Download Matemáticas - Educar Chile
Document related concepts
Transcript
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Matemáticas Material de apoyo para el docente UNIDAD 2 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES al senci Matemáticas Unidad 2 Unidad 2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD Procedimientos de multiplicación y división de fracciones. Semejanzas y diferencias entre estos procedimientos y los correspondientes procedimientos con números naturales y entre estos procedimientos y los procedimientos de cálculo de adición y sustracción de fracciones. Identificación de casos de multiplicación en que el producto es menor que uno o ambos factores. Identificación de casos de división en que el cuociente es mayor que el dividendo. Resolución de problemas que involucran multiplicación o división de fracciones. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS Multiplicación de fracciones. División de fracciones. 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Multiplicación de fracciones En 5º año, los estudiantes han tenido oportunidad de conocer procedimientos para comparar, sumar y restar fracciones, tanto de igual denominador como de distinto denominador. Ahora, en la segunda Unidad de 6º año, se introducen los procedimientos de cálculo de multiplicación y división de fracciones. Primero se trabaja la multiplicación de fracciones para después tratar la división. Mediante generalización de las propiedades de la multiplicación de números naturales y del significado de las fracciones, se establece el procedimiento para multiplicar fracciones (primer aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS Multiplicación de fracciones · Conocen y aplican procedimientos para multiplicar una fracción por un número natural y para multiplicar una fracción por otra. · Identifican casos en que el producto de una multiplicación puede ser menor que uno de sus factores o que ambos. · Resuelven problemas que involucran multiplicación de fracciones. Al contrastar la multiplicación de fracciones con la multiplicación de números naturales es posible constatar una notable diferencia. En el caso de la multiplicación de naturales, el producto es mayor que cualquiera de los factores. Solo se exceptúan los casos en que uno de los factores es 0 o es 1. En cambio, en el caso de la multiplicación de fracciones, hay una gran cantidad de situaciones en las que el producto es menor que uno o ambos factores. A estos casos se refiere el segundo aprendizaje esperado. Finalmente, se utilizan en la resolución de problemas los procedimientos de cálculo tratados (tercer aprendizaje esperado). FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Matemáticas al senci Unidad 2 4.2 División de fracciones En el tratamiento de la división de fracciones, conviene presentar primero los casos en que el dividendo es una fracción y el divisor es un número natural. Luego se presentan procedimientos de cálculo para divisiones en las que el divisor es una fracción (primer aprendizaje esperado). Para lograr una mejor comprensión y retención de los procedimientos, se establecen las relaciones entre los procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de fracciones (segundo aprendizaje esperado). Asimismo, es muy útil comparar los procedimientos de cálculo de multiplicación y división de fracciones con los procedimientos de cálculo de adición y sustracción de fracciones. A este punto se refiere el tercer aprendizaje esperado. En forma similar a lo que ocurre en la multiplicación de fracciones, al dividir un número cualquiera por una fracción mayor que 0 pero menor que 1, el resultado es mayor que el dividendo, lo que contrasta con lo que sucede con la división de números naturales. A este punto se refiere el cuarto aprendizaje esperado. Por último, se espera desarrollar la capacidad para resolver problemas cuya solución involucra operaciones con fracciones (quinto aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS División de fracciones · Conocen y aplican procedimientos para dividir una fracción por un número natural, para dividir un número natural por una fracción y para dividir una fracción por una fracción. · Identifican similitudes y diferencias entre el procedimiento de cálculo de la multiplicación de fracciones y el procedimiento de cálculo de la división de fracciones. · Identifican similitudes y diferencias entre los procedimientos de cálculo de multiplicación y división de fracciones y los procedimientos de cálculo de la adición y sustracción de fracciones. · Identifican casos en que el cuociente de una división puede ser mayor que el dividendo. · Resuelven problemas que involucran operaciones con fracciones. 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 Fracciones y números decimales Tanto las fracciones como los números decimales cumplen la función de permitir cuantificar cantidades que corresponden a partes de una unidad. Las fracciones surgieron hace unos 4.000 años en Egipto. Los números decimales, en cambio, son mucho más jóvenes: tienen menos de 500 años de antigüedad. En la práctica cotidiana y en la literatura científica las fracciones han ido perdiendo terreno y han ido siendo reemplazadas cada vez más por los números decimales. A diferencia de las fracciones, los números decimales se basan en el mismo principio de valor de posición que constituye un rasgo esencial de nuestro sistema de numeración. Por este motivo, los procedimientos de cálculo para los números decimales son prácticamente los mismos que para los números naturales. La única diferencia está en la necesidad de ubicar la coma en el caso de los números decimales. Los procedimientos de cálculo con fracciones, en cambio, difieren bastante de los respectivos procedimientos utilizados con números naturales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES al senci Matemáticas Unidad 2 Como es fácil constatar, las calculadoras y computadores trabajan sin dificultad con números decimales, pero no con fracciones. De hecho, salvo algunas calculadoras especializadas, la mayoría de las calculadoras transforma las fracciones en números decimales y opera con estos, dando el resultado en notación decimal y no en notación de fracciones. Por estos motivos, no se justifica en estos niveles poner un énfasis excesivo en la operatoria con fracciones. Solo en educación media, en álgebra, los procedimientos de cálculo volverán a tener relevancia y será el momento de profundizar en torno a ellos. 5.2 El procedimiento de cálculo de la multiplicación de fracciones El procedimiento para multiplicar una fracción por un número natural se puede deducir interpretando la multiplicación como una forma de representar una adición de sumandos iguales. En efecto, la multiplicación 4 · 3/5 puede considerarse como 4 veces 3/5. Es decir: _ 4· 3 5 = 3 _ + 5 3 _ 5 + 3 _ 5 _ + 3 5 Esta es una adición de fracciones de igual denominador. El resultado se obtiene sumando los numeradores y conservando el denominador: 3 _ 5 + 3 _ 5 + 3 _ 5 + 3 _ 5 3+3+3+3 __ = ____________ = 12 5 5 Aquí vemos que para multiplicar un número natural por una fracción basta multiplicar el número natural por el denominador de la fracción y conservar el denominador. Si suponemos que la multiplicación de fracciones es conmutativa, al igual que la multiplicación de números naturales, podemos concluir que multiplicar una fracción por un número natural es similar al caso anterior. Es decir, también aquí, basta multiplicar el denominador de la fracción por el número natural y conservar el denominador. Otro caso especial es la división de una fracción por un número natural. Mediante representaciones gráficas se puede mostrar que para dividir una fracción por un número natural basta conservar el numerador y multiplicar el denominador por el número natural (ver ejemplos en la guía de trabajo nº 3). Consideremos ahora el producto de un número natural por una fracción de numerador igual a 1, por ejemplo el producto 12 · 1/3. De acuerdo con lo que acabamos de ver: 1 12 12 · _ = __ 3 3 Es decir, multiplicar por 1/3 es equivalente a dividir por 3. En general, multiplicar un número natural por una fracción de numerador 1 es equivalente a dividir ese número natural por el denominador de la fracción. Ahora podemos abordar el caso general de multiplicación de una fracción por otra. Consideremos, a modo de ejemplo, el producto 5/8 · 3/4. Utilizaremos aquí el hecho que 3/4 = 3 · 1/4. · = ·3· = · = Y si comparamos el resultado con la multiplicación inicial, vemos que el resultado se obtiene multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Podemos ver, asimismo, que si una de las fracciones que se están multiplicando tiene denominador 1, estamos en el caso de multiplicación de una fracción por un número natural. Y si ambas fracciones tienen denominador 1, estamos ante el producto de 2 números naturales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES al senci Matemáticas Unidad 2 5 _ 8 · 3 _ 4 = 5 _ 8 ·3· 1 _ 4 = 15 __ 8 · 1 _ 4 = 15 __ 32 Y si comparamos el resultado con la multiplicación inicial, vemos que el resultado se obtiene multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Podemos ver, asimismo, que si una de las fracciones que se están multiplicando tiene denominador 1, estamos en el caso de multiplicación de una fracción por un número natural. Y si ambas fracciones tienen denominador 1, estamos ante el producto de 2 números naturales. 5.3 El procedimiento de cálculo de la división de fracciones El cálculo de la división de fracciones suele resultar difícil de entender para muchos estudiantes para quienes el procedimiento que se les enseña aparece como arbitrario y sin justificación. Esto es así especialmente cuando se habla de “multiplicación cruzada” en que el numerador de una fracción se multiplica por el denominador de la otra y el denominador de la primera se multiplica por el numerador de la segunda. El concepto de inverso multiplicativo proporciona una buena forma de presentar el procedimiento de cálculo de división de fracciones. En los números naturales no se habla de inverso multiplicativo porque no existen pares de números cuyo producto sea 1, con la sola excepción del producto 1 · 1. En tal sentido, una novedad que presentan las fracciones es que toda fracción tiene su inverso multiplicativo, es decir, para cada fracción existe otra fracción tal que el producto de ambas es igual a 1. Solo se exceptúan las fracciones de numerador 0, ya que ningún número multiplicado por 0 puede ser igual a 1. El inverso multiplicativo de un número se define como aquel número que multiplicado por el primero es igual a 1. Conviene destacar dos propiedades del inverso multiplicativo. Por una parte, el inverso multiplicativo de una fracción es la misma fracción, pero invertida. Es decir su numerador es el denominador de la primera y su denominador es el numerador de la primera. Por otra parte, dividir un número cualquiera por una fracción es equivalente a multiplicar el número por el inverso multiplicativo de la fracción. De acuerdo con esto último, cualquier división en que el divisor es una fracción puede convertirse en una multiplicación. Y como ya sabemos multiplicar fracciones, el problema queda resuelto. Los estudiantes encontrarán más adelante un razonamiento análogo en el caso de la sustracción de números negativos. Entonces se utilizará el hecho que restar un número es equivalente a sumar su inverso aditivo. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Matemáticas al senci Unidad 2 5.4 Multiplicación y división con fracciones y con números naturales La introducción de las fracciones implica varias novedades en relación con los números naturales. Por una parte están las fracciones equivalentes. Para cada fracción existe una cantidad infinita de otras fracciones que se escriben distinto pero que representan el mismo valor. Otra novedad es la existencia de inverso multiplicativo, mencionado más arriba. Una tercera diferencia tiene que ver con multiplicaciones en que el producto es menor que los factores o con divisiones en que el cuociente es mayor que el dividendo. Esta propiedad de las operaciones con fracciones debe ser destacada ya que suele resultar extraña y difícil de entender para muchos estudiantes. Si en un producto a · b uno de los factores es una fracción mayor que 1, entonces el producto es mayor que el otro factor. Es decir, sucede algo similar a lo que sucede en el caso de la multiplicación por un número natural. Si uno de los factores es 1 o es una fracción igual a 1, el producto será igual al otro factor, lo que una vez más es similar a lo que sucede con los números naturales. Pero si uno de los factores es mayor que 0 pero menor que 1, entonces el producto es menor que el otro factor. Así, por ejemplo, 30 · 1/5 = 6. Con la división sucede algo parecido. Si el divisor es mayor que 1, el cuociente es menor que el dividendo. Si el divisor es igual a 1, el cuociente es igual al dividendo. Y si el divisor es mayor que 0 pero menor que 1, el cuociente es mayor que el dividendo. Así, por ejemplo, 2 : 1/5 = 10. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS ACERCA DE FRACCIONES En este guía se revisan algunos conocimientos básicos relativos a fracciones. En especial, se revisa el significado del numerador y del denominador de una fracción, la interpretación de fracciones cuyo numerador es igual al denominador o cuyo numerador es mayor que el denominador, la relación que existe entre las fracciones y los números naturales, la relación que existe entre las fracciones y la división, la amplificación y simplificación de fracciones y, finalmente, los procedimientos de suma y resta de fracciones de igual y distinto denominador. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) CÓMO MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO NATURAL En este guía se introduce la multiplicación de una fracción por un número natural. Se hace referencia a la interpretación de la multiplicación como una adición de sumandos iguales y a la asociación entre la preposición “de” y la operación de multiplicación en el lenguaje de fracciones. El procedimiento de cálculo es simple: basta multiplicar el numerador de la fracción por el número natural y conservar el denominador. También es posible dividir el número natural por el denominador de la fracción y conservar el numerador, siempre que el número natural sea divisible por el denominador de la fracción. Ambos procedimientos dan resultados equivalentes, lo que se hace evidente mediante las simplificaciones que corresponda. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Matemáticas al senci Unidad 2 GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) CÓMO DIVIDIR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO NATURAL En este guía se introduce la división de una fracción por un número natural. Se establece un procedimiento general para dividir una fracción por un número natural: conservar el numerador y multiplicar el denominador de la fracción por el número natural. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) CÓMO MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR OTRA A partir de los casos presentados en las guías anteriores, en esta guía se establece un procedimiento general para multiplicar dos fracciones: multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Conviene subrayar que este es un procedimiento general, válido para cualquier caso. El procedimiento puede complementarse simplificando el resultado si es posible. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE UN NÚMERO Esta guía introduce la noción de inverso multiplicativo como una paso previo a la presentación de un procedimiento para dividir un número natural o una fracción por una fracción. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) UN PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR POR UNA FRACCIÓN Esta guía introduce y ejercita el procedimiento para dividir por una fracción. Se muestra con un ejemplo simple que dividir por un número natural es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo y luego se generaliza esta propiedad a la división por una fracción. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) ALGUNAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DE LA DIVISIÓN DE FRACCIONES En esta guía se analizan distintas propiedades de la multiplicación y de la división de fracciones. En especial, se consideran: la conmutatividad de la multiplicación, el comportamiento del 0, los casos de multiplicaciones en que el producto es menor que los factores, los casos de divisiones en que el cuociente es mayor que el divisor, la posibilidad de representar un número natural mediante una fracción de denominador 1 y, finalmente, la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL) APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON FRACCIONES Esta guía ofrece varios ejemplos en los que los estudiantes podrán aplicar los conocimientos adquiridos acerca de los procedimientos de multiplicación y división de fracciones. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6