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Capítulo 1
Segmento y ángulo
En la primera parte de este capítulo, estudiaremos la noción de segmento de recta
asociada con su longitud y con la idea de distancia entre dos puntos sobre una línea
recta. Resolveremos problemas que tratan sobre longitud o distancia entre dos
puntos, en ellas las longitudes o distancias entre dos puntos permanecen estáticas o
bien cambian en el tiempo o con respecto a otra longitud o cantidad física de
manera lineal o no lineal.
En la segunda parte, trabajaremos con la noción de ángulo, veremos su
clasificación según su medida y por su relación con otros ángulos. Además de
deducir propiedades entre parejas especiales de ángulos, deduciremos dos
propiedades importantes sobre ángulos las cuales tienen amplia aplicación en la
resolución de problemas sobre triángulos y relación de triángulos semejantes: (i)
ángulos entre paralelas y una transversal y (ii) suma de los tres ángulos internos de
una región triangular. Resolveremos problemas sobre cálculo de la medida de
ángulos en situaciones estáticas o dinámicas cuyas medidas varían en función de
otras magnitudes geométricas o físicas variables de manera lineal o no lineal. En su
resolución ilustraremos el uso de una o ambas propiedades.
Capitulo1. Segmento y ángulo
2
1.1 Segmento1
Segmento. Como en la Figura 1.1.1, sobre la recta L, seleccionemos un punto de
referencia O, movamos un punto M –sobre– L de tal manera que podamos
acercarlo, alejarlo (en cualquier lado de O)
Para una posición fija cualquiera de M respecto a O (en cualquier lado de
O), al conjunto de puntos –sobre– L entre O y M inclusive los mismos O y M, le
llamamos segmento lineal o segmento de recta de extremos O y M (o simplemente
segmento) y lo simbolizamos con OM2.
L
M
O
Figura. 1.1.1 Generación del segmento OM sobre la recta L
Si admitimos, el caso extremo, posicionar M sobre O diremos que se trata
de un segmento degenerado en un punto.
Con el fin medir que “el tamaño o largo” de un segmento, debemos
asociarle un valor numérico no negativo, para ello es necesario recurrir a la noción
de semirrecta graduada. Consideremos la semirrecta S con punto inicial O.
Asociemos a cada punto de S un único número real no negativo como el la Figura
1.1.2.
0
B
A
O
1/2
1
S
⌦ 7/4
2
3 π
4
Figura 1.1.2. Semirrecta graduada
Asociemos a O el 0 y le llamamos origen. Tomamos otro punto arbitrario A
distinto de O sobre S y le asociamos el 1 y decimos que OA tiene longitud 1 que le
llamamos unidad de longitud. Decimos también que la distancia de O a A es 1. Al
punto B situado sobre S a dos unidades de longitud de O le asociamos el 2. Al punto
sobre S situado a tres unidades de longitud de O le asociamos el 3, y así
sucesivamente. También se puede asociar puntos con números racionales positivos,
tales como ½ situado a media unidad de longitud de O. Se puede inducir que los
números irracionales positivos también se pueden asociar con puntos de S.
Suponemos que el lector ya conoce procedimientos intuitivos para su construcción.
En el Capítulo 2 esbozaremos un procedimiento informal e intuitivo para aclarar su
proceso de construcción.
1
Algunos objetos geométricos y relaciones geométricas, tales como plano, región, punto, recta, semirrecta y
paralelismo entre rectas, los usaremos sin definirlos, creemos que el lector posee nociones intuitivas visuales de los
mismos.
2
En cálculo se estudian algunos segmentos que no contienen sus extremos.
1. 1. Segmento
3
Longitud de un segmento. Consideremos el segmento OM y una semirrecta
graduada S que tomamos con patrón de medida. Para medir OM desplacemos S de
tal manera que su origen coincida con cualquiera de los extremos de OM y todo
punto de OM sea punto de S. Como en la Figura 1.1.3, si hacemos coincidir el
origen con O, M coincidirá con P de S, entonces, si P tiene asociado el número r,
decimos que la longitud de OM mide o es de r unidades de longitud, o que la
distancia de O a M mide o es de r unidades de longitud3.
O
S
0
1
2
3
0
S
M
O
M
P
1
2
3
r
Figura 1.1.3 Medición de la longitud de un segmento. OM mide r unidades de
longitud.
En otras palabras, la longitud de un segmento es el número de unidades de
longitud (no necesariamente entero) que caben en el.
Notemos que la distancia de O a M la medimos sobre la semirrecta S 4
tomando como punto de referencia su extremo O.
En ingeniería existen varios sistemas y respectivas unidades de longitud.
Por ejemplo, para el sistema mks., los patrones unitarios pueden ser; 1nanom, 1cm,
1m, 1km, 1año luz, etc., según sean más cómodos de usar.
Para expresar que el segmento OM mide x unidades de longitud, escribimos
OM = x, es decir, igualamos el símbolo del segmento con su longitud. Este tipo de
ecuaciones las usaremos en lo sucesivo para otros elementos geométricos y sus
medidas.
Segmento de longitud variable. En la figura 1.1.1, al desplazar M –continuamente
“sobre” L, podemos interpretar que generamos –un– segmento cuya longitud varía
de manera continua tomando un intervalo de valores reales.5
Segmento de longitud cero e infinita. En la Figura 1.1.1, Como ya lo
mencionamos más arriba, si ubicamos M sobre O el segmento se reduce a un punto,
le asociamos longitud cero y le llamamos segmento nulo. Si admitimos que M se
aleje infinitamente de O, OM se transforma en una semirrecta, decimos OM tiene
longitud infinita.
Segmentos congruentes. Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen
igual longitud independientemente de su posición en el plano o espacio. Como en la
3
En la práctica, S puede ser una regla graduada, una cinta graduada o algún método indirecto para medir longitudes
o distancias entre dos puntos según algún sistema de medidas.
4
En general la distancia entre dos puntos puede medirse sobre una trayectoria cualquiera no necesariamente sobre
una línea recta. En particular, como estudiaremos en el Capítulo 2, si se mide sobre una circunferencia tenemos lo
que se llama longitud de arco. En cálculo se estudian los conceptos de distancia entre dos puntos y longitud de arco
sobre una trayectoria no lineal en el plano y el espacio. Aquí, cuando no se especifique, entenderemos como
distancia entre dos puntos como aquella medida sobre una línea recta.
5
Informalmente, decimos que la longitud varía continuamente en [a, b] si ella toma continuamente “todos” los
valores en dicho intervalo.
Capitulo1. Segmento y ángulo
4
Figura 1.1.4 comúnmente se dibujan con ciertas marcas o señas para describir su
igualdad.
B
C
D
A
Figura 1.1.4 Las barritas describen que el segmento AB es congruente con al
segmento CD, es decir que tienen la misma longitud.
Segmentos en aplicaciones. En aplicaciones geométricas de ingeniería, no interesa
en sí, el propio segmento, sino su longitud o medida considerada como la distancia
entre sus dos puntos extremos, puede representar la longitud de algún atributo lineal
de un objeto: una altura, una profundidad, un espesor, el radio de una
circunferencia, etc. Por otro lado, en algunas aplicaciones el punto de referencia O
puede también desplazarse sobre alguna trayectoria.
Las longitudes de segmentos lineales o distancia entre dos puntos se
presentan en procesos o situaciones donde sus longitudes son constantes fijas, o
varían continuamente al variar o –hacer– variar otras magnitudes. La variación
(crecimiento o decrecimiento) de una distancia puede ser lineal (con rapidez 6
constante). Existe una variedad de problemas geométricos asociados a tales
procesos en los que necesitamos conocer, describir o predecir distancias entre dos
puntos sobre una recta. Veamos algunos ejemplos.
•Ejemplo 1.1.1 Crecimiento de una distancia con rapidez constante. Un móvil
parte de un punto ubicado a 50 m. de un punto de referencia y se desplaza sobre una
línea recta alejándose del punto de referencia durante 6 segundos con velocidad
constante de 2m/s, Exprese la distancia del móvil al punto de referencia en función
del tiempo.
Resolución. Primeramente, vemos que si el móvil avanza 2 m/s, entonces la
distancia de recorrida aumenta 2 m/s. Denotemos con t (seg.) al tiempo transcurrido
y con L (m) la distancia recorrida en el tiempo t. Puesto que L crece con velocidad
constante, usando el modelo de crecimiento lineal, Ecuación (1.1.1), y según Figura
1.1.5
distancia recorrida  distancia  velocidad tiempo


=
+
× 

en el instante t
 inicial  constante  tanscurrido t 
O
M
P
2t
50
L = 50 + 2t
6
También se usan los términos de: velocidad, razón o tasa, como equivalentes al término rapidez.
(1.1.1)
1. 1. Segmento
5
Figura. 1.1.5 La distancia recorrida crece linealmente en el tiempo
tenemos que L es función lineal de t,
L (t ) = 50 + 2t ,
0≤t≤6
(1.1.2)
Dejamos al lector el trazo de su gráfica cartesiana e interpretación física de
la pendiente y punto intercepto en y del segmento de recta
Hay situaciones en las que cierta longitud varía cuando –hacemos– variar otra
longitud, estableciendo así que la primera es función de la segunda,
•Ejemplo 1.1.2 Relación entre longitudes de segmentos. El punto C está sobre AB
=10. Si CB = x . Exprese AC en función de x y determine su dominio.
Resolución. En la Figura. 1.1.6 se presentan los segmentos,
A
B
C
f(x)
x
10
Figura 1.1.6 AB =10, CB = x
Si denotamos como AC = f (x) . Del dibujo tenemos la función lineal
f ( x ) = 10 − x , 0 ≤ x ≤ 10
(1.1.2)
Si hacemos que x aumente (en su dominio), f(x) disminuye en la misma cantidad,
así AC es función lineal decreciente de CB
Bajo ciertas circunstancias se puede considerar a una longitud, aproximadamente,
como función lineal de una magnitud física variable, este es el caso de un
termómetro ambiental.
•Ejemplo 1.1.3 La altura en función de la temperatura. La escala de un
termómetro de mercurio marca aproximadamente 1°C a cada 1.5mm. Cuando la
temperatura es de 0 °C la altura del mercurio medida desde la escala de –30°C mide
45mm. Exprese la altura del mercurio en función de la temperatura, y determine la
altura cuando la temperatura es de 10°C.
Capitulo1. Segmento y ángulo
6
Resolución. Denotando con T la temperatura en °C y con h la altura en mm que le
corresponde, si suponemos que h es función lineal de T 7, entonces, h crece a razón
constante de 1.5mm/°C. Con la ecuación punto pendiente obtenemos,
h(T ) = 1.5T + 45,
− 30 ≤ T ≤ 50
(1.1.3)
La altura del mercurio cuando T = 10 , es h (10) = 60 mm .
Su gráfica cartesiana se muestra en la Figura 1.1.7
h
120
100
80
60
40
20
T
-20
20
40
Figura 1.1.7 Gráfica lineal de la altura h en mm del mercurio en función de la
temperatura T en °C. La pendiente del segmento es 1.5 y el punto intercepto en el eje
vertical es 45.
En algunos problemas geométricos, el cálculo de una distancia fija se basa en la
construcción de ecuaciones a partir de las condiciones explicitas o que se inducen
del problema.
•Ejemplo 1.1.4 Ancho de un río. Dos botes cruzan un río recto de aguas tranquilas
partiendo simultáneamente en lados opuestos a velocidades constantes pero
diferentes sobre líneas paralelas. Se encuentran por primera vez a m metros de uno de
lados, y de regreso se encuentran a n metros del otro lado. Exprese el ancho del río en
términos de m y n.
Resolución. Primeramente leamos, entendamos, imaginemos lo descrito en el
enunciado del problema y hagamos un dibujo de la situación. La Figura 1.1.8 es una
ilustración apropiada del problema.
7
En la realidad la relación entre la altura y la temperatura no es lineal, en ciertos termómetros, para bajas
temperaturas la altura crece con más rapidez que para altas temperaturas. Es decir se trata de una función creciente
cóncava hacia abajo.
1. 1. Segmento
7
x
Bote 1
x-m
n
B
A
m
Bote 2
x-m
Figura 1.1.8 Un dibujo nos ayuda a mejorar nuestra comprensión del problema y
descubrir relaciones para plantear ecuaciones. En ella debemos incluir datos y la
incógnita principal.
Denotemos con x el ancho del río. Esta es nuestra incógnita principal. A es primer
punto de encuentro ubicado a m metros del lado de partida del bote 2, B es el
segundo punto de encuentro ubicado a n metros del lado de partida del bote 1. Los
recorridos se expresan según se muestran en la Figura 1.1.8.
Nuestra estrategia será, construir un sistema de ecuaciones y resolverlo
para x. Esta estrategia será de uso común en la resolución de muchos problemas
sucesivos de este texto.
Construyamos, pues, ecuaciones que contengan x. Puesto que los botes
viajan a velocidad constante, usamos un caso particular de la ecuación (1.1) con
distancia inicial igual a cero.
distancia  velocidad tiempo


=
× 

recorrida  constante  transcurrido 
(1.1.4)
Notemos que, el tiempo que emplea cada bote en su respectivo recorrido
desde que parte hasta llegar a A, es el mismo para ambos. Si denotemos con t1 a este
tiempo, y con v la velocidad del bote 1 y con w la velocidad del bote 2, tenemos
según la ecuación (1.4),
x − m = vt1
(1.1.5)
m = wt1
(1.1.6)
Así también, notemos que el tiempo que emplea cada bote en su respectivo
recorrido desde A, llegar al otro lado del río y regresar para llegar a B, es el mismo
para ambos (si no se detienen en ningún momento). Si denotemos con t2 a este
tiempo, tenemos,
m + x − n = vt 2
(1.1.7)
x − m + n = wt 2
(1.1.8)
En el sistema de ecuaciones (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7) y (1.1.8); t1, t2, v y w,
son incógnitas auxiliares. En algunos problemas es necesario introducir incógnitas
auxiliares para plantear un sistema consistente de ecuaciones que contenga la
incógnita principal.
Capitulo1. Segmento y ángulo
8
Habiendo construido o planteado el sistema de ecuaciones, debemos
resolver el sistema para la incógnita principal x. Para ello usemos técnicas de
resolución de sistema de ecuaciones, a fin de eliminar las incógnitas auxiliares y
determinar la incógnita principal, Así por ejemplo, para eliminar la v, dividamos
lado a lado de (1.1.5) y (1.1.7),
t1
t2
=
x−m
(1.1.9)
m+x−n
De (1.1.6) y (1.1.8) tratemos de eliminar w y obtener el cociente t1 / t 2 .
Esto se logra también al dividir lado a lado de (1.1.6) y (1.1.8),
t1
t2
=
m
(1.1.10)
x−m+n
Ahora, claramente para eliminar el cociente t1 / t 2 , igualemos (1.1.9) con
(1.1.10), para obtener una ecuación con solamente la incógnita principal x,
x−m
m+ x−n
=
m
x−m+n
(1.1.11)
De la cual obtenemos,
x = 3m − n
(1.1.12)
Finalmente, antes dar nuestra respuesta, es aconsejable comprobar e
interpretar la consistencia de (1.1.12) con la situación física del problema para
algunos casos particulares o extremos. Así, si m = n , los botes se encontrarían la
primera vez en el punto medio del ancho del río, es decir el ancho del río debe ser el
doble de las distancias recorridas. Ahora, de (1.1.12) el ancho del río es x = 2 m , la
cual es coherente con que se encuentran en el punto medio. Si n = 0 , implica que la
segunda vez que se encuentran sucede en el punto de partida del bote 1, es decir el
bote 1 recorre el doble de distancia que del bote 2, entonces, al encontrarse en el
punto A, el bote 1 debe haber recorrido el doble de distancia que el bote 2, así que si
la distancia que recorrió el bote 2 es m, el bote 1 recorrió es 2m, y por tanto, el
ancho del río es de 3m; el mismo resultado que se obtiene al sustituir n = 0 en
(1.1.12). Al menos para estos tres casos particulares se comprueba la validez de
(1.1.12).
Por tanto, afirmamos que el ancho de río es de 3m − n metros con 3m > n
Hay problemas geométricos en los que una distancia es función no lineal de otra
distancia que varía o se hace variar en cierto dominio físico. La construcción de su
fórmula requiere conocimientos y procedimientos geométricos que estudiaremos en
los próximos capítulos. Sin embargo, aún sin conocer su fórmula se pueden estudiar
y describir muy bien por medio de programas de geometría dinámica. Veamos el
problema del ejemplo 1.1.5
1. 1. Segmento
9
Ejemplo 1.1.5 Distancia variable entre dos móviles. En la Figura 1.1.9, el móvil M
parte de A hacia B sobre AB . Al mismo tiempo el móvil N parte de B hacia C sobre
BC . Si los móviles se desplazan con –igual– velocidad (constante o variable)
A
x
M
6
y
B
x
N
C
6
Figura 1.1.9 M se desplaza de A a B y N se desplaza de B a C, ambos con la misma
velocidad, MN es la distancia entre ambos.
Denote AM = x y MN = y , se ve que al hacer variar x en su dominio, y varía en
consecuencia, es decir y es función de x, y = f (x ) Describa cómo cambia la
distancia y con respecto al distancia x, trace la gráfica cartesiana y = f (x ) .
Determine la distancia mínima entre los móviles, cuál es su valor y cuando sucede.
Resolución. Para percibir como va cambiando la distancia entre los móviles, al
avanzar M sobre AB ejecute la Simulación 1.1 Distancia Una copia de pantalla de
esta actividad, adjunta una tabla de valores, se muestra en la Figura. 1.1.10
Arrastre M desde A hasta B, (repita las veces que sean necesarias), observe
los valores numéricos que van tomando las longitudes AM = BN = x , y la longitud
MN = y , observe la gráfica cartesiana que se va generado al lado derecho.
Establezca las siguientes observaciones y afirmaciones a fin de responder las
preguntas planteadas.
•
8
Las longitudes de AM y de BN siempre son iguales8, pues los móviles M y
N se desplazan con la misma rapidez.
Debido a características de cálculo propias del CABRI, para algunas posiciones de M y N las distancias la
presenta aproximadamente iguales. Esta situación de cálculo aproximada puede suceder o darse en otras
simulaciones sucesivas.
Capitulo1. Segmento y ángulo
10
•
•
•
•
•
La distancia entre M y N denotada con y, depende de la distancia recorrida
por M denotada con x, percibimos así que y es función de x.
Al crecer la distancia x de 0 a 6 la distancia y inicia decreciendo desde 6,
toma un valor mínimo, luego crece hasta 6.
En el intervalo donde y decrece, lo hace cada vez menos con respecto a x; y
en el intervalo donde crece, lo hace cada vez más con respecto a x.
y toma un valor mínimo de aproximadamente 4.23 y sucede cuando x = 3.
Esto es, la distancia menor que habrá entre los móviles es de 4.23 y
sucederá cuando el móvil M ha recorrido 3, en el punto medio de su
recorrido total.
El dominio de f es [0. 6] y el rango de f es [4.24, 6]
Suponiendo que AB y BC son perpendiculares, más adelante, construiremos
la fórmula y = f (x ) , la graficaremos, y comprobaremos las observaciones y
respuestas obtenidas en esta simulación
A
y = f(x)
AM = x = 1,58 cm
BN = x = 1,58 cm
MN = y = 4,69 cm
x
M
6
P(x, y)
y
B
x
y
1
C
N
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
AM = x = MN = y = AM = x =
0.50
5.52
1.00
5.10
1.50
4.74
2.00
4.47
2.50
4.30
3.00
4.24
3.50
4.30
4.00
4.47
4.50
4.74
5.00
5.09
5.50
5.52
6.00
5.99
x
1
Figura 1.1.10 Copia de una pantalla de la Simulación 1.1.1 Distancia. Ilustra la
naturaleza de cambio de la distancia de y respecto a la distancia x, y la existencia de
un valor mínimo en y.
Comentario 1.1.1. Observemos la gráfica cartesiana de la Figura 1.1.8, imaginemos lo que
sucede en las proximidades del, y en el valor mínimo de y = f (x ) (3, 4.24). “Viene”
decreciendo cada vez menos, en el mínimo deja de decrecer, e inicia a crecer cada vez más;
podemos decir, en este caso, que en “exactamente” el mínimo, y = f (x ) no decrece ni
crece, se dice que la rapidez o razón de cambio de y con respecto a x debe ser ¡igual a
cero! Este hecho importante se formaliza y estudia en cálculo diferencial, y se utiliza en la
resolución de problemas de máximos y mínimos con la metodología del cálculo.
Problemas 1.1
1.
Construcción de f(x).
(i)
Sobre AB de longitud x se ubica el punto M. Si AM mide 2/3 de x y f(x)
denota la longitud de MB . Construya la fórmula de f(x) y establezca su
dominio ideal.
1. 1. Segmento 11
(ii)
0<a
(iii)
MB
= a con
AB
< 1 . Si MB = x y MA = f (x) . Construya f(x) en términos de a.
Sobre el segmento AB se ubica el punto M. La razón
Sobre el segmento AB se ubica el punto M. Si AM = x, MB = f ( x ) y
AB
=
AM
.Construya f (x ) .
AM
MB
2. Distancia recorrida. Dos móviles partiendo de A se desplazan sobre AB manteniendo
velocidades constantes de 25 y 30 metros por segundo. El más rápido llega a B un segundo
antes que el más lento. Determine la longitud de AB .
3. Contracción de una barra. Una barra metálica con longitud inicial de 30 pulgadas, se
pone a enfriar en un medio ambiente. Si se sabe que su longitud disminuye a razón de 0.1
pgs/min., durante 7 minutos. Exprese su longitud en función del tiempo y su dominio.
4. Dilatación de una barra. Una barra metálica se dilata a razón constante de 0.2 cm./°C.
Si su longitud es de 60 cm. cuando su temperatura es de 60°C. Determine a los cuantos
minutos su longitud es de 62 cm.
5. Niveles en depósitos. Las alturas iniciales del nivel de agua de dos depósitos son de 2 m.
y 3.5 m. Simultáneamente se inicia a verter agua y drenar en el segundo, en el primero el
nivel sube a razón constante de 0.2 m/min., mientras que en el segundo baja a razón
constante de 0.15 m/min. ¿Cuándo y a qué altura estarán al mismo nivel?
6. Alejándose y acercándose. Un móvil parte a 10 m. de un punto A alejándose en línea
recta con velocidad constante de 2 m./seg. durante 7 segundos, luego cambia de dirección y
se acerca al punto A sobre la misma recta con velocidad constante de 3 m./seg. ¿a los
cuántos segundos estará en su posición inicial? Trace la gráfica de su posición en función
del tiempo.
7. Distancia entre móviles. Dos móviles parten del mismo punto desplazándose sobre una
misma línea recta, uno con velocidad v y otro con velocidad w = 2v. Exprese la distancia
entre los móviles en función de la distancia recorrida por el primero.
8. Largo del túnel. Un tren viajando a velocidad constante de 20 k/h. tarda 5 minutos en
recorrer completamente un túnel desde que ingresa la locomotora hasta que sale el último
vagón. Si el túnel tiene el mismo largo que el tren, determine el largo del túnel.
9. Punto de encuentro. Sobre una recta un móvil M deja el punto A a velocidad constante
va . A una distancia d de A sobre dicha recta, un móvil N deja el punto B a velocidad
constate
vb , k horas después que el móvil M dejara el punto A. En términos de las variables
del problema, ¿Dónde se encontraran los móviles?
10. El ciclista y el desfile. Un ciclista inicia conduciendo en la cola de un desfile que tiene 4
k. de largo y se dirige en la dirección del desplazamiento del desfile. Al cabo de cierto
tiempo el ciclista alcanza la punta inicial del desfile y regresa al punto de la cola cuando el
desfile se ha movido 6 k. Suponiendo que el ciclista y el desfile se movieron el línea recta a
velocidades constantes (pero diferentes) y que el desfile mantiene su mismo largo, ¿Qué
distancia recorrió el ciclista?
11. Duelo de candelas. Dos candelas de longitudes L y L + 1 fueron encendidas a las 6:00 y
4:30 respectivamente. A las 8:30 tenían la misma longitud. La candela más larga se
consumió a las 10:30, y la más corta se consumió a las 10:00. Determine L.
12. La hormiga sobre la tira de hule. Una hormiga camina sobre una tira de hule que se
estira. La hormiga parte de un extremo y se desplaza a velocidad constante de 6 cm./min. La
longitud inicial de la tira de hule es de 24 cm. y es estirado a razón constante de 12 cm./min.
Suponga que hule se estira uniformemente. ¿Logrará llegar la hormiga al otro extremo? Si
su respuesta es afirmativa, aproxime el tiempo que tarda. Apóyese de una hoja electrónica
para sus cálculos.
Capitulo1. Segmento y ángulo
12
13. Longitud de la sombra. Una lámpara se ubica a 3m. del suelo horizontal. Un niño de
1m de estatura, caminando en línea recta se aleja del punto A sobre el suelo exactamente
debajo de la lámpara. Al alejarse la distancia x de A a la posición del niño aumenta,
aumentando en consecuencia la longitud s de su sombra que proyecta sobre el suelo. Ejecute
la Simulación 1.1 Sombra de los valores numéricos induzca la fórmula s = f ( x ) y trace su
gráfica. De la fórmula y los datos, si el niño se aleja con velocidad constante de 1m/seg.
¿con qué velocidad se alarga su sombra?
14. La escalera que resbala. Imagine una escalera recostada (en una posición casi vertical)
sobre una pared Suponga empujar la base de la escalera alejándola de la pared cierta
distancia, luego la vuelve a empujar alejándola la misma distancia, luego nuevamente
vuelve alejarla la misma distancia, y así sucesivamente. Suponga que cada vez que se hace
esto se mide la distancia que recorre la parte superior de la escalera sobre la pared. (a) ¿Las
distancias que recorren la parte superior son iguales; son cada vez más grandes o cada vez
más pequeñas? EXPLIQUE. (b) Suponga que se conecta un motor en la parte inferior de la
escalera que la aleja a velocidad constante. ¿La parte superior de la escalera se moverá a
velocidad constante? EXPLIQUE. (c) Esboce una gráfica que represente la relación entre la
distancia del suelo a la parte superior de la escalera y, y la distancia de la parte inferior de la
escalera y la pared x cuando la escalera resbala alejándose de la pared, iniciando en la
posición vertical y finalizando cuando la escalera quede sobre el suelo. EXPLIQUE.
Compruebe sus respuestas realizando la Simulación 1.1 Escalera. (d) Aproximadamente
para que valor de x, la velocidad con que resbala la parte inferior es igual a la velocidad con
que resbala la parte superior. (e) ¿Para qué intervalo de x aproximadamente la velocidad con
que resbala la parte superior es menor que la velocidad con que resbala la parte inferior?
1.2 Ángulo
Ángulo. Sobre un plano, consideremos las semirrectas L y M con punto inicial en
O, como en la Figura 1.2.1. En principio supongamos que M coincide con L
(posición inicial de M). Tomando como pivote a O, giremos sobre el plano a M con
referencia a L en cualquier sentido. Para cualquier giro de M, a la “abertura” entre L
y M le llamamos ángulo. A las semirrectas L y M les llamamos lado inicial y lado
terminal del ángulo respectivamente, al punto O se le llamamos vértice del ángulo.
Si A y B son puntos cualesquiera sobre L y M pero distintos de O, al ángulo lo
simbolizaremos refiriendo a dichos puntos y su vértice ∠AOB . También es habitual
utilizar letras griegas para simbolizar o nombrar ángulos α (alpha), β (beta), γ
(gamma), θ (theta), etc.
M
M
L
β
α
D
B
C
L
O
A
O
1. 1. Segmento 13
Figura 1.2.1 Generación de ángulos. El sentido de giro lo señalamos dibujando una
flecha-arco. Podemos nombrar ∠AOB = α , ∠COD = β
Mencionemos dos casos extremos, si no giramos M y lo dejamos sobre L, el
ángulo es una semirrecta que le llamaremos ángulo nulo, si giramos M una vuelta
completa hasta ubicarlo sobre L tenemos un ángulo llamado completo. En
trigonometría se estudia ángulos más generales, de más de una vuelta, sentidos y
ángulos negativos, estos no los consideraremos aquí.
Visto de una manera más estática, ya generado, un ángulo se define como la
unión de dos semirrectas con su punto inicial común (sus lados y su vértice)
contenidos en un plano.
En problemas de ingeniería los ángulos se pueden presentar de diversas
maneras; como ya generados estáticos, no distinguiendo su lado inicial o terminal;
con segmentos como lados de diferente longitud, con segmentos y/o rectas como
lados, formados en el espacio. Ver Figura 1.2.2. También pueden presentarse o
concebirse en movimiento en un plano, con su vértice desplazándose sobre una
recta, o con su vértice fijo pero ambos lados giratorios sobre un plano cerrando a
abriendo la abertura (por ejemplo, el ángulo variable entre las agujas de un reloj)
etc.
γ
E
B
β
α
O
∠AOB = α
entre segmentos
O
δ
D
A
O
∠DOE = β
en el espacio
α yβ
entre rectas L y M
Figura 1.2.2. Algunas representaciones y simbolizaciones de ángulos.
Si los lados de un ángulo son semirrectas a la región comprendida entre sus
lados le llamaremos región angular. Si uno o los dos lados de un ángulo son
segmentos, para determinar su región angular asociada prologuemos el o los
segmentos sobre semirrectas coincidentes a los mismos. Según esta definición, la
región angular no depende de la longitud de los lados del ángulo; además,
claramente toda región angular es no acotada, no limitada.
Medición. Al grado de abertura entre lados de un ángulo se le asocia una medida.
La medida de la abertura es independiente de la longitud de los lados del ángulo.
Básicamente existen tres sistemas de medición, (i) fracción de vuelta o vuelta, (ii)
grados sexagesimales y (iii) radianes.
En el sistema de vuelta se dice por ejemplo, que el ángulo mide media
vuelta, ¾ de vuelta, 3 de vuelta, una vuelta o una revolución, etc.
Capitulo1. Segmento y ángulo
14
En el sistema de grados sexagesimales, un ángulo de una vuelta completa se
divide en 360 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 grado
sexagesimal denotado con 1°, por tanto un revolución tiene 360°. Un ángulo de 1°
se divide en 60 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 minuto
denotado con 1‘, por tanto 1° tiene 60’. Un ángulo de 1’ se divide en 60 ángulos
iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 segundo denotado con 1”, por tanto 1’
tiene 60”. Un ángulo de 1” se divide en 10 ángulos iguales, se dice que cada uno de
ellos mide una décima de segundo. En la práctica este sistema ya no acepta más
subdivisiones de ángulos. En este sistema es común usar la notación decimal en
grados, así por ejemplo, un ángulo que mida 30°45’18” se equivale a
30° + 45' / 60 + 18" /( 60 × 60) = 30.755° .
En el sistema de radianes, a un ángulo de una vuelta se le asocia una medida
de 2π ≈ 6.2832 radianes, de manera que un ángulo de 1 /( 2π ) ≈ 0.1591 de vuelta
se le asocia una medida de un radián. Más adelante precisaremos su definición.
Factores de conversión. Puesto que en sus definiciones los sistemas establecen
proporciones entre sí, para convertir medidas de un sistema a otro usaremos los
factores de conversión (1.2.1) o sus recíprocos, según nuestras necesidades de
conversión.
1 vuelta
360°
,
1 vuelta
2π radianes
,
360°
2π radianes
(1.2.1)
La Tabla 1.2.1 presenta algunas equivalencias comunes
Fracción
De vuelta
0
1/12
1/8
1/(2π)
1/6
¼
1/π
½
¾
1
Grados
sexagesimales
0°
30°
45°
57.29°
60°
90°
114.59°
180°
270°
360°
Radianes
0 rads.
π/6 ≈ 0.5236 rads.
π/4 ≈ 0.785 rads.
1 radián
π/3 ≈ 1.047 rads.
π/2 ≈ 1.578 rads.
2 radianes
π ≈ 3.1416 rads.
3π/2 ≈ 4.71 rads
2π ≈ 6.2832 rads.
Tabla 1.2.1. Equivalencias entre medidas de ángulos comunes. Es conveniente
saberlos de memoria para su transformación inmediata. Vea si su calculadora posee
teclas o comandos para realizar transformaciones entre medidas.
Comentario 1.2.1. (a) Usaremos indistintamente el nombre del ángulo y su medida.
Escribimos α = 87.22° para denotar que el ángulo denotado con α mide 87.22°, (b)
generalmente, en geometría los ángulos tienen medidas entre 0° y 180°. (c)
independientemente de la longitud de sus lados, dos o más ángulos con la misma
medida les corresponden regiones angulares iguales.
1. 1. Segmento 15
Atendiendo a su medida o a su relación con otros ángulos u objetos geométricos los
ángulos se clasifican y se nombran.
Ángulos congruentes. Dos o más ángulos se llaman congruentes si tienen la misma
medida independientemente de su disposición en el plano o espacio. Brevemente
diremos que los ángulos son iguales. Como en la Figura 1.2.3, se utilizan diversas
marcas o señas para referirse a esta relación en su dibujo.
Figura. 1.2.3 Los ángulos con barritas tienen la misma medida. Los ángulos con
dobles arcos tienen la misma medida.
Clasificación y nombres según su medida. Ver Figura 1.2.4
B
α
B
A
O
Se dice que OA es
perpendicular a OB, se
simboliza OA OB.
O
A
Recto Se dibuja un
α = 90° en su vértice
Agudo
0° < α < 90°
α
α
O
A
O
Nulo, α = 0°
Lados coincidentes
B
B
A
Obtuso
90° < α < 180°
B
O
Llano
α = 180°
A
α
O
A
B
Completo
α = 360°, una vuelta
Figura 1.2.4 Dibujos y nombres de ángulos según su medida.
Pares de ángulos adyacentes. Dos ángulos (no nulos) son adyacentes si tienen el
mismo vértice, uno de sus lados en común, y sus regiones angulares
correspondientes –no se traslapan– Ver Figura 1.2.5
Capitulo1. Segmento y ángulo
16
G
C
D
β
F
χ
α
B
O
δ
E
O
Figura 1.2.5
1.2.5 Los ángulos α y β son adyacentes con lado común OC. Los ángulos χ
y δ no son adyacentes pues sus regiones se traslapan aunque tengan lado común
OE.
Pares de ángulos complementarios.
complementarios. Dos ángulos se llaman complementarios si su
suma es igual a 90° (o π/2 radianes) Es decir, como en la Figura 1.2.6, si al
disponerlos adyacentes (o aparecen dispuestos ya así) sus otros dos lados forman
un ángulo recto. Se induce que en un ángulo recto se pueden formar una
infinidad de pares de ángulos complementarios.
A
A
α = 36.4°
B
D
C
E
α = 36,4 °
C
F
β = 53,6 °
β = 53,6 °
F
B
E
D
Figura 1.2.6
y
son complementarios pues α + β = 90° = π/2 y se pueden
disponer adyacentes formando un ángulo recto.
Note que aunque un ángulo nulo y un recto son complementarios, este caso
no tiene interés práctico.
Pares de ángulos suplementarios. Dos ángulos se llaman suplementarios si su
suma es igual a 180° (o 2π radianes) Es decir, como en la Figura 1.2.7 si se
disponen adyacentes (o aparecen dispuestos ya así) sus otros dos lados quedan
sobre una recta formando un ángulo llano.
1. 1. Segmento 17
α + β =180°
B
α
β
A
O
C
Figura 1.2.7 α y β son suplementarios pues α + β =180°. Sus dos lados no comunes
OA y OC quedan sobre una recta.
Notemos que según definición, un ángulo nulo y un llano son
suplementarios.
Pares de ángulos opuestos por el vértice. Dos ángulos son opuestos por su vértice
si tienen en común a un ángulo adyacente que es suplementario a cada uno de ellos.
En la Figura 1.2.8, α y β son opuestos por el vértice, pues γ o δ es adyacente
suplementario común a α y β. Por otro lado γ y δ son opuestos por el vértice, pues
tienen como adyacente suplementario común a α o a β.
γ
β
α
δ
Figura 1.2.8 Los pares de ángulos α y β, y γ y δ, son opuestos por el vértice.
Notemos que un llano tiene como opuesto por el vértice a otro llano.
Igualdad de ángulos opuestos por el vértice. De la definición de ángulos opuestos
por el vértice se sigue que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es
decir tienen la misma medida. ¡Demuestre¡
Pares de ángulos formados entre dos paralelas y una transversal. Como en la
Figura 1.2.9, consideremos dos rectas paralelas, y una tercera recta que las corta,
llamada transversal.
Capitulo1. Segmento y ángulo
18
β
δ
β´
δ´
α
γ
Rectas paralelas
α´
γ´
Recta transversal
Fig. 1.2.9 Cuando una recta corta a dos paralelas se forma ocho ángulos no nulos
menores que 180°
Observamos que se forman ocho ángulos menores que 180°, cuatro en la región
interior entre paralelas: δ, γ, β´ y α´, llamados internos; y cuatro fuera de dicha
región: α, β, δ´ y γ´, llamados externos. De acuerdo a su disposición en los lados
de la transversal y sin son alternos o internos sus nombres se presentan en la Tabla
1.2.2
Nombre
Alternos internos
Alternos externos
Correspondientes
Opuestos por el vértice
Ángulos
δ y α´, γ y β´
α y δ´, β y γ´
α y α´, β y β´, δ y δ´, γ y γ´
α y δ, β y γ, α` y δ´, β` y γ´
Tabla 1.2.2 Nombres de ángulos formados entre dos paralelas y una transversal.
• Propiedad 1.2.1. Igualdad de pares de ángulos entre paralelas y transversal.
Las parejas de ángulos formados por dos paralelas y una transversal, tienen la
propiedad de tener –igual medida–. Por ejemplo, una pareja de alternos internos son
iguales, una pareja de correspondientes tienen igual medida, etc. Deduzcamos y
aceptemos estas igualdades apoyándonos en argumentos intuitivos; así por ejemplo,
con relación a la Figura 1.2.9, es fácil convencerse (convénzase Usted mismo por si
sólo) que el par de ángulos correspondientes δ y δ´ cumplen δ = δ´, y como δ´ = α´
por ser opuestos por el vértice, luego entonces, el par de ángulos alternos internos δ
y α´, –deben ser iguales–. Con razonamientos similares podemos deducir y aceptar
las igualdades de parejas de ángulos entre paralelas y transversal presentadas en la
Tabla 1.2.3.
Nombre
Alternos internos
Alternos externos
Correspondientes
Opuestos por el vértice
Ángulos
δ y α´, γ y β´
α y δ´, β y γ´
α y α´, β y β´, δ y δ´, γ y γ´
α y δ, β y γ, α` y δ´, β` y γ´
Propiedad
δ = α´, γ = β´
α = δ´, β = γ´
α = α´, β = β´, δ = δ´, γ = γ´
α = δ, β = γ, α`= δ´, β` = γ´
1. 1. Segmento 19
Tabla 1.2.2 Nombres y propiedades de ángulos formados entre dos paralelas y una
transversal.
Una manera de evidenciar las igualdades de la propiedad 1.2.1 la podemos realizar
ejecutando una simulación por computadora. Verifique que se cumplen las
igualdades de pares de ángulos presentadas en la Tabla 1.2.3 realizando la
Simulación 1.2.3 Paralelas. Una copia de tal simulación se presenta en la Figura.
1.2.9
Transversal
145,1 °
B
A
34,9 °
34,9 °
145,1 °
145,1 °
34,9 °
145,1 °
34,9 °
C
D
Figura 1.2.9 Copia de pantalla de la Simulación 1.2.1 Paralelas. Si mantenemos fijas las
paralelas y giramos la transversal los ángulos varían pero se mantienen las igualdades de
la Tabla 1.2.2. Si dejamos fija una de las paralelas y la transversal, y desplazamos
paralelamente la otra paralela los ángulos no cambian y se mantienen las igualdades de la
Tabla 1.2.2, etc. etc.
Comentario 1.2.2. Las igualdades de la propiedad 1.2.1 debemos aprenderlas pues
son importantes, en el sentido de que por medio de ellas podremos deducir
propiedades, también importantes, en otros objetos geométricos (como se verá en
seguida) y por que mediante su aplicación podremos resolver algunos problemas.
• Propiedad 1.2.2. La suma de tres ángulos internos es igual a 180°. Como en la
Figura 1.2.10, considere tres rectas concurrentes que se intersecan –dos a dos– en
tres puntos diferentes. Muestre que la suma de los tres ángulos formados dentro de
la región limita por las tres rectas es igual a 180°.
L
M
P
Q
β
α
χ
R
N
Capitulo1. Segmento y ángulo
20
Figura 1.2.10 Tres rectas concurrentes con tres puntos de intersección dos a dos
diferentes forman tres ángulos internos, α, β y χ. Debido a los tres ángulos
internos a la región limitada por las tres rectas le llamaremos región triangular.
Demostración. Con referencia a la Figura 1.2.10. Sean L, M y N tres rectas
concurrentes, P, Q y R los tres puntos diferentes de intersección dos a dos, y α, β y
χ los tres ángulos internos.
Seleccionemos cualquier punto de intersección de dos rectas concurrentes, digamos
el punto P, intersección de L y M, y tracemos una recta paralela a la tercera N que
pase por P. Ahora usando igualdades de ángulos entre dos paralelas y transversales,
notamos que debe cumplirse con
α + β + χ = 180°
(1.2.2)
Es decir, la suma de dichos ángulos internos es igual a uno llano. Dejamos al lector
los procedimientos, trazos y razonamientos intermedios para convencerse por si
mismo de la afirmación en (1.2.6)
Consecuencias de la Propiedad 1.2.2
(i)
En la Figura 1.2.11, las rectas L, M y N forman una región cerrada
limitada por los tres segmentos PQ, PR y QR , los cuales tomados dos a
dos, forma tres ángulos. A esta región le llamaremos región triangular
en los otros capítulos le llamaremos triángulo. Según (1.2.6) se dice
que la suma de tres ángulos internos en una región triangular es igual a
180°.
(ii)
Según (1.2.6) siempre es posible expresar (despejando) uno de los tres
ángulos en términos de los otros dos, en particular, podemos determinar
uno de ellos si conocemos los valores de los otros dos.
(iii)
Si en (1.2.6) uno de los tres ángulos es recto, entonces la suma de otros
dos –agudos– es 90° = π / 2 .
(iv)
Si dos o mas regiones triangulares tienen dos pares de ángulos, cada par
con igual medida, entonces el tercer par de ángulos deben tener igual
medida.
Comentario 1.2.3 (i) También se llega a (1.2.6) si traza una paralela a M que pase
por Q, o bien una paralela a L que pase por R. (ii) Como en la resolución de este
problema, en algunos problemas, la medida o relaciones entre medidas de ángulos
que se requieren en el proceso de resolución, se obtienen al –trazar– paralelas a
ciertas rectas o segmentos apropiadas con el fin de usar las igualdades de ángulos
entre paralelas y una transversal. Tenga en mente este hecho y úselo cuando
considere de utilidad, (iii) como lo veremos más adelante, las propiedades 1.2.1 y
1.2.2 junto con sus consecuencias, tienen amplia aplicación en la solución de una
variedad de problemas.
Habiendo descrito brevemente definiciones y propiedades más importantes de
ángulos, estudiemos algunas situaciones para mejorar su comprensión e ilustremos
su uso o aplicación en la resolución de algunos problemas.
1. 1. Segmento 21
•Ejemplo 1.2.1. Ángulos complementarios. Un ángulo en radianes crece en el
tiempo a partir de 0.1 radianes con una rapidez de 0.5 radianes/minuto, durante 2
minutos. Determine el intervalo de variación de su complementario.
Resolución. Denotemos con t el tiempo, con
complementario. De los datos tenemos,
el ángulo dado y con
α = 0.1 + 0.5t , 0 ≤ t ≤ 2 , β + α = π
su
(1.2.3)
de las dos primeras relaciones de (1.2.3) tenemos,
0.1 ≤ α ≤ 1.1 ,
despejando
queda
(1.2.4)
la tercera ecuación en (1.2.3), sustituyendo en (1.2.4) y simplificando
π − 1 .1 ≤ β ≤ π − 0 .1
Claro que en este proceso,
(1.2.5)
decrece en el intervalo especificado en (1.2.4)
•Ejemplo 1.2.2 Agujas del reloj. ¿A qué hora por primera vez después de la 1:00 la
aguja horaria y la aguja minutera de un reloj formarán un ángulo de 91°?
Resolución. Sea t ≥ 0 los minutos transcurridos después de que las agujas
marcaron la 1:00. Sabiendo que la horaria gira ½ °/minuto, y que la minutera gira
6°/minuto y según los ángulos señalados en la Figura 1.2.11
α
β
δ
Figura 1.2.11. Un dibujo apropiado del problema es fundamental para comprender
el problema y ayuda en su resolución. El lado inicial (de referencia adecuado) de los
ángulos es el segmento formado cuando las agujas marcan las 12:00 en punto.
Tenemos, que el ángulo α generado por la horaria, el ángulo β generado por la
aguja minutero y el ángulo agudo δ formado por ellas, se escriben,
α = 30° + t / 2 , β = 6t y δ = β − α
(1.2.6)
Según requerimiento, al hacer δ = 91° y resolver el sistema (1.2.6) obtenemos
t = 22 . Por lo que a las 1:22 las agujas forman un ángulo de 91°
Capitulo1. Segmento y ángulo
22
Comentario 1.2.3 En esta resolución, t es la variable principal. α , β y δ , son
variables auxiliares que se introducen para construir un sistema de ecuaciones
consistente en el sentido de que se puede eliminar algebraicamente las auxiliares y
determinar el valor de la principal. Este procedimiento, básico y común, ya lo hemos
empleado en la resolución de problemas anteriores y lo seguiremos usando en
sucesivas resoluciones.
Como ya lo mencionamos, la Propiedad 1.2.2 y sus consecuencias tienen
aplicaciones en resolución de muchos problemas que involucran regiones
triangulares que se estudian en precalculo y cálculo. Veamos el siguiente problema.
• Ejemplo 1.2.3 Como una sencilla y directa aplicación de la Propiedad 1.2.2,
mostremos que β = χ en la Figura 1.2.12.
A
β
C
B
χ
E
D
Figura 1.2.12 Las dos regiones triangulares ABC y ADE tienen en común el ángulo
con vértice en A y cada uno tiene un ángulo recto.
Resolución. Si denotamos con α al ángulo con vértice en A (variable auxiliar). De
la consecuencia (iii) de (1.2.6) para las regiones triangulares ABC y ADE, tenemos
respectivamente,
α + β = 90° ; α + χ = 90°
(1.2.7)
Inmediato, en (1.2.7) notamos que β = χ
En algunos problemas aplicados geométricos de precalculo y cálculo se requiere el
estudio de la naturaleza de variación de ángulo cuando se hace variar una longitud
de la cual el ángulo –se hace– depender. El ejemplo 1.2.5 ilustra uno de estos
problemas.
• Ejemplo 1.2.4 El ángulo de mayor medida. En la Figura 1.2.13, una estatua de 2
metros de altura está sobre su pedestal de 3 metros de alto. Una persona de 2 metros
de estatura la observa. Llamemos ángulo de visión al señalado. ¿A qué distancia
1. 1. Segmento 23
aproximadamente debe pararse la persona para que el ángulo de visión sea el mayor
posible? Suponga que sus ojos están a 2 metros sobre suelo.
2m
3m
2m
Figura 1.2.13. Al observar la estatua, el movimiento giratorio del enfoque de visión
de los ojos del observador entre la parte inferior y superior de la estatua forma el
ángulo llamado de visión.
Resolución. Iniciemos entendiendo que se trata de un problema que involucra dos
magnitudes variables en el que una es función de otra (es decir es un problema de
variación). A distancias cercanas a la estatua los ángulos de visión son pequeños y
para distancias alejadas también los ángulos de visión son pequeños, mientras que a
distancias intermedios los ángulos son un poco mayores. Inducimos que el ángulo
de visión es variable y es función de la distancia de la persona a la estatua (que
también variable) y que debe tener un valor máximo. Así que si denotemos con
x > 0 la distancia, con α el ángulo la función α = f (x ); debe tener un valor
máximo en su dominio.
Para percibir el comportamiento descrito, y resolver el problema ejecutemos
la Simulación 1.2 Visión.
Al desplazar el punto P sobre la recta horizontal, desde x = 0 hasta valores
relativamente grandes observamos. Si x = 0 entonces α = f (0) = 0 ; al aumentar x,
α = f ( x ) también crece hasta alcanzar un valor máximo, luego a partir del valor
máximo, si x aumenta, α = f ( x ) decrece y, finalmente, inducimos que cuando
x → ∞ , α = f (x ) → 0 + (y = 0 es asíntota horizontal de la gráfica) De la
simulación, el valor máximo de α es 30° aproximadamente y se alcanza cuando la
persona está a una distancia x entre 1.7 y 1.8 metros de la estatua, aproximadamente
Preguntas: Cuando la persona se aproxima a la estatua, ¿Qué ángulos tienden a
cero y qué ángulo tiende a 180°? Cuando la persona se aleja de la estatua “en el
infinito”, ¿Qué ángulos tienden a ser rectos? Justifique por qué en el infinito el
ángulo de visión tiende a ser cero
Cometario 1.2.4 (1) Visto desde un punto más geométrico, se trata de un ángulo
cuya posición de su vértice –lo hacemos– desplazar sobre una recta a condición de
que sus lados siempre pasen sobre dos puntos fijos (parte inferior y superior de la
estatua). Bajo este proceso de variación la medida del ángulo varía y toma un valor
Capitulo1. Segmento y ángulo
24
máximo. (2) En este proceso de variación, las magnitudes variables son: el ángulo
de visión y la distancia de la persona a la estatua. Mientras la altura del pedestal, la
altura de la estatua y la estatura de la persona permanecen constantes. (3) La
fórmula α = f ( x ) se construye usando trigonometría. La determinación del valor
máximo se determina alternativamente y con mayor precisión utilizando cálculo
diferencial o bien graficando su fórmula con computadora o calculadora. (4)
Finalmente, hemos supuesto que la persona se desplaza sobre una misma recta
horizontal. Si persona se mueve sobre cualquier trayectoria en el suelo, ¿cambia α?,
¿para qué trayectoria se mantiene constante?
Problemas 1.2
1. Dibujos. Dibuje (i) tres ángulos de 45° cuyos lados midan 2 y 1 cm., 5 y 5 cm. y 7 y 12
cm. respectivamente, (ii) dos ángulos rectos opuestos por el vértice. (iii) dos ángulos
suplementarios con lados diferentes, (iv) una región triangular con sus tres ángulos internos
iguales.
2. Conversiones. Un motor gira 3,450 revoluciones por minuto. Determine (i) su velocidad
en radianes por minuto, llamada velocidad angular, (ii) su velocidad en radianes por
segundo, (iii) los segundos que tarda en completar una vuelta o ciclo llamado periodo, (iv)
los ciclos o vueltas que gira en un segundo, llamada frecuencia.
3. Relaciones entre medidas. (i) Un ángulo mide 31° ¿qué valores puede tomar su
adyacente? (ii) Dos ángulos son suplementarios, uno mide el triple del otro ¿Cuánto mide
cada uno? (iii) Dos ángulos son complementarios, uno es π/8 radianes mayor que el otro
¿Cuánto mide cada uno?
4. Calculo de valores. En la Figura 1.2.14 Reconociendo propiedades entre los ángulos
plantee ecuaciones, resuélvalas y calcule los valores de las variables.
2 t +30°
0.5 x +1
0.6 x - 0.2 π
t + 10°
u + 45°
π/5
A
v + 60°
AB // CD
D
C
2 u + 10°
0.5 y
B
x +2 y
1. 1. Segmento 25
Figura 1.2.14 Reconozca ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el
vértice, alternos externos, etc.
5. Ángulos variables en el tiempo. En la Figura 1.2.15, el ángulo α crece a partir de π/12
con una rapidez de 0.35 radianes/minuto, mientras que el ángulo β decrece a partir de 3π/4
con una rapidez de 0.1 radianes/minuto ¿A los cuántos minutos tendrán la misma medida?,
¿Cuál es su medida?
β
α
Figura 1.2.15. Respecto al mismo lado terminal señalado, α crece, mientras que β
decrece.
6. Manecillas coincidentes. (a) ¿A qué hora entre las 2:00 y 3:00 está la manecilla del
minutero exactamente sobre la manecilla horaria? (b) ¿A qué hora entre n:00 y (n+1):00 esta
la manecilla del minutero exactamente sobre la manecilla horaria?
7. Manecillas del reloj. Henry inició un viaje entre 8:00 AM y 9:00 AM, cuando las
manecillas de su reloj estaban exactamente juntas. Él llegó a su destino entre 2:00 PM y
3:00 PM, cuando las manecillas de su reloj estaban exactamente opuestas una de la otra.
¿Cuánto tardó el viaje?
8. Suma de tres ángulos internos (prueba alternativa). En la Figura 1.2.16, explique por
qué la suma de los tres ángulos en el interior de las tres rectas que se intersecan en tres
puntos diferentes es igual a dos rectos, es decir, a uno llano.
Figura 1.2.16. Observe igualdad de ángulos entre dos paralelas y una transversal.
9. Calculo numérico de ángulos internos. En la Figura 1.2.17, determine los valores de
ángulos desconocidos en el interior de las regiones triangulares.
Capitulo1. Segmento y ángulo
26
110°
π/ 2
30°
Figura 1.2.17. Vea las señas que representan igualdad de ángulos.
10. Casos extremos. (i) Alguien le dice que uno de los ángulos de una región triangular
mide 180° ¿En qué se reduce la región triangular?, ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos
ángulos? (ii) Alguien le dice que una región triangular tiene dos ángulos que son “casi”
rectos ¿Cuánto debe medir el tercer ángulo? Explique cómo debe ser la región triangular.
11. Angulo externo. En una región triangular formada por tres rectas, al ángulo
suplementario a un ángulo interno se le llama ángulo externo. Muestre que un ángulo
externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes.
12, Ángulo doble. En la Figura 1.2. 18, muestre que 2α = β y χ + α = 90° .
α
χ
β
α
χ
Figura 1.2.18. Observe tres regiones triangulares. Selecciones las apropiadas y
trabaje con ellas.
13. Suma de dos ángulos agudos = 90°. Aplicando la Propiedad 1.2.2, deduzca su
consecuencia (iii).
14. Igualdad de medida. Usando (1.2.2) determine la medida de los ángulos internos en
una región triangular si los tres tienen la misma medida.
15. Igualdad de ángulos del tercer par. Usando (1.2.2) muestre que si dos regiones
triangulares tienen dos pares de ángulos, de tal manera que cada par tiene igual medida,
entonces, la tercera pareja de ángulos deben tener la misma medida.
16. Visualizando ángulos. En la Figura 1.2.19, determine la medida de todos los ángulos
internos en las dos regiones triangulares, y diga que parejas de ángulos son iguales.
35°
Figura 1.2.19 Vea qué segmentos son paralelos y use igualdades de ángulos entre
paralelas y transversal.
17. Construcción de región triangular 1. En la Figura 1.2.20, trace un segmento que pase
por D a fin de que la región triangular resultante y la región triangular ABC tengan parejas
de ángulos con igual medida y un ángulo en común.
1. 1. Segmento 27
B
A
D
C
Figura 1.2.20 Trate de usar la teoría sobre paralelas y una transversal.
18. Construcción de región triangular 2. En la Figura 1.2.21, (i) trace un segmento que
pase por A y corte DE a fin de que la región triangular resultante y la región triangular ABC
tengan pares de ángulos iguales. (ii) trace un segmento que pase por B y corte DF a fin de
que la región triangular resultante y la región triangular ABC tengan pareja de ángulos con
igual medida. Explique su razonamiento y procedimiento.
B
C
D
F
A
E
Figura 1.2.21.Trate de usar la teoría sobre paralelas y una transversal.
19. Construcción de región triangular 3. En la Figura 1.2.22, trace un segmento que pase
por C a fin de que resulten tres regiones triangulares con parejas de ángulos de igual medida.
Explique su razonamiento y procedimiento.
C
A
B
Figura 1.2.22.
1.2.22 Use el hecho de que ABC tiene un ángulo recto.
20. Construcción de regiones triangulares.
triangulares En la Figura 1.2.33, sobre AB ubique la
posición de un punto P de tal manera que las regiones triangulares APD y PBC tengan
tres parejas de ángulos, cada par con igual medida. Sugerencia. Trate de usar una
reflexión simétrica.
D
C
3
2
A
B
Capitulo1. Segmento y ángulo
28
Figura 1.2.23. La posición de P que cumpla con lo pedido, resuelve el problema de
determinar la posición de P sobre AB de tal manera que la distancia DP + PC se la
menor de todas. ¿Puede verlo?
21. Ángulos en doblez. Se dobla una tira rectangular de papel según se muestra en la Figura
1.2.24. Exprese los ángulos β, χ, δ y ε en términos de α.
δε
β
χ
α
A
B
C
Figura 1.2.24. Puede ensayar dicho doblez, doblando y desdoblando una hoja de
papel en concreto y vea qué ángulos son iguales.
22. Ángulo entre el poste y su cable tensor. Sobre una ladera en línea recta un poste
vertical es tensado con un cable como se muestra en la Figura 1.2.25. Exprese δ en términos
de α y β. Sugerencia. Trace paralelas horizontales, vea igualdades de ángulos entre paralelas
y transversal y use la propiedad 1.2.2 para la región triangular cable-poste-ladera.
Poste
Cable tensor
β
A
Ladera
α
δ
B
AB es paralela al
suelo horizontal
Figura 1.2.25. La ladera tiene un ángulo de inclinación
respecto al suelo
horizontal, el cable tensor tiene un ángulo de inclinación respecto a la horizontal.
23. El tercer ángulo. Una región triangular se transforma al transcurrir el tiempo, (i) un
ángulo interno crece a partir de 30° con una rapidez de 1°/segundo, otro ángulo decrece a
partir de 60° con una rapidez 1°/segundo. ¿Cuál es el valor de tercer ángulo?, (ii) un ángulo
interno decrece a partir de π/2 con una rapidez de π/12 radianes/minuto, otro ángulo se
mantiene constante igual a π/4, exprese el tercer ángulo en función del tiempo y determine
su domino, ¿a los cuántos minutos la región se transforma en un segmento?
24. Ángulos de elevación9. En la Figura 1.2.26, sobre un plano vertical que contiene a los
puntos O, A y B, el observador O sigue el desplazamiento horizontal de los aviones A y B. Si
los ángulos de elevación α y β crecen a partir de 20° y 30° con una rapidez constante de 9°
por segundo y 7° por segundo respectivamente. (i) Exprese los ángulos χ y δ en función del
tiempo., (ii) ¿a los cuántos segundos B alcanza a A, y cuál la medida de cada uno de los
ángulos?
9
Un observador puntual situado en una recta horizontal observa a objeto puntual arriba de la recta horizontal, en
trigonometría, al ángulo –agudo– formado por la recta horizontal y la semirrecta con su extremo en el observador y
que pasa por el objeto en un mismo plano se le llama ángulo de elevación
1. 1. Segmento 29
A
γ
χ
B
β
α
O
Figura 1.2.26. α y β crecen en tiempo. Puesto que α crece más rápido que β, hay un
momento en el que α = β.
25. Ángulos de depresión10. En la Figura 1.2.27, desde la parte superior del edificio de
mayor altura se medien los ángulos de depresión α y β de la parte superior e inferior de
edificio de menor altura. Exprese los otros ángulos en términos de los ángulos de depresión.
α
β
δ
χ
ε
Figura 1.2.27. α y β se llaman ángulos de depresión.
26. Péndulo. En el estudio del movimiento de un péndulo, Figura 1.2.28, se usan los
ángulos α y β formados entre los vectores de fuerza radial y angular y sus componentes
indicadas α y β son función de θ. Exprese dichos ángulos en términos de ángulo θ llamado
polar.
θ
α
β
Figura 1.2.28 Ángulos entre vectores radial y angular y sus componentes.
27. Plano inclinado. Al estudiar el deslizamiento de una masa sobre un plano inclinado
como de la Figura 1.2.29 se necesita establecer relaciones entre los ángulos que forman los
vectores de fuerza indicados. Exprese α y β en términos de θ.
10
Un observador puntual situado en una recta horizontal observa a objeto puntual abajo de la recta horizontal, en
trigonometría, al ángulo –agudo– formado por la recta horizontal y la semirrecta con su extremo en el observador y
que pasa por el objeto en un mismo plano se le llama ángulo de depresión
Capitulo1. Segmento y ángulo
30
masa que resbala, m
β
θ
mg
α
Figura 1.2.29. Ángulos entre vectores y componentes de fuerza
28. Variación de ángulos En la Figura 1.2.30, si las perpendicularidades se mantienen, (i)
Determine el intervalo de variación de β y χ, si α se hace variar en 0.1, 1.25 radianes. (ii)
En la Figura 1.2.26, si α crece a partir de 10.1° con una rapidez de 0.1°/segundo durante 25
segundos. Exprese δ en términos del tiempo y determine su intervalo de variación
[
]
δ
Lado móvil de α
β
χ
α
Lado fijo de α
Figura 1.2.
1.2.30.
30 Cuando α varía, β, χ y δ también varían.
29. Variación del ángulo. En la Figura 1.2.31, los móviles A y B parten simultáneamente
del punto S y se desplazan a velocidad constante sobre la semirrecta L. La velocidad de A es
3 veces mayor que la velocidad de B. Al desplazarse A y B desde S hacia el “infinito”. (i)
Describa los intervalos de variación de α y β, (ii) Trace cualitativamente la gráfica
δ = f (x ) , describa su comportamiento y razone del por qué de dicho comportamiento.
Verifique sus razonamientos y respuestas realizando la Simulación 1.2.3. Móviles.
β
5
α
δ
A
B
Semirecta L
S
x
Figura 1.2.31. Según datos del problema, al desplazarse A y B sobre L, el ángulos α
es función de la distancia x recorrida por A.
30. Fórmula para la suma de ángulos internos (generalización). En el ejemplo 1.2.3
mostramos que la suma de los tres ángulos internos formados por tres rectas concurrentes es
de 180° = 1(180°). Ahora, (i) Como en la Figura 1.2.32a considere cuatro rectas
concurrentes que se intersecan dos a dos en cuatro puntos diferentes, trazando un recta que
pase por dos puntos de intersección y usando el resultado del Problema 1.2.3 muestre que la
suma de los cuatro ángulos en el interior de las cuatro rectas es de 2(180°). (ii) Como en la
Figura 1.2.32b, considere cinco rectas concurrentes que se intersecan dos a dos en cinco
1. 1. Segmento 31
puntos diferentes, trazando dos rectas que pasen por A y otros dos puntos de intersección
diferentes, y usando el resultado del problema 1.2.3, muestre que la suma de los cinco
ángulos en el interior de las cinco rectas es 3(180°). (iii) Usando los resultados anteriores,
induzca la fórmula para la suma de n ángulos en el interior de n rectas concurrentes que se
intersecan en n puntos diferentes. Observe que la región debe quedar limitada por cada una
de las rectas concurrentes. Compruebe su fórmula para casos particulares.
(a)
(b)
Figura 1.2.32 (a) ángulos internos en la región limitada por cuatro rectas
concurrentes, (b) ángulos internos en la región limitada por cinco rectas
concurrentes.