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Modulo II – Matemática Básica I
Números Naturales
Cuando comenzamos a contar los objetos, los años, etc, nos hemos encontrado con los números de forma
natural; por eso a este conjunto de números así aprendidos se les denomina números naturales. Se representan
con la letra N, y son N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al
operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a N.
Suma
Sumar dos números naturales es añadirle al primero tantas unidades como indica el segundo.
Los elementos de la suma se llaman sumandos
El resultado se llama suma total.
Propiedades
Conmutativa : si cambiamos el orden de los sumandos la
suma no varia:
4 + 3+ 2 = 9
2 +4 + 3 = 9
Asociativa : si efectuamos sumas parciales la suma no
varía:
(2 + 1) + (3 + 5) = 11
Cero elemento neutro:
12 + 0 = 12
Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número
8+1=9
Uniforme : a una igualdad le sumamos un mismo número
se obtiene otra igualdad.
3 + 2 es igual a 4 + 1
3 + 2 + 5 = 10
4 + 1 + 5 = 10
Indica qué propiedad o propiedades se ha aplicado en cada una de las siguientes igualdades:
•
•
•
•
•
2+5+7=5+7+2
6 + (14 + 20) = (6 +1 4) + 20
17 + 5 + 9 = 17 + 9 + 5
(64 + 8) +1 9 = (19 + 64) + 8
24 + 0 = 0 + 24
Sumas algebraicas : sucesión de sumas y restas de números naturales.
a) Aplico propiedad asociativa : Se agrupa los números positivos y se resta la suma de los números negativos.
Ejemplo:
1.
80 - 2 + 35 - 3 -15 = ( 80 + 35 ) - ( 2+ 3 + 15 ) = 115 - 20 = 95
2.
25 - 18 + 5 – 13 + 16 – 8 = ( 25 + 5 + 16 ) – (18 +13 + 8 ) = 46 – 39 = 7
Resta
Restar es disminuir al primer número tantas unidades como indica el segundo.
Los elementos de la resta se llaman minuendo y sustraendo.
El resultado se llama Diferencia.
Propiedades
No es conmutativa: si cambiamos el orden del minuendo y 5 - 2 = 3
el sustraendo,la resta varia
2-5=-3
No es asociativa
Roger Cueva M.
Cero elemento neutro:
8-0=8
Sucesión fundamental: se obtiene el número anterior
anterior
8-1=7
Uniforme: si a una igualdad le restamos un mismo
número se obtiene otra igualdad
8-3= 9-4
8 -3 - 4 = 1
9-4-4=1
1
Modulo II – Matemática Básica I
Ejemplos de operaciones combinadas de adición y sustracción
1.
2.
3.
4.
5.
12 + 8 – 5 = 20 – 5 = 15
12 – ( 8 – 5 ) = 4 + 5 = 9
12 – ( 8 – 5 ) 12 – 3 = 9
36 – 15 – 10 = 21 – 10 = 11
36 – (15 10 ) = 36 – 5 = 31
Multiplicación
Consiste en sumar el primer número tantas veces como indique el segundo.
Los elementos del producto se llaman factores.
El resultado se llama producto.
Ejemplo: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
5 x 4 = 20
Propiedades de la Multiplicación
Conmutativa : El orden de los factores no altera el
producto.
2x3=6
3x2=6
Asociativa : sí sustituímos dos o más factores por su
producto, el producto final no varía.
( 2 x 3 ) x 4 = 24
2 x ( 4 x 3 ) = 24
Propiedad distributiva : Para multiplicar una suma
algebraica por un número natural se multiplica cada
sumando por dicho número natural y luego se suman los
productos parciales.
(3 + 4 - 3 ) . ( 3 + 4 ) =
( 3.3 )+ (3.4) +( 4.3) +(4.4)+( -3.3)+( -3.4) =
9 + 12 + 12 + 16 – 9 - 12 = 28
Ejemplos
1.
Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 x (3 + 5) =
7 x (4 – 3) =
( 6 + 8 ) x (5 + 7 ) =
(12 + 3 ) x 9 =
6 x (9 – 3) =
(7 – 4) x 2 =
División
Dividir dos números naturales llamados dividendo (D) y divisor (d) es obtener dos número naturales llamados
cociente (c) y resto ( r):
D = d · c + r, donde D ≥ d y r < d .
Ejemplo:
13 : 4 da de cociente 3 y de resto 1, es decir: 13 = 4 · 3 + 1.
Propiedades
Roger Cueva M.
No es conmutativa
6:2=3
2 : 6 = 0,333
No es asociativa
( 8 : 4) : 2 = 1
8: ( 4 : 2 ) = 4
Propiedad distributiva: para dividir una suma
algebraica por un número natural
se divide cada sumando por dicho número natural y
luego se suman los cocientes parciales
( 4 + 8) : 2 =
(4 : 2) +( 8 : 2)
2+4=6
No se puede:
2:(4+8)=
(2 : 4) +( 2 : 8)
0,5 + 0,25 = 0,75
2
Modulo II – Matemática Básica I
Prioridad de las operaciones con números
Si hay paréntesis, se resuelven siempre en primer lugar.
Primero se efectúan las divisiones y las multiplicaciones y, por último, las sumas o restas según el
orden en que aparezcan de izquierda a derecha.
Ejercicios:
1. 12 : 4 = 3
2. (5 x 6 ) : 10 = 3
3. (5 + 25 : 5 ) – 2 = 4
4. (18 : 3 + 8 ) : 2 – 15 : 5 = 4
problema:
1. Ana María es una jovencita que es un poco caprichosa para decir su edad; lo dice de la siguiente manera: si su edad se
divide entre 2, 3, 5 ó 6, siempre se obtiene un residuo de 1. ¿Qué edad tiene Ana María?.
Radicación
No es conmutativa
2
√3 ≠ 3√2
No es asociativa
2
√10+10 ≠ 2√10 + 2√10
Distributiva con respecto a la
multiplicación y la división
√4.9
= √4 .√9
Potenciación: Una potencia es un producto de varios factores iguales (el factor que se repite se llama base). El exponente de una
potencia es el números de veces que se repite la base.
No es conmutativa
72 ≠ 27
No es distributiva con respecto a la suma y la resta
( 2 + 3 + 1)2 ≠ 22 + 32 + 12
( 7 - 2 )3 ≠ 7 3 - 3 3
Distributiva con respecto a la multiplicación y la
división
( 2 . 4 )2 = 2 2 . 4 2
(10 : 5 )2 = 102 : 52
Cuadrados y cubos
Número
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cuadrado
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
Cubo
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
Producto de potencias de igual base
Es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas
23 . 2 5 = 2( 3 + 5) = 28
Cociente de potencias de igual base
38 : 33 = 3( 8 - 3 ) = 35
Potencia de otra potencia
[( 2 )3] 4 = 2 ( 3 . 4 ) = 212
Cuadrado de la suma de dos números naturales
Roger Cueva M.
3
Modulo II – Matemática Básica I
( a + b )2
(a+b).(a+b)
Aplicando propiedad distributiva
a2 + ab + ab + b2
a2 + 2ab + b2
Trinomio cuadrado perfecto
Producto de la suma por la diferencia de dos números
(a+b).(a-b)
Aplicando propiedad distributiva
a2 - ab + ab - b2 =
a2 - b2
Diferencia de cuadrados
Roger Cueva M.
4
Modulo II – Matemática Básica I
Ejercicios con números naturales
1) 45 + 15 - 31 - 1 + 8 =
2) 81 - 9 + 48 - 31 + 5 - 3 =
3) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 =
4) 348 + 25 - 22 - 15 + 9 - 3 =
En las siguientes igualdades pasar de un miembro al otro, todos los términos subrayados
a) 10 - 4 + a = x + 1
b) a + x - 2 + 5 - 2 = b - 3 + 4
c) 7 - 4 - 2 + 5 - 2 = b - a + 6
d) m + n - 8 - 1 + x = z - 9 - 7
e) 12 + a + 5 = 15 - 1 + x + 2 + b
Efectuar todas las reducciones posibles en las siguientes igualdades
a) x + a - 3 +5 = z - 3
b) 15 + 8 - z + 4 - 8 = 12 - 2 + 13
c) 8 - 4 + z - 8 = k - 1
d) 6 + y - x + 1 = y - 5 + a + 5
e) m + 3 - 5 = 3 - a
f) a - 5 + 3 - b - a + 3 + 5 = b - 3 + x
g) x + 2 +5 - x = 10 - a + 1 + a
h) 9 + 4 - x - z + 8 = 4 + x + 7 - z - 7 + 2
Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones.
1) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6 - 4 ) - 5 ] }
Respuesta : 14
2) ( 4 + 8 - 3 + 9 ) - 4 - ( 4 + 7 - 3 - 2 ) + ( 12 + 5 - 2 )
Respuesta : 23
3 ) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8
Respuesta : 46
4) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} - 3
Respuesta : 10
5) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4
Respuesta : 37
6) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] + 3 - ( 2 + y + 3 )
Respuesta : 4
7) ( 15 - 3 ) - { 2 - [ 5 - ( 8 - 7 + 1 ) + 6 - 2 ] + 4 }
Respuesta : 13
Propiedad distributiva
Ejemplo:
( 2 + 5 +3 ) . 2 = 2.2 + 2.5 + 2.3 = 4 + 10 + 6 = 20
Factor común
( 4 + 10 + 6 ) = Todos los términos son divisibles por 2
4:2 + 10:2 + 6:2 = 2.( 2 + 5 + 3 )
Aplicar propiedad distributiva
a) ( 3 + 5 + 2+ 1 + 4 ).6 =
b) ( 9a + 4b +3m + 2 ).5 =
c) ( 9 - 4 ). 5a =
d) ( 5 + 8 - 3 - 9 ).2 =
e) 4x.( 5b - 2m + y - 4 ) =
f) ( 15x - 10 ).2 =
Sacar factor común
a) ( 30 + 25 - 15 - 10 + 45)
b) 9 - 6 + 18 - 3 + 12 - 21
c) 24 + 36 - 6 + 12 - 42
d) 16 + 20 - 64 + 4 - 40
e) ax + bxy - zx + x - nx
f) 9x + 6ax - 3x - 30xy + 15xz
Resolver aplicando propiedad distributiva
a) ( 81 - 9 + 27 ) : 9
b) ( 21 + 63 + 28 ) :7
c) ( 55 - 44 ) : 11
d) (18x - 6y - 30z + 12a - 6 ): 6
e) ( 10n + 15mn +5an + 25nx + 50n):5n
f) ( 80ax- 60ay ) : 10a
Roger Cueva M.
5
Modulo II – Matemática Básica I
Resolver las siguientes potencias
Aplicar propiedades de la potenciación
a) (5 . 10 . 4 )2 =
b) ( 36 : 12 )2 =
c) ( 1 . 4 . 2 ) 3
d) ( 6 : 2 )4
Calcular
a) a2 . a5 . a6 . a =
b) 32 . 3 . 37 . 30 =
c) ( b5 : b ) . ( b3 : b2 ) . ( b9 : b7 ) =
2
2
2 3
5
d) 16 : 4 =
e) ( a ) : a =
f) ( 3x2 )2 . x3 =
g) ( p3 : p )2 : [ ( p3 )2 ] 0 =
3 2 4 2
2
2
2
i) ( 3a + 5 ) =
j) ( 2a x + 3a ) =
k) ( 3x - 7 )2 =
h) ( 5 a b c ) =
3
2
l) ( 4a - 3a ) =
Aplicar propiedades de la radicación
1)√(23 + 1) =
2) √10 . √10 =
3) 3√9 . 3√3 = 4) 5√( 6. 5 + 2 ) =
Roger Cueva M.
6