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Curso de Competencias: Matemáticas
Tema 2: Números Enteros
Números enteros
Son el conjunto de números naturales, sus opuestos (negativos)
y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números
naturales (+1, +2, +3,...), enteros negativos (-1, -2, -3,….) y cero
(0).
1. Representación de los números enteros
1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera
que se señala como cero.
2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los
números positivos: 1, 2, 3,...
3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las
anteriores, se van señalando los números negativos: − 1,
−2, −3,...
2. Orden en los números enteros
Los números enteros están ordenados. De dos números
representados gráficamente, es mayor al que él está situado más a
la derecha, y menor el situado más a la izquierda.
2.1. Criterios para ordenar los números enteros
1.
2.
Todo número negativo es menor que cero. Ejemplo: −7 < 0
Todo número positivo es mayor que cero. Ejemplo: 7 > 0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor
absoluto. Ejemplos:
−7 > −10
|−7| < |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor
absoluto. Ejemplos:
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10 > 7
|10| > |7|
3. Operaciones aritméticas
a. Suma o Adición
Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores
absolutos y al resultado se le pone el signo común.
Ejemplos:
3+ 5 = 8
(−3) + (−5) = −8
Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores
absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el
signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
−3+5=2
3 + (−5) = −2
Propiedades de la suma de números enteros
•
Interna: El resultado de sumar dos números enteros es otro
número entero. Ejemplo: 3 + (−5) = -2
•
Asociativa : El modo de agrupar los sumandos no varía el
resultado:
+ (b + c)
(a + b) + c = a
Ejemplo: (2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]= 5 − 5 = 2 + (−2)= 0
= 0
•
Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma:
a + b = b + a
Ejemplo: 2 + (−5) = (−5) + 2= −3 = −3
•
Elemento neutro : El 0 es el elemento neutro de la suma
porque todo número sumado con él da el mismo número: a +
0 = a
Ejemplo: (−5) + 0 = −5
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•
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Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos
obtenemos como resultado el cero: a + (-a) = 0
Ejemplo: 5 + (−5) = 0
b. Resta o Sustracción
La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el
opuesto del sustraendo: a − b = a + (−b)
Ejemplos:
7
−5=2
7- (−5) = 7 + 5 = 12
•
Propiedades de la resta de números enteros
Interna : La resta dos números enteros es otro número
entero.
Ejemplo: 10 − (−5)= 10 + 5= 15
•
No es Conmutativa : a − b ≠ b – a
Ejemplo: 5 − 2 ≠ 2 – 5
Cuando nos encontramos con una serie encadenada de sumas y
restas es conveniente seguir los siguientes pasos:
a) Convertir las restas en sumas con el opuesto.
b) Separar las sumas de números positivos de las de números
negativos.
c) Sumar por separado los sumandos positivos y los sumandos
negativos.
d) A la suma resultante de los positivos restarle la suma resultante de
los negativos.
Ejemplo:
5 + 3 – 6 + (-7) - (+4) - (-2)=
Siguiendo el apartado a) 5 + 3 + (-6) + (-7) + (-4) + (+2)=
Siguiendo el apartado b) 5 + 3 + 2 = 10 /// 6 + 7 + 4= 17
El resultado que obtenemos es: 10-17= -7
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c. Multiplicación
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero,
que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y,
como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Ejemplos:
(+5)•(+8)= +40
(+3)•(-6)= -18
(-2)•(+7)= -14
(-4)•(-9)= +36
Propiedades de la multiplicación de números
enteros
•
Interna : El resultado de multiplicar dos números enteros es
otro número entero.
Ejemplo: 2 · (−5) = (-10)
•
Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el
resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se
cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Ejemplo: (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
−30 = −30
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Conmutativa: El orden de los factores no varía el
producto:
a · b = b · a
Ejemplo: 2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
•
Elemento neutro: El
1 es el elemento neutro de la
multiplicación porque todo número multiplicado por él
da el mismo número:
a · 1 = a
Ejemplo: (−5) · 1 = (−5)
•
Distributiva: El producto de un número por una suma es
igual a la suma de los productos de dicho número por cada
uno de los sumandos:
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: (−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2) · 8 = (−6) + (−10)
−16 = −16
•
Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad
distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común,
podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho
factor:
a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo: (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
d. División
La división de dos números enteros es igual al valor absoluto
del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el
divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la
regla de los signos.
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Ejemplos:
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = −2
(−10) : 5 = −2
•
Propiedades de la división de números enteros
No es una operación interna: el resultado de dividir dos
números enteros no siempre es otro número entero.
•
No es Conmutativo: a : b ≠ b : a
Ejemplo: 6 : (−2) ≠ (−2) : 6
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Boletín de Números Enteros
1. Ordenar,
calcular
en
sentido
los
creciente,
opuestos
y
representar
valores
gráficamente,
absolutos
de
y
los
siguientes números enteros:
8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7
2. Realiza
las
siguientes
operación
con
los
siguientes números
enteros:
a. (3 − 8) + [5 − (−2)] =
b. 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
c. 9 : [6 : (− 2)] =
3. Realiza
las
siguientes
operación
con
los
siguientes números
enteros:
a) (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
b) 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=
c) −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
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