Download BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Escuela Superior Politécnica del Litoral
Algebra Lineal
Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #4
BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO
VECTORIAL
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definición.- Un conjunto finitos de vectores
espacio vectorial V si:
v1 ,v2 ,...,vn  es una base para un
a) v1,v 2 ,...,v n  es linealmente independiente.
b) v1,v2 ,...,v n  genera a V .


Todo conjunto de
n .
n
vectores linealmente independiente en
 n es una base de

EJEMPLOS
V  2
x 

 / x, y  
y 



1 0
x 
1  0
ˆ
ˆ

x
i

y
j

x

y

gen
 , 
 
   
y 
0 1 
01 
Una Base canonica para  2 es
1 0
Bc   , 
01 
Sea V   . Encuentre una base para el conjunto de vectores que están en el plano.
 x 

 

W   y  / 2 x  y  3 z  0
 z 

 

3


2 x  y  3z  0
y  2 x  3z
 x   x


  
W   y  /  2 x  3 z  
 z   z


  
1   0  
   
x 2   z  3  
 0  1  
   
1   0 
   
gen   2 ,  3 
 0  1 
   
1   0 
   
Una Base canonica para  es Bw   2 ,  3 
 0  1 
   
3
TEOREMA
Si
v1 ,v2 ,...,vn  es una base para V y si v  V , entonces existe un conjunto único de
escalares c1 , c2 ,..., cn tales que:
v  c1v1  c2 v2  ...  cn vn


DEMOSTRACION
v  c1v1  c 2v 2  ...  c n v n
v  d1v1  d2v 2  ...  dn v n
1
2
1  2
c1v1  c 2v 2  ... c n v n  d1v1  d2v 2  ...  dn v n
c1v1  c 2v 2  ... c n v n  d1v1  d2v 2  ...  dn v n  0
c1  d1 v1  c 2  d2 v 2  ... c n  dn v n
c1  d1  0

0
c1  d1
c 2  d2
c n  dn
Por tanto para cada vector
v  V , existe un conjunto único de escalares, tales que,
cualquier vector v  V se lo puede expresar como una combinación lineal del conjunto
único.


  v1,v 2,...,v m , m vectores de V. Si
  v1,v 2,...,v m es linealmente dependiente.
TEOREMA
n
Sea V  y





m  n, entonces

Sea v1,v 2 ,...,v m vectores de  n
c1v1  c 2v 2  ... c m v m  0
a11 
a12 
a1m 
a 
a 
a 
21
22
 v1   ; v 2   ;...; v m   2m 



 

 

 

an1 
an 2 
anm 
a11 
a12 
a1m   
0
a21
a22 
a2m   
c1  c 2   ... c m   0



 

 

 
 0
an1 
an 2 
anm   
a11c1  a12c 2  ... a1m c m  0
a21c1  a22c 2  ... a2m c m  0
an1c1  an 2c 2  ... anmc m  0
En un sistema homogéneo de n ecuaciones con m variables, cuando m  n el

conjunto tiene infinitas soluciones, por lo tanto  es linealmente dependiente.
DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definición.- Si el espacio vectorial V 
tiene una base finita,
entonces la dimensión de V
es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión
finita. La dimensión de V se la denota como: dim V.
EJEMPLOS:


Si V  Pn
 dim Pn  n  1
Si V  M 2 2
 dim M 2 2  4
Si V  M 2 3
 dim M 2 3  6
Todo espacio vectorial que tenga un subespacio de dimensión infinita es también

de dimensión infinita.
Si W es un subespacio de V y dimV  n , entonces:
i W  0  dim W  0
ii  W  
genv1  dimW  1
iii  W  genv1,v 2 ,v 3   dim W  3

EJERCICIOS:
Determine una base para el espacio generador
S  gen2x  y  3z, 4 x  2y  6x,  6x  3y  9z. Encuentre su dimensión.

2x  y  3z  0

4 x  2y  6z  0
6x  3y  9z  0

 2 1 3

 4 2 6

6 3 9
0 2 1 3 0

 
0 0 0 0 0

 
0 0 0 0 0
 2x  y  3z  0
 x   x

   

y  y /2x  3z 
 z   z 

   
1 0
  
 H  2 ,3  dim  H  2
0 1
  
 x 
x 
  
 
H  y /2x  y  3z  0 y /2x  3z 
 z 
z 
  
 
x  1
  
 y / x2
z  0
  
 0
  
 z3
  
 1
Determine una base para el espacio generador


S  gen1 x  x 2, 2  x  x 2, x  x 2, 1 x  x 2. Encuentre su dimensión.
1  x  x 2  0

2
2  x  x  0

2
x  x  0
1  x  x 2  0

1 1

1 0

0 0

0 0

2
Bs  x , x,1 dim


1 1 1

2 1 1
0 1
1

1 1 1

0   1  1 1
 
0   3 0
0

0   1 0
2
 


0   0 0  2
0   1  1
 
0 0   1 0

2 0   0 0
 
 2  0   0 0
3
1
1 0   1  1
 
0 0   1 0

2 0   0 0
 
0  0   0 0
0   1  1 1
 
0   1 0
0

0   1 0
2
 


0   0 0  2
1 0   1
 
0 0   0

1 0   0
 
0  0   0
0 

0 
0 

 0 
0 0 0 

1 0 0 
0 1 0 

0 0  0 
Ejercicios:
1.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso
de ser verdaderas, demuestrelas y en el caso de ser falsas de un contraejemplo.
a) Sea V1 ,V2 ,V3 ,V4  un conjunto generador de V y V1 ,V5 ,V6 ,V7  un conjunto
linealmente dependiente en V, entonces DimV  3
b) Todo conjunto generador de un espacio vectorial de dimension n, tiene
exactamente n vectores.
c) El conjunto V1 ,V2  es linealmente independiente en V si y solo si V1 y V2 no
son multiplos escalares
d) Si B  u  v, u  v, v  w es una base de un espacio vectorial V, entonces
u  w, v  w,2u  v  w es un conjunto generador de V.
 1  1   1 0   1 1   0 1 
, 
, 
, 
 es una base del espacio
e) El conjunto G  
 0 6   3 1    1 2   1 0 
vectorial V  M 22
f) Sean W  genw1 , w2 , w3  y U  genu1 , u 2 , u3 , u 4  dos subespacios de V,
entonces W  U
g) Si V  P3 y W  p( x)  P3 : p' (0)  0 entonces una base de W es 1, x 2 , x 3
h) Si S  u, v, w es un conjunto linealmente independiente de vectores de V,
u  v, u  w, u  v es una base de S.
i) Sea H  genV1 ,V2 ,V3 , X  y U  genV1 ,V2 ,V1  V3 ,V2  V3 . Si H=U entonces
el conjunto V1 ,V2 ,V3 , X  es linealmente dependiente

2.- Sea H un subespacio del espacio vectorial R 3 .Sea:
  1   3   4 
     
S   2 ,  1 ,   1
  6    2   4 
     
un conjunto generador de H.
a)Determine si los vectores son linealmente independientes
b)En caso de ser linealmente independientes, complete un base para R 3
3.- Determine las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales
a) El conjunto de vectores en R n
b) El conjunto de las matrices simetricas de n por n
c) El conjunto de las matrices antisimetricas de n por n
d) El conjunto de los numeros complejos
