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CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
Matemáticas
Material de apoyo para el docente
UNIDAD 2
Preparado por: Héctor Muñoz
Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
al
senci
Matemáticas
Unidad 2
Unidad 2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD
Procedimientos de multiplicación y división de fracciones. Semejanzas y diferencias entre estos
procedimientos y los correspondientes procedimientos con números naturales y entre estos procedimientos
y los procedimientos de cálculo de adición y sustracción de fracciones. Identificación de casos de
multiplicación en que el producto es menor que uno o ambos factores. Identificación de casos de división
en que el cuociente es mayor que el dividendo. Resolución de problemas que involucran multiplicación
o división de fracciones.
2. DURACIÓN APROXIMADA
4 semanas.
3. CONTENIDOS
Multiplicación de fracciones.
División de fracciones.
4. APRENDIZAJES ESPERADOS
4.1 Multiplicación de fracciones
En 5º año, los estudiantes han tenido oportunidad de
conocer procedimientos para comparar, sumar y restar
fracciones, tanto de igual denominador como de distinto
denominador. Ahora, en la segunda Unidad de 6º año, se
introducen los procedimientos de cálculo de multiplicación y
división de fracciones. Primero se trabaja la multiplicación de
fracciones para después tratar la división.
Mediante generalización de las propiedades de la
multiplicación de números naturales y del significado de las
fracciones, se establece el procedimiento para multiplicar
fracciones (primer aprendizaje esperado).
APRENDIZAJES ESPERADOS
Multiplicación de fracciones
· Conocen y aplican
procedimientos para multiplicar
una fracción por un número
natural y para multiplicar una
fracción por otra.
· Identifican casos en que el
producto de una multiplicación
puede ser menor que uno de
sus factores o que ambos.
· Resuelven problemas que
involucran multiplicación de
fracciones.
Al contrastar la multiplicación de fracciones con la multiplicación de números naturales es posible
constatar una notable diferencia. En el caso de la multiplicación de naturales, el producto es mayor que
cualquiera de los factores. Solo se exceptúan los casos en que uno de los factores es 0 o es 1. En cambio,
en el caso de la multiplicación de fracciones, hay una gran cantidad de situaciones en las que el producto
es menor que uno o ambos factores. A estos casos se refiere el segundo aprendizaje esperado.
Finalmente, se utilizan en la resolución de problemas los procedimientos de cálculo tratados
(tercer aprendizaje esperado).
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4.2 División de fracciones
En el tratamiento de la división de fracciones, conviene
presentar primero los casos en que el dividendo es una fracción
y el divisor es un número natural. Luego se presentan
procedimientos de cálculo para divisiones en las que el divisor
es una fracción (primer aprendizaje esperado).
Para lograr una mejor comprensión y retención de los
procedimientos, se establecen las relaciones entre los
procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de
fracciones (segundo aprendizaje esperado).
Asimismo, es muy útil comparar los procedimientos
de cálculo de multiplicación y división de fracciones con los
procedimientos de cálculo de adición y sustracción de
fracciones. A este punto se refiere el tercer aprendizaje
esperado.
En forma similar a lo que ocurre en la multiplicación
de fracciones, al dividir un número cualquiera por una fracción
mayor que 0 pero menor que 1, el resultado es mayor que
el dividendo, lo que contrasta con lo que sucede con la división
de números naturales. A este punto se refiere el cuarto
aprendizaje esperado.
Por último, se espera desarrollar la capacidad para
resolver problemas cuya solución involucra operaciones con
fracciones (quinto aprendizaje esperado).
APRENDIZAJES ESPERADOS
División de fracciones
· Conocen y aplican procedimientos
para dividir una fracción por un
número natural, para dividir un
número natural por una fracción y
para dividir una fracción por una
fracción.
· Identifican similitudes y diferencias
entre el procedimiento de cálculo de
la multiplicación de fracciones y el
procedimiento de cálculo de la
división de fracciones.
· Identifican similitudes y diferencias
entre los procedimientos de cálculo
de multiplicación y división de
fracciones y los procedimientos de
cálculo de la adición y sustracción de
fracciones.
· Identifican casos en que el cuociente
de una división puede ser mayor que
el dividendo.
· Resuelven problemas que involucran
operaciones con fracciones.
5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS
5.1 Fracciones y números decimales
Tanto las fracciones como los números decimales cumplen la función de permitir cuantificar
cantidades que corresponden a partes de una unidad. Las fracciones surgieron hace unos 4.000 años
en Egipto. Los números decimales, en cambio, son mucho más jóvenes: tienen menos de 500 años de
antigüedad.
En la práctica cotidiana y en la literatura científica las fracciones han ido perdiendo terreno y han
ido siendo reemplazadas cada vez más por los números decimales.
A diferencia de las fracciones, los números decimales se basan en el mismo principio de valor de
posición que constituye un rasgo esencial de nuestro sistema de numeración. Por este motivo, los
procedimientos de cálculo para los números decimales son prácticamente los mismos que para los
números naturales. La única diferencia está en la necesidad de ubicar la coma en el caso de los números
decimales. Los procedimientos de cálculo con fracciones, en cambio, difieren bastante de los respectivos
procedimientos utilizados con números naturales.
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Como es fácil constatar, las calculadoras y computadores trabajan sin dificultad con números
decimales, pero no con fracciones. De hecho, salvo algunas calculadoras especializadas, la mayoría de
las calculadoras transforma las fracciones en números decimales y opera con estos, dando el resultado
en notación decimal y no en notación de fracciones.
Por estos motivos, no se justifica en estos niveles poner un énfasis excesivo en la operatoria con
fracciones. Solo en educación media, en álgebra, los procedimientos de cálculo volverán a tener relevancia
y será el momento de profundizar en torno a ellos.
5.2 El procedimiento de cálculo de la multiplicación de fracciones
El procedimiento para multiplicar una fracción por un número natural se puede deducir interpretando
la multiplicación como una forma de representar una adición de sumandos iguales. En efecto, la
multiplicación 4 · 3/5 puede considerarse como 4 veces 3/5. Es decir:
_
4· 3
5
=
3
_ +
5
3
_
5
+
3
_
5
_
+ 3
5
Esta es una adición de fracciones de igual denominador. El resultado se obtiene sumando los
numeradores y conservando el denominador:
3
_
5
+
3
_
5
+
3
_
5
+
3
_
5
3+3+3+3
__
= ____________
= 12
5
5
Aquí vemos que para multiplicar un número natural por una fracción basta multiplicar el número
natural por el denominador de la fracción y conservar el denominador.
Si suponemos que la multiplicación de fracciones es conmutativa, al igual que la multiplicación de
números naturales, podemos concluir que multiplicar una fracción por un número natural es similar al
caso anterior. Es decir, también aquí, basta multiplicar el denominador de la fracción por el número natural
y conservar el denominador.
Otro caso especial es la división de una fracción por un número natural. Mediante representaciones
gráficas se puede mostrar que para dividir una fracción por un número natural basta conservar el numerador
y multiplicar el denominador por el número natural (ver ejemplos en la guía de trabajo nº 3).
Consideremos ahora el producto de un número natural por una fracción de numerador igual a 1, por
ejemplo el producto 12 · 1/3.
De acuerdo con lo que acabamos de ver:
1
12
12 · _
= __
3
3
Es decir, multiplicar por 1/3 es equivalente a dividir por 3.
En general, multiplicar un número natural por una fracción de numerador 1 es equivalente a dividir
ese número natural por el denominador de la fracción.
Ahora podemos abordar el caso general de multiplicación de una fracción por otra. Consideremos,
a modo de ejemplo, el producto 5/8 · 3/4. Utilizaremos aquí el hecho que 3/4 = 3 · 1/4.
·
=
·3·
=
·
=
Y si comparamos el resultado con la multiplicación inicial, vemos que el resultado se obtiene multiplicando
los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
Podemos ver, asimismo, que si una de las fracciones que se están multiplicando tiene denominador
1, estamos en el caso de multiplicación de una fracción por un número natural. Y si ambas fracciones
tienen denominador 1, estamos ante el producto de 2 números naturales.
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_
8
·
3
_
4
=
5
_
8
·3·
1
_
4
=
15
__
8
·
1
_
4
=
15
__
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Y si comparamos el resultado con la multiplicación inicial, vemos que el resultado se obtiene
multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
Podemos ver, asimismo, que si una de las fracciones que se están multiplicando tiene denominador
1, estamos en el caso de multiplicación de una fracción por un número natural. Y si ambas fracciones
tienen denominador 1, estamos ante el producto de 2 números naturales.
5.3 El procedimiento de cálculo de la división de fracciones
El cálculo de la división de fracciones suele resultar difícil de entender para muchos estudiantes
para quienes el procedimiento que se les enseña aparece como arbitrario y sin justificación. Esto es así
especialmente cuando se habla de “multiplicación cruzada” en que el numerador de una fracción se
multiplica por el denominador de la otra y el denominador de la primera se multiplica por el numerador
de la segunda.
El concepto de inverso multiplicativo proporciona una buena forma de presentar el procedimiento
de cálculo de división de fracciones.
En los números naturales no se habla de inverso multiplicativo porque no existen pares de números
cuyo producto sea 1, con la sola excepción del producto 1 · 1. En tal sentido, una novedad que presentan
las fracciones es que toda fracción tiene su inverso multiplicativo, es decir, para cada fracción existe otra
fracción tal que el producto de ambas es igual a 1. Solo se exceptúan las fracciones de numerador 0, ya
que ningún número multiplicado por 0 puede ser igual a 1.
El inverso multiplicativo de un número se define como aquel número que multiplicado por el
primero es igual a 1.
Conviene destacar dos propiedades del inverso multiplicativo.
Por una parte, el inverso multiplicativo de una fracción es la misma fracción, pero invertida. Es
decir su numerador es el denominador de la primera y su denominador es el numerador de la primera.
Por otra parte, dividir un número cualquiera por una fracción es equivalente a multiplicar el número
por el inverso multiplicativo de la fracción.
De acuerdo con esto último, cualquier división en que el divisor es una fracción puede convertirse
en una multiplicación. Y como ya sabemos multiplicar fracciones, el problema queda resuelto.
Los estudiantes encontrarán más adelante un razonamiento análogo en el caso de la sustracción
de números negativos. Entonces se utilizará el hecho que restar un número es equivalente a sumar su
inverso aditivo.
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5.4 Multiplicación y división con fracciones y con números naturales
La introducción de las fracciones implica varias novedades en relación con los números naturales.
Por una parte están las fracciones equivalentes. Para cada fracción existe una cantidad infinita de
otras fracciones que se escriben distinto pero que representan el mismo valor.
Otra novedad es la existencia de inverso multiplicativo, mencionado más arriba.
Una tercera diferencia tiene que ver con multiplicaciones en que el producto es menor que los
factores o con divisiones en que el cuociente es mayor que el dividendo. Esta propiedad de las operaciones
con fracciones debe ser destacada ya que suele resultar extraña y difícil de entender para muchos
estudiantes.
Si en un producto a · b uno de los factores es una fracción mayor que 1, entonces el producto es
mayor que el otro factor. Es decir, sucede algo similar a lo que sucede en el caso de la multiplicación por
un número natural. Si uno de los factores es 1 o es una fracción igual a 1, el producto será igual al otro
factor, lo que una vez más es similar a lo que sucede con los números naturales.
Pero si uno de los factores es mayor que 0 pero menor que 1, entonces el producto es menor que el otro
factor. Así, por ejemplo, 30 · 1/5 = 6.
Con la división sucede algo parecido. Si el divisor es mayor que 1, el cuociente es menor que el
dividendo. Si el divisor es igual a 1, el cuociente es igual al dividendo. Y si el divisor es mayor que 0 pero
menor que 1, el cuociente es mayor que el dividendo. Así, por ejemplo, 2 : 1/5 = 10.
6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA
GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL)
REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS ACERCA DE FRACCIONES
En este guía se revisan algunos conocimientos básicos relativos a fracciones. En especial, se revisa
el significado del numerador y del denominador de una fracción, la interpretación de fracciones cuyo
numerador es igual al denominador o cuyo numerador es mayor que el denominador, la relación que
existe entre las fracciones y los números naturales, la relación que existe entre las fracciones y la división,
la amplificación y simplificación de fracciones y, finalmente, los procedimientos de suma y resta de
fracciones de igual y distinto denominador.
GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL)
CÓMO MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
En este guía se introduce la multiplicación de una fracción por un número natural. Se hace referencia
a la interpretación de la multiplicación como una adición de sumandos iguales y a la asociación entre la
preposición “de” y la operación de multiplicación en el lenguaje de fracciones. El procedimiento de cálculo
es simple: basta multiplicar el numerador de la fracción por el número natural y conservar el denominador.
También es posible dividir el número natural por el denominador de la fracción y conservar el numerador,
siempre que el número natural sea divisible por el denominador de la fracción. Ambos procedimientos
dan resultados equivalentes, lo que se hace evidente mediante las simplificaciones que corresponda.
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GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL)
CÓMO DIVIDIR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
En este guía se introduce la división de una fracción por un número natural. Se establece un procedimiento
general para dividir una fracción por un número natural: conservar el numerador y multiplicar el denominador de la
fracción por el número natural.
GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL)
CÓMO MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR OTRA
A partir de los casos presentados en las guías anteriores, en esta guía se establece un procedimiento general
para multiplicar dos fracciones: multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Conviene subrayar
que este es un procedimiento general, válido para cualquier caso. El procedimiento puede complementarse simplificando
el resultado si es posible.
GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL)
EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE UN NÚMERO
Esta guía introduce la noción de inverso multiplicativo como una paso previo a la presentación de un
procedimiento para dividir un número natural o una fracción por una fracción.
GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL)
UN PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR POR UNA FRACCIÓN
Esta guía introduce y ejercita el procedimiento para dividir por una fracción. Se muestra con un ejemplo
simple que dividir por un número natural es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo y luego se generaliza
esta propiedad a la división por una fracción.
GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL)
ALGUNAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DE LA DIVISIÓN DE FRACCIONES
En esta guía se analizan distintas propiedades de la multiplicación y de la división de fracciones. En especial,
se consideran: la conmutatividad de la multiplicación, el comportamiento del 0, los casos de multiplicaciones en que
el producto es menor que los factores, los casos de divisiones en que el cuociente es mayor que el divisor, la posibilidad
de representar un número natural mediante una fracción de denominador 1 y, finalmente, la distributividad de la
multiplicación con respecto a la adición.
GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL)
APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON FRACCIONES
Esta guía ofrece varios ejemplos en los que los estudiantes podrán aplicar los conocimientos adquiridos
acerca de los procedimientos de multiplicación y división de fracciones.
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