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UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA
FACULTAD DE CIENCIAS
Licenciatura en Matemática
ÁLGEBRA II (MA015)
(Plan 1992)
DICTADA EN EL SEXTO SEMESTRE.
Carga horaria: Total: 6 hs. semanales (90 hs. semestrales)
Teórico: 4 hs. semanales (60 hs. semestrales)
Práctico: 2 hs. semanales. (30 hs. semestrales.
Programa de la asignatura:
1) Grupos:
- Definiciones y ejemplos (Z, Zn, Sn, simetrías de figuras geométricas, grupos de
matrices)
- Subgrupos, homomorfismos, subgrupos normales, cocientes, teoremas de
isomorfismo.
- Grupos finitos, orden de un elemento, teoremas de Cauchy y de Lagrange.
- Estudio de Sn e.g. descomposición en ciclos de una permutación, signo de una
permutación, clases de conjugación, grupo alternado.
- Acciones de grupos en conjuntos, ejemplos e.g. clases de conjugación de matrices,
órbitas de acciones lineales y no lineales estudio elemental de las funciones
simétricas.
- Ecuación de las clases, aplicación a problemas de combinatoria, aplicación al
estudio de los subgrupos de un grupo dado (teoremas de Sylow).
- Producto semidirecto.
2) Extensiones de Cuerpos:
- Extensiones, grado –o dimensión- de una extensión, elementos algebraicos y
trascendentes.
- Extensiones finitamente generadas.
- Extensiones simples.
- Ejemplos de extensiones algebraicas y trascendentes, cuerpos de números
algebraicos, ejemplos de origen geométrico e.g. construcción de polígonos
regulares, ciclotomía.
- Raíces de polinomios, extensión de homomorfismos y clausura algebraica.
- Separabilidad.
- Normalidad.
- Extensiones de Galois, grupos de Galois.
- Correspondencia de Galois.
3) Tema optativo:
El curso tendrá una tercera parte en la que se tratarán temas adicionales seleccionados por
el profesor del curso a sugerencia del grupo de Álgebra o de otros grupos de trabajo.
Damos a continuaci´n algunos ejemplos, con un breve resumen de un programa posible.
1- Álgebra Conmutativa: Extensiones de anillos conmutativos. Extensiones
enteras. Anillos noetherianos y artinianos.
2- Extensiones trascendentes: Grado de trascendencia. Descomposición de una
extensión en una parte trascendente y otra algebraica. Relación con la
geometría.
3- Teoría de Galois: Extensiones resolubles por radicales y extensiones
radicales. Teorema de Abel-Galois.
4- Grupos libres: Grupo libre sobre un alfabeto, todo grupo es un cociente de
un grupo libre, propiedad universal, grupos dados por generadores y
relaciones, ejemplos (el grupo diedral Dn).
5- Representaciones de grupos: Álgebras de grupo, representaciones,
irreducibilidad, descomponibilidad, simisimplicidad. Teorema de Maschke.
6- Álgebra homológica: Sucesiones exactas, complejos, homología, sucesión
exacta larga de homología. Módulos inyectivos y proyectivos.
7- Teoría de números: Anillos de Dedekind, factorización de ideales. Anillos
de enteros, inercia, ramificación. Cuerpos cuadráticos y cilotómicos.
BIBLIOGRAFÍA
- “Basic Algebra I” – N. Jacobson, W. H. Freeman.
- “Algebra” – S. Lang, Addison Wesley.
- “Algebra” – T. W. Hungerford, Springer-Verlag