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Curso de Competencias: Matemáticas
GEOMETRÍA
1. Líneas y ángulos
Partimos de la existencia de infinitos puntos cuyo conjunto
llamamos ESPACIO.
Los puntos del espacio se consideran agrupados en conjuntos
parciales de infinitos puntos llamados PLANOS.
Los puntos del plano se consideran equipados en otros conjuntos
parciales de infinitos puntos llamado RECTAS.
Vamos a considerar varios enunciados que relacionan puntos,
rectas y planos apoyándonos en una figura geométrica.
1. Dos planos que se cortan determinan una recta (r).
2. Dos rectas que se cortan determinan un punto (p).
3. Dos puntos determinan una recta (AB).
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4. Tres puntos no situados en una recta determinan un
plano (ABC).
5. Dos rectas que se cortan determinan un plano (rs).
Aunque a la hora de representar figuras geométricas como
planos y rectas, lo hagamos con unos ciertos límites, hay que tener en
cuenta su carácter de infinitud.
Una recta divide al plano que lo contiene en dos partes llamadas
SEMIPLANOS.
Una SEMIRRECTA es cada una de las partes en que queda
dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.
Por un punto pasan infinitas rectas.
Por dos puntos pasa una sola recta.
Rectas paralelas: Son las que estando en el mismo plano, no
son secantes.
Rectas secantes: Son las que se cortan en un único punto,
llamado punto de intersección.
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GEOMETRÍA
Rectas coincidentes: Son aquellas en las que todos
sus puntos se superponen.
Rectas
perpendiculares:
Son
dos
rectas
secantes
que dividen un plano en cuatro partes iguales.
1. Ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos
semirrectas con origen común.
El punto 0 (origen de las semirrectas) se llama vértice.
Las rectas a y b son los lados del ángulo. Las semirrectas a y
b determinan en el plano dos ángulos: uno cóncavo y otro
convexo.
Es decir,
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1.1.
GEOMETRÍA
Tipos de ángulos
•
Ángulos consecutivos: son aquellos que tienen el vértice y un
lado común.
•
Ángulos adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado
común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.
Forman un ángulo llano.
•
Ángulos opuestos por el vértice: Son los que teniendo el
vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados
del otro.
Los
ángulos 1 y 3 son
iguales.
Los
ángulos 2 y 4 son
iguales.
•
¡¡¡¡¡OTROS DE GRAN IMPORTANCIA!!!!!! Y por lo tanto que
debemos saber y distinguir perfectamente:
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Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso>90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Nulo = 0º
Completo = 360°
Negativo < 0º
Mayor de 360°
1.2.
•
GEOMETRÍA
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si
suman 90°.
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•
GEOMETRÍA
Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si suman
180°.
1.3.
Sistema sexagesimal.
sexagesimal.
Para medir la amplitud de ángulos con mayor precisión se
utiliza el sistema sexagesimal.
Este sistema consiste en dividir un grado en 60 partes
iguales. A cada una de estas divisiones la llamamos minuto, de
manera que cada grado contiene 60 minutos. De igual forma, cada
minuto se divide en 60 partes iguales para obtener un segundo y
obtenemos la siguiente equivalencia: 1 grado = 60 minutos = 3 600
segundos.
Utilizando este sistema de medida diremos, por ejemplo,
que la amplitud de un ángulo es 25 grados, 1 minutos y 7 segundos, y
lo escribiremos así: 25º 31' 7''
El instrumento para medir un
sexagesimales se denomina transportador:
ángulo
en
grados
y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a
180º y la otra de 180º a 0.
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2. Figuras planas
2.1. Circunferencia
Circunferencia: es la curva plana en la que cada uno de sus
puntos equidistan de un punto fijo llamado centro.
Diámetro: es cualquier segmento que pasa por el centro y cuyos
segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la
circunferencia.
Radio: es el segmento que va desde el centro a un punto
cualquiera de la circunferencia.
Círculo: es
circunferencia.
el
conjunto
de
los
puntos
interiores
a
una
CÍRCULO
CIRCUNFERENCIA
2.2.
Longitud de la circunferencia:
La longitud de la circunferencia es directamente proporcional a
su diámetro, siendo el factor de proporcionalidad el número:
L= π x d = π x 2 x r = 2π r
Donde π tiene como valor 3,14159265….
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3. Polígonos
Un polígono es la región del plano limitada por tres o
más segmentos.
3.1.
Elementos de un polígono
•
Lado s:
So n
lo s
segmento s
que
lo
limitan.
•
Vértices :
So n
lo s
punto s
do nde
co ncurre n do s lado s.
•
Áng ulo s interi ore s de un políg on o:
So n
lo s
determinados
po r
do s
lado s
co nsecutivo s.
•
Diago nal: So n lo s seg mento s que determinan do s vértices no co ns ecutivo s
3.2.
•
Según sus lados
Triángulos
Tienen 3 lados.
•
Cuadriláteros
Tienen 4 lados.
•
Pentágonos
Tienen 5 lados.
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•
GEOMETRÍA
Hexágonos
Tienen 6 lados.
•
Heptágonos
Tienen 7 lados.
•
Octágonos
Tienen 8 lados.
•
Eneágono
Tiene los 9 lados.
•
Decágono
Tiene 10 lados.
•
Endecágono
Tiene 11 lados.
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•
GEOMETRÍA
Dodecágono
Tiene 12 lados.
•
Tridecágono
Tienen 13 lados.
•
Tetradecágono
Tiene 14 lados.
•
Pentadecágono
Tiene 15 lados.
•
Hexadecágono
Tiene 16 lados.
•
Heptadecágono
Tiene 17 lados.
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•
GEOMETRÍA
Octadecágono
Tiene 18 lados.
•
Eneadecágono
Tienen 19 lados.
•
Icoságono
Tiene 20 lados.
3.3.
•
Tipos de polígonos
Polígonos regulares: Un polígono regular es el que tiene sus
ángulos iguales y su s lados iguales.
-Elementos de un polígono regular:
Centro: Punt o interior que equidista de cada
vértice
Radio: Es el segm ento qu e va d el centro a
cada vértice.
Apotema: Distancia del centro al punto medio
de un lado.
-Clasificación de polígonos regulares:
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•
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Triángulo equilátero
Tiene los 3 lados y ángulos iguales.
•
Cuadrado
Tiene 4 lados y ángulos iguales.
•
Pentágono regular
Tiene 5 lados y ángulos iguales.
•
Hexágono regular
Tiene 6 lados y ángulos iguales.
•
Heptágono regular
Tienen 7 lados y ángulos iguales.
•
Octágono regular
Tiene 8 lados y ángulos iguales.
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•
GEOMETRÍA
Eneágono regular
Tiene los 9 lados y ángulos iguales.
•
Decágono regular
Tiene 10 lados y ángulos iguales.
•
Endecágono regular
Tiene 11 lados y ángulos iguales.
•
Dodecágono regular
Tiene 12 lados y ángulos iguales.
•
Tridecágono regular
Tienen 13 lados y ángulos iguales.
•
Tetradecágono regular
Tiene 14 lados y ángulos iguales.
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•
GEOMETRÍA
Pentadecágono regular
Tiene 15 lados y ángulos iguales.
•
Hexadecágono regular
Tiene 16 lados y ángulos iguales.
•
Heptadecágono regular
Tiene 17 lados y ángulos iguales.
•
Octadecágono regular
Tiene 18 lados y ángulos iguales.
•
Eneadecágono regular
Tienen 19 lados y ángulos iguales.
•
Icoságono regular
Tiene 20 lados y ángulos iguales.
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4. Triángulos
Es una superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos
a dos.
4.1.
Características:
• Todo triángulo consta de 3 vértices que son las intersecciones
de las rectas.
• Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del
triángulo.
• Los lados del triángulo forman tres ángulos que se llaman
ángulos internos del triángulo.
• En todo triángulo los ángulos internos suman 180º.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros
dos lados y mayor que su diferencia.
Altura de un Triángulo: La altura de un triángulo es el segmento
perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a la
prolongación de éste.
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Se llama base del triángulo al lado sobre el que se apoya.
4.2.
•
Clasificación según sus lados:
Triángulo equilátero
Tres lados iguales.
•
Triángulo isósceles
Dos lados iguales.
•
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales
-Según sus ángulos:
•
Triángulo acutángulo
Tres ángulos agudos
•
Triángulo rectángulo
Un á ngulo recto .
El lado mayo r es la hi po tenusa.
Lo s lado s me no res so n lo s cateto s.
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•
GEOMETRÍA
Triángulo obtusángulo
Un á ngulo o btuso .
El
que
más
nos
va
a
importar
será
el
triángulo
rectángulo. Se caracteriza por tener un ángulo recto, es
decir, un ángulo que mide 90º. Los dos lados que forman el
ángulo recto se llaman catetos y el otro hipotenusa.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto
de la longitud de la base por la altura relativa a dicha base.
5.1.
Altura
trazadas
Alturas de un triángulo
es
desde
cada
un
una
de
vértice
las
rectas
al
lado
perpendiculares
opuesto
(o
su
prolongación).
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Ortoce ntr o: E s el pu nto de co rte de las tres
alturas.
Mediana s de u n triá ng ulo: Mediana es cad a u na de las
rectas que une el p unt o medio de un lado co n el vértice o puesto .
Baricent ro : Es el p un to de co rte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en do s
segmento s, el segmento que une el baricentro
co n el vértice mide el do ble que el segmento que
une
baricentro
o puesto :
co n
el
punto
medio
del
lado
BG = 2GA
Mediatrice s de un t ri áng ulo: Mediatriz es c ada u na de las rectas
perpendiculares trazad as a un lado po r su pu nto medio .
Circu ncen tr o: Es el punto de co rte de las
tres mediatrices. Es el centro de una circ un ferencia
circuns crita al triángul o .
Bisectrice s de u n tri áng ulo: Bisectriz es c ada u na de
las rectas que divide a u n á ngulo en do s áng ulo s iguales.
Incent ro : Es el punto d e cort e d e las
tres
biset rices.
Es
el
centro
de
una
circun ferencia in scrita en el triángulo .
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5. Cuadrilátero
Los cuadriláteros son
polígonos
de cuatro
lados.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a
360°.
5.1.
Clasificación de cuadriláteros
Paralelogramos
Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se
clasifican en:
•
Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos
rectos.
•
Rectángulo
Tiene lados iguales dos a dos y los 4
ángulos rectos.
•
Rombo
Tiene los cuatro lados iguales.
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•
GEOMETRÍA
Romboide
Tiene lados iguales dos a dos.
Trapecios
Cuadriláteros qu e tienen d os lados paralelos, llamados base
mayor y base m enor.
•
Trapecio rectángulo
Tiene u n á ngulo recto .
•
Trapecio isósceles
Tiene do s lado s no par alelo s iguales.
•
Trapecio escaleno
No tiene ningún lado igual ni ángulo
recto .
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•
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Trapezoides
Cuadrilátero s
que
no
tiene
ningún
lado igual ni paralelo .
6. Áreas
¡¡¡Son las más importantes!!!
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GEOMETRÍA
7. Áreas y Volúmenes
De interés general
Área y volumen del tetraedro
Área y volumen del octaedro
Área y volumen del icosaedro
Área y volumen del dodecaedro
Área y volumen del cubo
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GEOMETRÍA
Área y volumen del ortoedro
Área y volumen del prisma
Área y volumen de la pirámide
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GEOMETRÍA
Área y volumen del tronco de pirámide
Área y volumen del cilindro
Área y volumen del cono
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GEOMETRÍA
Área y volumen del tronco de cono
Área y volumen de la esfera
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GEOMETRÍA
Boletín de Ejercicios
1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, d e una habitación
que tiene 5 m d e largo, 40 dm de anch o y 2500 mm d e alto.
2. Det ermina el área total de un t et raed ro, un octaed ro y un
icosaedro d e 5 cm d e arista.
3. Calcula la cantidad de hojalata que se n ecesitará para hacer 10
botes d e forma cilíndrica de 10 cm d e diámetro y 20 cm de
altura.
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GEOMETRÍA
Soluciones del Boletín de Ejercicios
1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, d e una habitación
que tiene 5 m d e largo, 40 dm de anch o y 2500 mm d e alto.
2. Det ermina el área total de un t et raed ro, un octaed ro y un
icosaedro d e 5 cm d e arista.
3. Calcula la cantidad de hojalata que se n ecesitará para hacer 10
botes d e forma cilíndrica de 10 cm d e diámetro y 20 cm de
altura.
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