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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.4 MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Designamos en esta forma las estrategias o esquemas más generales que identificamos en los
procesos deductivos. Estos modelos están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas
de inferencia establecidas.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
1.4.1 Método directo o Método de la hipótesis auxiliar
“Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es
verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una
proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que P  Q es
verdadera”.
Esquema operativo general:
Para demostrar que una proposición específica de la forma P  Q es teorema, se procede
así:
1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta proposición la denominamos
hipótesis auxiliar.
2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la cual podemos
utilizar los axiomas y los teoremas ya demostrados para obtener mediante las reglas
de validez y de inferencia, la validez de Q.
3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de P  Q .
Nota: De una manera intuitiva podemos fundamentar la validez de este método, con el hecho
de que la implicación es falsa únicamente en el caso en el cual partiendo de un antecedente
verdadero llegáramos a una conclusión falsa; este es precisamente el caso que queda
descartado cuando asumiendo la verdad del antecedente concluimos la verdad del
consecuente. Como con antecedente falso la implicación siempre es verdadera, no se requiere
ninguna otra consideración.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración Nº4
Dadas las siguientes premisas, demostremos la conclusión pedida, utilizando el método
directo.
1.R  S
Conclusión:
R  K  T 
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

2.S  F   K  H  Premisas.

3.T  H

Demostración
1.R  S


2.S  F   K  H 

3.T  H

Premisas.
4. Supongamos:
Hipótesis auxiliar.
R
5.
S
Modus tollendo ponens de 4.y 1.
6.
SF
Adjunción en 5.
7.
K  H
Modus ponens de 6. y 2.
8.
K
Simplificación en 7.
9.
H
Simplificación en 7.
10.
T
Modus tollendo tollens de 9. y 3.
K  T
12. R  K  T 
11.
Conjunción de 8. y 10.
Método directo desde 4. hasta 11.
Ilustración Nº5.
Demostrar el siguiente teorema de la aritmética, utilizando el método directo.
Para t, a, b enteros, si t divide a a y t divide a b, para m y n enteros t divide a ma  nb .
1. Supongamos: t ,a ,b  Z , m,n  Z , t divide a a y t divide a b.
2.
Existe k  Z y a  tk .
Hipótesis auxiliar.
De la hipótesis, definición divisibilidad.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.
Existe s  K y b  s.t .
De la hipótesis, definición divisibilidad.
4.
m.a  m.t .k
Ley uniforme del producto en 2.
5.
n.b  n.t .s
Ley uniforme del producto en 3.
6.
m.a  n.b  m.t .k  n.t .s
Ley uniforme de la suma de 4 y 5.
7.
m.a  n.b  t .m.k  n.s 
Factorizando en 6.
8.
m.k  n.s  Z
Leyes clausurativa en el producto y en la
Z.
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suma en
t divide a ma  nb .
9.
Definición de divisibilidad de 7 y 8.
1.4.2 Método del Contrarrecíproco
El teorema del contrarrecíproco P  Q   no.Q  no.P  da lugar a una variante del
método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del
contrarrecíproco. Este método puede resumirse así:
Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P  Q es teorema y al
intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada.
Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproco no.Q  no.P , si
se consigue este objetivo, entonces queda establecida la validez de P  Q al hacer
sustitución por equivalencia.
Esquema operativo general
Para demostrar que una proposición especifica de la forma P  Q es un teorema, por el
método del contrarrecíproco, se procede así:
1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q.
2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica hasta concluir
no P.
3. Concluimos por el método directo que no.Q  no.P es teorema.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4. La regla de validez 3 nos permite concluir que P  Q es verdadera mediante la
equivalencia del contrarrecíproco.
Ilustración Nº6
Demostrar el siguiente teorema, utilizando el método del contrarrecíproco: “Si el cuadrado de
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un número es impar, entonces el número es impar”.
El enunciado explícito del teorema corresponde a:
Si a 2 es impar, entonces a es impar.
1. Supongamos: a es par.
2.
Hipótesis auxiliar.
a  2n y n  Z
De 1. Definición de número par.
 
3.
a 2  2n   4n 2  2 2n 2
Ley uniforme y asociativa en el producto.
4.
2n2  Z
Ley clausurativa en el producto de enteros.
5.
a 2 es un número par.
De 3 y 4 definición de número par.
2
6. Si a es par, entonces a 2 es par.
Método directo.
7. Si a 2 es impar, entonces a es impar.
Equivalencia por el contrarrecíproco.
Nota: Trata de demostrar la implicación original, por el Método directo.
1.4.3 Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo.
Antes de presentar este método precisemos los siguientes conceptos que hacen parte de su
estructura.
Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción
entre una proposición y su negación, y en consecuencia esta proposición es falsa.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Teoría contradictoria o inconsistente: Se designa en esta forma, toda teoría en la que es posible
concluir una contradicción.
En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es verdadera y falsa a la
vez.
El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de
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consistencia que debe caracterizar a una teoría (no presencia de contradicciones en su
interior), básicamente la estrategia consiste en suponer explícitamente la negación de la
proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis se busca generar una contradicción, esto
es: que la teoría con este nuevo supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es
falsa, o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando en esta forma validada
la proposición inicial.
La estructura lógica subyacente de lo que hemos expresado, se puede resumir en la siguiente
Regla de inferencia denominada Regla de la contradicción y que se ilustra y se demuestra a
continuación.
Ilustración Nº7
Regla de la contradición
De la siguiente premisa, demostrar la conclusión indicada.
no.P  Q.y.no.Q
Premisa
P
Conclusión
1. no.P  Q.y.no.Q 
Premisa
2. no.Q. y .noQ  no.no.P
Equivalencia en 1. por el contrarrecíproco. Regla de
validez 3.
3. no.Q.ó.no.no.Q   P
Equivalencia en 2. Negación de la conjunción y doble
negación. Regla de validez 3.
4. no.Q.ó.Q   P
Equivalencia en 3. doble negación. Regla de validez 3.
5. no.Q.ó.Q
Teorema del medio excluido.
6. P
Modus Ponens de 4 y 5.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Esquema operativo general
Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por este
método procedemos así:
1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.
2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el
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método directo, hasta obtener como conclusión una contradicción, por ejemplo Q y
no Q.
3. Por el método directo concluimos no.P  Q.y.no.Q  .
4. Por la Regla de contradicción probada en la ilustración Nº7, concluimos la validez
de P.
Ilustración Nº 8
Demostrar, utilizando el Método de reducción al absurdo, el siguiente teorema:
Si a 2 es par, entonces a es par.
1. Supongamos que a 2 es par.
Hipótesis auxiliar.
2.
Supongamos que a no es par.
Hipótesis auxiliar. Reducción al absurdo.
3.
a  2k  1 y k  Z
De 2, definición de número impar.
4.
a 2  2k  1
Ley uniforme del producto en 3.
5.
a 2  4k 2  4k  1
Leyes distributivas y conmutativas en 4.
6.
a 2  2 2k 2  2k  1
Leyes distributivas del producto en 5.
7.
2k 2  2k  Z
Leyes clausurativas en el producto y la suma.
8.
a 2 es un número impar.
De 6 y 7, definición de número impar.
9.
a 2 es par y a 2 es impar.
Conjunción de 1 y 8. Contradicción.
2


10. a es par.
Método de reducción al absurdo entre 2 y 9.
11. Si a 2 es par, entonces, a es par.
Método directo, entre 1 y 10.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.4.4 Método de casos (Silogismo disyuntivo)
La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración, casi de forzosa
utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una disyunción de dos o más
proposiciones, en cuyo caso procedemos así:
1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción.
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2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se obtiene
una conclusión parcial por el método directo.
3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales.
Ilustración Nº 9
Demostrar el siguiente teorema:
Para a, b números reales, si a  0 ó b  0 , entonces, a.b  0 .
1. Supongamos que: a  0 ó b  0
2.
Supongamos que: a  0
Hipótesis auxiliar 1.
Hipótesis auxiliar 2 (2º nivel).
3.
a.b  0.b
Ley uniforme del producto en 2.
4.
0.b  0
Teorema en el conjunto de los números reales.
5.
a.b  0
Transitividad en la igualdad de 3 y 4.
6.
a  0  a.b  0
Método directo de 2 a 5.
7.
Supongamos que: b  0
Hipótesis auxiliar 2. (2º nivel).
8.
a.b  a.0
Ley uniforme del producto en 7.
9.
a.0  0
Teorema en el conjunto de los números reales.
10.
a.b  0
Transitividad en la igualdad de 8 y 9.
11. b  0  a.b  0
Método directo de 7 a 10.
12 a.b  0
Regla de inferencia Método de casos de 1, 6 y 11.
13. a  0 ó b  0  a.b  0
Método directo de 1 a12.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.4.5 Método del contraejemplo
La equivalencia establecida en el numeral 9 de la sección 1.2.6 da lugar al método de
demostración designado con el nombre de Contraejemplo, de gran aplicación en las
matemáticas y que se describe a continuación.
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Esquema operativo
Se busca demostrar que una proposición específica de la forma no.x Px  es teorema, o
también que x Px  es falsa.
1. Es suficiente demostrar, por la equivalencia establecida, que x no.Px  es teorema.
2. Para validar lo anterior debe verificarse que para un objeto concreto a, la proposición
no.Pa es verdadera. En este caso del término a decimos que es un “contraejemplo” con
relación a la proposición x Px  .
Ilustración Nº 10
Mostrar un contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa.
“El cuadrado de todo número real, es mayor que el número”.
Esta proposición lo podemos simbolizar así:
x x  R  x 2  x .
En consecuencia, probemos que

no.x  x  R  x 2  x
La proposición anterior equivale a
 es verdadera.
x x  R  x 2  x  ¿por qué?
A su vez 0 es un contraejemplo, porque 0  R  02  0 es verdadera.