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TEMA 3 BLOQUE 1 1. C 2. D 3. C 4. D PROBLEMA. Sabiendo que la función de utilidad de un consumidor responde a la expresión UT=X3Y2+10, siendo la ecuación de su recta de balance 60=6X+8Y. Determine: a) Las cantidades consumidas de cada uno de los bienes de equilibrio b) El índice de utilidad que identifica la curva de indiferencia en la que se encuentra la cesta de bienes de equilibrio c) La ecuación que expresa la demanda del bien X en función del precio. SOLUCIÓN a) En equilibrio se cumple UM X PX
luego: =
UM Y
PY
Las utilidades marginales (UM) se obtienen derivando la función de utilidad total tal que: UT = X 3Y 2 + 10 Æ UM X =
dUT
= 3 X 2Y 2 dX
UM Y =
dUT
= 2 X 3Y dY
M = PX X + PY Y Æ 60 = 6 X + 8Y Sustituyendo en la condición de equilibrio las expresiones obtenidas: UM X PX
3Y 3
3 X 2Y 2 6
=
= Æ Æ = Æ 6 X = 12Y Æ X = 2Y 3
2X Y 8
UM Y
PY
2X 4
Sustituyo el valor de X (=2Y) en la ecuación de la recta de balance: 60 = 6 X + 8Y Æ 60 = 6.2Y + 8Y Æ 60 = 20Y Æ Y = 3 Sustituyo este nuevo valor en la expresión anterior (X=2Y): 1 X = 2Y Æ X = 2.3 Æ X = 6 b) El índice de utilidad que identifica la curva de indiferencia en la que se encuentra la cesta de bienes de equilibrio es aquel valor de la función de utilidad que incluye la combinación (o cesta de bienes) de equilibrio, es decir, X=6 y Y=3. UT = X 3Y 2 + 10 Sustituyo el valor de X y de Y por los valores de equilibrio: UT = X 3Y 2 + 10 Æ UT = 6332 + 10 Æ UT = 1954 c) La ecuación que expresa la demanda del bien X en función del precio debe cumplir la condición de equilibrio UM X PX
=
pero expresada en función de X y de Px: UM Y
PY
UM X PX
XPX
3Y PX
=
Æ Æ 24Y = 2 XPx Æ Y =
=
UM Y
PY
12
2X
8
Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de la recta de balance: 60 = Px X + 10
X=
12 Px X + 8 Px X
XPX
8 Æ 60 =
Æ 720 = 20 XPx 12
12
36
PX
2 BLOQUE 3 1. D 2. D 3. D 4. D PROBLEMA. Conocemos la función de utilidad ordinal de un consumidor representada por la ecuación UT=2X2Y+20; sabemos además que este consumidor consume toda su renta si adquiere 10 unidades del bien X o alternativamente al adquirir 20 unidades del bien Y. Determine: a) La ecuación de la curva de indiferencia en la que situará el consumidor alcanzando el equilibrio b) La cantidad consumida del bien Y cuando el índice de utilidad que identifica la curva de indiferencia sobre la que se encuentra el consumidor es 196 y la cantidad consumida de X es de 4 unidades SOLUCIÓN En equilibrio se cumple UM X PX
=
luego: UM Y
PY
Las utilidades marginales (UM) se obtienen derivando la función de utilidad total tal que: UT = 2 X 2Y + 20 Æ UM X =
UM Y =
dUT
= 4 XY dX
dUT
= 2X 2 dY
Por otro lado sabemos que el consumidor consume toda su renta de dos formas tal que: M = 10 PX M = 20 PY Æ 10 PX = 20 PY Æ PX
=2 PY
Sustituyendo en la condición de equilibrio las expresiones obtenidas: 3 UM X PX
4 XY
4Y
=
Æ = 2 Æ 4 X = 4Y Æ X = Y = 2 Æ 2
2X
2X
UM Y
PY
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de la recta de balance: M = PX X + PY Y Æ 10 PX = PX X +
1
3
PX X = PX X 2
2
donde de las expresiones de arriba: PX
1
= 2 Æ PY = PX PY
2
M = 10 PX Dado que Y = X 10 =
3
20
X Æ 20 = 3X Æ X =
=Y 2
3
a) La ecuación de la curva de indiferencia en la que situará el consumidor alcanzando el equilibrio Sustituyo las cantidades de X e Y de equilibrio en la función de utilidad: 2
800 20
⎛ 20 ⎞ 20
UT = 2 X 2Y + 20 Æ UT = 2 ⎜ ⎟
+ 20 Æ UT =
+ 20 9 3
⎝ 3 ⎠ 3
UT = 612,59 b) La cantidad consumida del bien Y cuando el índice de utilidad que identifica la curva de indiferencia sobre la que se encuentra el consumidor es 196 y la cantidad consumida de X es de 4 unidades. Para UT = 196 y X = 4 UT = 2 X 2Y + 20 Æ 196 = 2.42 Y + 20 Æ 176 = 32Y Y = 5,5 4 BLOQUE 7 1. A 2. A 3. D 4. C PROBLEMA. La función de utilidad de un consumidor viene dada por la expresión: UT=X2Y+ 2X2+200; siendo los precios en el mercado Px=2 y Py=4. Obtenga las demandas de X e Y en función de la renta del consumidor y determine si X e Y son normales o inferiores. Explique el resultado obtenido. SOLUCIÓN En equilibrio se cumple UM X PX
luego: =
UM Y
PY
Las utilidades marginales (UM) se obtienen derivando la función de utilidad total tal que: UT = X 2Y + 2 X 2 + 200 Æ UM X =
dUT
= 2 XY + 4 X dX
UM Y =
dUT
= X2 dY
En consecuencia, la condición de equilibrio cumple que: PX = 2 Æ PY = 4 Æ UM X PX
UM X 2 XY + 4 X 2Y + 4
Æ =
=
=
UM Y
PY
UM Y
X2
X
PX 2 1
= = PY 4 2
Sustituyendo en la condición de equilibrio las expresiones obtenidas: UM X PX
2Y + 4 1
Æ = Æ 4Y + 8 = X =
X
2
UM Y
PY
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de la recta de balance, obtenemos las demandas de X e Y en función de la renta del consumidor: M = PX X + PY Y Æ M = 2 ( 4Y + 8 ) + 4Y Æ M = 12Y + 16 Demanda de Y en función de la renta: 5 M = 12Y + 16 Æ Y =
M − 16
12
Para saber si es un bien normal o inferior utilizamos la elasticidad renta para el bien Y (basta con analizar el signo de
dY
): dM
dY
1
=
> 0 Æ El valor es positivo se trata de un bien normal dM 12
Demanda de X en función de la renta: Sabemos de los apartados anteriores que: X = 4Y + 8 Si Y =
M − 16
Æ Sustituimos esta expresión en X = 4Y + 8 : 12
4M + 32
⎛ M − 16 ⎞
⎟+8 =
12
⎝ 12 ⎠
X = 4Y + 8 Æ X = 4 ⎜
Para saber si es un bien normal o inferior utilizamos la elasticidad renta para el bien X (basta con analizar el signo de
dX
): dM
dX
4
=
> 0 Æ El valor es positivo se trata de un bien normal dM 12
BLOQUE 9 6 1. B 2. D 3. D 4. A PROBLEMA. La función de demanda semanal de plátanos de un determinado consumidor viene dada por la expresión: X=10+ (M/10P); siendo M su renta monetaria, cuyo importe semanal es de 100 euros y P el precio del kilogramo de plátanos que pasa de 1 euro a 0,8 euros. Calcule los efectos renta y sustitución que se producen y determine qué tipo de bien son los plátanos. SOLUCIÓN La función de demanda semanal de plátanos X = 10 +
M
10 P
Para M=100 y P0=1 a P1=0,8 tenemos que la variación en la función de demanda es: XI (inicial): P0=1 Æ X I = 10 +
M
100
= 10 +
= 20 10 P
10.1
XF (final): P1=0,8 Æ X F = 10 +
M
100
= 10 +
= 22,5 10 P
10.0,8
Se comprueba que ante el descenso del precio de los plátanos el consumo de plátanos es mayor (Relación negativa). Pero para saber de qué tipo de bien se trata, necesitamos calcular por separado el efecto sustitución (ES) y el renta (ER). La renta hipotética sería como consecuencia de la variación del precio: m = M − X .ΔP = 100 − 20.0, 2 = 100 − 4 = 96 XS (efecto sustitución): M=96 Æ X S = 10 +
M
96
= 10 +
= 22 10 P
10.0,8
7 Ahora podemos obtener los efectos sustitución y renta a través de los tres valores anteriores de X: ΔX S = X S − X I = 22 − 20 = 2 El efecto sustitución (ES) será: ΔX S
2
=
= −10 ΔP −0, 2
El efecto renta (ER) se mide como la diferencia entre el efecto total y el efecto sustitución: ΔX M = ΔX − ΔX S = 2,5 − 2 = 0,5 ΔX M
0,5
=
= −2,5 ΔP
−0, 2
El efecto renta es negativo e inferior (en valores absolutos) al efecto sustitución luego: ER<0 Æ Concluimos que se trata de un bien normal 8 BLOQUE 11 1. B 2. C 3. D 4. D PROBLEMA. La función de utilidad de un consumidor viene dada por la expresión: UT=X2Y; los precios Px=10 y la renta M=1.500 unidades monetarias, calcule: 1. La cesta de bienes de equilibrio 2. El cambio en el consumo del bien Y si el precio del bien Y pasa de Py=4 a Py=10. Determine la parte del cambio en el consumo que se debe al efecto sustitución y al efecto renta por el método de Hicks. ¿de qué tipo de bien se trata? Razone la respuesta. SOLUCIÓN a) En equilibrio se cumple UM X PX
luego: =
UM Y
PY
Las utilidades marginales (UM) se obtienen derivando la función de utilidad total: UT = X 2Y Æ UM X =
dUT
= 2 XY dX
UM Y =
dUT
= X2 dY
En consecuencia, la condición de equilibrio cumple que: PX = 10 Æ PY = 4 Æ UM X PX
UM X 2 XY 2Y
=
= 2 =
Æ UM Y
PY
UM Y
X
X
PX 10 5
= = = 2,5 PY
4 2
Sustituyendo en la condición de equilibrio las expresiones obtenidas: UM X PX
2Y
Æ =
= 2,5 Æ Y = 1, 25 X UM Y
PY
X
9 Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de la recta de balance, obtenemos la cesta de bienes de equilibrio, sabiendo que: Si M = 1.500 y Y = 1, 25 X M = PX X + PY Y Æ 1500 = 10 X + 4 (1, 25 X ) = 15 X Æ X =
1500
= 100 15
X = 100 Sustituyendo este valor en la expresión anterior ( Y = 1, 25 X ) tenemos que: Y = 1, 25 X Æ Y = 1, 25.100 = 125 En consecuencia, la cesta de bienes de equilibrio es: X = 100 YI = 125 b) Analizar el efecto total y su descomposición: EFECTO TOTAL Al aumentar el precio del bien Y ( PY = 4 Æ PY' = 10 ) analizamos el cambio en el consumo que se experimenta respecto del propio bien Y: Ahora el equilibrio se produce con los mismos valores que en el apartado anterior pero para un nuevo precio del bien Y: PY' = 10 luego: PX = 10 Æ PY' = 10 Æ UM X PX
UM X 2 XY 2Y
=
= 2 =
Æ UM Y
PY
UM Y
X
X
PX 10
= = 1 PY 10
Sustituyendo en la condición de equilibrio las expresiones obtenidas: UM X PX
2Y
=
= 1 Æ 2Y = X Æ Y = 0,5 X Æ UM Y
PY
X
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de la recta de balance, obtenemos la cesta de bienes de equilibrio, sabiendo que: Si M = 1.500 y Y = 0,5 X y con el nuevo precio: PX = 10 y PY' = 10 M = PX X + PY Y Æ 1500 = 10 X + 10 ( 0,5 X ) = 15 X Æ X =
1500
= 100 15
10 Para X = 100 Æ Y = 0,5 X = 0,5.100 = 50 Æ YF = 50 Al aumentar el precio del bien Y ( PY = 4 Æ PY' = 10 ) el cambio en el consumo que se experimenta respecto del propio bien Y: ΔY = YF − YI = 50 − 125 = −75 El efecto total es de signo negativo por lo que NO podemos hablar de un bien Guiffen. Para saber si se trata de un bien normal o de un bien inferior necesitamos conocer el efecto renta. Para conocer el efecto sustitución, Hicks considera que el individuo se encuentra en una situación con los nuevos precios (es decir, con la nueva pendiente de la recta de balance, PX 10
= = 1 ) pero en la misma curva de indiferencia inicial (es decir, el PY' 10
mismo nivel de utilidad). Para ello: •
Primero tenemos que calcular el nivel de utilidad con la combinación de bienes inicial, X=100 e Y=125: UT = X 2Y = 100 2.125 = 1250000 •
Segundo, hemos calculado anteriormente que con los nuevos precios: UM X PX
2Y 10
=
Æ = = 1 Æ X = 2Y X 10
UM Y
PY
Sustituyendo X = 2Y en la expresión de la curva de indiferencia inicial: Con el mismo nivel de utilidad UT = 1.250.000 y los nuevos precios: 1.250.000 = X 2Y = (2Y 2 )Y = 4Y 3 Æ Y 3 = 312500 YS = 67,86 Por tanto, la variación en el consumo del bien Y debida al efecto sustitución será: ΔY = YS − YI = 67,86 − 125 = −57,14 11 Por diferencia, la variación en el consumo del bien Y debida al efecto renta será la diferencia entre la variación del efecto total menos la del efecto sustitución: ΔY = YF − YS = 50 − 67,86 = −17,86 BLOQUE 12 1. B 2. C 3. D 4. C PROBLEMA. Un consumidor presenta la siguiente función de demanda semanal de patatas: Qp=25+ (8/2P)‐0,03M; si M es 300€ a la semana y el precio del Kg. De patatas pasa de 1€ a 0,8€, calcule el cambio en el consumo debido a los efectos renta y sustitución. ¿según los efectos de qué tipo de bien se trata? SOLUCIÓN La función de demanda semanal de patatas: X = 25 +
8
− 0, 03M 2P
Para M=300 y P0=1 a P1=0,8 tenemos que la variación en la función de demanda es: XI (inicial): P0=1 Æ X I = 25 +
8
8
− 0, 03M = 25 +
− 0, 03.300 = 20 2P
2.1
XF (final): P1=0,8 Æ X F = 25 +
8
8
− 0, 03M = 25 +
− 0, 03.300 = 21 2P
2.0,8
Se comprueba que ante el descenso del precio de las patatas el consumo de patatas es mayor (Relación negativa). Pero para saber de qué tipo de bien se trata, necesitamos calcular por separado el efecto sustitución (ES) y el renta (ER). La renta hipotética sería como consecuencia de la variación del precio: 12 m = M − X .ΔP = 300 − 20.0, 2 = 300 − 4 = 296 XS (efecto sustitución): M=96 Æ X S = 25 +
8
8
− 0, 03M = 25 +
− 0, 03.296 = 21,12 2P
2.0,8
Ahora podemos obtener los efectos sustitución y renta a través de los tres valores anteriores de X: ΔX S = X S − X I = 21,12 − 20 = 1,12 El efecto sustitución (ES) será: ΔX S 1,12
=
= −5, 6 ΔP −0, 2
El efecto renta (ER) se mide como la diferencia entre el efecto total y el efecto sustitución: ΔX M = ΔX F − ΔX S = 21 − 21,12 = −0,12 ΔX M −0,12
=
= 0, 6 ΔP
−0, 2
El efecto renta es positivo pero inferior (en valores absolutos) al efecto sustitución luego: ER>0 y ES>ER Æ Concluimos que se trata de un bien inferior 13 BLOQUE 13 1. D 2. D 3. B 4. D PROBLEMA. Un determinado consumidor presenta los siguientes datos: RMS XY =
4X
2X + 2
RMS XY =
Y
Z −4
M=115 PX = 2 PY = 4 PZ = 1 Calcular a) Las cantidades que serán adquiridas por el consumidor en la situación de equilibrio b) El efecto sustitución que se produce si el precio del bien X se reduce en una unidad monetaria, ceteris paribus. SOLUCIÓN a) En equilibrio se cumple RMS XY =
UM X PX
=
luego: UM Y
PY
UM X PX
4X 4
Æ RMS XY =
=
= Y
UM Y
PY
2
8 X = 4Y Æ Y =
8X
= 2 X Æ Y = 2 X 4
RMS XZ =
UM X PX
2X + 2 2
=
Æ RMS XZ =
= UM Z PZ
Z −4 1
2 Z − 8 = 2 X + 2 Æ 2 Z = 2 X + 10 Æ Z = X + 5 14 Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de la recta de balance, obtenemos la cesta de bienes de equilibrio, sabiendo que: M = PX X + PY Y + Pz Z Æ 115 = 2 X + ( 2Y ) 4 + X + 5 Æ 11X + 5 = 115 Las cantidades de equilibrio son: X = 10 ; Y = 2 X = 2.10 = 20 Æ Y = 20 Z = X + 5 = 10 + 5 = 15 Æ Z = 15 b) El efecto sustitución con Px=1: RMS XY =
UM X PX
4X 4
=
Æ RMS XY =
= Y
UM Y
PY
1
4 X = 4Y Æ Y = X RMS XZ =
UM X PX
2X + 2 1
=
Æ RMS XZ =
= UM Z PZ
Z −4 1
2 X + 2 = Z − 4 Æ Z = 2 X + 6 La renta hipotética sería como consecuencia de la variación del precio: m = M − X .ΔP = 115 − 10.1 = 115 − 10 = 105 XS (efecto sustitución): M=105 Æ M = PX X + PY Y + Pz Z Æ 105 = 1. X + 4 X + 1( 2 X + 6 ) Æ 7 X = 99 Æ X = 14,14 ΔX = ΔX S − ΔX I = 14,14 − 10 = 4,14 El efecto sustitución (ES) será: 15 ΔX S 4,14
=
= −4,14 ΔP
−1
El efecto sustitución tiene el signo esperado. BLOQUE 14 1. D 2. D 3. A 4. C PROBLEMA. Un consumidor presenta la siguiente función de demanda semanal de naranjas q=5+(0,2M/2P), si M es 100€ a la semana y el precio del Kg. de naranjas pasa de 2€ a 1€, calcule el efecto total y su descomposición en efectos renta y sustitución. SOLUCIÓN La función de demanda semanal de patatas: Q = 5+
0, 2 M
2P
Para M=100 y P0=2 a P1=1 tenemos que la variación en la función de demanda es: QI (inicial): P0=2 Æ QI = 5 +
0, 2 M
0, 2.100
= 5+
= 10 2P
2.2
QF (final): P1=1 Æ QF = 5 +
0, 2 M
0, 2.90
= 5+
= 14 2P
2.1
Efecto total ΔQ = X F − X I = 15 − 10 = 5 16 ΔX
5
=
= −5 ΔP −1
Se comprueba que ante el descenso del precio de las patatas el consumo de patatas es mayor (Relación negativa). Pero para saber de qué tipo de bien se trata, necesitamos calcular por separado el efecto sustitución (ES) y el renta (ER). La renta hipotética sería como consecuencia de la variación del precio: m = M − Q.ΔP = 100 − 10.1 = 100 − 10 = 90 XS (efecto sustitución): M=90 Æ QS = 5 +
0, 2 M
0, 2.90
= 5+
= 14 2P
2.1
Ahora podemos obtener los efectos sustitución y renta a través de los tres valores anteriores de X: ΔQS = X S − X I = 14 − 10 = 4 El efecto sustitución (ES) será: ΔQS
4
=
= −4 ΔP −1
El efecto renta (ER) se mide como la diferencia entre el efecto total y el efecto sustitución: ΔX M = ΔX F − ΔX S = 15 − 14 = 1 ΔX M
1
=
= −1 ΔP
−1
El efecto renta es positivo pero inferior (en valores absolutos) al efecto sustitución luego: ER<0 Æ Concluimos que se trata de un bien normal 17