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Lección 3.4
Leyes del Seno y Coseno
21/02/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
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Actividades 3.4
• Referencia Texto: Seccíón 8.1 – Ley de los Senos; Problemas
impares 1-25 páginas 577 y 578 (532 y 533); Sección 8.2 Ley de los
Cosenos; problemas impares 1 – 25, página 586 y 587 (541 y 542)
• Asignación 3.4: páginas 577 y 578 (532 y 533); problemas 18 y 20;
De las página 586 y 587 (541 y 542) haga problemas 20 y 24.
• Referencias del Web:
• Videos de Julio Profesor.NET
– Problema 1 (Se utiliza la Ley de Senos) Ver video
– Problema 2 (Se utiliza la Ley de Cosenos) Ver video
– Problema 3 (Se utiliza la Ley de Cosenos): De un puerto sale un barco a las 2:00
PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el Este. A las 3:00 PM sale, del
mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N18°E.
¿Qué distancia separa los barcos a las 5:00 PM? Ver video
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Algunos datos importantes sobre Triángulos
• Un triángulo isósceles es un
triángulo con dos lados
congruentes.
– Los ángulos opuestos son
congruentes.
• Un tríangulo equilatero es
uno con todos los lados
congruentes.
– Todos los ángulos son
congruentes y miden 60º .
• La suma de ángulos de todo
triángulo es 180º.
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Ley del Seno
• Para un triángulo con
lados a, b, c y ángulos
opuestos , , 
respectivamente,
sin  sin  sin 


a
b
c
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Ejemplo 1 – Caso SAA
• Resuelva el triángulo si  = 30o,  = 70o, a = 5. Redondee al
entero más cercano.
      180
• Solución:
• Calcule primero el tercer ángulo:
30  70    180
  80
30
c
b

70
5
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sin 30  sin 70 

5
b
5 sin 70 
b
sin 30 
sin 30 sin 80 

5
c
5 sin 80 
c
sin 30 
b  9.396926208
c  9.84807753
b9
c  10
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Ejemplo 2 – Caso ASA
• Resuelva el triángulo si  = 20o,  = 60o, c = 12. Redondee al
entero más cercano.
• Solución:
      180
• Calcule primero el tercer ángulo:
20
b
12

60
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a
20  60    180
  100
sin 100  sin 20 

12
a
12 sin 20 
a
sin 100 
a  4.16755624
a4
sin 100  sin 60 

12
b 
12 sin 60
b
sin 100 
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b  10.5526229
b  11
Ejemplo 3 – Caso SSA
• Cuando se conoce sólo un ángulo opuesto a
uno de los lados, tres situaciones pueden
resultar:
1. Un triángulo es identificado
2. Dos posibles triángulos son identificados
3. Ningún triángulo es posible
• Por esto se conoce como el “caso ambiguo”
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Ejemplo 3 – Caso SSA (1 triángulo)
• Determine los posibles valores del ángulo 𝛾 que puedan definir
un tríangulo si b = 5, c = 3,  = 30o. Redondee al entero más
cercano.
• Solución:
30
3

a

sin 30 
sin 

5
3
3 sin 30 
sin  
5
 2  180   18
 162 
sin   0.3
sin
5
Como el Seno es positivo en el
cuadrante II, hay otro posible
ángulo con el mismo seno.
1
0.3  17.45760312
 1  18
Pero esto no es posible,
por que …
30   162   192   180 
Sólo es posible un triángulo. Esto ocurre cuando 𝛾 = 18°
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Ejemplo 4 - Caso SSA (2 triángulos)
• Determine los posibles valores del ángulo 𝛾 que puedan definir un
triángulo si b = 8, c = 10,  = 45o . Si hay más de uno resuelva los
triángulos. Redondee al entero más cercano.
• Solución:

c
b


a
sin 45
sin 

8
10
10 sin 45
sin  
 0.88
8
sin 1 0.88  61 .64236342
Como el Seno es positivo en el cuadrante II, hay dos
posibles ángulos que comparten el mismo seno.
 1  62 ó  2  118
Ambos conducen a dos posibles triángulos por que:
45  62  180
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45  118  180
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Ejemplo 4 …
Triángulo 1:
Triángulo 2:
 1  62
 2  118
1  180  45  62  73
sin 73 sin 45

a1
8
a1 
 2  180  45  118  17
sin 17 
sin 45

a2
8
8 sin 17 
a2 
3

sin 45
8 sin 73
 11
sin 45
a1  11, b  8, c  10
a2  3, b  8, c  10
1  73 ,   45 ,  1  62 
 2  17  ,   45 ,  2  118
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Ejemplo 5 - Caso SSA (0 triángulo)
• Resuelva el triángulo dado c = 5, b = 3,  = 50o
(SSA):
sin 50
sin 

3
5
5 sin 50
sin  
3
3
5
sin   1.28
¡No hay un ángulo con seno valor que 1!
50
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a
¡No hay un triángulo con estas medidas!
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Ejemplo 6
• Para medir el ancho de un río se establece tres
puntos de referencia como se resume en le diagrama
siguiente. Se determina que C = 117.2°, A = 28.8°,
and b = 75.6 pies. Encuentre la distancia a.
𝛽 = 180° − 28.8° − 117.2°
𝛽 = 34°
sin 34 
sin 28.8

75.6
a
75.6 sin 28.8
a
sin 34 
a  65.1306151
a  65.1 pies
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Ley del Coseno
• Para un triángulo con lados a,b, c y ángulos
opuestos , ,  respectivamente,
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
• La Ley del Coseno se aplica para resolver
problemas donde se conocen dos lados y su
ángulo incluido (SAS) y donde se conocen los tres
lados (SSS).
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Ejemplo 7
• Resuelva el triángulo siguiente si b = 2 , c = 4 ,  =
40o . Redondee al entero.
• Solución: SAS
a 2  b 2  c2  2bc cos

2
a a 2  32  4 2  234 cos 40

40
a 2  6.614933365
4
sin 40  sin 

2
3
2 sin 40 
sin  
3
sin   0.428525073
  sin 1 (0.428525073)  25
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a  2.57195127  3
      180
40  25    180
  115
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Ejemplo 8
• Determine el ángulo  si a = 3, b = 5, c = 7.
SSS
3
a 2  b 2  c 2  2bc cos 

5

(3) 2  (5) 2  (7) 2  257  cos 

7
 65  257  cos 
65
cos  
70
  cos 1 0.928571429 
 21.78678923
 22 
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Ejemplo 9
• Dos botes zarpan desde un puerto C en una
dirección que forma un ángulo de 82° entre ellos.
Cuando el bote A ha navegado 62.5 km, el bote B ha
navegado 79.4 km. En ese momento, ¿cuál es la
distancia entre ellos?
a 2  b2  c2  2bc cos
a 2  (62.5) 2  (79.4) 2  2(62.5)(79.4) cos 82
a 2  3906.25  6304.36  9925 cos 82
a 2  10210.61  9925(0139173101)
a 2  8829.316973
𝑎 ≈ 94.0 𝑘𝑚
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Ejemplo 10
• Dos botes zarpan al mismo tiempo, navegando a un
ángulo de 82°20′ entre ellos. Cuando el bote más
lento (A) ha viajado 62.5 km, el más rápido (B) ha
viajado 79.4 km. En ese momento, ¿a qué distancia
se encuentran los botes entre ellos?
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