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EJERCICIOS DE 1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA SALUD
TRIGONOMETRÍA I
1- Sin utilizar la calculadora, halla el valor de la siguientes expresiones:
2
3π
5
2π
7π
4π
11π
π
π
a ) sen . − 4 sen
+ 3 sen π − sen
b) sen
− cos
+ tg
+ tg
3
2
2
3
2
3
6
3
6
2- Comprueba:
(
a ) sec 2 a + cos ec 2 a = sen 2 a ⋅ cos 2 a
)
−1
b) (sena + cos a ) = 1 + 2tga cos 2 a
2
c) cos 2 x ⋅ tg 2 x +
sen 2 x
=1
tg 2 x
3- Hallar las restantes razones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos:
2 3
23
a ) cos α =
b) tg α =
y α > 90º
5
3
⎛ 7π ⎞
4- Sin utilizar calculadora halla: sen 225º , sen 1230º , tg (-45º) , sen ⎜ ⎟
⎝ 6 ⎠
5- Calcular cot g
5π
− sec(−150º ) + sen( 240º ) + cos(−30)
4
6- Simplifica la siguiente expresión:
⎛π
⎞
sen 2 (π + α ) ⋅ cos⎜ − α ⎟ ⋅ tg(π + α )
⎝2
⎠
2
sen α ⋅ ⋅(1 − cos α ) ⋅ sen( −α )
7- Simplifica la siguiente expresión:
sec a
sen 2 a
⋅
cos eca ⋅ tga 1 − cos a
8- Calcular las restantes razones trigonométricas:
12
a) α ∈ II cuadrante
cos α = −
13
b) α ∈ IV cuadrante, cos ec(2π − α ) = 2 2
c) α ∈ II cuadrante,
sec(π − α ) = 2
4
calcular
5
cos(90 − a ), sen(180 + a ), cos ec (180 − a ), sec( − a )
9- Sea a un ángulo del cuarto cuadrante y cos a =
10- El coseno de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale
hipotenusa mide 15 cm. Calcular cuánto miden los otros lados.
3
y su
5
11- Resolver el triángulo rectángulo en A del que sabemos a = 312 m y
12-
B 1
= .
C 2
Demostrar que en un triángulo rectángulo ABC (A = 90º) se verifica:
a)
senB + cos C
= tgB
cos B + senC
b) sen2 B =
2bc
a2
c) sen 2 B + sen 2 C = 1
(Solución: Recuerda B + C = 90º, C = 90 – B)
13- Tres puntos A,B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a B es 6 km, la distancia
de B a C es 9 km y el ángulo de AB con BC es 120º ¿Cuál es la distancia de A a C?
π
π
14- De un triángulo conocemos A = , B =
y a = 100 cm. Calcular el resto de los lados y
6
4
el ángulo.
15- Dos coches que van a 60 km/h y 50 km/h toman dos carreteras que se bifurcan con un
ángulo de 70º ¿Qué distancia habrá entre ellos a los 10 minutos de viaje?
16- Desde un avión se divisan dos poblaciones A y B. Las visuales desde el avión dirigidas a
A y a B forman un ángulo de 135º. Gracias al radar, sabemos que la distancia del avión a A
es de 150 km. y la distancia a B es de 300 km. ¿Qué distancia hay entre A y B? ¿Qué
ángulo forma la línea que une A y B con la visual de A?
17-
Dos individuos A y B tratan de localizar una emisora. El individuo A sabe que dicha
emisora está a 10 Km. de él, y el individuo B sabe que el ángulo que forman las líneas que
le unen a la emisora y a A es de 30 º. Si ellos se encuentran a una distancia de 8 km. ¿A qué
distancia de B se encuentra la emisora?
18- Hallar los ángulos de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 5 m y el desigual
75 m.
19- En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC. Calcula las razones
trigonométricas de los ángulos B̂ y Ĉ y halla la medida de los ángulos ABC sabiendo que
AB = 3 cm , AD = 2 cm y CD = 4,2 cm.
20- Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido mide 60º. Halla
los otros ángulos.
21- Resuelve el triángulo dados los siguientes datos: Aˆ = 55º , Bˆ = 98º , a = 7,5 cm.
22- En un triángulo se conocen: Aˆ = 35º , b = 20 cm, c = 14 cm. Resuelve el triángulo.
23- Resuelve un triángulo del que se conocen a = 37 cm, b = 42 cm , c = 68 cm.
24- En un campo de fútbol, se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de
los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde
dicho punto?
25- Sabiendo que en un triángulo se verifica sen B = 3 sen C , sen A = 2 sen C y b =
28 cm. Hallar los otros dos lados y el ángulo C.
SOLUCIONES HOJA TRIGONOMETRÍA I
1-
(Solución: a) 3
2-
(Solución: a) senα = − 13 / 5, tgα = − 13 / 2 3
3-
(Solución: a) −
4-
(Solución: 1 +
56-
(Solución: −
b) 5 3 /3 )
2
2
2
3
1
2
b)
c) -1
d) −
b) senα = -
1
)
2
)
1
)
cos α
(Solución: 1 + cos α )
7
5
5
, tgα = −
b) senα = 8
13
12
3
5
5
3
b)
c) d) )
8- (Solución: a) 5
5
3
4
9- (Solución: b = 9 cm, c = 12 cm)
7-
23
3
cosα = )
32
32
(Solución: a) senα =
10- (Solución: B = 30º , C = 60º,
b = 156m
tgα = − 7
c) senα =
c = 156 3 m)
11- (Solución: d ( A, C ) = 171 km)
12-
(Solución: C = 105º,
b = 100 2
c = 200 sen105º )
13- (Solución: 10,6038 km)
14- (Solución: a) d = 419,69
A = 30,36º)
15-
(Solución: 16,093354 km)
16-
(Solución: A = 120º, B = C = 30º)
17- (Solución: senC = 0,429 cos C = 0,9028
cos B = 5 / 3
senB = 2 / 3 )
18- (Solución: A = 30º, C = 90º)
19- (Solución: b = 9,0667057, C = 27º, c = 4,1566505)
20- a = 11,716435 , C = 43,2645º, B = 101,7355
21- A = 28,517, B = 32,815, C = 118,668 ó A = 28,517, B = 90,151, C = 61,332
22-
(Solución: A = 60º)
23-
(Solución: c = 28 / 3 , a = 56 / 3 , A = 90º , C = 30º , B = 60º )
3
2
tgα = − 3 )
TRIGONOMETRÍA II
1. Comprueba las siguientes igualdades:
cos(a − b) − cos(a + b)
= tg b
sen(a + b) + sen(a − b)
2 tg a
b) sen 2a =
1 + tg 2 a
a)
2. Demuestra que
a ) tg( 45º +α ) − tg( 45º −α ) = 2 tg 2α
b)
cos x + sen x
⋅ cos 2 x = 1 + sen 2 x
cos x − sen x
3. Sabiendo que tg(a + b) = 4 y que tg a = -2. Calcular tg 2b y tg(a-b).
(Solución: tg 2b = −
8
84
, tg (a − b) = − )
19
13
4. Si a y b son dos ángulos tales que tg a =
Calcular sen(a-b), cos 2b , sen
(Solución: sen(a − b) =
− 12 − 5 40
a
y
2
4
3
π
π
y cos b = − , a <
y
<b <π .
5
7
2
2
tg (a + b).
, cos 2b = −
7 41
31
,
49
sen
a
=
2
41 − 5
2 41
, tg (a + b) =
12 − 5 40
15 + 4 40
5. Resuelve las siguientes las siguientes ecuaciones:
x
a) 4sen + 2cos x = 3
(Solución: 60º + 360k, 300º + 360k)
2
b) cos2x = 5 − 6cos2 x
(Solución: 30º, 150º, 210º, 330º + 360k)
c) 4sen(x − 30º ) cos(x − 30º ) = 3
d) 3sen x + cos x + cos x = 0
2
2
(Solución: 60 + 180k,
90 + 180k)
(Solución: 180º)
e) tgx = 2 cos x
(Solución: 45º , 135º)
f) sen2x + 3 cos x = 0
(Solución: 240º + 360k, 300º + 360k, 90+180k)
6. Demostrar que en un triángulo cualquiera:
A+C
B
cos( A − B ) − cos C
= Cotg
c)
= cos B
2
2
2 cos A
d ) cos A + cos( B + C ) = 0
e) senA = sen( B + C )
(Solución: Recuerda A + B + C = 180º)
a ) tg ( A + B ) + tgC = 0
7. Comprueba que
b) Tg
sen b. cos( a − b) + cos b. sen( a − b) = sen a
8. Siendo tgα = −3, cos α < 0 , calcular sin utilizar calculadora:
α
a ) senα
b) sen(30º +α )
c) sen
2
(Solución: a)
3
10
b)
3 3 −1
c)
2 10
10 + 1
)
2 10
9. Resuelve el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a = 3 , b = 1, Aˆ = 2 Bˆ .
(Solución: Aˆ = 60º , Bˆ = 30º , Cˆ = 90º , c = 2)
)