Download Trigonometría Prof. Alfonso Sánchez TEMAS

COLEGIO DE NUESTRA SEÑORA DEL BUEN
CONSEJO
ÁREA DE MATEMATICAS
GUIA- TALLER No.- 1 DE TRIGONOMETRIA
1 PERIODO 2017
GRADO 10° (DECIMO)
Elaboró: ALFONSO SANCHEZ
Revisó: ALFONSO SANCHEZ
(Vo.Bo.):
NOMBRE__________________________________________Fecha:_____________________de 2017
Indicador de desempeño: Identifica y construye ángulos correctamente teniendo en cuenta su
clasificación, emplea el concepto de grado-radian para realizar conversiones de medidas; comprende
los conceptos de longitud de arco, velocidad angular.
TEMAS: Preconceptos algebraicos; Ángulos y triángulos, Teorema de Pitágoras. Razones trigonométricas;
funciones circulares, punto trigonométrico, valores para ángulos notables. Reducción al primer cuadrante.
Criterio
Especificaciones
Peso
evaluativo
Presentación
Se presentará en una carpeta de color amarilla, tamaño oficio,
debidamente con rotulo, diseñado en computador, pegada en la parte
superior.
0,5 Unidad
Puntualidad
Entrega en la fecha del cronograma, no se recibirán en fechas por fuera
a lo establecido
0,5 Unidad
Resolución del
taller.
Se presentarán en hojas de examen cuadriculadas, tamaño oficio;
debidamente marcada. Cada ejercicio debe llevar su respectivo proceso
de resolución.
4 Unidades
APRENDIZAJES ESPERADOS (TARGET LEARNING):
 Identificar los elementos, características y relaciones en ángulos.
 Medir, comparar y construir ángulos.
 Establecer la correspondencia entre los distintos sistemas de medición de ángulos (radianes, grados y
revoluciones)
 Realizar conversiones entre los diferentes sistemas de medición de ángulos en la solución de problemas.
CONTEXTUALIZACION:
1.2. ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS PREVIOS (PREVIOUS KNOWLEDGE) (30 min)
Repasemos algunos conceptos trabajados los años anteriores desarrollando las siguientes actividades:
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1.2.1. Construye ángulos con las medidas solicitadas e identifica en cada uno los elementos:
48°
135°
248°
1.2.2. Mide los siguientes ángulos:
1.2.3. Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.
1.2.4. Compara los ángulos. ¿Cuál de los dos es mayor?
1.2.5. Relaciona la representación gráfica con la condición y el nombre de cada tipo de ángulo.
Cóncavo
Extendid
o o llano
Convexo
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= 360°
= 180°
0° <
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< 180°
Obtuso
90° <
Recto
180° <
Agudo
< 360°
= 90°
Complet
o ó giro
Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA
< 180°
0° <
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< 90°
1.2.6. Encuentra el ángulo conplementario y suplementario en cada caso si existe.
Ángulo
Complementario
Suplementario
1.2.7. En cada caso determina los valores de cada ángulo determinado por cada par de rectas sin
utilizar trasportador.
30
º
50
º
1.3 INFORMACIÓN (INFORMATION)(15 MINUTOS)
1.3.1. Lee la siguiente información1 y utilízala para resolver las preguntas y completar el organizador
con ejemplificación.
Ángulo. Sobre un plano, consideremos las semirrectas L y M con punto inicial en O, como en la Figura 1.2.1. En
principio supongamos que M coincide con L (posición inicial de M). Tomando como pivote a O, giremos sobre el
plano a M con referencia a L en cualquier sentido. Para cualquier giro de M, a la “abertura” entre L y M le llamamos
ángulo. A las semirrectas L y M les llamamos lado inicial y lado terminal del ángulo respectivamente, al punto O
se le llamamos vértice del ángulo. Si A y B son puntos cualesquiera sobre L y M pero distintos de O, al ángulo lo
simbolizaremos refiriendo a dichos puntos y su vértice
. También es habitual utilizar letras griegas para
simbolizar o nombrar ángulosa(alpha),b(beta),g(gamma),q(theta), etc.
1
Tomada de http://publicacion.geometriadeprecalculo.com/capitulo-1/12-angulo.html
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Figura 1.2.1Generación de ángulos. El sentido de giro lo señalamos dibujando una flecha-arco. Podemos nombrar
Mencionemos dos casos extremos, si no giramos M y lo dejamos sobre L, el ángulo es una semirrecta que le
llamaremos ángulo nulo, si giramos Muna vuelta completa hasta ubicarlo sobre L tenemos un ángulo llamado
completo. En trigonometría se estudia ángulos más generales, de más de una vuelta, sentidos y ángulos negativos.
Visto de una manera más estática, ya generado, un ángulo se define como la unión de dos semirrectas con su punto
inicial común (sus lados y su vértice) contenidos en un plano.
En problemas de ingeniería los ángulos se pueden presentar de diversas maneras; como ya generados estáticos, no
distinguiendo su lado inicial o terminal; con segmentos como lados de diferente longitud, con segmentos y/o rectas
como lados, formados en el espacio. Ver Figura 1.2.2. También pueden presentarse o concebirse en movimiento en
un plano, con su vértice desplazándose sobre una recta, o con su vértice fijo pero ambos lados giratorios sobre un
plano cerrando a abriendo la abertura (por ejemplo, el ángulo variable entre las agujas de un reloj) etc.
__entre segmentos ___en el espacio_____ en el espacio entre rectas L y M
Figura 1.2.2. Algunas representaciones y simbolizaciones de ángulos.
Si los lados de un ángulo son semirrectas a la región comprendida entre sus lados le llamaremos región angular. Si
uno o los dos lados de un ángulo son segmentos, para determinar su región angular asociada prologuemos el o los
segmentos sobre semirrectas coincidentes a los mismos. Según esta definición, la región angular no depende de la
longitud de los lados del ángulo; además, claramente toda región angular es no acotada, no limitada.
Medición. Al grado de abertura entre lados de un ángulo se le asocia una medida. La medida de la abertura es
independiente de la longitud de los lados del ángulo. Básicamente existen tres sistemas de medición, (i) fracción de
vuelta o vuelta, (ii) grados sexagesimales y (iii) radianes.
En el sistema de vuelta se dice por ejemplo, que el ángulo mide media vuelta, ¾ de vuelta,
de vuelta, una vuelta
o una revolución, etc.
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En el sistema de grados sexagesimales, un ángulo de una vuelta completa se divide en 360 ángulos iguales, se dice
que cada uno de ellos mide 1 grado sexagesimal denotado con 1°, por tanto un revolución tiene 360°. Un ángulo de
1° se divide en 60 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 minuto denotado con 1‘, por tanto 1° tiene
60’. Un ángulo de 1’ se divide en 60 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 segundo denotado con
1”, por tanto 1’ tiene 60”. Un ángulo de 1” se divide en 10 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide una
décima de segundo. En la práctica este sistema ya no acepta más subdivisiones de ángulos. En este sistema es común
usar la notación decimal en grados, así por ejemplo, un ángulo que mida 30°45’18” se equivale a
.
En el sistema de radianes, a un ángulo de una vuelta se le asocia una medida de
que un ángulo de
radianes, de manera
de vuelta se le asocia una medida de un radián.
1.3.2. Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:




¿Qué es un ángulo?
¿Cómo se representa?
¿Qué significa que un ángulo tiene sentido positivo o negativo?
¿Cuáles son los tres sistemas de medición que propone la lectura para medir ángulos? Explica
cada uno de ellos.
1.3.3. La organización temática estará bajo el siguiente esquema. Debes utilizarlo como base para que
realices tu organizador con ejemplificación.
Sistema de medicion de
angulos
Revoluciones
Sexagesimal
Giro
vuelta
Grados
s: longitud de arco
longitud de arco
s=Ө . r
Radial
r = radio
Radianes
Area de sector circular
Ө = angulo
1.4. MI META DE APRENDIZAJE (LEARNING GOAL)(5 min)
Teniendo en cuenta la información anterior, la ofrecida por tu profesor y la activación de saberes previos,
escribe tu meta de aprendizaje en el cuaderno para el desarrollo de estas
lecciones.____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. 1.
APRENDIZAJE
INDIVIDUAL
APRENDIZAJE
INDIVIDUAL(INDIVIDUAL
(INDIVIDUALLEARNIG)
LEARNING)
40 MINUTOS
MEDIDA EN RADIANES
2.1 Completa la siguiente tabla. Utiliza las circunferencias, las cuerdas y la regla.
Circunferencia
Medida del radio
Medida del arco
Razón entre radio y
arco
1
2
3
4
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Angulo del
arco
Según la información recolectada ¿qué puedes concluir?:
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2.2. Lee la información y compara con los resultados obtenidos2.
CONVERSIÓN DE UNIDADES Y EQUIVALENCIAS ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
2.3. Para abordar los conocimientos propuestos para esta SECCIÓN, emplearemos la siguiente
estrategia:
Estrategia de aprendizaje
Descripción
Ayuda al estudiante a mejorar
la
lectura
de
textos
matemáticos y por ende la
comprensión de los procesos y
conceptos presentados.
Desarrollo
Aplicaremos la estrategia
realizando la lectura de las
Lectura autorregulada en
páginas 48 y 49 del texto guía.
matemáticas
Organizando y relacionando la
información conceptual de la
procedimental
Completa la información a partir de la lecturade las páginas 48 y 49 del texto guía, escribiendo en cada
recuadro final los procesos de conversión entre los distintos sistemas de medición. Replica el esquema
en una hoja examen.
Sistema de
medicion de
angulos
Revoluciones
Giro
vuelta
Sexagesimal
Radial
Grados
Radianes
2.4. Realiza los ejercicios de apoyo propuestos en la guía general.
2
Tomado de Stewart james y otros. Pre calculo. Quinta edición. Ed. Thompson 2007.
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2.5. Completa la tabla. Realiza los procesos en tu cuaderno.
Revoluciones
Sexagesimal
Radianes
3/4
50º
2π/3
5/6
35º
6π/8
3. APRENDIZAJE
GRUPO
(GROUP
LEARNIG)
APRENDIZAJE
DE DE
GRUPO
(GROUP
LEARNING)
100 MINUTOS
LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE SECTOR CIRCULAR
3.1. Observen detenidamente la explicación de tu profesor sobre el tema. Utiliza la estrategia de
aprendizaje toma de apuntesy resuelve los ejercicios propuestos.
3.2. SAY IT IN ENGLISH 3(20 min)
3.2.1. PRE- READING.Underline and translate the key terms in the information.
Angle
Degree
Radian
Measure
circumference
subtends
arc
length
3.2.2. READING. Read the following information and explain it in a spanish text
Usually, a person first learns how to measure the size of an angle using degrees. There are, of course,
360 degrees all the way around a circle.
The degree, however, turns out to be not a very mathematical way of measuring angles. The radian is
used much more than the degree in higher mathematics for measuring angles.
A radian is defined this way:
 If you have a circle with an angle whose vertex is at the center of that circle...
 And if that angle is of such a size that the amount of the circumference of the circle which that
angle intercepts has an arc length equal to the length of the radius...
 Then that angle has a measurement of one radian.
Here's another way to say it:
A central angle to a circle has a size of one radian if it
subtends an arc length on the circle equal in length to the
radius.
In other words, if you could pick up the radius of a certain
circle like it were a plastic rod and bend it around the
circumference of that circle, then that bent radius length would
touch the sides of a central angle which had a measurement of
one radian. Look at the following picture.
One thing to understand about a radian is that it is bigger than a degree. In fact:
1 radian = 57.2957 degrees
1 degree = 0.0174532 radians
3Adaptado de: http://www.mathwarehouse.com/trigonometry/law-of-sines/ambiguous-case-of-law-of-sines.php
Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA
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The above values are to six significant figures, truncated, not rounded. If you want to know the exact
size of the radian in terms of degrees, take 360 and divide it by 2 times pi. That number is how many
degrees there are in a radian.
What is the reasoning behind these values? It works this way:
How many times can you trace an arc length equal to the size of the radius as you move around the
circumference of a circle? Well, here's the formula for the circumference of a circle:
C is the circumference, and r is the radius.
Looks like there are two pi radii around the circumference of a circle, or about 2 times 3.14, i.e., about
6.28, radii around the circumference of a circle. Each one of these radius lengths would designate one
radian, so there are about 6.28 radians in a full circle. The following diagram shows this:
Therefore, there are 2 pi radians in a full circle.
We also know that there are 360 degrees in a circle.
So, there are 360 degrees per 2 pi radians. Dividing 360
by 2 pi give us the value of about 57.2957 degrees per
radian. A radian is equal to 57.2957 degrees.
Also, by dividing 2 pi radians by 360 degrees we get
about 0.0174532 radians per degree. A degree is equal
to 0.0174532 radians.
In mathematics if you state the size of an angle as a
pure number, without the degree 'unit' marker after it,
then the angle is taken to be in radians. So, if the angle in question is named A, and if someone were
to write down:
A=4
Then that would mean that angle A has a measurement of 4 radians and not 4 degrees.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
3.2.3. POST READING. Convert radians to degrees or degrees to radians.
 90º
 4

π/3

1

1º
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4. EVALUCIÓN
4.1.
(EVALUATION)
30 MINUTOS
AUTOEVALUACIÓN (SELF-EVALUATION)(30 min)
Prepárate para la evaluación, para esto contesta sinceramente las siguientes preguntas:
DESEMPEÑO
SI

Represento, construyo y
clasifico ángulos

Comprendo los distintos
sistemas de medición de
ángulos y realizo conversiones
entre ellos.

Aplico los conceptos de
ángulo, longitud de arco y área
de sectores circulares para
resolver problemas.
5. APRENDIZAJE EN CASA
NO
¿POR QUÉ?
(HOME LEARNIG)
¿CÓMO MEJORAR?
20 MINUTOS
Elabora un organizador de las temáticas vistas. Ten en cuenta el siguiente cuadro explicativo.
Estrategia de aprendizaje
Organizadores con
ejemplificación.
A.
Descripción
Organizador grafico de ideas
principales donde se ejemplifica a
través de una situación sencilla el
conocimiento clave. Se aplica al
final de proceso como una manera
de aprender a aprender.
En los ejercicios 1 a 5, hallar la medida del ángulo para la rotación indicada y dibújelo en posición normal:
1.
1
de rotación en el mismo sentido de las agujas del reloj.
2
2.
3
de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.
8
3.
4.
5.
Desarrollo
Al terminar la unidad se elaborará
el organizador a partir de los
conceptos
procedimientos
y
problemas de mayor relevancia
abordados en clase como una
herramienta de estudio.
5
de rotación en el mismo sentido de las agujas del reloj.
12
7
de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.
6
1
de rotación en el mismo sentido de las agujas del reloj.
3
B. En los ejercicios 6 a 10 indicar en qué cuadrante se encuentra el lado final de los siguientes ángulos en posición
normal:
6. 190º
7. – 513º
8. – 300º
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9. 815º
10. – 435º
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C. En los ejercicios 11 a 15 encontrar el valor en grados de cada valor de θ:
11. θ = 3 π
12. θ = -
3
π
8
13. θ =
5
π
12
14. θ = -
7
π
6
15. θ =
4
π
3
D. En los ejercicios 16 a 20, encontrar el valor en radianes de cada valor de φ:
16. φ = 120º
17. φ = -315º
18. φ = 660º
19. φ = 75º
20. φ = 270º
E. Preguntas de selección múltiple con única respuesta:
21. El ángulo
a. I
22.
4
π está localizado en el cuadrante:
3
b. II
c. III
d. IV
Cuando el minutero de un reloj recorre 20 minutos después de las 12, ha recorrido un ángulo de:
a. 75º
b. 60º c. 120º d. 30º
23. Halla el ángulo de referencia para cada ángulo dado:

3
b) 157º
19
c)
12
a)
d)
11
6
e) -157º
11
f)
6
g) 238º
j) -300
h) 3383º
28
i)
k)-1575º
23
l)
3
6
24.
Sea ө un ángulo tal que
3
< ө <π
4
Establece el valor de verdad (verdadero o falso), de cada proposición.
a) El ángulo de referencia de ө es π-ө
b) El ángulo de referencia de –ө es π-ө

es π-ө
4
3
d) El ángulo de referencia de πes ө
4
c)
El ángulo de referencia de ө-
e)
El ángulo de referencia de 2ө es 2(π-ө)
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25.
Exprese en grados el siguiente ángulo. 39º 73´ 13”.
a.
73,32º.
b.
31,12º.
c.
14,25º.
d.
40,22º.
26.
La conversión del ángulo de 575º a radianes es:
a.
36
rrad
115
b.
53
rrad
150
c.
150
rrad
53
d.
115
rrad
36
27.
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia.
a.
Las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos.
b.
Los triángulos rectángulos.
c.
Las razones trigonométricas.
d.
Las conversiones de ángulos.
28. el siguiente ángulo en radianes
7
rad , al ser expresado en grados es:
2
a. 630º
b. 360º
c. 450º
d. 275º
BIBLIOGRAFÍA y WEBGRAFÍA (BIBLIOGRAPHY AND WEB REFERENCE)
Matemáticas Proyecto Sé 10, Ediciones S&M. 2012.
DAVID, B. S. (2066). Espiral 10º. Bogota: Norma.
Martín, J. E. (s.f.). www.ite.educacion.es/. Recuperado el 10 de agosto de 2011, de Instituto de
Tecnologías Educativas : http://platea.pntic.mec.es/jescuder/
www.mathwarehouse.com. (s.f.). www.mathwarehouse.com. Recuperado el 20 de agosto de 2011, de
http://www.mathwarehouse.com/trigonometry/law-of-sines/ambiguous-case-of-law-of-sines.php
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