Download Generalización del los números primos

Propuesta de generalización del concepto de
número primo
A. Moreno Vallori1
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Universidad de Valencia, Facultades de Física y Matemáticas
Universidad Nacional de Educación a Distancia, Facultad de Filosofía
Resumen
Un número primo puede considerarse como un natural p > 1 para el cual existen únicamente dos naturales
distintos m, n ≤ p tales que las divisiones p/m y p/n tienen resto cero. Nótese que en lugar de la existencia
de dos naturales podría haberse requerido la existencia de una cantidad q arbitraria de naturales distintos,
con q ∈ N. Asimismo podría haberse requerido que el resto de las divisiones fuera un entero no negativo r
arbitrario. A la luz de esta consideración, en el presente artículo se propone el concepto de número primo
generalizado de orden q y de resto r, así como algunas proposiciones y teoremas básicos relacionados.
A. Moreno Vallori
Propuesta de generalización del concepto de número primo
Es usual en teoría de números emplear la notación m|p para indicar que el resto de la división entera m/p
es cero, esto es, que m divide a —o es un divisor de— p. En nuestro contexto, es de utilidad introducir la
notación m|r p para indicar que el resto de la división entera m/p es r o, dicho de otra manera, escribiremos
m|r p para indicar que m|(p − r).
Definición (número primo generalizado). Un número natural p > 1 se denomina número primo
generalizado de orden q y resto r, o simplemente (q,r)-primo, cuando existen q y sólo q naturales distintos
m1 , . . . , mq ≤ p, con q ∈ N, tales que m1 , . . . mq |r p. Al conjunto de todos los (q, r)−primos lo denotaremos
por Pqr .
En la siguiente proposición vemos que los números primos generalizados son efectivamente una generalización de los números primos ordinarios (de ahora en adelante, números primos), esto es, que los números
primos son un caso particular de los números primos generalizados.
Proposición 1. Los números primos (ordinarios) son los (2, 0)−primos, esto es, los elementos de P20 .
Demostración. Por definición, un número (2, 0)−primo es un natural p para el cual existen dos y
sólo dos m1 , m2 tales que m1 , m2 |p. Dado un natural p > 1, se tiene que 1, p ∈ N con 1, p ≤ p ocurriendo que
1, p|p. Luego decir que un natural es un número (2, 0)−primo es afirmar que no tiene más divisores además
de él mismo y la unidad, lo cual es precisamente la definición habitual de número primo. !
Presentamos ahora un par de resultados sencillos en el contexto de los números primos generalizados.
Proposición 2. P10 = ∅.
Demostración. Ningún natural p > 1 puede tener un único divisor, pues siempre ocurre que 1, p|p,
luego P10 = ∅. !
.
Proposición 3. Si p ∈ P20 , entonces pn ∈ Pn+1
0
Demostración. Si p ∈ P20 , sabemos que sus únicos divisores son él mismo y la unidad. Es inmediato
ver que los divisores de su n-ésima potencia pn serán 1, p, . . . , pn y sólo esos, por lo que pn ∈ Pn+1
. !
0
A continuación enunciaremos como lema un resultado general de teoría de números, a saber, la fórmula
que expresa el número de divisores de un natural (incluyendo a él mismo y a la unidad), que utilizaremos
para la demostración de un teorema de caracterización de los conjuntos de números primos generalizados de
orden un número primo y de resto cero, que presentaremos subsiguientemente.
αm
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Lema 1. Sea n ∈ N y sea pα
1 · · · pm su expresión como producto de factores primos, con pi ∈ P0 y
αi ∈ N, para todo i ∈ {1, . . . , m}. Entonces el número de divisores de n se calcula como
d(n) =
m
!
(αi + 1)
i=1
Teorema 1 (caracterización de Pp0 ). Si p ∈ P20 , entonces Pp0 = {q p−1 | q ∈ P20 }.
Demostración. Si r ∈ Pp0 , se verificará que d(r) = p. Según el desarrollo de d(r), se verificará que
α1 + 1, . . . , αm + 1|p. Ahora bien, por ser p ∈ P20 , necesariamente αi + 1 = p (de otro modo p tendría un
divisor distinto de él mismo y de la unidad), y entonces m = 1. Así, la expresión de r como producto de
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A. Moreno Vallori
Propuesta de generalización del concepto de número primo
factores primos es q p−1 con q ∈ P20 . !
n(p−1)+1
Corolario 1. Si p ∈ P20 y q ∈ Pp0 , entonces q n ∈ P0
.
Demostración. Si q ∈ Pp0 tenemos, por el teorema anterior, que q = rp−1 para un cierto r ∈ P20. Así,
n(q−1)+1
q n = rn(q−1) , y por la proposición 3 concluimos que q n ∈ P0
. !
Hasta ahora hemos observado relaciones entre conjuntos de números primos generalizados de resto cero
con diferente orden. Veamos ahora algunas relaciones entre conjuntos de números primos generalizados de
distinto resto.
Teorema. Si q > 1 y p ∈ Pq1 , entonces p − 1 ∈ Pq+1
.
0
Demostración. Si p ∈ Pq1 , entonces existen q y sólo q m1 , . . . mq tales que m1 , . . . , mq |1 p. Además,
ninguno de ellos puede ser la unidad (de otro modo el resto al dividir a p sería necesariamente cero). Puesto
que p−1|1 p, sin pérdida de generalidad mq = p−1. Por otro lado, es claro que m1 , . . . , mq |p−1, con mq = p−1
y m1 , . . . , mq %= 1, luego p − 1 tiene al menos q + 1 divisores, a saber, 1, m1 , . . . , mq . Si p − 1 tuviera algún
divisor n con n ∈
/ {1, m1 , . . . , mq }, entonces por ser n %= 1 ocurriría que n|1 p, y como m1 , . . . , mq %= s sucedería
q
que m1 , . . . mq , s|1 p y entonces p ∈ Pq+1
0 , lo cual es absurdo pues sabemos que p ∈ P0 . Por tanto p − 1 tiene
q+1
q + 1 y sólo q + 1 divisores, esto es, p − 1 ∈ P0 . !
Corolario 2 (caracterización de Pp−1
). Si p ∈ P20 , p > 2 y q ∈ Pp−1
, entonces q = rp−1 + 1, con r ∈ P20 .
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Demostración. Si p > 2, se tiene que p − 1 > 1, por lo que si q ∈ Pp−1
podemos aplicar el teorema
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anterior, teniendo entonces que q − 1 ∈ Pp0 . Ahora, como p ∈ P20 podemos aplicar el teorema 1, teniendo
entonces que q − 1 = rp−1 , con r ∈ P20 , esto es, q = rp−1 + 1. !
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