Download Análisis Matemático Nombre de asignatura

Titulación: Licenciado en Ciencias Matemáticas
Departamento: Análisis Matemático
Nombre de asignatura:
Código:
Tipo:
Análisis Funcional
Optativa
Nivel
Curso
Semestre
Créditos ECTS:
2º ciclo
Segundo
Horas semanales: 5
Teoría: 3
Prácticas: 2
Nombre del profesor que imparte la asignatura: Fernando Bombal Gordón
Objetivos: Presentar un curso de Análisis Funcional centrado en la estructura de espacio vectorial topológico. Se incluyen numerosos ejemplos para mostrar la potencia y efectividad de los
resultados teóricos fundamentales. Como aplicación, se presentará una introducción a la teoría
de distribuciones.
Competencias o destrezas que se van a adquirir: Estudio sistemático de la estructura
de espacio vectorial topológico (especialmente, la de espacio localmente convexo), presentando en este ámbito los resultados básicos del Análisis Funcional. La interrelación
que supone entre métodos algebraicos, topológicos y analíticos puede resultar especialmente formativa a estas alturas de la Licenciatura.
Prerrequisitos para cursar la asignatura: Análisis de varias variables reales. Un curso de
Topología general. Un curso básico de funciones de variable compleja y otro de espacios normados (del tipo de Variable Compleja y Análisis Funcional ).
Contenido:
I Espacios Vectoriales Topológicos
• Espacios vectoriales topológicos (E.V.T.). Ejemplos. Teorema de Stone-Weierstrass. La
categoría de los E.V.T. Topologías seminormadas. Conjuntos acotados. Completitud.
• Topologías vectoriales en espacios de aplicaciones lineales. Dual topológico. Topologías
débiles. Teorema de Alaoglu-Bourbaki. Transpuesta topológica.
• E.V.T. de dimensión finita. Teoremas de Kolmogorov y Riesz.
• Convexidad. Funcional de Minkowski. Espacios localmente convexos. Metrizabilidad y
Normabilidad. Teoremas del punto fijo: Teorema de Markov-Kakutani; Teorema de Scha uder-Tychonof
II Los principios fundamentales del Análisis Funcional.
• Teorema de Hahn-Banach: forma analítica. El problema de la medida. Forma geométrica.
Ejemplos y aplicaciones. Separación de convexos. Aplicaciones.
• La topología débil en espacios normados. Teorema de Goldstine. Espacios de Banach reflexivos. Caracterización. El teorema de Eberlein-Smulian en el caso separable.
• Conjuntos convexos compactos. Puntos extremales. Teorema de Krein-Milman. Aplicaciones: Teorema de Banach-Stone.
• Aplicaciones de la Teoría de Categoría: Teoremas de la Aplicación Abierta y de la Gráfica
cerrada en F-espacios. Aplicaciones.
• Equicontinuidad. Teorema de Ascoli. Teorema de Banach-Steinhaus. Espacios tonelados.
Aplicaciones.
• Una introducción a la Teoría de Distribuciones. El espacio S. Transformada de Fourier en
S. Distribuciones temperadas.
(*)Opcional: III Teoría de Dualidad.
Bibliografía básica recomendada: (por orden alfabético)
ALIPRANTIS, K. BORDER. Infinite dimensional Analysis: a hitchiker's guide. Springer Verlag, Berlin, 1994. (útil especialmente para consulta, por a cantidad de información que contiene)
HORVATH. Topological vector Spaces and Distributions. Addison Wesley, 1966.
W. RUDIN. Análisis Funcional. Reverté, 1979.l
H. H. SCHAEFER. Espacios Vectoriales Topológicos. Ed. Teide.
Método docente:
Tipo de evaluación: (exámenes/trabajos/evaluación continua):
-Participacioón activa en clases prácticas.
-Realización de trabajos dirigidos.
-Examen final.
Idioma en que se imparte: Español
Más información: : Puede consultarse la página web del Profesor de la Asignatura,
Fernando Bombal. Su enlace puede encontrarse en la página del Departamento de
Análisis Matemático de la U.C.M., en cualquiera de las direcciones:
\\matnfs.mat.ucm.es\bombal\public_html\index.html.html
o
www.mat.ucm.es/deptos/am