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RAÍZ
RAÍZ ENÉSIMA
Definición:
Sean a número real, n número natural mayor que 1 y b un número no necesariamente real, entonces:
bn
=

a
b es raíz enésima de a
Observación: cada número real no nulo tiene n raíces enésimas. El 0 tiene solamente una.
Ejemplo: 2
3
=

8
2 es una de las tres raíces cúbicas de 8.
RAÍZ ENÉSIMA PRINCIPAL ( O ARITMÉTICA )
Definición:
➢ Si a  0 y n es par, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si:
bn
Ejemplo: 7
2
=
49

=
a
b  0
y
7 es la raíz cuadrada principal de 49.
➢ Si a es un número real y n es impar, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si:
bn
Ejemplo:
(–5)
3
=
=
– 125
a
y
b es un número real

– 5 es la raíz cúbica principal de – 125.
Simbología:
Si b es raíz enésima principal de a, esto se simboliza de la siguiente forma:
b
=
Ejemplos: 7
–5
=
n
a
49
=
3
– 125
Observación: si a < 0 y n es par, entonces a no tiene raíz enésima principal real.
Apunte 1
Ejercicios 1
Apunte 2
Ejercicios 2
Propiedades
Sean a y b números reales positivos, m y n números naturales mayores que 1 y p número entero, entonces
1)
(
n
a
)
n
Ejemplo:
=
a
(
3
17
)
3
= 17
© NELSON LILLO TERÁN
Marzo 2017
http://www.eneayudas.cl
[email protected]
(2)23169001 – (9)98581588
2) n a
> 0
3
Ejemplo:
=
n
–a

3 ) n impar
=
3
3
8
< 0
( – a )n
–4

n
( – a )n
Ejemplo:
(
–5
)3
7) n a ´ n b
3
b
=
98
=
2000
3
n
ap
2
m n
=
3
Ejemplo:
3
3
=
32
=
64
49 ´ 2
=
4
49 ´
n
a
64
2
15
mn
=
3
=
=
2
7
2
3
1000
=
10
15
=
196
=
)
2000
2
3
=
a
8
(
=
5
= |a|
=
15
196
10 )
=
ab
3
3
Ejemplo:
2
5
a2
2 ´
Ejemplos:
9) n m a
a
a
b
n
=
–4
=
)2
n
=
Ejemplos:
a
0
–a
=
=
Observación: a  R 
n
<
8
(
3
Ejemplo:
8)
–9
=
=
n

5 ) n impar
n
0
a
Ejemplo:
6 ) n par
>
4
– 729
3
Ejemplo:
4 ) n an
64
14
a
=
8
2
p
=
(
3
64
)
2
=
4
2
= 16
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POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL
Definición:
Sean a > 0 , n número natural mayor que 1 y p número entero, entonces:
p
a n
n
=
ap
Propiedades:
Las potencias de exponente racional cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente entero y
además la siguiente:
a
Ejemplo: 27
2
3
3
=
27 2
(
=
3
p
n
)
27
=
2
=
(
n
32
a
)
=
p
9
Observación: Las potencias de base positiva y exponente real, también cumplen todas las propiedades de las
potencias de exponente entero.
RACIONALIDAD
Para determinar si una expresión real es racional o irracional, hay que tener presente lo siguiente:
➢ La suma y el producto de dos números racionales, son racionales.
a
 Q
b
c
 Q
d
Ù
ad + bc
 Q
bd

Ù
ac
 Q
bd
➢ La suma y el producto de un número racional no nulo y un número irracional, son irracionales.
2 +
Ejemplo:
y 2
3
son irracionales.
3
➢ La suma y el producto de dos números irracionales, pueden ser racionales o irracionales.
Ejemplos:
2
+
3
2
+
(–
2
2 ´
5
=
2 ´
8
=
es irracional,
)
=
0
es racional,
es irracional,
10
es racional.
4
➢ Sean n un número natural mayor que 1 y a un entero positivo, entonces:
n
Ejemplo:
7
a Ï N

n
a  I
no es un número natural  es irracional.
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➢ Sean n un número impar positivo mayor que 1 y a un entero, entonces:
n
3
Ejemplo:
–2
a Ï Z
n

a  I
no es un número entero  es irracional.
➢ Sean n un número natural mayor que 1 y a un irracional, entonces:
n
3
Ejemplo:
a  R
n

a  I
es un número real  es irracional.
9
RACIONALIZACIÓN
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
15
5
6
3
12
3 –
7
9
1 +
3
2
15
=
=
2
=
=
=
5
2
´
3
12
3 –
´
7
9
1 +
(
3
2
9 1 –
3
2
2
2
2
6
7
3 +
7
´
1 –
3
2
+
3
4
3
3
3 +
3
5
=
3
=
33 4
5
=
1 –
3
15
=
5
3
6
3
5
´
2
2
2
+
3
2
+
3
)
=
2
3
=
5
(
12 3 +
7
)
=
9 – 7
22
(
9 1 –
=
22
(
3 1 –
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3
2
+
6
(3
3
3
2
+
1 +
3
23
3
4
)
+
4
7
)
)