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Lección 3.4 Leyes del Seno y Coseno 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 17 Actividades 3.4 • Referencia Texto: Seccíón 8.1 – Ley de los Senos; Problemas impares 1-25 páginas 577 y 578 (532 y 533); Sección 8.2 Ley de los Cosenos; problemas impares 1 – 25, página 586 y 587 (541 y 542) • Asignación 3.4: páginas 577 y 578 (532 y 533); problemas 18 y 20; De las página 586 y 587 (541 y 542) haga problemas 20 y 24. • Referencias del Web: • Videos de Julio Profesor.NET – Problema 1 (Se utiliza la Ley de Senos) Ver video – Problema 2 (Se utiliza la Ley de Cosenos) Ver video – Problema 3 (Se utiliza la Ley de Cosenos): De un puerto sale un barco a las 2:00 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el Este. A las 3:00 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N18°E. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5:00 PM? Ver video 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 2 de 17 Algunos datos importantes sobre Triángulos • Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados congruentes. – Los ángulos opuestos son congruentes. • Un tríangulo equilatero es uno con todos los lados congruentes. – Todos los ángulos son congruentes y miden 60º . • La suma de ángulos de todo triángulo es 180º. 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 17 Ley del Seno • Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos , , respectivamente, sin sin sin a b c 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 17 Ejemplo 1 – Caso SAA • Resuelva el triángulo si = 30o, = 70o, a = 5. Redondee al entero más cercano. 180 • Solución: • Calcule primero el tercer ángulo: 30 70 180 80 30 c b 70 5 21/02/2014 sin 30 sin 70 5 b 5 sin 70 b sin 30 sin 30 sin 80 5 c 5 sin 80 c sin 30 b 9.396926208 c 9.84807753 b9 c 10 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 17 Ejemplo 2 – Caso ASA • Resuelva el triángulo si = 20o, = 60o, c = 12. Redondee al entero más cercano. • Solución: 180 • Calcule primero el tercer ángulo: 20 b 12 60 21/02/2014 a 20 60 180 100 sin 100 sin 20 12 a 12 sin 20 a sin 100 a 4.16755624 a4 sin 100 sin 60 12 b 12 sin 60 b sin 100 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 17 b 10.5526229 b 11 Ejemplo 3 – Caso SSA • Cuando se conoce sólo un ángulo opuesto a uno de los lados, tres situaciones pueden resultar: 1. Un triángulo es identificado 2. Dos posibles triángulos son identificados 3. Ningún triángulo es posible • Por esto se conoce como el “caso ambiguo” 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 17 Ejemplo 3 – Caso SSA (1 triángulo) • Determine los posibles valores del ángulo 𝛾 que puedan definir un tríangulo si b = 5, c = 3, = 30o. Redondee al entero más cercano. • Solución: 30 3 a sin 30 sin 5 3 3 sin 30 sin 5 2 180 18 162 sin 0.3 sin 5 Como el Seno es positivo en el cuadrante II, hay otro posible ángulo con el mismo seno. 1 0.3 17.45760312 1 18 Pero esto no es posible, por que … 30 162 192 180 Sólo es posible un triángulo. Esto ocurre cuando 𝛾 = 18° 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 17 Ejemplo 4 - Caso SSA (2 triángulos) • Determine los posibles valores del ángulo 𝛾 que puedan definir un triángulo si b = 8, c = 10, = 45o . Si hay más de uno resuelva los triángulos. Redondee al entero más cercano. • Solución: c b a sin 45 sin 8 10 10 sin 45 sin 0.88 8 sin 1 0.88 61 .64236342 Como el Seno es positivo en el cuadrante II, hay dos posibles ángulos que comparten el mismo seno. 1 62 ó 2 118 Ambos conducen a dos posibles triángulos por que: 45 62 180 21/02/2014 45 118 180 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 17 Ejemplo 4 … Triángulo 1: Triángulo 2: 1 62 2 118 1 180 45 62 73 sin 73 sin 45 a1 8 a1 2 180 45 118 17 sin 17 sin 45 a2 8 8 sin 17 a2 3 sin 45 8 sin 73 11 sin 45 a1 11, b 8, c 10 a2 3, b 8, c 10 1 73 , 45 , 1 62 2 17 , 45 , 2 118 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 10 de 17 Ejemplo 5 - Caso SSA (0 triángulo) • Resuelva el triángulo dado c = 5, b = 3, = 50o (SSA): sin 50 sin 3 5 5 sin 50 sin 3 3 5 sin 1.28 ¡No hay un ángulo con seno valor que 1! 50 21/02/2014 a ¡No hay un triángulo con estas medidas! Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11 de 17 Ejemplo 6 • Para medir el ancho de un río se establece tres puntos de referencia como se resume en le diagrama siguiente. Se determina que C = 117.2°, A = 28.8°, and b = 75.6 pies. Encuentre la distancia a. 𝛽 = 180° − 28.8° − 117.2° 𝛽 = 34° sin 34 sin 28.8 75.6 a 75.6 sin 28.8 a sin 34 a 65.1306151 a 65.1 pies 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 12 de 17 Ley del Coseno • Para un triángulo con lados a,b, c y ángulos opuestos , , respectivamente, a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos • La Ley del Coseno se aplica para resolver problemas donde se conocen dos lados y su ángulo incluido (SAS) y donde se conocen los tres lados (SSS). 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 13 de 17 Ejemplo 7 • Resuelva el triángulo siguiente si b = 2 , c = 4 , = 40o . Redondee al entero. • Solución: SAS a 2 b 2 c2 2bc cos 2 a a 2 32 4 2 234 cos 40 40 a 2 6.614933365 4 sin 40 sin 2 3 2 sin 40 sin 3 sin 0.428525073 sin 1 (0.428525073) 25 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada a 2.57195127 3 180 40 25 180 115 14 de 17 Ejemplo 8 • Determine el ángulo si a = 3, b = 5, c = 7. SSS 3 a 2 b 2 c 2 2bc cos 5 (3) 2 (5) 2 (7) 2 257 cos 7 65 257 cos 65 cos 70 cos 1 0.928571429 21.78678923 22 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 17 Ejemplo 9 • Dos botes zarpan desde un puerto C en una dirección que forma un ángulo de 82° entre ellos. Cuando el bote A ha navegado 62.5 km, el bote B ha navegado 79.4 km. En ese momento, ¿cuál es la distancia entre ellos? a 2 b2 c2 2bc cos a 2 (62.5) 2 (79.4) 2 2(62.5)(79.4) cos 82 a 2 3906.25 6304.36 9925 cos 82 a 2 10210.61 9925(0139173101) a 2 8829.316973 𝑎 ≈ 94.0 𝑘𝑚 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 16 de 17 Ejemplo 10 • Dos botes zarpan al mismo tiempo, navegando a un ángulo de 82°20′ entre ellos. Cuando el bote más lento (A) ha viajado 62.5 km, el más rápido (B) ha viajado 79.4 km. En ese momento, ¿a qué distancia se encuentran los botes entre ellos? 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 17 de 17