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Geometría y Trigonometría
11.
Ecuaciones Trigonométricas
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
11.1 Concepto de ecuación trigonométrica
Ecuación trigonométrica
Es una igualdad entre funciones trigonométricas de un mismo ángulo que sólo se satisface para
un determinado valor o valores del ángulo.
11.2 Solución de las ecuaciones trigonométricas
En la solución de estas ecuaciones se utilizan los mismos métodos estudiados en álgebra.
Recuerda que:
•
•
•
•
Si el término está sumando, pasará restando.
Si el término está restando, pasará sumando.
Si el término está multiplicando, pasará dividiendo.
Si el término está dividiendo, pasará multiplicando.
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos del
ángulo θ , menores que 360° (Nota: revisa los ángulos de las funciones a partir de la página
116).
1) 2 senθ − 1 = 0
El uno está restando pasa sumando.
2 senθ = 1
El 2 está multiplicando pasa dividiendo.
1
2
Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ=30°,150°.
senθ =
2) 2 cos2 θ = cosθ
.
2 cos2 θ − cosθ = 0
cosθ está positivo pasa hacia el miembro izquierdo restando.
cosθ (2 cosθ −1) = 0
Factorizamos.
Observamos que cosθ es el factor común de la ecuación.
1
2
Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ1 = 90°, 270°
cosθ = 0
cosθ =
155
θ 2 = 60°, 300°
Unidad tres
Geometría y Trigonometría
3) 2 cos2 θ − cosθ − 1 = 0
a = 2, b = -1,c = -1
x=
x=
Representa una ecuación cuadrática.
Obtenemos los valores de a, b, c y
sustituimos en la fórmula general.
− b ± b − 4ac
,
2a
2
− (−1) ± (−1) 2 − 4(2)(−1)
2(2)
1± 1+ 8
1± 9
1± 3
, x=
, x=
,
4
4
4
1+ 3 4
1− 3 − 2 −1
x1 =
x2 =
= =1
=
=
4
4
4
4
2
Realizando las operaciones correspondientes
quedan los siguientes resultados:
x=
−1
2
Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ1 = 0°, 360°
cosθ = 1
cosθ =
156
θ 2 = 120°, 240°
Geometría y Trigonometría
Ecuaciones Trigonométricas
EJERCICIO 11-1
INSTRUCCIONES.-
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no
negativos del ángulo θ, hasta 360°.
1) 2 cos θ − 1 = 0
60º y 300º
2) 4 senθ − 2 = 0
30º y 150º
3) 2senθ − 3 = 0
60º y 120º
4) csc θ − 2 = 0
30º y 150º
157
Unidad tres
Geometría y Trigonometría
5) cot θ − 1 = 0
45º y 225º
6) 2 cos θ + 3 = 0
150º y 210º
7) 2 cos 2 θ − cos θ − 1 = 0
0º,120º, 240º,360º
8) 2 cos 2 θ + 2 cos θ = 0
90º,180º, 270º
158
Geometría y Trigonometría
Ecuaciones Trigonométricas
9) 2sen 2θ = − senθ
0º,180º, 210º,330º ,360º
10) sen 2θ = senθ
0º,90º, 180º,360º
159