a la ecuación de
la lemniscata se observa que la ecuación cartesiana de la rosa para m entero impar es


x
 ⋅ x2 + y2

x + y = a ⋅ Tm 
2
2 
 x +y 
2
2
por ejemplo si m =3 , la curva se llama trifolium, tenemos


x
 ⋅ x2 + y2

x + y = a ⋅ T3 
2
2 
 x +y 
2
2
(
)
Teniendo en cuenta que T3 ( z ) = z ⋅ 4 z 2 − 3 la ecuación es
x2 + y2 =
Operando
2


4 x
− 3  ⋅  x 2 + y 2 
2
2
 


x2 + y2  x + y

ax
(x
2
+ y2
)
2
(
)
= ax ⋅ x 2 − 3y 2 .
Si m es par la ecuación cartesiana anterior sólo corresponde a la mitad de la curva pues r
puede tomar valores negativos. La curva completa corresponde a la ecuación
13


x


x + y = a ⋅ Tm
 2
2 
 x +y 
Por ejemplo el Quadrifolium r = a ⋅ cos 2θ
2
2
2
2


x

x 2 + y 2 = a 2 ⋅ T2 
 2
2 
 x +y 
2


x2

1
−
x + y = a ⋅2 2
 x + y2



2
por tanto
2
operando
(x
Para valores fraccionarios de m =
2
2
2
+ y2
)
3
(
)
2
= a2 ⋅ x2 − y2 .
p
el proceso necesita una modificación. Podemos realizar
q
el proceso de la siguiente forma
r = a ⋅ cos
p
r
θ
θ ⇒ = cos p
q
a
q
por tanto
 x2 + y2 
x2 + y2

θ
 = T  T  cos θ  
= T p  cos  ⇒ Tq 
q p

a
q
a
q  

 


Como T p Tq ( x ) = Tq T p ( x ) = T p⋅q (x ) tenemos que
(
)
(
)
14
 x2 + y2 
 = T  T  cos θ   = T (cos(θ ))
Tq 
p q
p


a
q  
 


Luego

x
Tp 
 2
2
 x +y
2 
 2

=T  x + y 
q


a



Veamos algunos ejemplos
1) Para m =1/2 tenemos el Folium de Durero r = a ⋅ cos
θ
2
2 
 2


x
=T  x + y 
T1 
2

 2
2 
a


 x +y 
Es decir
2
x
x2 + y2
 x2 + y2 
 −1
= 2

a


Simplificando y elevando al cuadrado para racionalizar
(2 x
2
+ 2y2 − a2
) ⋅ (x
2
2
)
+ y2 = a4x2
la curva es simétrica respecto de los ejes de coordenadas. Esta situación se cumple para los
valores de m =
2) Para m =
1
.
2n
1
tenemos
3
r = a ⋅ cos
θ
3
2 
 2


x
 =T  x + y 
T1 
3

 2
2 
a


 x +y 
es decir
15
x
x2 + y2
Operando
(x
2
2



x 2 + y 2   x 2 + y 2 
−
3

 4

a
a

 



=
)(
)
+ y 2 4 x 2 + 4 y 2 − 3a 2 = a 3 x .
La curva en este caso es simétrica respecto del eje OX. Observemos que no hemos
tenido que elevar al cuadrado en el proceso de eliminación. Análogamente a este caso ocurre
1
.
2n + 1
4
4θ
3) Para m = la ecuación polar es r = a ⋅ cos
y siguiendo el mismo proceso se obtiene la
5
5
para m =
ecuación cartesiana
(
a10 x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4
una curva de grado 18.
) = (x
2
2
+ y2
) (16x
5
4
+ 32 x 2 y 2 − 20a 2 x 2 + 16 y 4 − 20a 2 y 2 + 5a 4
y
x
Rosa 4/5
16
)
2
Curvas Botánicas
Las curvas botánicas tienen la ecuación polar
r = 1 + d ⋅ cos mθ d > 0
son las concoides de la rosa r = d ⋅ cos mθ d > 0 respecto de su centro 0 y con distancia 1.
Estas curvas engloban algunos tipos de curvas clásicas que veremos en los ejemplos.
Obviamente para d = 0 la curva es la circunferencia de radio unidad. Si d >1 a la familia de
curvas se la conoce con el poético nombre de Rosas de Troya.
Para m entero la ecuación cartesiana de la curva botánica se obtiene racionalizando la
ecuación


x
.
x 2 + y 2 = 1 + d ⋅ Tm 
 x2 + y2 


Veamos algunos ejemplos
1) Para m = 1 la curva es El Caracol de Pascal. Racionalizando la ecuación
x2 + y2 = 1+ d ⋅
obtenemos
(x
2
+ y 2 − dx
)
2
x
x2 + y2
= x2 + y2 .
La tabla muestra los diferentes tipos de caracol de Pascal. Recordemos que para d = 1 la curva
se llama cardioide.
17
Los diferentes tipos del Caracol de Pascal
18
2) Para m = 2 obtenemos
 

x
2
2
x + y = 1+ d ⋅ 2 ⋅
  x 2 + y 2

Operando
y elevando al cuadrado
(x
2
(x
2
+ y2
)
3
2
2


 − 1





= (d + 1) ⋅ x 2 − (d − 1) y 2
) [
+ y 2 = (d + 1) ⋅ x 2 − (d − 1) y 2
Dependiendo de los valores de d se tienen tres tipos de curva
Si d >1 la curva se llama cicloide de Ceva
3
si d = 1óvalo doble,
y si d<1 curva cacahuete.
19
]
2
3) para m =5 se obtiene la ecuación de grado 12
(x
)
(
=  x2 + y2

para d > 1 la curva se llama Rosa de Troya,
2
+ y2
5
)
3
(
)
− dx x 4 − 10 x 2 y 2 + 5 y 4 

2
para d < 1 se llama Estrella de mar
y para d =1 no tiene nombre especial. La forma de esta curva botánica nos recuerda la Rosa de 5
pétalos que la genera.
20
Curvas Botánicas con valores fraccionarios del parámetro m.
Si m = p/q el proceso de reducción se basa en racionalizar la siguiente fórmula


 x2 + y2 − 1
x

.

=T 
Tp
 x2 + y2  q 

d




La deducción de la fórmula es un proceso análogo al seguido con las rosas y se deja su
verificación al lector. Veamos algunos ejemplos de curvas notables
1) Para m = 1/2 la curva se llama la Nefroide de Freeth, su ecuación polar es
r = 1 + d ⋅ cos
θ
2
y la ecuación cartesiana se obtiene racionalizando la ecuación
2
 x2 + y 2 −1 
 −1
= 2⋅


2
2
d
x +y


x
Operando
Elevando al cuadrado
(2 x
(2 x
2
2
+ 2y2 + 2 − d 2
+ 2y2 + 2 − d 2
)
) (x
2
(
x2 + y2 = d 2 ⋅ x + 4 x2 + y2
2
) [
]
)
2
+ y 2 = 4x 2 + 4 y 2 + d 2 ⋅ x .
2) Para m = 2/3 la curva se llama el nudo de ocho y para el valor d = 2 la ecuación cartesiana
queda una ecuación de décimo grado relativamente sencilla
(3x
4
+ 6x 2 y 2 + 3y 4 − 4 y 2
21
) = (x
2
2
+ y2
)
5
Ejercicio 7 Encontrar una formula para hallar la ecuación cartesiana de las curvas
poligasteroides, tambien llamadas curvas de m vientres, de ecuación polar
1
r=
, m∈Q
1 + k ⋅ cos mθ
Estas curvas estudiadas por Gino Loria son una generalización de la ecuación polar de las
cónicas.
Arañas
Hay dos familias de curvas arañas. Las arañas envueltas de ecuación polar
r=a
y las arañas desenvueltas de ecuación polar
r=a
sen nθ
sen(n − 1)θ
sen nθ
.
sen(n + 1)θ
Las ecuaciones cartesianas de ambos tipos se expresan muy bien usando los polinomios
de Chebyshev de segunda clase.
Las arañas desenvueltas cumplen la ecuación
r ⋅ sen(n − 1)θ = a ⋅ sen nθ
por tanto
r ⋅ senθ ⋅U n−2 (cosθ ) = a ⋅ senθ ⋅U n−1 (cosθ )
simplificando
r ⋅U n−2 (cosθ ) = a ⋅U n−1 (cosθ )
Por tanto

x
x 2 + y 2 ⋅U n−2 
2
 x + y2

x2 + y2
Multiplicando la ecuación por

n −1


x
 = a ⋅U 
n −1
2

 x + y2






tenemos



x



2
2 (n −1) 2
=
⋅
+
a
x
y
U
n −1 

2
2 
 x 2 + y 2 
 x +y 


que es una ecuación de grado n.
Veamos algunos ejemplos
(x 2 + y 2 )n 2 ⋅U n − 2 
(
x
)
1) Para n = 2 obtenemos la ecuación x 2 + y 2 = 2ax . Circunferencia de centro (a , 0) y radio a.
22
(
) (
)
2) Para n = 3 obtenemos la ecuación 2 x ⋅ x 2 + y 2 = a ⋅ 3x 2 − y 2 . La trisectriz de Maclaurin.
(
)(
)
(
)
3) para n = 4 obtenemos la ecuación 3x 2 − y 2 ⋅ x 2 + y 2 = 4 xa ⋅ x 2 − y 2 .
(
)(
) (
)
4) Para n = 5 Obtenemos la ecuación 4 x x 2 − y 2 ⋅ x 2 + y 2 = a ⋅ 5 x 4 − 10 x 2 y 2 + x 4 .
Observemos que para n mayor que cuatro la araña envuelta tiene n-2 asíntotas de
ecuaciones y = x ⋅ tan k
π
n −1
, k = 1,.., n − 2 . Si n = 3 la trisectriz tiene una asíntota vertical de
ecuación x = 1 .
Para las arañas desenvueltas se obtienen resultados análogos que se dejan como
ejercicio al lector.
23
Nudos
Se llaman curvas nodales o nudos las de ecuación polar r = a ⋅ cot kθ . Las ecuaciones
cartesianas de estas curvas se obtienen usando las funciones de ángulo múltiple de la tangente.
En efecto
 y
r = a ⋅ cot kθ ⇔ Rn (tan θ ) ⋅ r = a ⇔ Rn   ⋅ x 2 + y 2 = a
 x
Elevando al cuadrado
(x
2
)
 y
+ y 2 ⋅ Rn   = a 2 .
x
Usando la expresión del ángulo múltiple podemos dar una fórmula polinómica equivalente a la
expresión anterior. Esta es
2
2
2
(n −1) 2
n 2

n  n −(2 k +1) 2 k +1 
k  n  n−2 k
2
 x
(− 1)k 
⋅y
⋅ y 2k  .
x + y ⋅
 = a ⋅  (− 1)   x
 2k + 1
 2k 
 k =0
 k =0


Luego los nudos son curvas de orden 2n + 2.
Veamos algunos ejemplos
Si n = 1 la curva es una cuártica llamada kappa o curva de Gutschoven de ecuación
(
2
2
) ∑
(
∑
)
y2 ⋅ x2 + y2 = a2 x2
Si n = 2 la curva es una séxtica llamada molino de viento de ecuación
4x 2 y 2 ⋅ x 2 + y 2 = a 2 ⋅ x 2 − y 2 .
(
)
(
Si n = 4 la curva es de orden ocho y tiene por ecuación
(
)(
)
2
)
(
)
2
y 2 ⋅ x 2 + y 2 ⋅ 3x 2 − y 2 = a 2 x 2 ⋅ x 2 − 3 y 2 .
Ejercicio 8-Hallar las ecuaciones de los nodos si el parámetro k es racional.
24
Curvas de Lissajous
Las curvas de Lissajous se pueden definir por las ecuaciones paramétricas
 x = cos(m ⋅ t + p )
.

 y = sen (n ⋅ t + q )
Fueron descubiertas por el matemático norteamericano Nataniel Bodwitch en 1815 cuando
estudiaba el movimiento del péndulo compuesto. Posteriormente el físico francés Jules Antoine
las estudió en sus investigaciones sobre óptica.
El proceso de eliminación del parámetro t es, salvo en los casos triviales, más
complicado que en los casos anteriores y excesivamente laborioso y complejo si se utilizan las
técnicas de eliminación algebraica. Los dos teoremas explicados mas abajo resuelven fácilmente
la cuestión.
Teorema 1. Dada la curva de Lissajous
 x = cos(m ⋅ t + p )

 y = sen (n ⋅ t + q )
0 ≤ t ≤ 2π , donde p, q son números reales y m impar.
Llamemos δ =
m
p
n
q
. Las coordenadas x, e y de la curva de Lissajous satisfacen la ecuación
(m−1) 2
a) Tn ( x) + Tm ( y) − 2 ⋅ (− 1)
2
2
⋅ Tn (x)Tm ( y) ⋅ senδ − cos2 δ = 0 , cuando cos δ ≠ 0 .
( m −1) / 2
Tm ( y ) = 0 , cuando cos δ = 0 .
b) sin δ Tn ( x ) − ( −1)
Demostración.
Aplicando la propiedad característica de los polinomios de Chebyshev y la
correspondiente para m impar para la función seno tenemos que
Tn (x ) = Tn (cos(mt + p )) = cos[n ⋅ (mt + p )] = cos(mn ⋅ t + n ⋅ p )

Tm ( y ) = Tm (sen(nt + q )) = sen[m ⋅ (nt + q )] = sen(mn ⋅ t + m ⋅ q )
Aplicando las fórmulas de la suma de dos ángulos
cos mnt ⋅ cos np − sen mnt ⋅ sen np = Tn ( x )

(m−1) 2
Tm (x )
 cos mnt ⋅ sen mq + sen mnt ⋅ cos mq = (− 1)
Este es un sistema lineal en las incógnitas cos mnt y sen mnt con determinante
∆=
cos np
− sen np
sen mq
cos mq
= cos mq ⋅ cos np + sen mq ⋅ sen np = cos (mq − np ) = cos δ
Si ∆ = cos δ ≠ 0 , aplicando la regla de Cramer
 cos δ ⋅ cos mnt = cos mq ⋅ Tn (x ) − (− 1)(m−1) 2 ⋅ sen np ⋅ Tm ( y )

cos δ ⋅ sen mnt = − sen mq ⋅ Tn (x ) + (− 1)(m−1) 2 ⋅ cos np ⋅ Tm ( y )
elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro
(m−1) 2
cos 2 δ = Tn (x ) + Tm ( y ) − 2 ⋅ (− 1)
⋅ Tn (x )Tm ( y ) ⋅ (sen mq ⋅ cos np − cos mq ⋅ sen np )
luego
(m −1) 2
2
2
Tn ( x ) + Tm ( y ) − 2 ⋅ (− 1)
⋅ Tn (x )Tm ( y ) ⋅ senδ − cos 2 δ = 0
quedando así demostrada la primera fórmula.
Si ∆ = cos δ = 0 el sistema anterior es compatible sólo cuando los coeficientes son
proporcionales, es decir cuando
2
2
25
Tn (x )
cos np − sen np
=
=
(
m −1) 2
sen mq cos mq (− 1)
Tm ( y )
por tanto
sen mq ⋅ Tn (x ) − (− 1)(m−1) 2 ⋅ cos np ⋅ Tm ( y ) = 0

cos mq ⋅ Tn (x ) − (− 1)(m−1) 2 ⋅ sen np ⋅ Tm ( y ) = 0
Multiplicando la primera por cos np y la segunda por sen np y restando ambas ecuaciones
queda
(sen mq ⋅ cos np − cos mq ⋅ sen np ) ⋅ Tn (x ) − (− 1)(m−1) 2 ⋅ (cos 2 np + sen 2 np )⋅ Tm (x ) = 0
por tanto
(m −1) 2
senδ ⋅ Tn (x ) − (− 1)
⋅ Tm (x ) = 0
c.q.d.
Es natural preguntarnos si el recíproco del teorema anterior es cierto, es decir si un
punto que satisface la ecuación cartesiana satisface las ecuaciones paramétricas. La respuesta es
“sí” en el primer caso y este hecho se demuestra en el teorema 2.
Teorema 2. Si un punto (a, b) satisface la ecuación cartesiana
(m−1) 2
Tn (x) + Tm ( y) − 2 ⋅ (− 1)
con m impar y cos δ ≠ 0 ,

2π 
m
2
2
⋅ Tn (x)Tm ( y) ⋅ senδ − cos2 δ = 0
 a = cos d ⋅ t 0 + n k 


k,l ∈ Z ,
existe un t0 tal que 
δ
n

b = sen  ± ⋅ t 0 + + 2π l 

m m 
 d
donde d = m.c.d .(m,n )
.
Es decir la curva descrita por la ecuación dada es una unión finita de curvas de Lissajous.
Observaciones:
1) Notemos que en una curva de Lissajous siempre podemos tomar p = 0. Basta realizar el
p
cambio de parámetro t = u − .
m
2) La ecuación cartesiana nos determina n, p y sen δ . El ángulo δ puede tomar una infinidad de
δ
valores. Una vez elegido uno cualquiera de ellos q = .
m
Demostración
Sabemos que
(m−1) 2
Tn (a) + Tm (b) − 2 ⋅ (− 1)
2
2
⋅ Tn (a)Tm (b) ⋅ senδ − cos2 δ = 0
Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica cos 2 δ + sen 2δ = 1 tenemos
(m−1) 2
cos2 δ ⋅ Tn (a) + sen2δ ⋅ Tn (a) − 2 ⋅ senδ ⋅ Tn (a) ⋅ (− 1)
2
Por tanto
2
⋅ Tm (b) ⋅ +Tm (b) = cos2 δ
2
(cosδ ⋅ Tn (a))2 + (senδ ⋅ Tn (a) − (− 1)(m−1) 2 ⋅ Tm (b))
2
= cos2 δ
Dividiendo por cos δ
2
2
 senδ ⋅ Tn (a) − (− 1)(m−1) 2 ⋅ Tm (b) 
Tn (a) + 
 =1
cosδ


2
Luego existe un valor θ tal que
26
Tn (a) = cosθ

(m−1) 2
⋅ Tm (b)
 senδ ⋅ Tn (a) − (− 1)
= −senθ

cosδ
Despejando
(m−1) 2
Tm (b) = (− 1)
(m−1) 2
⋅ (senδ ⋅ cosθ − cosδ ⋅ senθ ) = (− 1)
⋅ sen(δ + θ )
Luego
Tn (a) = cosθ

(m−1) 2
⋅ sen(δ + θ )
 Tm (b) = (−1)
Por tanto podemos haciendo a = cos α y b = senβ tenemos que
θ 2π
Tn (cosα ) = cosθ ⇒ cosnα = cosθ ⇒α = ± + ⋅ k k ∈ Z
n n
y
θ δ 2π

α = m + m + m ⋅ l
Tm (senβa) = sen(δ + θ ) ⇒ senmβ = sen(δ + θ ) ⇒ 
l ∈Z
θ
δ
2π
,
α = π − + + ⋅ l
m m m

m ⋅ n ⋅ t0
se deduce el resultado enunciado.
d
Cuando m es par se tienen resultados análogos que se enuncian en los teoremas
siguientes.
Sea d = m.c.d .(m,n ) . Haciendo θ =
Teorema. 3 Dada la curva de Lissajous
 x = cos(m ⋅ t + p )

 y = sen (n ⋅ t + q )
0 ≤ t ≤ 2π , donde p, q son números reales y m par.
m p
Llamemos δ =
. Entonces la ecuación cartesiana de la curva de Lissajous es
n q
a) Tn ( x ) 2 + Tm ( y ) 2 − 2( −1) m / 2 Tn ( x )Tm ( y ) cos δ − sin 2 δ = 0 cuando sin δ ≠ 0 ,
b) cos δ Tn ( x) − ( −1) m / 2 Tm ( y ) = 0 cuando sin δ = 0 .
Teorema 4. Si un punto (a, b) satisface la ecuación cartesiana
Tn ( x ) 2 + Tm ( y ) 2 − 2(−1) m / 2 Tn ( x )Tm ( y ) cos δ − sin 2 δ = 0
con m par y sen δ ≠ 0 ,

2π 
m
 a = cos d ⋅ t 0 + n k 


k,l ∈ Z ,
existe un t0 tal que 
δ
n

b = sen  ± ⋅ t 0 + + 2π l 

m m 
 d
donde d = m.c.d .(m,n )
.
Es decir la curva descrita por la ecuación dada es una unión finita de curvas de Lissajous.
27
Las demostraciones de los teoremas 3 y 4 son análogas a las de los teoremas 1 y 2 y no
las haremos. El lector interesado puede consultar el artículo [3]. Resumiendo la curva de
Lissajous definida por la ecuación paramétrica coincide con la definida por su ecuación
cartesiana cuando m es impar y cos δ es distinto de cero o cuando m es par y sen δ es distinto
de cero Diremos entonces que la curva de Lissajous es no degenerada y en caso contrario
decimos que es degenerada. Cuando la curva de Lissajous es degenerada la ecuación
paramétrica es sólo un arco de la curva definida por la ecuación cartesiana. Ver los casos
degenerados de los ejemplos 1 y 2.
Ejercicio 9. Demostrar los siguientes hechos en una curva de Lissajous degenerada
a) La curva queda determinada con un intervalo de longitud π.
b) La curva es un arco con un origen y un extremo.
c) Los puntos singulares son nodos
Ejercicio 10 Demostrar lo siguiente hechos en una curva de Lissajous no degenerada
a) La curva queda determinada con un intervalo de longitud 2π.
b) La curva es curva cerrada y todos los puntos singulares son nodos.
Apliquemos los teoremas a algunos ejemplos seleccionados
1. Alforja
La alforja es la curva de ecuaciones paramétricas

 π
x = c ⋅ cos t − 

 2

c
 y = − ⋅ sen(2t + β ) + c senβ

2
2
−π
1
En este caso m =1 es impar y δ =
2 = β + π . Cuando cos(β + π ) = 0 , es decir cuando
2 β
β=
π
2
+ kπ
k∈Z
podemos aplicar la formula
 x
 − 2y

+ sen β  = 0
sen β ⋅ T2   − T1 
c
 c

es decir
  x 2   − 2 y

+ sen β  = 0
sen β ⋅  2   − 1 − 
 c
  c



operando nos queda
senβ 2
x
c
como cos β = 0 tenemos que la ecuación de la curva es
y=
y=
x2
c
ó
y=−
x2
c
que es la ecuación de una parábola.
Observemos que en este caso la curva parametrizada es un arco de parábola.
Cuando cos β ≠ 0 tenemos
2
2
 x
 − 2y

 x   − 2y

+ senβ  − 2 ⋅ T1 T2 
+ senβ  ⋅ senβ − cos2 β = 0
T1  + T2 
c
 c

c  c

Operando queda
4 x 4 8sen β ⋅ x 2 y 4 cos 2 β ⋅ x 2 4 y 2
−
−
+ 2 =0
c4
c3
c2
c
28
Multiplicando por
c4
4
x 4 − 2c senβ ⋅ x 2 y − c 2 cos 2 β ⋅ x 2 + c 2 y 2 = 0
llamando a = c ⋅ cos β y b = c ⋅ sen β queda
(
)
2
x 4 − 2b ⋅ x 2 y − a 2 ⋅ x 2 + a 2 + b 2 y 2 = 0
o bien
(x
)
(
2
2
− by = a 2 x 2 − y 2
que es la ecuación cartesiana de la alforja
)
Cuando b=0 la alforja se llama Lemniscata de Gerono
(
x4 = a2 x2 − y 2
)

 π
 x = c ⋅ cos t − 2 


⇔
π
c
−


y =
sen 2t − 
2
2


2) Cúbica Crunodal
 x = cos 2t

 y = sen  3t + π 

2

2 0
π = 0 , la fórmula es por tanto
En este caso m =2 es par y sen δ = sen
3
2
cos δ Tn ( x) − ( −1) m / 2 Tm ( y ) = 0
Sustituyendo
29
π 
cos T3 (x ) − (− 1)T2 ( y ) = 0
2
Operando
2 y 2 = 4 x 3 − 3x + 1
Esta curva se llama cúbica con punto doble o cúbica crunodal.
Observemos que es una curva de Lissajous degenerada y que la curva parametrizada es
un arco de la cúbica con forma de letra alfa.
Otro Ejemplo con m par
 x = cos 2t

 y = sin 3t + π 

4

2 0
π = 1 , la fórmula es por tanto
En este caso m =2 es par y sen δ = sen
3
4
Tn ( x ) + Tm ( y ) − 2 ⋅ (− 1)
2
m2
2
⋅ Tn (x )Tm ( y ) ⋅ cos δ − sin 2 δ = 0
sustituyendo
T3 (x ) + T2 ( y ) − 2 ⋅ (− 1) ⋅ Tn (x )Tm ( y ) ⋅ cos
2
Operando
2
(4 x
3
) (
2
)
− 3x + 2 y 2 − 1 = 1
o bien
30
π
2
− sin 2
π
2
=0
(4 x
3
)
2
(
)
− 3x = 4 y 2 − y 4 .
Ejemplo de curva reducible
La curva definida por las ecuaciones

π

 x = cos 8t + 2 



π

 y = sen 12t + 

3

Satisface la ecuación
3
= 0.
4
Esta ecuación nos determina cuatro componentes irreducibles que corresponden a las cuatro
curvas de Lissajous siguientes:
T12 ( x ) + T8 ( y ) + T12 ( x ) ⋅ T8 ( y ) −
2
2
 x = cos 2t

 y = sen  3t − 5π 

12 


π

 x = cos 2t + 6 



5
π


 y = sen  3t −


12 


π

 x = cos 2t + 3 



5
π


 y = sen  3t −


12



π

 x = cos 2t + 2 



5
π


 y = sen  3t −


12


31
Las cuatro gráficas juntas
Observemos que la curva parametrizada inicial satisface también las ecuaciones

π

 x = cos 2t + 2 



π

 y = sen  3t + 

3

o eligiendo el parámetro p =0
x = cos 2t


 y = sen  3t − 5π  .

12 

Cualquiera de estas dos ecuaciones paramétricas nos generan
T3 (x ) + T2 ( y ) − 3T3 (x ) ⋅ T2 ( y ) −
2
2
1
=0
4
.
Referencias
1. R. L. Burden y J. D. Faires, Análisis Numérico, Grupo Editorial IberoAmericana, 1985.
2. F. Cajori, A History of Mathematics , Chelsea, 1999)
3. J. Castiñeira Merino, Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials, The College
Mathematics Journal 34 (2003) #2, 122-127.
4. Eli Maor, Trigonometric Delights, Princenton University Press, 1998.
5. J. W. Rutter, Geometry of Curves, Chapman & Hall, 2000.
6. Vinogradov y otros, Enciclopedia de las Matemáticas, Editorial Mir-Rubiños, 1994.
32
Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de
Matemática
http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/
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