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Álgebra I
Datos de la asignatura
Titulación:
Licenciatura en Matemáticas Segundo ciclo / Tercer curso / Primer semestre
Doble Titulación Matemáticas-Informática Segundo ciclo / Cuarto curso / 1er semestre
Créditos ECTS:
8 (200 horas de trabajo del estudiante).
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Objetivos:
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Palabras clave:
Requisitos:
Necesaria para:
Comprender el concepto abstracto de grupo y la isomorfía entre dos
grupos.
Conocer abundantes ejemplos de grupos (y sus subgrupos) formados
por distintos objetos: por clases de congruencias, matrices, números
complejos, funciones y transformaciones geométricas.
Ser capaz de calcular el orden de un elemento en un grupo finito y de
determinar el retículo de los subgrupos de un grupo dado de orden
pequeño.
Familiarizarse con las nociones de grupo conmutativo (abeliano), grupo
cíclico, grupo normal, generadores, centro y sus propiedades.
Saber operar con las clases y los grupos cocientes.
Aprender a aplicar los teoremas de isomorfía en distintos contextos.
Asimilar las propiedades fundamentales de grupos de permutaciones y
ser capaz de realizar las operaciones básicas con permutaciones y
descomponerlas en ciclos disjuntos.
Entender el concepto y algunos ejemplos importantes de acción de un
grupo sobre un conjunto.
Comprender los conceptos de productos directo y semidirecto de dos
grupos y sus propiedades.
Asimilar los teoremas de Sylow y ser capaz de aplicarlos para hallar los
subgrupos de cierto orden en un grupo dado.
Comprender la noción de grupo resoluble y saber hallar una serie
normal de un grupo resoluble.
Ser capaz de identificar todos los grupos abelianos de un orden dado y
todos los grupos de orden pequeño.
Grupo, grupo abeliano, grupo cíclico, generador, producto directo de grupos,
subgrupo normal, retículo de los subgrupos, clases de conjugación, centro,
grupo cociente, homomorfismo, isomorfismo, permutaciones, grupos alternados,
acción de un grupo, teoremas de Sylow, grupo simple, grupo resoluble.
Primer Ciclo de Matemáticas, especialmente Conjuntos y Números y Álgebra
Lineal.
Álgebra II y para poder realizar los cursos de Máster.
Curso 2007-2008
Profesores:
Horarios:
Página web:
Ernesto Girondo, Grupo 36, tarde.
Dragan Vukotic (coordinador), Grupos 31 y 40 (Doble Titulación),
mañana.
• Grupos 31 y 40: de Lunes a Jueves, de 10:30 a 11:30. Aula C-I-505.
• Grupo 36: de Lunes a Jueves, de 17:30 a 18:30. Aula C-VI-407.
http://www.uam.es/dragan.vukotic/licenc/asign.html
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Horario de tutorías: Para solicitar una tutoría, contáctese directamente con los profesores de la
asignatura
Fecha del examen:
Convocatoria ordinaria: 8-2-2008 (por la tarde).
Convocatoria extraordinaria: 5-9-2008 (por la tarde).
Además del examen final, realizaremos un examen parcial, en fecha a
determinar.
Calificación de la
asignatura:
Programa de la
asignatura:
La calificación final de la asignatura se calculará como el máximo de A y B:
• A = 30% de la nota de la nota del parcial más 70% de la nota del
examen final.
• B = 100% de la nota del examen final.
1. Grupos: propiedades básicas. Operaciones binarias. Grupos.
Ejemplos de grupos. Orden. Generadores. Homomorfismo de grupos.
2. Subgrupos. Índice de un subgrupo. Teorema de Lagrange. Retículo de
los subgrupos de un grupo.
3. Grupos cíclicos. El Pequeño Teorema de Fermat y el Teorema de
Euler. Clasificación de los grupos cíclicos.
4. Subrupos normales. Conjugación. Ecuación de las clases. Centro. Los
p-grupos finitos. Subgrupos normales.
5. Isomorfía. Grupo cociente. Teoremas de isomorfía y de
correspondencia.
6. Grupos simétricos. Las permutaciones de un conjunto finito. Ciclos,
trasposiciones, órbita. Factorización cíclica. Grupos alternados.
Teorema de Abel.
7. Acción de grupos. Acción de un grupo sobre un conjunto.
Centralizador y normalizador. Teorema de Cayley.
8. Productos directo y semidirecto. Producto directo de dos grupos.
Producto semidirecto y construcción de algunos grupos no abelianos.
9. Teoremas de Sylow. El teorema de Cauchy. Los tres teoremas de
Sylow. Grupos de orden pq con p y q primos.
10. Grupos resolubles. Grupos simples. Grupos resolubles. Serie normal.
11. Estructura de grupos. Teorema de estructura de los grupos abelianos
finitos. Grupos de orden <16.
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Bibliografía:
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Material adicional:
J. Dorronsoro, E. Hernández: Números, grupos y anillos. AddisonWesley Iberoamericana - UAM, 2006.
G. Navarro Ortega: Un curso de Álgebra. Publicaciones de la Universitat
de Valencia, 2002.
Fraleigh, J.B., Álgebra abstracta, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana,
1987.
J. Milne. Group Theory (2007).
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594g.html
Anzola, M., Caruncho, J. Pérez-Canales, G., Problemas de álgebra.
Alef, 1981.
Dixon, J. D., Problems in Group Theory, Dover Publications, 1973.
[Irán apareciendo en la página web de la asignatura.]
• Entre 5 y 10 hojas de ejercicios, organizados por temas, que se
entregarán a lo largo del curso.
• Colección de 30 problemas resueltos, elaborada en 2006/07 por Y.
Fuertes y D. Vukotic.
Metodología
docente:
Clases presenciales en aula, combinando la presentación de los aspectos
teóricos con la resolución de problemas. Tutorías.
Idioma en que se
imparte:
Español.