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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 1.4 MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Designamos en esta forma las estrategias o esquemas más generales que identificamos en los procesos deductivos. Estos modelos están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas de inferencia establecidas. M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al 1.4.1 Método directo o Método de la hipótesis auxiliar “Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que P Q es verdadera”. Esquema operativo general: Para demostrar que una proposición específica de la forma P Q es teorema, se procede así: 1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta proposición la denominamos hipótesis auxiliar. 2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la cual podemos utilizar los axiomas y los teoremas ya demostrados para obtener mediante las reglas de validez y de inferencia, la validez de Q. 3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de P Q . Nota: De una manera intuitiva podemos fundamentar la validez de este método, con el hecho de que la implicación es falsa únicamente en el caso en el cual partiendo de un antecedente verdadero llegáramos a una conclusión falsa; este es precisamente el caso que queda descartado cuando asumiendo la verdad del antecedente concluimos la verdad del consecuente. Como con antecedente falso la implicación siempre es verdadera, no se requiere ninguna otra consideración. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA Ilustración Nº4 Dadas las siguientes premisas, demostremos la conclusión pedida, utilizando el método directo. 1.R S Conclusión: R K T M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al 2.S F K H Premisas. 3.T H Demostración 1.R S 2.S F K H 3.T H Premisas. 4. Supongamos: Hipótesis auxiliar. R 5. S Modus tollendo ponens de 4.y 1. 6. SF Adjunción en 5. 7. K H Modus ponens de 6. y 2. 8. K Simplificación en 7. 9. H Simplificación en 7. 10. T Modus tollendo tollens de 9. y 3. K T 12. R K T 11. Conjunción de 8. y 10. Método directo desde 4. hasta 11. Ilustración Nº5. Demostrar el siguiente teorema de la aritmética, utilizando el método directo. Para t, a, b enteros, si t divide a a y t divide a b, para m y n enteros t divide a ma nb . 1. Supongamos: t ,a ,b Z , m,n Z , t divide a a y t divide a b. 2. Existe k Z y a tk . Hipótesis auxiliar. De la hipótesis, definición divisibilidad. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 3. Existe s K y b s.t . De la hipótesis, definición divisibilidad. 4. m.a m.t .k Ley uniforme del producto en 2. 5. n.b n.t .s Ley uniforme del producto en 3. 6. m.a n.b m.t .k n.t .s Ley uniforme de la suma de 4 y 5. 7. m.a n.b t .m.k n.s Factorizando en 6. 8. m.k n.s Z Leyes clausurativa en el producto y en la Z. M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al suma en t divide a ma nb . 9. Definición de divisibilidad de 7 y 8. 1.4.2 Método del Contrarrecíproco El teorema del contrarrecíproco P Q no.Q no.P da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P Q es teorema y al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproco no.Q no.P , si se consigue este objetivo, entonces queda establecida la validez de P Q al hacer sustitución por equivalencia. Esquema operativo general Para demostrar que una proposición especifica de la forma P Q es un teorema, por el método del contrarrecíproco, se procede así: 1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q. 2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica hasta concluir no P. 3. Concluimos por el método directo que no.Q no.P es teorema. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 4. La regla de validez 3 nos permite concluir que P Q es verdadera mediante la equivalencia del contrarrecíproco. Ilustración Nº6 Demostrar el siguiente teorema, utilizando el método del contrarrecíproco: “Si el cuadrado de M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al un número es impar, entonces el número es impar”. El enunciado explícito del teorema corresponde a: Si a 2 es impar, entonces a es impar. 1. Supongamos: a es par. 2. Hipótesis auxiliar. a 2n y n Z De 1. Definición de número par. 3. a 2 2n 4n 2 2 2n 2 Ley uniforme y asociativa en el producto. 4. 2n2 Z Ley clausurativa en el producto de enteros. 5. a 2 es un número par. De 3 y 4 definición de número par. 2 6. Si a es par, entonces a 2 es par. Método directo. 7. Si a 2 es impar, entonces a es impar. Equivalencia por el contrarrecíproco. Nota: Trata de demostrar la implicación original, por el Método directo. 1.4.3 Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo. Antes de presentar este método precisemos los siguientes conceptos que hacen parte de su estructura. Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción entre una proposición y su negación, y en consecuencia esta proposición es falsa. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA Teoría contradictoria o inconsistente: Se designa en esta forma, toda teoría en la que es posible concluir una contradicción. En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es verdadera y falsa a la vez. El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al consistencia que debe caracterizar a una teoría (no presencia de contradicciones en su interior), básicamente la estrategia consiste en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis se busca generar una contradicción, esto es: que la teoría con este nuevo supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando en esta forma validada la proposición inicial. La estructura lógica subyacente de lo que hemos expresado, se puede resumir en la siguiente Regla de inferencia denominada Regla de la contradicción y que se ilustra y se demuestra a continuación. Ilustración Nº7 Regla de la contradición De la siguiente premisa, demostrar la conclusión indicada. no.P Q.y.no.Q Premisa P Conclusión 1. no.P Q.y.no.Q Premisa 2. no.Q. y .noQ no.no.P Equivalencia en 1. por el contrarrecíproco. Regla de validez 3. 3. no.Q.ó.no.no.Q P Equivalencia en 2. Negación de la conjunción y doble negación. Regla de validez 3. 4. no.Q.ó.Q P Equivalencia en 3. doble negación. Regla de validez 3. 5. no.Q.ó.Q Teorema del medio excluido. 6. P Modus Ponens de 4 y 5. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA Esquema operativo general Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por este método procedemos así: 1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar. 2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al método directo, hasta obtener como conclusión una contradicción, por ejemplo Q y no Q. 3. Por el método directo concluimos no.P Q.y.no.Q . 4. Por la Regla de contradicción probada en la ilustración Nº7, concluimos la validez de P. Ilustración Nº 8 Demostrar, utilizando el Método de reducción al absurdo, el siguiente teorema: Si a 2 es par, entonces a es par. 1. Supongamos que a 2 es par. Hipótesis auxiliar. 2. Supongamos que a no es par. Hipótesis auxiliar. Reducción al absurdo. 3. a 2k 1 y k Z De 2, definición de número impar. 4. a 2 2k 1 Ley uniforme del producto en 3. 5. a 2 4k 2 4k 1 Leyes distributivas y conmutativas en 4. 6. a 2 2 2k 2 2k 1 Leyes distributivas del producto en 5. 7. 2k 2 2k Z Leyes clausurativas en el producto y la suma. 8. a 2 es un número impar. De 6 y 7, definición de número impar. 9. a 2 es par y a 2 es impar. Conjunción de 1 y 8. Contradicción. 2 10. a es par. Método de reducción al absurdo entre 2 y 9. 11. Si a 2 es par, entonces, a es par. Método directo, entre 1 y 10. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 1.4.4 Método de casos (Silogismo disyuntivo) La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración, casi de forzosa utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así: 1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción. M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al 2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se obtiene una conclusión parcial por el método directo. 3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales. Ilustración Nº 9 Demostrar el siguiente teorema: Para a, b números reales, si a 0 ó b 0 , entonces, a.b 0 . 1. Supongamos que: a 0 ó b 0 2. Supongamos que: a 0 Hipótesis auxiliar 1. Hipótesis auxiliar 2 (2º nivel). 3. a.b 0.b Ley uniforme del producto en 2. 4. 0.b 0 Teorema en el conjunto de los números reales. 5. a.b 0 Transitividad en la igualdad de 3 y 4. 6. a 0 a.b 0 Método directo de 2 a 5. 7. Supongamos que: b 0 Hipótesis auxiliar 2. (2º nivel). 8. a.b a.0 Ley uniforme del producto en 7. 9. a.0 0 Teorema en el conjunto de los números reales. 10. a.b 0 Transitividad en la igualdad de 8 y 9. 11. b 0 a.b 0 Método directo de 7 a 10. 12 a.b 0 Regla de inferencia Método de casos de 1, 6 y 11. 13. a 0 ó b 0 a.b 0 Método directo de 1 a12. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 1.4.5 Método del contraejemplo La equivalencia establecida en el numeral 9 de la sección 1.2.6 da lugar al método de demostración designado con el nombre de Contraejemplo, de gran aplicación en las matemáticas y que se describe a continuación. M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al Esquema operativo Se busca demostrar que una proposición específica de la forma no.x Px es teorema, o también que x Px es falsa. 1. Es suficiente demostrar, por la equivalencia establecida, que x no.Px es teorema. 2. Para validar lo anterior debe verificarse que para un objeto concreto a, la proposición no.Pa es verdadera. En este caso del término a decimos que es un “contraejemplo” con relación a la proposición x Px . Ilustración Nº 10 Mostrar un contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa. “El cuadrado de todo número real, es mayor que el número”. Esta proposición lo podemos simbolizar así: x x R x 2 x . En consecuencia, probemos que no.x x R x 2 x La proposición anterior equivale a es verdadera. x x R x 2 x ¿por qué? A su vez 0 es un contraejemplo, porque 0 R 02 0 es verdadera.