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Lección 3.1
Funciones Trigonométricas de Ángulos
21/02/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
1 de 21
Actividades 3.1
• Referencia Texto: Seccíón 6.1 – Ángulo; Ejercicios de Práctica:
Problemas impares 1-33 página 409 (375 y 376); Sección 6.2
Funciones Trigonométricas de Ángulos; problemas impares 7 – 23,
29-33 páginas 425, 426 y 427(390 y 391); Sección 6.3 Funciones
Trigonométricas de Números Reales, problemas impares 1, 9 -15
Usa GRAPH para 55-53 páginas 444 y 446 (407 y 409)
• Asignación 3.1: página 409 (375 y 376); problemas 12, 24, 26 y 32;
De las páginas 425, 426 y 427(390 y 391); , problemas 14 y 20. De
las páginas 444 y 446 (407 y 409), problemas 2, 58, 60
• Referencias del Web:
• Videos de Julio Profesor.NET
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21/02/2014
Conversión de medidas de ángulos
De grados a radianes De radianes a grados
Valores exactos de ángulos notables
Método para obtener el Seno y el Coseno de 0°, 30°, 45°, 60° y 90°
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Medidas de Ángulos
• Grados (degrees). 1 grado es equivalente a 1/360
de una revolución completa.
B
135
A
O
El transportador (proctractor) es
un instrumento para medir ángulos.
• Radianes:
1 radian es equivalente al
ángulo que se forma por un
sector cuyo largo (arc length)
mide igual que el radio en donde
se forma.
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Clasificación de ángulos
• Medida:
Un ángulo recto Un ángulo agudo
mide menos de 90o
mide 90o
Un ángulo obtuso Un ángulo llano
mide más de 90o mide 180o
• Signo
180o
90o
360o
270o
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Ejemplo 1
1.
Encuentre las medidas de dos ángulos, uno
positivo y otro negativo, que son coterminales
al ángulo de 117°.
a. 477°; −113° b. 157° ; 23° c. 477° ; −243°
117° + 360° = 477°
2.
360° − 117° = 243°
−243°
c. 477° ; −243°
Identifique el cuadrante en donde descansa el
lado terminal del ángulo 281°
a. I
b. II
c. III d. IV
d. IV
3.
Identifique el cuadrante en donde descansa el
lado terminal del ángulo −281°
a. I
b. II
c. III d. IV
a. I
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Conversión entre grados y radianes
180   radianes
• Exprese en radianes.



radianes
60  
180
3


Equivalencias
especiales
(¡Recordar!)
20  180  9 radianes
• Exprese en grados.
 180

6 
 30 
5 180  450


2
1 rad  57 .296 
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Grados Minutos Segundos
DMS
1 grado (1o) = 60 minutos (60’)
1 minuto (1’) = 60 segundos (60”)
• Ejemplo: Convierta 48o20’15” a grados decimales.
′
20
15
≈ 48.3375°
+
= 48 +
60
3600
′
32
6
≈ 25.535°
+
= 25 +
60
3600
48° 20 15"
25° 32 6"
• Convierta a DMS
34.54° = 34° + (0.54 × 60)′
= 34° +
32.4′
= 58° +
10.8′
= 34° +
32′ + (0.4 × 60)"
= 58° +
10′ + (0.8 × 60)"
= 34° +
32′ + 24"
= 58° +
10′ + 48"
= 34° 32′ 24"
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58.18° = 58° + (0.18 × 60)′
= 58° 10′ 48"
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Ejemplo 2
1)
Convierte el ángulo 36°29′ 48′′ a grados decimales redondeado a la
centésima más cercana.
𝑎) 36.50°
2)
b)83°53′30" 𝑐)83°53′ 12“
𝑎. 83°53′ 24
b)
8𝜋
5
9𝜋
𝑐)
5
𝑏.
8𝜋
5
𝜋
Convierta de − 3 a grados.
𝑎) − 60𝜋°
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𝑎. 36.50°
Convierta de 288° a radianes.
16𝜋
𝑎)
5
3)
𝑐)36.46°
Convierte el ángulo 83.89° a grados minutos segundos (DMS).
Redondee los segundos a la centésima más cercana.
𝑎) 83°53′ 24
3)
𝑏) 36.51°
b)
− 1.05° 𝑐) − 60°
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𝑐. − 60°
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Longitud y Área de un arco circular
• Sea  el ángulo central medido en radianes
asociado a un sector con arco de medida S
y área A en un círculo con radio r. Entonces,
s  r
1 2
A r 
2
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Ejemplo 4
• Un círculo tiene radio de 25.60 cm. Encuentre el largo del arco
que subtiende por los siguientes ángulos centrales. Luego,
aproxime su resultado a la centésima más cercana:
• a)
b)
7
54 
8
Cambie medida de grados a radianes
• c) Calcule área si 𝜃 = 2
1 2
1
𝐴 = 𝑟 𝜃 = 25.60 2 (2) = 𝟔𝟓𝟓. 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟐
2
2
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El Círculo Unitario
Círculo de radio 1
con centro en el
punto origen.
(0, 1)
y
 t
P = (a, b)
Tiene interceptos en
(0,1), (-1,0), (0,-1) y
(1,0).

(-1, 0)
Asociado al número
real t y el ángulo 
medido en radianes
hay un punto P(a, b)
que satisface ….
(1, 0)
x
(0, -1)
a 2  b2  1
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Funciones Circulares de Ángulos
• Sea t un número real y P = (a, b) un punto en el
círculo unitario asociado a t. Entonces:
(coseno) cos t  a
sin t  b
b
(tangente) tan t 
a
(seno )
(0, 1)
y
t
P = (a, b)
• Funciones recíprocas
1
(secante) sec t 
a
1
(cosecante) csc t 
b
a
(cotangente) cot t 
b
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(-1, 0)
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(1, 0)
x
(0, -1)
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Ejemplo 5
• Sea
 ,  un punto en el círculo unitario asociado
1
4
 15
4
a un número real t. Determine los valores
trigonométricos de t si:
• Solución:
1
cos t 
4
sec t 
1
1

4
a 1
4
15
sin t  
4
csc t 
1
1

b  15

4
4
15
1
15
a
1
b 
4
4

tan t  
  15 cot t  
1
b  15
15
a
4
4
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Relaciones especiales para recordar
90° =

2
 (0,1)
180° =   (1,0)
270° =
3
 (0,1)
2
360° =2  (1,0)
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Relaciones especiales para recordar

3 1
30° =
( , )
6
2 2
 2 2

,
45° =  

4
 2 2 


1 3
( , )
60° =
3
2 2
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Ejemplo 6
Encuentre los valores exactos de:
6

2
60° =   ( 1 , 3 )
6
3

4
2
 3
7
3
2
2 
2 



 1   1 
b) sin  tan

4
3
4  2 
4
c)
cos
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
3
2 2
 2 2



,
45° =


4
 2 2 
a) sin 60  cos 45   3  1
2
30° =   ( 3 , 1 )
2 2
  1  1   1
 cot
4
2
2
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Ejemplo 7
a) Encuentre los signos de sin 𝑡, cos 𝑡, tan 𝑡 si
el lado terminal del ángulo se encuentra
en el cuadrante IV.
cos 𝑡 > 0
• Solución:
sin 𝑡 < 0
t𝑎𝑛 𝑡 < 0
b) Encuentre el signo de 𝑠𝑖𝑛 285°.
sin 285° < 0
c) Encuentre el signo de tan
7𝜋
6
.
7𝜋
tan
>0
6
d) Encuentre el signo de cos 2.
cos 2 < 0
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Ejemplo 8
• Use su calculadora para aproximar los siguientes valores
trigonométricos a cinco lugares decimales (Nota: – Asegúrese
que su calculadora está en modalidad de radianes o grades
según aplique).
1) sin 5.3
𝜋
≈ −0.83227
2) tan 5
≈ 0.72654
3) sec 5
𝜋
≈ 1.23607
4) cot 85°
≈ 0.08749
5) 𝑠𝑖𝑛2 38°
= sin 38°
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2
≈ 0.3790
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Propiedades de Triángulos Rectos
Teorema de Pitágoras - En un
triángulo recto, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de sus catetos.
c  a b
2
2
Hipotenusa
Cateto
2
Cateto
Funciones Trigonométricas
Adyacente de 
cos  
Hipotenusa
Opuesto de 
sin  
Hipotenusa
tan  
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Opuesto de 
Adyacente de 
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Ejemplo 9
• Encuentre los valores trigonométricos del ángulo 𝜃.
h2  a 2  b2
6 1 b
2
2
1
2
𝑏
b  35
cos  
Adyacente de 
35

Hipotenusa
6
Opuesto de 
sin  
Hipotenusa

1
6
1
Opuesto de 

tan  
Adyacente de 
35
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𝜃
6
sec  
1
6

cos 
35
1
csc  
6
sin 
1
cot  
 35
tan 
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Ejemplo 10
8
,
3
• Si 𝛽 es un ángulo agudo y sec 𝛽 = determine
valores trigonométricos de sin 𝛽 y 𝑡𝑎𝑛 𝛽
8
3
3
,
8
sec 𝛽 = ,
cos 𝛽 =
Por Pitágoras
𝑥 2 + 32 = 82
sin 𝛽 =
55
,
8
tan 𝛽 =
55
3
𝑥 2 + 9 = 64
𝑥 2 = 55
𝑥 = 55
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