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Álgebra II
- ii -
Indice
Capítulo 1 Grupo
1
Definición de operación binaria, neutro, asociativa...................................
Semigrupo, monoide..................................................................................
Submonoide, elemento invertible...............................................................
Grupo, grupo abeliano................................................................................
Ejemplos...............................................................................
Orden del grupo..........................................................................................
Ejemplos de grupos abelianos..............................................
Propiedades de grupo.................................................................................
Subgrupo.....................................................................................................
Subgrupos triviales, propios........................................................
Subgrupo cíclico generado por “a”.............................................................
Conjunto generador, grupo finitamente generado.......................
Orden de un elemento.................................................................................
Morfismos de grupos..................................................................................
Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo.............
Producto directo de grupos.........................................................................
Grupo cíclico..............................................................................................
Teorema de clasificación............................................................................
Coclases......................................................................................................
Conjunto cociente.......................................................................................
Conjunto de representantes.........................................................................
Teorema de Lagrange.................................................................................
Normalidad.................................................................................................
Subgrupo normal........................................................................................
Propiedad universal del cociente................................................................
Primer teorema de isomorfimo...................................................................
Segundo teorema de isomorfismo..............................................................
- iii -
1
2
3
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5
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8
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14
16
18
20
21
25
27
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30
34
35
39
40
42
Tercer teorema de isomorfismo.................................................................. 43
Capítulo 2 Grupos simétricos
Grupo simétrico, permutaciones.................................................................
Teorema de Cayley.....................................................................................
r-ciclo..........................................................................................................
Trasposición...............................................................................................
Permutaciones disjuntas.............................................................................
Permutación par, impar..............................................................................
Grupo alternado..........................................................................................
Grupo simple..............................................................................................
Elementos conjugados................................................................................
Clase de conjugación de un elemento........................................................
Grupos Libres...........................................................................................
Grupo libre de base X.................................................................................
Palabra reducida.........................................................................................
Grupo libre.................................................................................................
Generadores y relaciones........................................................................
Subgrupo normal generado por S...............................................................
Grupo definido por los generadores...........................................................
Representación de un grupo.......................................................................
Finitamente generado.................................................................................
Grupo abeliano libre...................................................................................
Subgrupo de torsión....................................................................................
Grupo de torsión.........................................................................................
Factores invariantes y divisores elementales.....................................
47
48
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49
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58
60
60
61
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66
66
66
66
70
70
70
70
71
Capítulo 3 Acciones
Acción de un grupo en un conjunto............................................................
G actúa en X......................................................................................
G-conjunto.........................................................................................
Acción trivial..............................................................................................
- iv -
73
73
73
75
Acción fiel..................................................................................................
G-estable.............................................................................................
G-función............................................................................................
Acción transitiva.........................................................................................
Orbitas........................................................................................................
Estabilizador...............................................................................................
Punto fijo............................................................................................
Acción por conjugación............................................................................
Normalizador..............................................................................................
Ecuación de las clases.........................................................................
Acción por traslación...............................................................................
Criterio par obtener subgrupos normales............................................
Ejemplo...............................................................................................
Producto semidirecto...............................................................................
Neutro, inverso....................................................................................
Subgrupos de Sylow.................................................................................
p-grupo................................................................................................
p-subgrupo...........................................................................................
p-subgrupo de Sylow..................................................................................
Primer teorema de Sylow...........................................................................
Teorema de Cauchy....................................................................................
Segundo teorema de Sylow........................................................................
Aplicaciones...............................................................................................
76
76
76
76
78
78
80
80
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85
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91
91
91
93
95
95
98
Capítulo 4 Cuerpos
Cuerpo........................................................................................................
Subcuerpo...................................................................................................
Morfismo de cuerpos..................................................................................
Extensión de cuerpos..................................................................................
Extensión finita...........................................................................................
Grado de la extensión.................................................................................
Cuerpo compuesto......................................................................................
Cuerpo intermedio......................................................................................
Subcuerpo generado...................................................................................
-v-
103
103
104
104
104
104
105
105
105
Cuerpo primo..............................................................................................
Característica de un cuerpo........................................................................
Extensión finitamente generada.................................................................
Extensión simple........................................................................................
Elemento trascendente................................................................................
Elemento algebraico...................................................................................
Polinomio irreducible................................................................................
Extensión algebraica...................................................................................
Extensión trascendente...............................................................................
Buena clase.................................................................................................
Un polinomio se escinde............................................................................
Cuerpo de descomposición.........................................................................
Cuerpo algebraicamente cerrado................................................................
Clausura algebraica....................................................................................
105
106
106
107
107
108
108
108
108
115
119
119
120
122
Capítulo 5 Galois
Grupos de Galois........................................................................................ 127
Ejemplos............................................................................................. 129
Extensión de Galois.................................................................................... 132
Cuerpo cerrado........................................................................................... 132
Subgrupo cerrado........................................................................................ 132
Cuerpo estable............................................................................................ 138
Cuerpo extendible....................................................................................... 139
Teorema de Galois...................................................................................... 140
Ejemplo.............................................................................................. 141
Teorema de Artin........................................................................................ 143
Polinomio separable................................................................................... 144
Elemento separable..................................................................................... 144
Extensión separable.................................................................................... 144
Extensión normal........................................................................................ 148
Ejemplo.............................................................................................. 149
- vi -
Capítulo 6 Grupo de Galois de polinomios
Clausura normal ......................................................................................... 152
Teorema fundamental del álgebra.............................................................. 153
Subgrupo transitivo.................................................................................... 154
Discriminante de f ..................................................................................... 155
Grupo de Klein........................................................................................... 157
Resolverte cúbica de f................................................................................. 158
Polinomio de 4to grado.............................................................................. 159
Funciones racionales simétricas sobre K ................................................. 164
Funciones simétricas elementales.............................................................. 165
Apéndice A
Operaciones elementales............................................................................
Punto constructible.....................................................................................
Rectas constructibles..................................................................................
Número constructible.................................................................................
Coordenadas...............................................................................................
Teorema de Gauss......................................................................................
Índice alfabético.........................................................................................
- vii -
169
169
170
170
173
176
177
- viii -
Capítulo 1
Grupos
Definición 1.1 Sea G un conjunto no vacío llamamos operación binaria o ley de
composición interna a una función:
⋅:G ×G → G
( a, b ) → a ⋅ b
Anotamos a ⋅ b o ab
Definición 1.2 Dado el conjunto G, a un elemento e ∈ G llamamos neutro para ⋅ en
G si:
ae = ea = a ∀a ∈ G
Proposición 1.1 Si un conjunto G tiene neutro este es único.
Demostración Supongamos que existe otro e% ∈ G tal que:
% = a ∀a ∈ G
ae% = ea
entonces en particular
ee% = e por ser e% neutro
ee% = e% por ser e neutro
luego
e = e%
Definición 1.3 Dado un conjunto G y en él una operación binaria decimos que es
asociativa si verifica:
a ( bc ) = ( ab ) c ∀a, b, c ∈ G
-1-
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
-2-
si definimos abc := ( ab ) c = a ( bc ) generalizamos:
a1a2 ...an = a1 ( a2 (...( an −1an ) ...)
Definición 1.4 Sea G un conjunto no vacío y ⋅ una operación binaria definida en él
que sea asociativa. Al par ( G , ⋅) le llamamos semigrupo
A veces se sobreentenderá la operación definida sobre el conjunto G y anotaremos a
( G , ⋅) simplemente por G.
Definición 1.5 Al semigrupo ( G , ⋅) en que la operación además de ser asociativa
tiene neutro le llamamos monoide.
Ejemplo 1.1 Si G = {e} , es un monoide con la única operación posible ⋅ definida
tal que:
e⋅e = e
Ejemplo 1.2 Los movimientos del plano con la composición como operación binaria
es un monoide
Ejemplo 1.3 Los pares ( ¡, + ) , ( ¡, ⋅) , ( ¤, + ) son monoides. En general si A es un
anillo con unidad entonces ( A, + ) , ( A, ⋅) son monoides.
Más aún ( 2¥,⋅) es un semigrupo pero no es un monoide (ya que en el conjunto de
los pares no tenemos neutro del producto).
Definición 1.6 Dado el monoide ( G , ⋅) dos elementos en G decimos que conmutan
si:
ab = ba
y decimos que ( G , ⋅) es un monoide conmutativo si:
ab = ba ∀a, b ∈ G
Ejemplo 1.4 Los naturales con la suma ( ¥, + ) es un monoide, así como.
Ejemplo 1.5 Dado un conjunto X, sea P ( X ) el conjunto de partes de X,
siguientes parejas son monoides; (P ( X ) , U ) , (P ( X ) , I ) .
las
Ejemplo 1.6 Sea S un conjunto no vacío, Fun ( S ) = { f : S → S / f función} = S S
(notación: X Y es el conjunto de las funciones de Y → X , X Y = { f : Y → X }).
-2-
Notas de Álgebra II
Grupos
-3-
Fun ( S ) con la composición tiene una estructura de monoide no conmutativa.
f ⋅g = f og
composición
Ejemplo 1.7 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial
End K (V ) = L (V ) = {ϕ : V → V / ϕ es lineal}
con la composición también da un monoide.
Ejemplo 1.8 Las matrices Mn×n ( K ) n por n definidas en el cuerpo K se tiene que:
(Mn×m ( K ) , + ) es un monoide conmutativo;
(Mn×n ( K ) , ⋅) es un monoide no conmutativo si n ≥ 2
Ejemplo 1.9 Consideremos M S = { f : S → M } con ( M , ⊕ ) monoide S ≠ φ y la
operación suma definida punto a punto ( f + g )( s ) = f ( s ) ⊕ g ( s ) donde ⊕ es la
operación definida en el monoide M.
Entonces ( M S , + ) es un monoide, y será conmutativo si ( M , ⊕ ) lo es.
Definición 1.7 Dado el monoide ( G , ⋅) y un subconjunto H ⊂ G entonces decimos
que es un submonoide si verifica:
i) eG ∈ H entendiendo por eG el neutro del monoide ( G , ⋅)
ii) Si x, y ∈ H entonces x ⋅ y ∈ H es decir que la operación ⋅ es cerrada en H.
Ejemplo 1.10 Sea S un espacio vectorial sobre K entonces:
End K ( S ) = L ( S ) = { f : S → S lineal } ⊂ Fun ( S )
entonces ( End K ( S ) , o ) es un submomoide del ( Fun ( S ) , o ) , también lo es con la
suma definidos punto a punto.
Ejemplo 1.11 Sea H 2 = {λ Id / λ ∈ K } el espacio de las matrices escalares y sea
H1 = matrices diagonales. Entonces:
H 2 ⊂ H1 ⊂ G,
es decir, H 2 es un submonoide de H1 y H1 es un submonoide de G, siempre con la
operación de producto.
Definición 1.8 Sea ( G , ⋅) un monoide, un elemento a ∈ G se dice que es invertible
si:
-3-
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
-4-
∃a′ ∈ G tal que aa′ = a′a = e.
Además al elemento a′ le llamamos inverso de a y anotamos a′ = a −1.
Proposición 1.2 Dado un monoide ( G , ⋅) y dado a ∈ G invertible entonces el
inverso es único.
Demostración Supongamos que existe otro a′′ ∈ G tal que:
aa′′ = a′′a = e
entonces
′a a′′ = ea′′ = a′′.
a′ = a′e = a′ ( aa′′ ) = a{
=e
Observación 1.1 Dado un monoide G tenemos que se cumple:
i) e es invertible y además el inverso es e : e −1 = e ;
ii) Si a ∈ G es invertible entonces su inverso es invertible y además:
(a )
−1 −1
= a;
iii) Si a, b ∈ G son invertibles entonces ab es invertible y además:
( ab )−1 = b −1a −1 ;
iv) Sea U ( G ) = {a ∈ G / a es invertible} ⊂ G tenemos que U ( G ) es un submonoide
de G , ya que:
a) e ∈U ( G ) por observación anterior (i);
b) Si a, b ∈ U ( G ) ⇒ ab ∈ U ( G ) también por la observación (iii). La razón de
llamar a este conjunto U ( G ) es que a los elementos invertibles se le suelen llamar
también unidades de G.
Definición 1.9 Un monoide en el cual todos sus elementos son invertible es llamado
grupo.
Es decir que se cumple U ( G ) = G .
Además si es conmutativo se dice que es un grupo abeliano.
Tener en cuenta que:
ab Î a + b
Cuando la operación es la suma anotamos e Î 0
a −1 Î − a
En resumen tenemos un conjunto G en que hemos definido una operación binaria.
Las estructuras hasta ahora, en forma esquemática, son:
-4-
Notas de Álgebra II
Grupos
-5 todo elemento
= grupo
invertible
( ( G + asociativa = semigrupo ) + neutro = monoide ) +
Ejemplo 1.12 ( ¡, + ) es un grupo abeliano
Ejemplo 1.13 ( £,⋅) es un monoide pero no es un grupo porque el cero no es
invertible. Si definimos £∗ como los complejos sin el cero entonces ahora sí ( £∗ , ⋅)
es grupo. Es decir U ( £ ) = £∗ .
Ejemplo 1.14 Sea ( G , ⋅) un monoide entonces ( U ( G ) , ⋅) es un submonoide como ya
vimos y por lo tanto ( U ( G ) , ⋅) es un ejemplo de grupo.
Ejemplo 1.15 Sea S ≠ φ consideremos ( Fun ( S ) , o ) es monoide y en el:
U ( Fun ( S ) ) = { f : S → S / f es biyectiva}
Observar que f es biyectiva ⇔ ∃g : S → S tal que f o g = g o f = Id S ⇔ f es
invertible. (Recordar que f : A → B es inyectiva ⇔ ∃g : B → A tal que g o f = Id A
y que f : A → B es sobreyectiva ⇔ ∃g : B → A tal que f o g = Id B )
Si escribimos:
U ( Fun ( S ) ) = { f : S → S / f es biyectiva} = Biy ( S )
se llega a que ( Biy ( S ) , o ) es un grupo.
Ejemplo 1.16 Sea S un conjunto finito con # S = n llamaremos S n = Biy ( S )
tenemos que con la composición es un grupo y a sus elementos σ ∈ S n son las
permutaciones de los elementos de S.
Si S = {1,..., n} , y S n = {σ : {1,..., n} → {1,..., n} / σ es biyectiva} , adoptaremos en
general la siguiente notación para referirnos a un elemento de S n
2
L
n
1
σ 1 σ 2 L σ n
( )
( )
( )
El producto es la composición: así por ejemplo:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 2 1 3 = 1 3 2
y
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 1 3 3 1 2 = 3 2 1
de forma que no es conmutativo.
-5-
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
-6-
Definición 1.10 Dado un grupo G definimos orden de G como la cantidad de
elementos del grupo.
Anotamos:
G = #G ;
si G es finito G < ∞ ;
si G es infinito G = ∞ .
Ejemplo 1.17 En el ejemplo anterior S n = n !.
Ejemplo 1.18 Sean Mn×n ( K ) matrices cuadradas n × n donde K es un cuerpo.
Consideremos
U (Mn×n ( K ) ) = { A ∈ Mn×n ( K ) / A es invertible}
A es invertible si K es un cuerpo y det ( A ) ≠ 0 . Llamaremos Grupo general lineal a
GLn ( K ) = { A ∈ Mn×n ( K ) / det ( A ) ≠ 0} .
Se tiene que el par ( GLn ( K ) , ⋅) es un grupo.
Ejemplo 1.19 Los movimientos del plano con la composición forman grupo G.
En particular nos interesa un subconjunto del anterior que denominamos D4 .
Sea C el cuadrado de la figura.
Entonces:
S D1
S D2
D4 = { f ∈ G / f ( C ) = C}
Dado el cuadrado en la siguiente ubicación:
C
S ox
B
A
S oy
O
C
D
Los movimientos que conservan al cuadrado invariante son: las simetrías axiales
S D1 , S oy , S D2 , S ox
las rotaciones:
Ñ
Ñ
Ñ
R o,π 2 , R o,π = Co , R o,3π 2 , Ro ,2π = Id
-6-
x
Notas de Álgebra II
Grupos
-7-
Clasificados en directos:
Ñ
R o,π 2
Ñ
Co
R o,3π 2
Id
Los inversos
S oy
S D2
S ox
S D1
Entonces: D4 = 8
Ejemplos de Grupos abelianos
Ejemplo 1.20 ( ¢, + ) es un grupo abeliano y es de orden infinito.
Ejemplo 1.21 ¢ m = ¢
con m ∈ ¢ + con la adición es un grupo abeliano finito de
m¢
orden m.
a ≡ b ( mod m ) ⇔ a − b ∈ m¢ = {mh : h ∈ ¢} ⇔ a − b = m& ⇔ m | a − b .
≡ ( mod m ) es una relación de equivalencia y a las clases que anotamos:
[ a ] = a = {b ∈ ¢ : b = a ( mod m )} ,
entonces:
a = a + m¢ = {a + n : n ∈ m¢}
¢ m = ¢ ≡ mod m o sea ¢ m = {0,1,..., m − 1} ⇒ ¢ m = m .
( ¢ m , + ) es un grupo abeliano. Queremos ver cuando ( ¢∗m , ⋅) es un grupo
Primero que nada al considerar ¢∗m sacamos el cero porque no es invertible,
analicemos el caso m = 6
-7-
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
-8-
¢ 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} tenemos que 3 ∈ ¢ 6 y 2 ⋅ 3 = 0 Supongamos que el 3 tiene
inverso:
−1
3{
⋅3⋅2 =0 ⇒ 2 = 0 ,
=1
lo cual es absurdo.
En general si:
a ⋅ b = 0 ⇒ a y b no tienen inverso .
Es decir los divisores de cero no tienen inverso.
1 ⇒ ∃a, b ∈ ¢ tal que:
ax + bm
{ = 1 ⇒ ax = 1 ⇒ x tiene inverso
x ∈ ¢ m con mcd ( x, m ) =
=0
t > 1 ⇒ m t ⋅ x = m ⋅ x t = m = 0 ⇒ x no tiene inverso
Entonces tenemos que:
U ( ¢ m ) = {a ∈ ¢ m : mcd ( a , m ) = 1} .
Luego con respecto a la pregunta que nos hacíamos ( ¢∗m , ⋅) es un grupo si y solo sí m
es primo.
Propiedades de Grupo
Proposición 1.3 Dado un grupo G entonces se cumple:
i) Propiedad cancelativa:
si ab = ac ⇒ b = c
ba = ca ⇒ b = c ∀a, b, c ∈ G ;
ii) Si a ∈ G tal que a 2 = a ⇒ a = e ;
iii) La ecuación ax = b tiene una única solución x = a −1b ;
la ecuación xa = b tiene una única solución x = ba −1 .
Demostración
−1
−1
a −1a ) b = ( a −1a ) c ⇒
eb = ec ⇒ b = c ;
i) Si ab = ac ⇒
{ a ( ab ) = a ( ac ) ⇒
{ ({
{ def.{
def. oper.
asociativa
neutro
=e
ii) Si a 2 = a ⇒ a ⋅ a = a = a ⋅ e ⇒
{a = e.
(i)
Dado un monoide G y a ∈ G podemos considerar:
-8-
=e
Notas de Álgebra II
Grupos
-9-
e si n = 0,
a n = n−1
a a para n = 1, 2...;
de esta forma
a0 = e
a1 = a 0 a = ea = a
a 2 = a1a = aa
M
M
a n = aa
....
12
3a .
n veces
Definición 1.11 Dado un grupo G y un elemento a del mismo definimos la potencia
de exponente negativo como sigue:
∀a ∈ G , ∀n ∈ ¢ + , a − n = ( a −1 ) .
n
De esta forma tenemos definida la potencia de exponente entero: a z con z ∈ ¢ .
Proposición 1.4 Dado un grupo G entonces se cumple:
i) a n a m = a n+ m , ∀m, n ∈ ¢ y ∀a ∈ G;
ii) ( a n ) = a nm , ∀n, m ∈ ¢ y ∀a ∈ G;
m
iii) Si G es abeliano ( ab ) = a nb n .
n
Un procedimiento natural en el estudio de estructuras algebraicas es investigar las
estructuras “más pequeñas” de la misma o, más propiamente dicho, las llamadas
subestructuras. En este sentido introducimos la siguiente definición.
Definición 1.12 Dado un grupo G, H ⊂ G decimos que es un subgrupo si verifica:
i) eG ∈ H entendiendo por eG el neutro del grupo G,
ii) Si a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H ,
iii) Si a ∈ H ⇒ a −1 ∈ H .
Anotaremos H < G para indicar que H es subgrupo del grupo G.
Observación 1.2 Las propiedades i) y ii) que indican que el producto es cerrado en
H y que el neutro pertenece a H son las condiciones que debe cumplirse para que
( H , ⋅) sea submonoide. Si definimos ⋅H como la restricción de la operación definida
en G entonces ( H , ⋅H ) es un grupo.
-9-
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 10 -
Proposición 1.5 Si H ⊂ G , H ≠ φ , entonces H es un subgrupo de G si y solo sí:
∀a, b ∈ H ⇒ ab −1 ∈ H
−1
−1
Demostración ( ⇒ ) Como a, b ∈ H ⇒
{b ∈H ⇒
{ ab ∈ H .
( iii )
( ii )
−1
( ⇐ ) como H ≠ φ ⇒ ∃a ∈ H ; aplicando la hipótesis aa
{ ∈ H ⇒ e ∈ H es decir que
=e
se cumple i)
−1
−1
Por otro lado si a ∈ H como e ∈ H ⇒ ea
{ ∈ H ⇒ a ∈ H es decir que se cumple
= a −1
iii).
Sean a, b ∈ H ⇒ b−1 ∈ H ⇒ ab = a ( b −1 ) ∈ H por lo que se cumple ii).
a∈H
−1
Ejemplo 1.22 Los subgrupos de ¢ son de la forma m¢ con m ∈ ¥ .
Ejemplo 1.23 Consideremos las permutaciones que dejan fijo un punto.
H = {σ ∈ S n : σ ( n ) = n} < S n :
la identidad pertenece a H porque esta última deja fijos todos los puntos.
Si σ ,τ ∈ H entonces
στ ( n ) = σ o τ ( n ) = σ (τ ( n ) ) = σ ( n ) = n .
Luego στ ∈ H .
Por otro lado
σ ( n ) = n ⇒ n = σ −1 ( n ) ⇒ σ −1 ∈ H .
Luego H es un subgrupo.
Ejemplo 1.24 Dado el grupo ¢ 6 = {0,1, 2,3, 4,5} , entonces:
{0, 2, 4}
es un subgrupo así como:
{0} , {¢ 6 } ,
también son subgrupos que llamamos triviales.
Definición 1.13 Dado un grupo G a los subgrupos {e} ,{G} son llamados subgrupos
triviales. Los otros subgrupos no triviales son llamados subgrupos propios.
Ejemplo 1.25 Sea £∗ los complejos sin el cero. Entonces:
H = { z ∈ ¢∗ : z n = 1 para algún n ∈ ¢ + } < K = { z ∈ ¢ : z = 1} < £∗ .
- 10 -
Notas de Álgebra II
Grupos
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Ya que :
z1 ∈ H z1n = 1
m
n
mn
mn mn
z1n ) ( z2m ) = 1 ⇒ z1 z2 ∈ H ;
⇒ m ⇒ ( z1 z2 ) = z1 z2 = ({
{
z2 ∈ H z2 = 1
=1
=1
por otro lado:
z n = 1 ⇒ ( z −1 ) = ( z n ) = 1 ⇒ z −1 ∈ H ;
{
−1
n
=1
además:
n
zn = 1 ⇒ zn = z = 1 ⇒ z = 1 ⇒ z ∈ K
es decir H < K .
Observación 1.2 Dado un grupo G y a ∈ G entonces el conjunto:
H = {a n : n ∈ ¢}
con la operación del grupo es un subgrupo.
Demostración e ∈ H ya que e = a 0 ∈ H
Además
a n ( a m ) = a n ( a −1 ) = a n a − m = a n − m ∈ H
−1
m
lo que significa que H es un subgrupo de G.
Definición 1.14 Dado un grupo G, a ∈ G al subgrupo H de la observación anterior
lo llamamos subgrupo cíclico generado por a.
Y anotamos:
H = {a n : n ∈ ¢} = a .
Observación 1.3 El subgrupo cíclico generado por a es abeliano.
Demostración
a n a m = a n + m = a m+ n = a m a n .
Luego a es conmutativo.
Observación 1.4 Dado un grupo G, consideremos H i con i ∈ I , una familia de
subgrupos de G entonces:
I Hi < G .
i∈I
Demostración Como los H i < G , ∀i ∈ I entonces e ∈ H i , ∀i ∈ I ⇒ e ∈ I H i .
i∈I
- 11 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 12 -
(Vale observar que la intersección de subgrupos siempre es no vacía.)
Dados a, b ∈ I H i ⇒ a, b ∈ H i ∀i ∈ I y como los H i son subgrupos de G
i∈I
aplicando la proposición 1.5:
ab −1 ∈ H i ∀i ∈ I ⇒ ab −1 ∈ I H i .
i∈I
Y entonces por la misma proposición
IH
i∈I
i
<G.
Definición 1.15 Dado un grupo G, sea S ⊂ G definimos el subgrupo generado por S
como:
S = I H
S ⊂ H <G
De acuerdo a la observación anterior efectivamente es un subgrupo , y por definición
S ⊂ S ya que está en todos los subgrupos que determinan la intersección.
Observación 1.5 S es el menor subgrupo de G que contiene a S.
Ya que:
S ⊂ K
⇒ S = I H < K.
K < G
S ⊂ H <G
Explícitamente podemos escribir al subgrupo generado por S como:
S = {s1n1 s2n2 ...s knk : si ∈ S , ni ∈ ¢ i = 1,..., k , k ∈ ¢ + }
nótese que si0 = e
En el caso que S sea finito:
S = {a1 ,..., an }
anotaremos a {a1 ,..., an } simplemente por a1 ,..., an (subgrupo generado por S).
En particular
{a} = a = {a n : n ∈ ¢} .
Definición 1.16 Dado un grupo G si existe un conjunto S tal que:
S =G,
entonces decimos que S es un conjunto generador.
Definición 1.17 Dado un grupo G decimos que es finitamente generado si existen
a1 ,..., an ∈ G tal que:
G = a1 ,..., an .
- 12 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 13 -
Observación 1.6 Si el grupo G es finito entonces es finitamente generado ya que
puede ser considerado generado por él mismo.
El recíproco de lo anterior no es cierto ya que
¢ = 1 y no es finito .
Además los únicos generadores de ¢ son el 1 y el –1 y por la definición dada más
arriba es cíclico.
Definición 1.18 Dado un grupo G, a ∈ G llamaremos orden de a, que anotamos por
a , al orden del subgrupo cíclico generado por a:
a = a .
Ejemplo 1.26 ¢ n es un grupo cíclico ya que
¢n = 1
Pero si ( m, n ) = 1 , también se cumple que
¢n = m
es decir que ¢ n = {m, 2m,..., nm} ya que:
im = jm ( mod n )
( i − j ) m = n&
⇒i = j
( m, n ) = 1
todos sus elementos son distintos y tenemos n elementos, luego son todos por ser
¢n = n .
Tenemos que ¢ n es cíclico, vale aclarar que la operación acá es la suma
Observación 1.7 Dado un grupo G, sean H,K subgrupos de G entonces:
H I K < H < G;
G
H I K < K < G.
Sin embargo H U K no tiene porque ser un subgrupo:
H∨K
por ejemplo si:
H = 3¢ H U K no es un subgrupo
⇒
K = 4¢
ya que 3 + 4 ∉ H U K .
H
Lo que haremos es considerar al subgrupo generado por
la unión que anotaremos por H ∨ K
H ∨K = H UK ,
H IK
que es el menor subgrupo de G que contiene a H y a K
- 13 -
K
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 14 -
En general si tenemos una familia { H i }i∈I de subgrupos de G ∀i ∈ I entonces:
-H
i∈I
i
=
UH
i
,
i∈I
(unión en la categoría de grupos), es el menor subgrupo de G que contiene a
los H i ∀i ∈ I
Morfismos
En general, cuando se estudian estructuras algebraicas, son de gran importancia las
funciones que preservan dichas estructura. Con lo anterior en mente nos interesa
estudiar funciones de un grupo en otro, que preservan las operaciones.
Definición 1.19 Dados los grupos ( G1 , ⋅1 ) y ( G2 , ⋅2 ) llamaremos morfismo de
grupos a la aplicación ϕ : ( G1 , ⋅1 ) → ( G2 , ⋅2 ) tal que:
ϕ ( a ⋅1 b ) = ϕ (a ) ⋅2 ϕ ( b ) ∀a, b ∈ G1
Proposición 1.6 Dados dos grupos G1 y G2 sea ϕ : G1 → G2 morfismo de grupos,
con e1 neutro de G1 y e2 neutro de G2. Entonces se cumplen:
i) ϕ ( e1 ) = e2 ;
ii) ϕ ( a −1 ) = ϕ ( a ) , ∀a ∈ G1;
−1
iii) Si H < G1 ⇒ ϕ ( H ) < G2 , en particular Imϕ < G2 ;
iv) Si K < G2 ⇒ ϕ −1 ( K ) < G1 , en particular:
N (ϕ ) = {a ∈ G1 : ϕ ( a ) = e2 } = ϕ −1 ( e2 ) < G1.
Demostración i) ϕ ( e1 ) = ϕ ( e1e1 ) = ϕ ( e1 ) ϕ ( e1 ) = ϕ 2 ( e1 ) , entonces por la proposición
1.3 (ii) se tiene que e2 = ϕ ( e1 ) .
ii) Dado a ∈ G1 se tiene que e1 = aa −1 = a −1a entonces:
ϕ ( aa −1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( a −1 )
ϕ ( e1 ) =
{ ϕ ( a −1a ) = ϕ ( a −1 )ϕ ( a )
= e2
luego:
−1
e2 = ϕ ( a ) ϕ ( a −1 ) = ϕ ( a −1 ) ϕ ( a ) ⇒
{ ϕ (a ) = ϕ (a) .
−1
por def.
iii) Como H < G1 ⇒ ∀a, b ∈ H se cumple que ab −1 ∈ H entonces:
Dados ϕ ( a ) ,ϕ ( b ) ∈ ϕ ( H ) queremos probar que ϕ ( a ) ϕ ( b ) ∈ ϕ ( H ) :
−1
- 14 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 15 -
ϕ ( ab −1 ) = ϕ ( a )ϕ ( b−1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) ∈ ϕ ( H ) ⇒ ϕ ( H ) < G2 .
−1
Como Imϕ = ϕ ( G1 ) y G1 < G1 ⇒ Imϕ es un caso particular de lo anterior, luego
Imϕ < G2 .
iv) Si K < G2 tenemos que:
ϕ −1 ( K ) = {a ∈ G1 : ϕ ( a ) ∈ K } .
entonces si a, b ∈ ϕ −1 ( K ) ⇒ ϕ ( a ) ,ϕ ( b ) ∈ K < G2 luego:
ϕ ( a )ϕ ( b ) ∈ K
−1
pero por otro lado
ϕ ( a ) ϕ ( b ) = ϕ ( a )ϕ ( b −1 ) = ϕ ( ab −1 ) ,
−1
luego:
ϕ ( ab −1 ) ∈ K ⇒ ab −1 ∈ ϕ −1 ( K ) ⇒ ϕ −1 ( K ) < G1 .
Como el N (ϕ ) = ϕ −1 ({e2 }) y {e2 } < G2 ⇒ N (ϕ ) es un caso particular de lo
anterior.
Corolario 1.7 Sean G1 y G2 grupos, y el morfismo ϕ : G1 → G2 . Entonces para todo
a ∈ G1 y para todo n entero se tiene:
ϕ ( an ) = ϕ ( a ) .
n
Demostración Primero consideremos n ∈ ¢ + , a n = a123
.a....a , entonces:
n veces
n
.a....a = ...... = ϕ ( a ) ϕ ( a ) ....ϕ ( a ) = ϕ ( a )
ϕ ( a n ) = ϕ a123
144
42444
3
n veces
n veces
Si n ∈ ¢ y n < 0 como todos los elementos de G1 son invertibles (grupo) para todo
a ∈ G1 ⇒ ∃b ∈ G1 tal que a = b −1 .
Consideremos m = −n, entonces, como m ∈ ¢ + , aplicando lo anterior a b ∈ G1 :
ϕ (b m ) = ϕ ( b ) ,
m
remplazando
ϕ ( b− n ) = ϕ ( b )
123 123
−n
P
P
n
−1
ϕ ( b −1 ) = ϕ ( b )
{
=a
(
- 15 -
)
n
n
−1
= ϕ b{
,
=a
Notas de Álgebra II
O sea:
Capítulo 1
- 16 -
ϕ ( an ) = ϕ ( a ) .
n
Vamos a introducir algunas definiciones para clasificar los morfismos
Definición 1.20 Dados dos grupos G1 y G2 sea ϕ : G1 → G2 un morfismo decimos :
i) que ϕ es un monomorfismo si la aplicación ϕ es inyectiva.
Anotamos:
G1 ° G2 o G1 y G2 ;
ii) que ϕ es un epimorfismo si es sobreyectiva y anotamos:
ϕ
G1
→ > G2 ;
iii) que ϕ es isomorfismo si ϕ es biyectiva y anotamos:
ϕ
G1 >
→ > G2 ;
(En este caso decimos que los grupos son isomorfos y anotamos: G1 ≅ G2 )
iv) que ϕ es un endomorfismo cuando G1 = G2 ;
v) si G1 = G2 , y ϕ es un isomorfismo entonces decimos que es un automorfismo.
Observación 1.8 i) Tenemos que la identidad es un morfismo más precisamente es
un automorfismo.
ϕ : G1 → G2
ii) Sean
morfismos ⇒ ψ o ϕ : G1 → G3 es también un morfismo.
ψ : G2 → G3
iii) Si ϕ : G1 → G2 es un isomorfismo ⇒ ϕ −1 : G2 → G1 es también un isomorfismo
iv) La relación de ser isomorfo es una relación de equivalencia.
Demostración a modo de ejemplo probaremos la iii)
Sean g , h ∈ G2 entonces si:
ϕ −1 ( g ) = a ⇒ ϕ ( a ) = g
ϕ −1 ( h ) = b ⇒ ϕ ( b ) = h
multiplicando
ϕ ( ab ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) = gh ⇒ ϕ −1 ( gh ) = ab = ϕ −1 ( g )ϕ −1 ( h )
luego ϕ −1 es un morfismo biyectivo o sea, es un isomorfismo.
- 16 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 17 -
Observación 1.9 Si G es un grupo entonces:
EndG = {ϕ : G → G : ϕ endomorfismo} ,
AutG = {ϕ : G → G : ϕ es automorfismo} ,
son tales que ( EndG , o ) es un monoide y
( AutG , o ) es un grupo ya que AutG = U ( EndG ) .
Ejemplo 1.27 Sean los grupos ( ¡, + ) y ( ¡ + , ⋅) y definimos ϕ : ¡ → ¡ + como:
ϕ ( x ) = e x , ∀x ∈ ¡.
Entonces como:
ϕ ( a + b ) = e a + b = e a eb = ϕ ( a ) ϕ ( b ) ,
se cumple que ϕ es un morfismo. Además es monótona creciente y continua con:
lim ϕ ( x ) = 0+
x →−∞
⇒ ϕ es un isomorfismo
lim ϕ ( x ) = +∞
x →+∞
Ejemplo 1.28 Sea m ∈ ¢ + , definimos π : ¢ → ¢ m como π ( x ) = x (clase de x
módulo m). Entonces:
x = { x + mb : b ∈ ¢} = x + m¢
La proyección canónica, π : ¢ → ¢ m
π (x + y) = x + y = x + y = π (x) +π ( y)
es un epimorfismo
Ejemplo 1.29 Sea G un grupo abeliano, nos definimos:
τ :G → G
a Î a −1.
Entonces
−1 −1
τ ( ab ) = ( ab ) = b −1a −1 =
{ a b = τ ( a )τ ( b ) .
−1
abeliano
Luego es un morfismo, pero como todo elemento es invertible por ser G grupo
tenemos que es sobreyectiva y por ser el inverso único, es inyectiva. Luego τ es un
isomorfismo, (un automorfismo).
Ejemplo 1.30 Generalizando el ejemplo anterior podemos considerar G grupo
abeliano y n ∈ ¢ a:
ϕn : G → G
g Î gn
- 17 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 18 -
ϕ n ∈ End ( G ) ya que:
ϕ n ( gh ) = ( gh )
n
=
{
g n h n = ϕ n ( g )ϕ n ( h ) .
G abeliano
Ejemplo 1.31 Sea G un grupo y H < G entonces la inclusión:
i:H →G
es un monomorfismo.
hÎh
Producto directo
Uno de los problemas fundamentales en álgebra, al estudiar estructuras, es poder
“descomponer” los objetos bajo estudio en términos de elementos más simples de
entender. Por ejemplo al estudiar a los números enteros, se tiene que estos se
representan como producto de primos. Cuando se estudian matrices no singulares, se
tiene que estas se representan como producto de matrices elementales. Si el objeto
bajo estudio es un espacio vectorial de dimensión finita junto con un operador T,
éste se puede representar como suma directa de subespacios T-invariantes con
propiedades adicionales (Teorema de descomposición primaria).
En el estudio de grupos, un problema de gran importancia es la “descomposición” de
un grupo como “producto” de subgrupos. Este resultado es un problema de gran
dificultad, sin embargo, bajo buenas hipótesis (abeliano y finito) la respuesta es
satisfactoria.
Definición 1.21 Dados dos grupos ( G1 , ⋅1 ) y ( G2 , ⋅2 ) consideramos sobre el producto
cartesiano G1 × G2 la operación :
⋅ : G1 × G2 → G1 × G2
( g , h )( g ′, h′) Î ( g ⋅1 g ′, h ⋅2 h′)
Esta operación definida así hace que ( G1 × G2 , ⋅) sea un grupo que llamaremos
producto directo de grupos.
Es claro que el neutro de este nuevo grupo es ( e1 , e2 ) .
El opuesto:
−1
( a, b ) Î ( a −1 , b −1 )
Observación 1.10 Si tomamos el grupo ( G1 , ⋅1op ) entendiendo a ⋅1op de la siguiente
manera:
- 18 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 19 -
a ⋅1op b = b ⋅1 a
y al grupo ( G2 , ⋅op
2 ) obtenemos estructuras equivalentes.
Podemos generalizar el producto para una familia de grupos de la siguiente forma:
Definición 1.22 Dada una familia de grupos {Gi }i∈I definimos en el producto
cartesiano
∏ Gi = {( gi )i∈I : gi ∈ Gi ∀i ∈ I }
la operación ⋅ como:
i∈I
( gi )i∈I ⋅ ( hi )i∈I = ( gi hi )i∈I
entonces ∏ Gi , ⋅ es un grupo que llamamos producto directo de grupos.
i∈I
Observación 1.11 Gi es abeliano ⇔ ∏ Gi es abeliano
i∈I
Además en el caso que los grupos sean ( G1 , + ) y ( G2 , + ) abelianos entonces
G1 × G2 = G1 ⊕ G2
Definición 1.23 Dada la familia de grupos {Gi }i∈I definimos los morfismos
inclusión y proyección de la siguiente forma:
π j0
i j1
G j1 y ∏ G j ² G j0
j∈I
(y )
j
j∈I
Îy
y j0
g Î ( xi )i∈I
tal que xi = ei ∀i ≠ j1, x j1 = g.
Notamos:
ij : Gj y ∏G j
j∈I
a la inclusión que es un monomorfismo, además:
i j0 ( G j0 ) = Im ( i j0 ) = ∏ ei × G j0 :{
= G% j0 < ∏ G j ,
i≠ j
entonces :
definimos
G j0 ≅ G% j0 < ∏ G j .
j∈I
Por otro lado si
- 19 -
j∈I
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 20 -
x ∈ G% j
con i ≠ j ⇒ xy = yx
y ∈ G% i
además
π j o i j = Id G j .
la proyección π j es sobre por eso es un epimorfismo y la inclusión es inyectiva.
Definición 1.24 Decimos que un grupo G es cíclico si existe a ∈ G tal que
G = a = {a n : n ∈ ¢}
Notar que a diferencia de la definición 1.14 acá estamos diciendo que el subgrupo
cíclico generado por a es el propio grupo G.
Proposición 1.8 Sea G un grupo cíclico, G = a entonces:
i) Si ϕ : G → G% es un morfismo ⇒ Im (ϕ ) es un subgrupo cíclico de G% .
ii) Si H < G ⇒ H es cíclico además si H ≠ {e} y n = min {m ∈ ¢ + : a m ∈ H } entonces
H = an
Demostración i) Sea b ∈ G ⇒ ∃n ∈ ¢ + / b = a n entonces:
n
ϕ (b ) = ϕ ( a n ) = ϕ ( a )
esto se cumple para cualquier elemento, entonces
Im (ϕ ) = ϕ ( a )
ii) Si H < G , en el caso que H = {e} ⇒ H = e pero como H ≠ {e} entonces se
tiene que ∃n ∈ ¢ \ {0} tal que a n ∈ H ⇒ a − n = ( a n ) ∈ H entonces:
−1
{m ∈ ¢
+
: am ∈ H } ≠ φ
y por lo tanto tiene mínimo, sea
n = min {m ∈ ¢ + : a m ∈ H }
tenemos que a n < H (observación 1.2) lo que implica a n ⊂ H .
Probaremos ahora la otra inclusión
Sea b ∈ H < G ⇒ ∃x ∈ ¢ tal que a x = b supongamos primero que:
a) x ≥ 0 entonces si dividimos x por n tenemos:
x = nq + r con q ∈ ¢ y 0 ≤ r < n
como
nq r
b = a x ∈ H ⇒ a nq + r = a{
a ∈ H ya que a n ∈ H ⇒ a nq ∈ H ⇒ a r ∈ H
∈H
- 20 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 21 -
pero n es el menor entero positivo tal que a n ∈ H ⇒ r = 0 entonces:
b = ( an ) ∈ an
q
luego H ⊂ a n como se dan las dos inclusiones concluimos H = a n
b) Si x < 0 tomamos a − x = ( a n ) ∈ H aplicamos lo anterior y concluimos que:
−1
a− x ∈ an
pero como
an
es un subgrupo ⇒ ( a − x ) ∈ a n ⇒ b = a x ∈ a n
123
−1
y también
=a x
tenemos la otra inclusión, luego H = a
n
Proposición 1.9 (Teorema de clasificación )
Sea G un grupo cíclico entonces si:
i) G = ∞ ⇒ G ≅ ¢
ii) G = m < ∞ ⇒ G ≅ ¢ m
Demostración Como el grupo es cíclico G = a = {a n : n ∈ ¢} definimos:
ϕ :¢ →G
n Î an
Dicha aplicación es morfismo ya que:
ϕ ( m + n ) = a m+ n = a m a n = ϕ ( m )ϕ ( n ) ∀m, n ∈ ¢
tenemos que ϕ es epimorfismo.
Sea
H = Ker (ϕ ) = {n ∈ ¢ : a n = e} < ¢
Puede suceder que:
i) H = {0} ⇒ ϕ es inyectiva ϕ es isomorfismo es decir que G = ∞ y G ≅ ¢
ii) H ≠ {0} < ¢ ⇒ como los enteros son un grupo cíclico y H ≠ {0} por la
ϕ
proposición 1.8 H es cíclico ⇒ H = n = n¢ .
¢
G
Considerando la proyección canónica
π
≅
π :¢ → ¢
n¢
ϕˆ
n În
n
¢
Se tiene que ¢
y definimos
n¢ = ¢ n
n¢
- 21 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 22 -
ϕˆ : ¢ n → G
n Îa
an
De esta forma ϕ = ϕˆ o π y π y ϕ son sobreyectiva ⇒ ϕ̂ es sobreyectiva , además :
n1 = n2 ⇔ n1 = n2 ( mod n ) ⇔ ∃h ∈ ¢ : n1 = n2 + nh
y entonces:
h
a =a
= a a = a a{n = a n2
=e
lo que prueba que ϕ̂ es inyectiva luego es un isomorfismo.
n1
n2 + nh
n2
nh
n2
Proposición 1.10 Dado un grupo G y un elemento a ∈ G ya definimos el orden de a
como:
a = a
entonces:
a k = e ⇔ k = 0
i)
Si a = ∞ ⇒ k
l
a = a ⇔ k = l
ii)
m = min {k ∈ ¢ + : a k = e}
Si a = m < ∞ ⇒ a k = e ⇔ k = m&
k
l
a = a ⇔ k = l ( mod m )
Además si n | m entonces a n =
m
n
Demostración Consideremos el siguiente morfismo:
ϕ :¢ → a
n Î an
Al igual que la proposición anterior es morfismo y es sobreyectiva por definición.
Si a = ∞ ⇔ a = ∞ ⇒ por la proposición anterior que a ≅ ¢ es decir que ϕ es
un isomorfismo ⇒ Ker (ϕ ) = {0} o sea que:
ak = e ⇔ k = 0
a k = a l ⇔ a k a − l = e ⇔ a k −l = e ⇔ k − l = 0 ⇔ k = l
Si a = m ∈ ¢ + sea H = Ker (ϕ ) = {n ∈ ¢ : a n = e}
Pueden darse los casos:
i) H = {0} ⇒ ϕ es un isomorfismo
ii) H ≠ {0} , como H < ¢ ⇒ H = m¢ y entonces por la proposición anterior:
a ≅ ¢ m¢ = ¢ m
- 22 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 23 -
H = m¢ ⇒ m = min {n ∈ ¢ + : n ∈ H } = min {n ∈ ¢ + : a n = e}
esto último por se definición de H
De acuerdo a la proposición anterior:
ϕˆ : ¢ m → a
n Î an
es un isomorfismo, y como ¢ m = {0, 1,..., m − 1} entonces:
{
}
a = ϕˆ ( 0 ) ,ϕˆ ( 1 ) ,...,ϕˆ ( m − 1) = {e, a, a 2 ,..., a m−1}
a = e es consecuencia de m = min {n ∈ ¢ : a = e} y si:
+
m
a{k =
P
n
a{l
P
ϕˆ ( k ) = ϕˆ ( l ) con ϕˆ inyectiva ⇒ k = l en ¢ m
∴ k = l ( mod m )
a k = e ⇔ a k = a 0 ⇔ k = 0 ( mod m ) ⇔ m | k o k = m&
Consideremos ahora el caso que n | m :
sea a n = t ⇒ por lo anterior se tiene que ( a n ) = e es decir a nt = e ⇒ m | nt
t
por otro lado sabemos que e = a m {
= ( a n ) n ⇒ t | mn
m
n|m
es decir que tenemos :
n|m
}
m | nt ⇒ m | t ⇒ t =
n
m
t| n
m
n
Proposición 1.11 Dado un grupo cíclico G = a entonces:
i)
Si G = ∞ ⇒ a, a −1 son los únicos generadores de G.
ii)
Si G = m < k ⇒ a k genera a G si y solo sí mcd ( k , m ) = 1
Demostración
i)
En este caso como ya vimos en la proposición 1.9 G ≅ ¢ ⇒ alcanza con
probar que 1, y − 1 son los únicos generadores de ( ¢, + ) y esto se cumple
ya que:
Si m ∈ ¢ y m ≠ ±1 m = m¢ ≠ ¢ ya que 1∉ m¢
ii)
En este caso por proposición 1.9 G ≅ ¢ m entonces alcanza con probar que
k genera a ¢ m ⇔ mcd ( k , m ) = 1
- 23 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 24 -
Entonces:
k genera a ¢ m ⇔ 1 ∈ k = k ¢ m ⇔ ∃b ∈ ¢ m :
1 = k ⋅ b ⇔ 1 = kb ( mod m ) ⇔ ∃b, h ∈ ¢ :
1 = kb + hm ⇔ mcd ( k , m ) = 1
Ejemplo 1.32 ¢ 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} se tiene que ¢ 6 = 6 y:
¢6 = 1 = 5
así como:
y
¢8 = 1 = 3 = 5 = 7
¢7 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6
Ejemplo 1.33
Sea G = { z ∈ £ : z m = 1} < £∗
Entonces como z m = 1 ⇔ z = e
2 kπ i
m
con k = 0,1,..., m − 1
G esta generado por ξ = e
2π i
ξ2
m
Luego
G = ξ = {1, ξ , ξ 2 ,..., ξ m−1} es cíclico de orden n luego
ξ
por la proposición 1.9 G ≅ ¢ n
Así por ejemplo para el caso m = 4
z 4 = 1 ⇔ z = ±1, ±i los generadores en este caso son ±i
En general los generadores de G son de la forma:
2 kπ i
ξ k = e m mcd ( k , m ) = 1
y se llaman raíces primitivas de orden m de 1.
Definición 1.25 Sea G un grupo , H < G y a, b ∈ G definimos:
a ≡d b ( mod H ) ⇔ ab −1 ∈ H
a ≡i b ( mod H ) ⇔ b −1a ∈ H
Proposición 1.12 Estas relaciones ≡d y ≡i son relaciones de equivalencia y
veremos además que son distintas.
−1
Demostración i) Reflexiva a ≡d a ( mod H ) ⇒ aa
{∈H
=e
- 24 -
Notas de Álgebra II
Grupos
ii) Simetría a ≡d b ( mod H ) ⇒ ab −1 ∈ H
y como ( ab
)
−1 −1
= (b
)
−1 −1
⇒
{
( subgrupo )
- 25 -
( ab )
−1 −1
∈H
a −1 = ba −1 ∈ H
Luego b ≡ d a ( mod H )
iii) Transitiva
a ≡d b ( mod H ) ⇒ ab −1 ∈ H
−1
−1
−1
⇒
{ a b{b c ∈ H ⇒ ac ∈ H ⇒ a ≡ d c ( mod H )
−1
b ≡ d c ( mod H ) ⇒ bc ∈ H H es subgrupo = e
idéntica demostración con la relación ≡i o si se prefiere usando el grupo
( G, ⋅ ) como en la observación 1.10 es decir:
op
⋅op : G × G → G
a ⋅op b Î b ⋅ a
tal que la operación ⋅ es la del grupo original. Llamaremos para abreviar a
(G, ⋅op ) = G op entonces:
a ≡i b ( mod H ) ⇔ b −1 ⋅ a ∈ H ⇔ a ⋅op b −1 ∈ H ⇔ a ≡d b ( mod H ) en G op
esta última ya probamos que es una relación de equivalencia, luego ≡i también.
Definición 1.26 Dado un grupo G , H < G y sea a ∈ G definimos el conjunto Ha
que llamamos coclase a derecha de H como:
Ha = {ha : h ∈ H }
de igual manera definimos la coclase a izquierda de H como:
aH = {ah : h ∈ H }
Proposición 1.13 Dado el grupo G, H < G y a ∈ G las coclases a derecha e
izquierda las podemos escribir como:
Ha = { g ∈ G : g ≡ d a ( mod H )}
aH = {b ∈ G : g ≡i a ( mod H )}
Demostración
Sea
g ≡d a ( mod H ) ⇒ ga −1 ∈ H ⇒ ∃h ∈ H tal que:
−1
ga −1 = h ⇒ g a{
a = ha ⇒ g = ha
=e
⇒ g ∈ Ha
Recíprocamente:
- 25 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 26 -
g ∈ Ha ⇒ ∃h ∈ H tal que:
Si
−1
−1
g = ha ⇒ ga −1 = h aa
{ = h ⇒ ga ∈ H
=e
∴ g ≡ d a ( mod H )
Análogamente para la coclase izquierda.
Observación 1.12 Toda relación de equivalencia en un conjunto G establece un
partición del mismo en clases de equivalencias, la proposición anterior nos dice que
esas clases de equivalencias son las coclases.
Como las clases de equivalencia son disjuntas o coinciden con las coclases pasa lo
mismo.
Proposición 1.14 Dado un grupo G, H < G entonces:
Ha = Hb ⇔ ab −1 ∈ H
aH = bH ⇔ b −1a ∈ H
Demostración ⇒ por la observación anterior Ha = Hb ⇒ que la clase de
equivalencia de a es la misma que la clase de b luego si a y b pertenecen a la misma
clase significa que están relacionados, es decir:
−1
a ≡d b ( mod H ) ⇒
{ ab ∈ H
def.
⇐ si ab ∈ H ⇒
{ a ≡d b ( mod H ) ⇒ que la clase de equivalencia de a es la misma
−1
def.
que la clase de equivalencia de b o sea Ha = Hb
Análogamente se prueba que:
aH = bH ⇔ b −1a ∈ H
Proposición 1.15 Dado el grupo G, H < G y a ∈ G entonces:
H = Ha = aH ∀a ∈ G
Demostración Consideremos la siguiente aplicación entre conjuntos:
ϕ a : H → Ha
h Î ha
ϕ a es inyectiva ya que por la proposición 1.3 (i) (Propiedad cancelativa) se tiene:
ah = ah′ ⇒ h = h′
y es sobreyectiva ya que si x ∈ Ha ⇒
{ ∃h ∈ H tal que x = ha = ϕ a ( h ) luego:
def .
H = Ha
análogamente se prueba que
- 26 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 27 -
H = aH
Observación 1.13 Dado un grupo G y H < G , entonces G es unión disjunta de
coclases derecha, al igual que es unión disjunta de coclases izquierda.
En general Ha y aH no tienen porque coincidir. Si a ∈ H es claro que Ha y aH
coinciden con H. Hay una que es la misma en ambas como e ∈ H se tiene:
He = eH = H
Definición 1.27 Dado un grupo G y H < G definimos el conjunto cociente a
derecha como:
D=G
≡ d ( mod H )
y definimos conjunto cociente a izquierda a:
I =G
≡i ( mod H )
en forma explicita tenemos que:
D = {Ha : a ∈ G}
I = {aH : a ∈ G}
Proposición 1.16 Dado el grupo G y H < G , y sean D e I los conjuntos cocientes
derecha e izquierda respectivamente entonces:
D = I
Demostración Consideremos la siguiente aplicación
ϕ:D→I
tenemos que es inyectiva ya que:
Ha Î a −1H
a −1H = b −1 H ⇔ ( b −1 ) ( a −1 ) ∈ H ⇔ ab −1 = ( ba −1 ) ∈ H ⇔ Ha = Hb
14243
−1
−1
= ba −1
y es sobre por definición luego es biyectiva y por lo tanto:
D = I
Definición 1.28 Dado un grupo G , H < G definimos el indice de H en G por:
[G : H ] = D = I
Por la proposición anterior está bien definido.
- 27 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 28 -
Ejemplo 1.34 Sea G = ¢ , H < G ⇒ H = m¢
a ≡d b ( mod H ) ⇒ a − b ∈ H = m¢
en este caso D = L = ¢ m ⇒ [ ¢ : m¢ ] = ¢ m = m
Ejemplo 1.35 Si H = {e}
a ≡d b ( mod H ) ⇔ ab −1 = e ⇔ ab −1b = eb ⇔ a = b
entonces Ha = {a} y lo mismo para la relación ≡i luego:
Ha = aH = {a} ∀a ∈ G ⇒ D = I
además existe una aplicación biyectiva
ϕ:D→G
por lo que D = I ≅ G entonces:
{a} Î a
[G : {e}] = G
Ejemplo 1.36 Veremos que:
Si H < G
⇔ H =G
[G : H ] = 1
⇒ que el índice sea 1 implica que hay solo una clase
D = { Ha : a ∈ G} ∀a ∈ G ⇒ Ha = He = H
y como:
G = U Ha = H
a∈G
⇐ Si H = G dado un a ∈ G se tiene que:
∀b ∈ G = H
⇒
ab −1 ∈ H ⇒ a ≡d b ( mod H ) ⇒ Ha = G
{
def. subgrupo
luego D = G
≡ d ( mod H )
=G
= e ⇒ D = 1 o sea:
G {}
[G : G ] = 1
Definición 1.29 Dado un grupo G , H < G sea un conjunto S HG ⊂ G , decimos que es
un conjunto de representantes de las clases a derecha de H si S HG
exactamente un elemento de cada clase de equivalencia.
Observar que por la definición:
# S HG = [G : H ]
y que:
- 28 -
tiene
Notas de Álgebra II
Grupos
- 29 -
# ( S HG I H ) = 1
Teorema 1.17 Dado un grupo G, sean K < H < G entonces:
[G : K ] = [G : H ][ H : K ]
además si [G : K ] < ∞ ⇒ [G : H ] y [ H : K ] es < ∞ en general si dos son finitos
implica que el tercero también
Demostración Sea S HG el conjunto de representantes de las coclases a derecha de H
en G y sea S KH el conjunto de representantes de K en H entonces:
# S HG = [G : H ]
# S KH = [ H : K ]
Por definición del conjunto de representantes y de coclase se tiene:
G = â Ha
a∈SHG
H=
â Kb
b∈S KH
tenemos que probar que:
G=
â
Kba
( a ,b )∈S HG ×S KG
Primero probaremos que se trata de una unión luego justificaremos que es disjunta.
Sea g ∈ G ⇒ ∃a ∈ S HG , h ∈ H tal que:
g = ha
por otro lado si h ∈ H ⇒ ∃b ∈ S KH , k ∈ K tal que:
h = kb
sustituyendo:
g = kba
luego g ∈ Kba esto prueba la unión.
Para probar que son disjuntos consideremos que ∃g ∈ Kba I Kb′a′ esto implica:
∃k , k ′ ∈ K tal que g = kba = k ′b ′a ′
−1
−1
′ k{
′ k b = a′a −1 ⇒ a′a −1 ∈ H ⇒ Ha′ = Ha y como tomamos un solo
entonces b{
∈H
∈K
1
23
∈H
representante por clase a = a′ y sustituyendo
kba = k ′b′a ⇒ kb = k ′b′
′−1k = b′b−1 ⇒ b′b −1 ∈ K ⇒ Kb′ = Kb
∴ k{
∈K
y como tomamos un solo representante se tiene b = b′ y luego:
- 29 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 30 -
Kba = Kb′a′
Entonces de tener intersección son la misma y se trata de una unión disjunta.
Sea
S KG = {ba : b ∈ SKH , a ∈ S HG } = S KH × S HG
entonces:
#{
S KG = #{
S KH ⋅ #{
S HG
P
P
P
[G : K ] = [ H : K ][G : H ]
Corolario 1.18 (Teorema de Lagrange )
Dado un grupo G , H < G entonces
G = [G : H ] ⋅ H
sean finitos o infinitos.
Demostración Apliquemos el teorema anterior al caso {e} < H < G entonces:
G : {e}] = [G : H ][ H : {e}]
[1
424
3 123 1
424
3
P
G
P
= [G : H ] ⋅
P
H
además en particular si:
H |G
G < ∞
G
⇒
⇒ [G : H ] =
H
H < G y [G : H ] | G
y si
H <∞
⇒ G <∞
[G : H ] < ∞
Corolario 1.19 Dado un grupo G cuyo orden es finito, entonces el orden de un
elemento cualquiera del grupo divide al orden del mismo
Es decir si a ∈ G ,y G es finito entonces
a|G
Demostración Aplicamos el corolario anterior para H = a
tenemos que :
G = [G : a ] ⋅ a ⇒
{ a|G
G <∞
- 30 -
como
a = a
Notas de Álgebra II
Grupos
- 31 -
Corolario 1.20 Todo grupo finito de orden primo, es cíclico y en consecuencia
abeliano.
Demostración Sea G un grupo tal que G = p > 1 ⇒ ∃g ∈ G , con g ≠ e entonces
g es un subgrupo de G que como contiene a {e, g} es de g > 1 . Pero como por
el teorema de Lagrange , g divide a G que es primo y g ≠ 1 ⇒ g = p , o
sea que G = g es cíclico y por lo tanto abeliano.
Ejemplo 1.37 Probar que si G es un grupo tal que G ≤ 5 entonces G es abeliano.
Primero si G = 1 ⇒ G = {e}
Ahora si G = 2,3 o 5 ⇒ G = p primo y por el corolario anterior es cíclico y por lo
tanto abeliano.
Sea ahora G = 4 en este caso si existe g ∈ G tal que G = g igual que antes G es
cíclico y por tanto abeliano entonces supongamos que
∀g ∈ G se tiene que g ≠ e y G ≠ g
Pero por otro lado como g < G ∀g ∈ G entonces aplicando Lagrange :
g |G ⇒ g =2
⇒ g2 = e
∴ g = g −1
Luego dados x, y ∈ G se cumple:
xy = ( xy ) = y −1 x −1 = yx
−1
por lo tanto es abeliano
Definición 1.30 Dado un grupo G y los subconjuntos H , K ⊂ G definimos :
HK = {hk : h ∈ H , k ∈ K }
en general si H < G , K < G entonces no tiene por que ser HK un subgrupo de G
Ahora si ( G , + ) es abeliano entonces
HK = H ∨ K < G
{
P
H +K
Proposición 1.21 Dado el grupo G, sean H < G , y K < G con H < ∞, K < ∞
entonces:
H ⋅K
HK =
H IK
- 31 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 32 -
Demostración Tenemos que por ser H I K < K entonces:
K
= n ∈ ¢+
[ K : H I K ] ={
K <∞ H I K
entonces ∃k1 , k2 ,..., kn ∈ K tal que:
K = â ( H I K ) ki
n
i =1
tenemos que demostrar que:
=
Hki
{
â
↓
i =1
H IK⊂H
veamos primero que es una unión simple.
n
HK
n
Como H ki ⊂ HK ⇒ U Hki ⊂ HK para la otra inclusión:
{
i =1
∈K
Sea h ∈ H , k ∈ K entonces como K = â ( H I K ) ki se tiene que
n
i =1
∃i / k = aki con a ∈ H I K
hk = h{
n
{a
∈H ∈H I K ⊂ H
ki ∈ Hki ⇒ HK ⊂ U Hki
i =1
n
luego HK = U Hki
i =1
veamos ahora que son disjuntos, supongamos que Hki I Hk j ≠ φ entonces por la
observación 1.12 ⇒ Hki =
{ Hk j
⇓
h1ki = h2 k j ⇒ ki = h1−1h2 k j
−1
h ⇒ ki k −j 1 ∈ H I K
⇒ ki k −j 1 = h{
{ 1 2
∈H
∈K
entonces:
ki ≡ d k j ( mod ( H I K ) )
y como tomamos un solo representante por clase ki = k j luego la unión es disjunta y
n
HK = ∑ Hki = n H
{
i =1
=H
∴ HK = n H
sustituyendo el n tenemos la tesis
- 32 -
Notas de Álgebra II
Grupos
HK =
- 33 -
H ⋅K
H IK
Proposición 1.22 Dado el grupo G , H < G , K < G entonces se cumple:
i) [ K : H I K ] ≤ [G : H ]
ii) Si [G : H ] < ∞
[ K : H I K ] = [G : H ] ⇔ G = KH
Demostración Consideremos los siguientes conjuntos cocientes
G
G
= {Hg : g ∈ G} =
{ H
≡ d ( mod H )
not.
= {( H I K ) k : k ∈ K } =
{ K H IK
≡ d ( mod ( H I K ) )
not.
i
y sea el diagrama adjunto
Tenemos definida una aplicación
K
ϕ:K
→G
H IK
H
π1
( H I K ) k Î Hk
ϕ
es decir que
ϕ ( ( H I K ) k ) = Hk
K
H IK
tomemos dos elementos iguales en la imagen
o sea que k1 ≡ k2 ( mod H )
K
G
π2
G
H
⇒ Hk1 = Hk 2 ⇒ k1k 2−1 ∈ H
−1
⇒ k1k 2 ∈ H I K ⇒ ( H I K ) k1 = ( H I K ) k 2
−1
como k1 , k2 ∈ K ⇒ k1k2 ∈ K
luego k1 ≡d k2 ( mod ( H I K ) ) ⇒ ϕ es inyectiva , entonces la cantidad de coclases de
H I K son menor o igual a las coclases de H.
K
≤G
H
I
K
H
1424
3 {
P
P
[ K : H I K ] ≤ [G : H ]
ii) Siendo [G : H ] < ∞ tenemos que probar que [ K : H I K ] = [G : H ] ⇔ G = HK y
esto se cumple ⇔ ϕ es sobreyectiva.
⇒ Sea ϕ es sobreyectiva; tomemos g ∈ G ⇒ {
Hg ∈ G
H
=π 2 ( g )
como ϕ es sobreyectiva ⇒ ∃k ∈ K tal que Hk = Hg y esto último a su ves implica
- 33 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 34 -
}
∃h1 , h2 ∈ H tal que h1k = h2 g ⇒ h h k = g ⇒ g ∈ HK
{
∈K
−1
2 1
∈H
⇐ Sea g ∈ G queremos ver si ∃k ∈ K tal que {
Hk = Hg
P
ϕ (( H I K ) k )
y como G = HK ⇒ ∃h ∈ H y k ∈ K tal que g = hk despejando:
gk −1 = h ∈ H ⇒ gk −1 ∈ H ⇒ g ≡ d k ( mod H ) ⇒ Hk = Hg
⇒ ϕ es sobreyectiva.
Corolario 1.23 Dado el grupo G y los subgrupos H,K si [G : H ] < ∞ y [G : K ] < ∞
entonces:
i) [G : H I K ] < ∞ y
[G : H I K ] ≤ [G : H ] ⋅ [G : K ]
ii) y se da la igualdad
[G : H I K ] = [G : H ] ⋅ [G : K ] ⇔ G = KH = HK
Demostración Aplicando la proposición 1.17 tenemos:
≤[ G: H ]
64748
[G : K ] ⋅ [ K : H I K ]
[G : H I K ] =
≤ [G : K ] ⋅ [G : H ]
G
:
H
⋅
H
:
H
I
K
[
]
[
]
14243
≤[ G:K ]
ii) además
[ K : H I K ] = [G : H ] ⇔ G = HK
[G : H I K ] = [G : H ] ⋅ [G : K ] ⇔
[ H : H I K ] = [G : K ] ⇔ G = KH
Normalidad
Dado un grupo G , un subgrupo N donde las relaciones de equivalencia derecha e
izquierda módulo N coinciden juegan un papel importante para determinar la
estructura del grupo G así como para la naturaleza de los morfismo de dominio G.
Proposición 1.24 Dado un grupo G, sea N < G las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
i) Las relaciones izquierda derecha módulo N son iguales es decir:
≡d ( mod N ) = ≡i ( mod N )
- 34 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 35 -
ii) Toda coclase izquierda de N, es una coclase derecha de N.
iii) Para todo a ∈ G se cumple:
aN = Na
iv) Para todo a ∈ G se cumple:
aNa −1 ⊂ N
v) Para todo a ∈ G se cumple:
aNa −1 = N
Demostración Haremos la demostración como está
i)
esquematizada en el diagrama adjunto.
i) ⇔ iii) es inmediato
iii) ⇒ ii) es trivial
iii)
ii) ⇒ iii) Sea a ∈ G entonces por hipótesis existe
b ∈ G tal que
v)
aN = Nb
lo que quiere decir que a ∈ Nb , por ser Na I Nb ≠ φ
implica que Na = Nb y por lo tanto sustituyendo
aN = Na
iii) ⇒ iv) Sea n ∈ N , entonces an ∈ aN = Na lo que implica:
%
∃n% ∈ N tal que an = na
luego
ana −1 = n% ∈ N ⇒ aNa −1 ⊂ N
iv) ⇒ v) Por hipótesis
aNa −1 ⊂ N
∀a ∈ G
luego como a −1 ∈ G también se cumple:
a −1 Na ⊂ N ⇒ N ⊂ aNa −1
y por lo tanto aNa −1 = N
−1
v) ⇒ iii) Como ∀a ∈ G se cumple que aNa −1 = N ⇒ aN a{
a = Na
ii)
iv)
=e
luego
aN = Na
Definición 1.31 Dado un grupo G, sea N < G decimos que es subgrupo normal si
verifica alguna de las condiciones de la proposición anterior.
Escribimos
N <G
Ejemplo 1.38 Dado un grupo cualquiera G los subgrupos triviales son normales es
decir los subgrupos {e} y G ya que:
- 35 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 36 -
geg −1 = e ∀g ∈ G y aGa −1 ⊂ G ∀a ∈ G
Ejemplo 1.39 Si G es abeliano todo subgrupo de G es trivialmente normal.
El recíproco es falso, recordar los cuaterniones.
Ejemplo 1.40 Dado un grupo G probar que:
N < H < G
⇒ N < H
N <G
Si N < G ⇒ aNa −1 ⊂ N ∀a ∈ G en particular ∀h ∈ H ⇒ h ∈ G ⇒
hNh −1 ⊂ N ⇒ N < H
Ejemplo 1.41 Sean dos grupos G1 , G2 y ϕ : G1 → G2 un morfismo entre los mismos
probar que:
ker ϕ < G1
Ya que ker ϕ = { g ∈ G1 : ϕ ( g ) = e} entonces ∀g ∈ ker ϕ y a ∈ G1 se tiene:
ϕ ( aga −1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( g )ϕ ( a ) = ϕ ( a ) ϕ ( a ) = e
{
−1
−1
=e
−1
luego ∀a ∈ G1 a ker ϕ a ⊂ ker ϕ
∴ ker ϕ < G1
Una forma de buscar subgrupos normales es con los núcleos de morfismos.
Observación 1.14 De la definición N < G ⇔≡ d ( mod N ) = ≡i ( mod N ) y
podemos hablar de una sola relación ≡ ( mod N )
Entonces
G = { gN : g ∈ G}
N
se tiene que si:
g1 ≡ g 2 ( mod N )
⇒ g1h1 ≡ g 2 h2 ( mod N )
h1 ≡ h2 ( mod N )
Demostración
g1 ≡ g 2 ( mod N ) ⇒ g1 g 2−1 ∈ N
h1 ≡ h2 ( mod N ) ⇒ h1h2−1 ∈ N
entonces sea: g1 h1h2−1 g 2−1 = g1 Ng 2−1 y como N < G ⇒ g1 N = Ng1 luego existe ñ ∈ N
{
∈N
−1
1 1 2
tal que g h h = ñg1 sustituyendo:
- 36 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 37 -
g1h1h2−1 g 2−1 = ñ g1 g 2−1 ∈ N ⇒ g1h1 ≡ g 2 h2 ( mod N )
{
∈N
Luego podemos definir el producto en G
N
como sigue
Definición Dado un grupo G , y N < G vamos a definir una operación binaria en
G llamada producto como sigue:
N
g
G × G
→G
N
N
N
( g1 , g 2 ) Î g1 g 2
es decir que g1 g g 2 = g1 g 2
∀g1 , g 2 ∈ G
Proposición 1.25 Dado el grupo G y el subgrupo normal N sea
G = { gN : g ∈ G}
N
(
)
entonces G
,g admite una estructura de grupo y si consideramos la proyección
N
canónica π : G → G
definida como π ( g ) = g = gN entonces esta aplicación es
N
un epimorfismo de grupos y si G < ∞ entonces:
G = G
N
N
Demostración
Asociativa
g1 g( g 2 g g3 ) = g1 g( g 2 g3 ) = g1 ( g 2 g3 )
=
{
asoc. grupo
( g1 g 2 ) g3 = ( g1 g 2 )g g 3 = ( g1 g g 2 )g g3
Neutro El neutro de G
es e
N
Inverso El inverso de la clase de g es la clase del inverso:
( g )−1 = ( g )−1
ya que:
(
Luego G
)
( g )g( g −1 ) = gg −1 = e
,g es un grupo
N
Consideremos ahora π : G → G
como:
N
π ( g1g 2 ) = g1 g 2 = g1 g g 2 = π ( g1 )gπ ( g 2 )
se trata de un morfismo de grupos sobreyectivo ⇒ es un epimorfismo.
- 37 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 38 -
Además:
ker π = { g ∈ G : π ( g ) = e } = { g ∈ G : g = e } = { g ∈ G : g ≡ e ( mod N )} = N
∴ ker π = N
Por otro lado
Lagrange
G
G
= G : N] =
{
N por{def. [
G <∞ N
Observación 1.15 En los subgrupos normales N < G la condición que más usamos
para probar que es normal es:
aNa −1 ⊂ N ∀a ∈ G
y esto en cierto sentido nos permite conmutar, es decir:
∃ñ ∈ N tal que ana −1 = ñ ∀a ∈ G, ∀n ∈ N
o sea
dados a ∈ G , n ∈ N ⇒ ∃ñ ∈ N tal que an = ña
Proposición 1.26 Sea G un grupo ,K y N subgrupos de G entonces se cumple:
i) Si N < G ⇒ NK = KN = N ∨ K < G
ii) Si N < G , K < G ⇒ NK < G
iii) Si N < G , K < G y N I K = {e} entonces:
nk = kn ∀n ∈ N , k ∈ K
Demostración i) Como N < G ⇒ kN = Nk ∀k ∈ K ⇒ KN = NK entonces
Dados:
∈KN = NK
6
474
8
k1 , k2 ∈ K n1k1 ∈ NK
−1
−1 −1
⇒
⇒ ( n1k1 )( n2 k2 ) = n1 k{
1k 2 n2
n1 , n2 ∈ N n2 k2 ∈ NK
∈K
obser.}
anterior
N < G ⇒ ∃ñ ∈ N tal que k1k 2−1n2−1 = ñk1k2−1 sustituyendo
−1
n1 k1k2−1n2−1 = n{
1ñ k
1 k2 ∈ NK ⇒ NK < G
{
∈N
∈K
Además como N U K ⊂ NK < G ⇒ NK = N ∨ K
ii) sea n ∈ N , k ∈ K , g ∈ G entonces:
∈K por ser K <G
}
−1
−1
gnkg = {
gng
gkg −1 ∈ NK
∈N por ser N <G
es decir que:
gNKg −1 ⊂ NK ⇒ NK < G
iii) Sea n ∈ N y k ∈ K entonces:
- 38 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 39 -
∈K
}
−1
∈
nkn
k
K
{
∈K por ser K <G
−1 −1
⇒ nkn k ∈ N I K = {e}
∈}N
−1 −1
n kn
k
∈N
123
∈N por ser N <G
−1 −1
∴ nkn k = e ⇒ nk = kn
−1
Como aplicación de la proposición anterior veremos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.42 Dado un grupo G sean H, K dos subgrupos tales que:
H < G , K < G y H I K = {e}
entonces:
Φ : H × K → HK
( h, k ) Î hk
es un isomorfismo de grupos.
Demostración Por la proposición anterior:
Si H < G , K < G , ⇒ HK < G (parte (i)).
Como además K < G y H I K = {e} ⇒ hk = kh ∀h ∈ H y ∀k ∈ K (parte (iii)).
Entonces:
↔
Φ ( ( h1 , k1 ) ⋅ ( h2 , k2 ) ) = Φ ( h1h2 , k1k 2 ) = h1 h2 k1 k2 = h1k1h2 k 2 = Φ ( h1 , k1 ) Φ ( h2 , k2 )
además Φ ( e, e ) = ee = e ⇒ Φ es un morfismo de grupos
ker Φ = {( h, k ) ∈ H × K : hk = e} ,
pero que hk = e ⇒ h = k −1 ∈ H I K = {e} ⇒ h = e = k −1 ⇒ ker Φ = {( e, e )} y por lo
∈H
∈K
tanto Φ es inyectiva.
∀p ∈ HK ⇒ ∃h ∈ H , ∃k ∈ K tal que p = hk ⇒ Φ ( h, k ) = p ⇒ Φ es sobre.
Luego Φ es un isomorfismo y:
H × K ≅ HK
Propiedad universal del cociente
Proposición 1.27 Dado los grupos G1 y G2 sea ϕ : G1 → G2 un morfismo de grupos
en que N ⊂ ker ϕ , N < G1 entonces existe y es único el morfismo ϕˆ : G1 → G2 tal
N
que conmuta el diagrama. Y además:
- 39 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 40 -
Im ϕˆ = Im ϕ
ker ϕˆ = ker ϕ
ϕ
G1
N
π
Demostración Para que conmute el diagrama se
tiene que cumplir ϕ̂ o π = ϕ es decir:
ϕˆ (π ( a ) ) = ϕ ( a ) ∀a ∈ G
G2
#
ϕ̂
G1
ϕˆ ( a ) = ϕ ( a )
N
ϕ̂ está bien definida es decir que no depende del
representante.
Si a ≡ b ( mod N ) ⇒ ϕˆ ( a ) = ϕˆ ( b ) ⇒ ϕ ( a ) = ϕ ( b )
y esto se cumple porque:
Si a ≡ b ( mod N ) ⇒ ab −1 ∈ N ⊂ ker ϕ
∴ϕ ( ab −1 ) = e
1
424
3
P
ϕ ( a )ϕ ( b −1 ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) = e
−1
⇒ ϕ ( a ) = ϕ (b )
veremos ahora que ϕ̂ es un morfismo.
ϕˆ ( ab ) = ϕˆ ( ab ) = ϕ ( ab ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) = ϕˆ ( a )ϕˆ ( b )
luego es un morfismo que además es único
Como el diagrama conmuta y π es sobreyectiva implica que las imagines son
iguales.
a = aN ∈ ker ϕˆ ⇔ ϕˆ ( a ) = e ⇔ ϕ ( a ) = e
{
=ϕ ( a )
es decir que:
ker ϕˆ = {aN : a ∈ ker ϕ } = ker ϕ
Proposición 1.28 (Primer Teorema de Isomorfismo )
Sea ϕ : G1 → G2 un morfismo entonces:
Im ϕ ≅ G1
ker ϕ
en particular si ϕ es epimorfismo (sobre) entonces:
G2 ≅ G1
ker ϕ
- 40 -
N
Notas de Álgebra II
Grupos
- 41 -
Demostración Sea N = ker ϕ sabemos que es
ϕ
normal a G1 (ejemplo 1.41) y entonces por
G1
proposición anterior existe y es único el morfismo
G
ϕˆ : 1
→ G2 donde Im ϕˆ = Im ϕ .
π
≅
ker ϕ
G1
ϕˆ
→ > Im ϕˆ = Im ϕ
ker ϕ
G1
ker ϕ
de acuerdo a la proposición anterior
ker ϕˆ = ker ϕ
= e
N = ker ϕ { }
por lo que ϕ̂ es inyectiva.
Luego
G1
≅
Im ϕ = Im ϕˆ
ker ϕ
Im ϕ ⊂ G2
ϕ̂
a Î ϕ (a
a)
Proposición 1.29 Sean dos grupos G1 y G2 , ϕ : G1 → G2 morfismo entre ellos con
N1 < G1 , N 2 < G2 tal que ϕ ( N1 ) ⊂ N 2 entonces:
G
G
Existe un único morfismo ϕˆ : 1 → 2
N1
N2
ϕ
tal que el diagrama conmuta y además ϕ̂ es
G1
G2
−1
inyectiva si y solo sí N1 = ϕ ( N 2 ) y ϕ̂ es
Ð
sobre si y solo sí G2 = N 2 Im ϕ = Im ϕ N 2
π1
π 2 oϕ
π2
Ñ
Demostración Para la demostración vamos a
aplicar la propiedad universal del cociente a
G1
G2
la aplicación π 2 o ϕ para ello primero
N1
N2
ϕ̂
necesitamos ver si N1 ⊂ ker (π 2 o ϕ )
Como por hipótesis ϕ ( N1 ) ⊂ N 2 entonces
∀a ∈ N1 ⇒ ϕ ( a ) ∈ N 2 ⇔ ϕ ( a ) = e ⇔ π 2 (ϕ ( a ) ) = e
∴ N1 ⊂ ker (π 2 o ϕ )
luego existe ϕ̂ definida por ϕˆ ( aN1 ) = ϕ ( a ) N 2
clase de ϕ ( a ) en N2
clase de a en N1
tal que
ker ϕˆ =
ker (π 2 o ϕ )
- 41 -
N1
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 42 -
(π 2 o ϕ )( a ) = ϕ ( a ) = e ⇔ ϕ ( a ) ∈ N 2
∴ a ∈ ker (π 2 o ϕ ) ⇔ ϕ ( a ) ∈ N 2 ⇔ a ∈ ϕ −1 ( N 2 )
entonces resulta
ker ϕˆ =
ϕ −1 ( N 2 )
y por lo tanto será inyectiva si y solo sí
ϕ −1 ( N 2 ) = N1 ⇔ ker ϕˆ =
N1
ϕ −1 ( N 2 )
= e
N1 { }
además ϕ̂ es sobre ∀b ∈ G2 ∃a ∈ G1 tal que ϕˆ ( a ) = b es decir:
{
=ϕ ( a )
b = ϕ ( a ) en G2
⇔ ∃n ∈ N 2 tal que bϕ −1 ( a ) = n ⇔ b = nϕ ( a ) ∈ N 2 Im ϕ
N2
luego si G2 = N 2 Im ϕ = Im ϕ N 2
Corolario 1.30 (Segundo Teorema de Isomorfismo )
Dado el grupo G si se cumple que N < G , K < G entonces:
N < NK
K
NK
y
≅
NIK<K
N IK
N
Demostración
Si N < G como N < NK < G entonces por el
ejemplo 1.40:
N < NK
Por otro lado sea a ∈ K , b ∈ N I K entonces:
∈}K
−1
b% ∈ K ⇒ aba ∈ K
−1
a {
b a =
⇒ aba −1 ∈ N I K
−
1
∈N <G
b% ∈ N ⇒ aba ∈ N
luego
∀a ∈ K , a ( N I K ) a −1 ⊂ N I K ⇒
{ NIK<K
<
N
G
NK
<?
NIK
por def.
Definimos ahora la aplicación inclusión i : K → NK
y aplicamos la proposición anterior ya que
i(N I K ) = N I K ⊂ N
→ NK y como:
Entonces existe iˆ : K
N IK
N
−1
i ( N ) = {k ∈ K : k ∈ N } = N I K
luego iˆ es inyectiva
- 42 -
K
<?
i
K
NK
iˆ
K
NIK
NK
N
Notas de Álgebra II
Grupos
- 43 -
por otro lado como N Im
{i = NK ⇒ iˆ es sobreyectiva entonces es un isomorfismos y
=K
K
NK
≅
N IK
N
como queríamos probar. Además se tiene:
[ K : N I K ] = [ NK : N ]
Observación 1.16 Si tenemos ( G , + ) abeliano entonces el segundo teorema de
isomorfismo nos queda
K
N+K
≅
N IK
N
Proposición 1.31 (Tercer Teorema de Isomorfismo )
Dado un grupo G , K < H < G tales que K < G , H < G entonces:
G
K ≅G
H <G
y
K
K
H
H
K
<
<
G
H
Demostración Aplicamos al morfismo identidad la proposición
K
1.29 Por ser Id ( K ) = K ⊂ H entonces existe ϕ = Idˆ y es única
Además al ser:
H}
⊂G
Id
H ImId = HG = G
G
G
luego ϕ es sobre y como
Id −1 ( H )
H
π
π
ˆ
ϕ
ker =
K= K
esto implica dos cosas una que:
G
G
H <G
K
H
K
H
ϕ = Idˆ
la otra que podemos aplicar el primer teorema de
π
ϕ̂
isomorfismo al morfismo ϕ para obtener un
G
G
G
K
K
morfismo ϕˆ :
definido:
→
H
H
H
K
K
H
ϕˆ g = ϕ {
g = gH
K
= gK
- 43 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
- 44 -
G
H
G
≅
Entonces g
→ gH ⇒ K ≅
g∈G
H
K
H
K
Lema 1.32 Sea dos grupo G1 y G2 , ϕ : G1 → G2 morfismo entonces se cumple que:
i) Si N1 < G1 ⇒ ϕ ( N1 ) < Im ϕ
ii) Si N 2 < G2 ⇒ ϕ −1 ( N 2 ) < G1
iii) Si H < G2 ⇒ ker ϕ < ϕ −1 ( H )
Demostración i) Sean a ∈ G1 , b ∈ N1 entonces:
luego ϕ ( N1 ) < Im ϕ
−1
−1
ϕ ( a )ϕ ( b )ϕ ( a ) = ϕ aba
∈ ϕ ( N1 )
{
{
∈N1<G1
∈ϕ ( N1 )
ii) Sean a ∈ G1 , b ∈ ϕ −1 ( N 2 ) es decir tal que ϕ ( b ) ∈ N 2 entonces:
∈N 2
}
Como N 2 < G2 ⇒ ϕ ( a )ϕ ( b )ϕ −1 ( a ) ∈ N 2
{
123
∈G2
∈G2
144
42444
3
P
ϕ ( a )ϕ ( b )ϕ −1 ( a ) = ϕ ( aba −1 ) ∈ N 2 ⇔ aba −1 ∈ ϕ −1 ( N 2 )
Luego ϕ −1 ( N 2 ) < G1
iii) ahora como {e} < H entonces aplicando la proposición 1.6
ϕ −1 ({e} ) < ϕ −1 ( H )
1
424
3
P
ker ϕ < ϕ −1 ( H )
Proposición 1.32 Dado un grupo G , N < G y sean S N = {H < G : N < H } y
Sˆ = K : K < G N Sea π : G → G N (proy. Canónica) y consideremos la aplicación:
Sˆ → S N
S N → Sˆ
{
}
H Î π (H )
K Î π −1 ( K )
siendo π ( H ) = H
entonces esta aplicación es una biyección monótona creciente
N
que respeta la normalidad.
Demostración Primero probaremos que conserva la normalidad
- 44 -
Notas de Álgebra II
Grupos
- 45 -
π :G → G
si H < G ⇒ π ( H ) < G
N
N
−1 G
−
1
π : N → G si K < G N ⇒ π ( K ) < G
De acuerdo con la proposición anterior como π es
sobre:
G
Si H < G ⇒ π ( H ) = H < G
N
N
−
1
Si K < G ⇒ π ( K ) < G
H
N
además
ker
π < π −1 ( K ) < G
π −1 ( K )
{
P
N < π −1 ( K ) < G
La monotonía es clara
K1 < K 2 < G N ⇒ π −1 ( K1 ) < π −1 ( K 2 ) < G
N
π
G
N
π (H ) = H
N
K
{e}
Por otro lado la siguiente inclusión siempre se da
H ⊂ π −1 (π ( H ) )
Para probar la otra inclusión consideremos g ∈ π −1 (π ( H ) ) esto implica que:
∃h ∈ H tal que g = h en G N ⇒ g ≡ h ( mod N ) ⇒ gh −1 ∈ N
Es decir que ∃n ∈ N tal que gh −1 = n ⇒ g = n{ h ∈ H y entonces:
∈N ⊂ H
π
−1
(π ( H ) ) ⊂ H
Y se da la igualdad H = π −1 (π ( H ) )
Por otro lado siempre se cumple la siguiente inclusión :
π (π −1 ( K ) ) ⊂ K
Para probar la otra inclusión sea α ∈ K lo que significa que:
∃g ∈ G tal que α = g = π ( g )
entonces
π ( g ) = α ⇒ g ∈ π −1 ( K )
sustituyendo
α ∈ π (π −1 ( K ) )
y se da la inclusión K ⊂ π (π −1 ( K ) ) y por lo tanto se cumple:
K = π (π −1 ( K ) )
Así una es la inversa de la otra y existe entonces una biyección como afirmamos.
- 45 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 1
Ejemplo 1.43
Sea ϕ : G1 → G2 un epimorfismo y sean
S1 = {H < G : ker ϕ < H }
S 2 = {K : K < G2 }
Entonces la aplicación en que
f : S1 → S 2
verifican lo mismo
H < G1 → ϕ ( H ) < G2
que la proposción anterior
ϕ −1 ( K ) ← K < G2
- 46 -
- 46 -
Capítulo 2
Grupos Simétricos
En este capítulo estudiaremos con más detalle a los grupos simétricos ya
mencionados en los ejemplos 1.15 y 1.16 S n así como los subgrupos de los mismos.
Recordar que; si S es un conjunto no vació llamábamos:
Biy ( S ) = { f : S → S / f es biyectiva}
y ( Biy ( S ) , o ) es un grupo con la composición como operación.
Si llamamos I n = {1,..., n} , entonces S n = Biy ( I n ) y llamamos al grupo ( S n , o ) grupo
simétrico , en particular si σ ∈ S n lo llamamos permutación y escribimos:
2
L
n
1
σ =
σ (1) σ ( 2 ) L σ ( n )
Cuando los grupo aparecieron al principio en las matemáticas, generalmente
procedían de una fuente específica y se presentaban en forma muy concreta. Muy a
menudo era en la forma de un conjunto de transformaciones de algún objeto
matemático particular. En realidad, la mayor parte de los grupos aparecieron como
grupo de permutaciones, es decir , como subgrupos de S n (cuando S es un conjunto
finito de n elementos ) De ahí la importancia de estos grupos en particular.
El matemático inglés Cayley fue el primero en notar que todo grupo podía realizarse
como un subgrupo de S n Con ese propósito daremos el teorema de Cayley como
alguno de sus otros resultados.
El teorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de
Biy ( G ) , acá lo veremos como corolario del siguiente teorema:
Proposición 2.1 Si G es un grupo entonces existe un monomorfismo ϕ tal que
- 47 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 48 -
ϕ : G → Biy ( G )
a Î ϕa : G → G
x Î ax
Demostración Demostraremos primero que es un morfismo
Observar que
∀a ∈ G ϕ ( a ) = ϕ a
⇒ ϕ ( a )( x ) = ϕ a ( x ) = ax
∀x ∈ G ϕ a ( x ) = ax
entonces:
ϕ ( ab )( x ) = ϕ ab ( x ) = abx = ϕ a ( bx ) = ϕ a (ϕ b ( x ) ) = (ϕ a o ϕ b ) ( x ) = (ϕ ( a ) o ϕ ( b ) ) ( x )
Luego
ϕ ( ab ) = ϕ ( a ) o ϕ ( b )
Así ϕ es un morfismo de grupos y por lo tanto lleva elemento neutro en elemento
neutro
ϕ ( e )( x ) = ϕ e ( x ) = ex = x ⇒ ϕ ( e ) = Id
y lleva elementos invertibles en invertibles
−1
ϕ ( a −1 ) = ϕ ( a )
123 123
P
P
ϕ a − 1 = (ϕ a )
−1
Es decir que ∀a ∈ G ⇒ ϕ a ∈ Biy ( G ) ⇒ Im ϕ ⊂ Biy ( G )
Además si
ϕ ( a ) = Id ⇒ ϕ ( a )( x ) = ϕ a ( x ) = x ∀x ∈ G
{
P
ax = x ⇒ a = e ⇒ ker ϕ = {e}
Luego ϕ es inyectiva y se trata de un monomorfismo.
Corolario 2.2 Si G es un grupo tal que
monomorfismo ϕ : G → S n
G = n < ∞ entonces existe un
Demostración Aplicamos el teorema para el caso particular en que Biy ( G ) = S n por
ser G de finitos elementos.
Corolario 2.3 (Teorema de Cayley) Si G es un grupo entonces es isomorfo a un
subgrupo de Biy ( G )
- 48 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 49 -
Demostración Ya esta hecha la demostración solo hay que tener en cuenta que por
ser ϕ un monomorfismo (inyectiva) de acuerdo a lo visto en la proposición 1.6 (ii)
Im ϕ < Biy ( G ) entonces ϕ es un isomorfismo sobre Imϕ que es a su ves un
subgrupo de Biy ( G ) .
El teorema de Cayley nos permite exhibir cualquier grupo abstracto como un objeto
más concreto, a saber, como un grupo de transformaciones. ( Biy ( G ) ) Pero tiene sus
limitaciones; pues si G es un grupo finito de orden n , entonces como S n = n ! .
Nuestro grupo G de n elementos es algo perdido en un grupo que, con sus n!
elementos es gigantesco en comparación con G . Una pregunta natural es: ¿podemos
mejorar el resultado en el sentido de encontrar otro grupo con menos elementos, de
manera que la conclusión del teorema siga siendo válida? En esta dirección
veremos más adelante el teorema de generalización de Cayley.
Definición 2.1 Sea σ ∈ S n decimos que es un r-ciclo o ciclo de longitud r si existen
elementos i1 ,..., ir ∈ I n distintos tales que:
i) σ ( x ) = x ∀x ∉ {i1 ,..., in }
ii) σ ( ik ) = ik +1 si k = 1,..., r − 1
iii) σ ( ir ) = i1
Anotamos σ = ( i1 , i2 ,..., ir )
En el caso particular que sea σ un 2-ciclo lo llamamos trasposición y anotamos
σ = ( i, j )
Un 1-ciclo por definición es la identidad
1 2
Ejemplo 2.1 Sea I 2 = {1, 2} τ =
2 1
En el caso de S3 tenemos :
1 2 3 1 2 3
Id =
;
= ( 2,3) ;
1 2 3 1 3 2
claramente S 2 = {Id,τ } ≅ ¢ 2
1 2 3
1 2 3
2 1 3 = (1, 2 ) ; 2 3 1 = (1, 2,3)
1 2 3
1 2 3
3 1 2 = (1,3, 2 ) ; 3 2 1 = (1,3)
luego
S3 = {Id, (1, 2 ) ; (1,3) ; ( 2,3) ; (1, 2,3) ; (1,3, 2 )}
Observar que
( i1 , i2 ,..., ir ) = ( i2 ,..., ir , i1 ) = ..... = ( ir , i1 ,..., ir −1 )
Si σ = ( a1 , a2 ,..., ar ) entonces σ = r ya que σ r = Id entendiendo a
- 49 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 50 -
σr =σ
o σ o ... o σ
14243
r veces
Notar que σ −1 = ( ar , ar −1 ,..., a1 ) = σ r −1 ya que σ r −1 o σ = σ o σ r −1 = σ r = Id
Definición 2.2 Dadas dos permutaciones σ y τ ∈ S n decimos que son disjuntas si:
σ ( x) ≠ x ⇒ τ ( x) = x
τ ( x) ≠ x ⇒ σ ( x) = x
En particular si σ y τ son ciclos entonces :
σ = ( a1 ,..., ar )
como
⇒ σ Iτ = φ
τ = ( b1 ,..., bs )
conjuntos
Notar además que si σ es un r − ciclo y x ∈ I n σ ( x ) ≠ x entonces:
σ = ( x,σ ( x ) ,σ 2 ( x ) ,..., σ r −1 ( x ) )
Proposición 2.2 Toda permutación σ ∈ S n ,σ ≠ Id se puede escribir en forma única
(a menos del orden) como producto de ciclos disjuntos de longitudes mayores o
iguales que dos.
Demostración Primero vamos a definir una relación de equivalencia, como sigue:
x, y ∈ I n x : y ⇔ ∃m ∈ ¢ tal que y = σ m ( x )
dicha relación es efectivamente de equivalencia.
1) x : x ya que x = Id ( x ) = σ 0 ( x )
2) x : y ⇒ ∃m ∈ ¢ tal que y = σ m ( x ) ⇒ x = σ − m ( y ) ⇒ y : x
x : y ⇒ ∃m ∈ ¢ tal que y = σ m ( x )
n
m
n+ m
3)
⇒ z = σ (σ ( x ) ) = σ ( x ) ⇒ x : z
n
y : z ⇒ ∃n ∈ ¢ tal que z = σ ( y )
Esta relación de equivalencia establece una partición en I n en clases de equivalencia
y a estas anotaremos por
σ x = {σ m ( x ) : m ∈ ¢}
Así por ejemplo si la permutación dada:
1 2 3 4 5 6
σ =
2 4 3 1 6 5
se tiene σ 2 = {2, 4,1} , σ 3 = {3} , σ 5 = {5,6}
entonces existe un conjunto de representantes x1 , x2 ,..., xt ∈ I n tal que:
- 50 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 51 -
t
I n = 5 σ xi
i =1
teniendo en cuenta que puede haber clases con un solo elemento es decir que
σ x = { x} y reordenando
σ xi = 1 si i = s + 1,..., t
∃s ≤ t tal que
σ xi > 1 si i = 1, 2,..., s
consideremos i = 1, 2,..., s vamos a probar que ∃mi ∈ ¢ tal que
σ xi = mi y σ xi = { xi ,σ ( xi ) , σ 2 ( xi ) ,..., σ mi −1}
cumpliéndose σ mi ( xi ) = xi
Definimos
H xi = {m ∈ ¢ : σ m ( xi ) = xi }
se tiene que:
1) 0 ∈ H xi ya que σ 0 ( xi ) = Id ( xi ) = xi :
σ m ( xi ) = xi
2) Si m, n ∈ H xi ⇒ n
−n
σ ( xi ) = xi ⇒ xi = σ ( xi )
sustituyendo:
= xi
6
474
8
⇒ σ m σ − n ( xi ) = σ m ( xi ) = xi
14
4244
3
P
σ
m −n
( xi ) = xi ⇒ m − n ∈ H x
i
luego H xi < ¢ , H xi ≠ ¢ y H xi ≠ Id para esto último elegimos los i = 1,..., s lo que
significa que H xi es un subgrupo propio de los enteros ¢ y como ya sabemos de
álgebra 1 existe mi ∈ ¢ + tal que H xi = mi ¢ con mi ≥ 2 .
Consideremos la aplicación
ϕ : ¢ → σ xi
¢
m Î σ m ( xi )
ϕ ( m ) = ϕ ( n ) ⇔ σ m ( xi ) = σ n ( xi )
⇔σ
m−n
( xi ) = xi ⇔ m − n ∈ H x = mi ¢
i
⇔ m ≡ n ( mod H xi ) ⇔ m = n en ¢ mi
entonces sabemos que existe una única ϕ̂
ϕˆ : ¢
→ σ xi
tal que ϕˆ ( m ) = ϕ ( m ) entonces:
mi ¢
- 51 -
π
ϕ
σ xi
≅
¢
mi ¢
ϕˆ
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 52 -
ϕˆ ( m ) = ϕˆ ( n ) ⇔ ϕ ( m ) = ϕ ( n ) ⇔ m = n
luego ϕ̂ es inyectiva y como ϕ es sobre entonces ϕ̂ es sobre y por lo tanto es
biyectiva.
¢ mi = { 0, 1 ,..., mi − 1}
↓, ↓ ,...,
↓
xi , σ ( xi ) ,.., σ mi −1 ( xi )
Como ¢ mi = mi ⇒ σ xi = mi y además dichos elementos son:
σ xi = { xi ,σ ( xi ) ,σ 2 ( xi ) ,..., σ mi −1 ( xi )}
Llamemos ηi = σ xi para i = 1,..., s vamos a probar que
σ = η1η2 ....ηs
Sea x ∈ I n ⇒ puede suceder dos cosas:
s
1)
x
∉
σ xi ⇒ σ ( x ) = x ⇒ ηi ( x ) = x ∀i = 1,..., s ⇒ η1η2 ...ηs ( x ) = x
5
1
i
=
2) ∃i ∈ {1,..., s} tal que x ∈ σ x ⇒ η ( x ) = x ∀j ≠ i
i
j
⇒ η1η2 ...ηs ( x ) = ηi (η1...ηi −1ηi +1...ηs )( x ) = ηi ( x ) = σ ( x )
Esto prueba la existencia
Unicidad
Supongamos que tenemos otra descomposición de σ la siguiente forma:
σ = τ1τ 2 ...τ r
con τ i ciclos disjuntos con τ i ≥ 2 y τ i = ( yi ,τ i ( yi ) ,...,τ imi −1 ( yi ) ) con τ imi ( yi ) = yi
Sea Ai = { yi ,τ i ( yi ) ,...,τ imi −1 ( yi )} i = 1,..., r
como los ciclos son disjuntos Ai I Aj = φ si i ≠ j
Si y ∈ Ai ⇒ σ ( y ) = τ 1τ 2 ...τ r ( y ) = τ i (τ 1...τ i −1τ i +1...τ r )( y ) = τ i ( y ) ∈ Ai
σ 2 ( y ) = σ τ i ( y ) = τ i (τ i ( y ) ) = τ i2 ( y ) ∈ Ai
{
∈Ai
LLLLLLLLLLLLL
σ m ( y ) = τ im ( y ) ∀y ∈ Ai ∀m ∈ ¢
Luego
σ yi = {σ m ( yi ) : m ∈ ¢} = {τ im ( yi ) : m ∈ ¢} = Ai
Los Ai son clases de equivalencia según la relación definida más arriba con Ai ≥ 2
desde i = 1,..., r .
Si x ∉ A1 U A2 U ... U Ar ⇒ τ i ( x ) = x ∀i ∈ {1,..., r} ⇒ σ ( x ) = τ 1τ 2 ...τ r ( x ) = x
- 52 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 53 -
r
Entonces si llamamos z1 ,..., zk = I n \ U Ai se tiene que
i =1
I n = A1 â A2 â ... â Ar â { z1} â ... â { zk }
I n = σ y1 â ... â σ yr â { z1} â ... â { zk }
tenemos una partición de I n en clases de equivalencia y como esta es única se tiene
probado la unicidad.
Ejemplo 2.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
=
1,3
2,
4,5
;
(
)(
)
3 4 1 5 2
3 5 1 4 2 = (1,3)( 2,5 )
Observación 2.1 Dada una permutación σ ∈ S n y sea su descomposición en ciclos
disjuntos σ = τ 1.τ 2 ...τ r entonces:
σ = m.c.m { τ1 ,..., τ r }
Así como en el ejemplo:
1 2 3 4 5
3 4 1 5 2 = m.c.m { (1,3) , ( 2, 4,5 ) } = 2.3 = 6
Corolario 2.3 Toda permutación σ ∈ S n , σ ≠ Id se puede escribir como producto
de trasposiciones ( no necesariamente disjuntas) Salvo que esta descomposición no
es única.
Demostración Basta con demostrar que todo ciclo lo verifica y que la identidad
también
§ Id = ( i, j )( j , i )
§ ( x1 , x2 , x3 ,..., xr − 2 , xr −1 , xr ) = ( x1 , xr )( x1 , xr −1 ) ...( x1 , x3 )( x1 , x2 ) r ≥ 2
Ejemplos 2.3
1. ( a, b, c ) = ( a, c )( a, b )
2. ( x, y , a )( x, y, b ) = ( x, a )( x, y )( b, y )( b, x )
1
424
3
( b , x, y )
Por otro lado
( x, y , a ) = ( x, a )( x, y )
x, y )( y, x )( y , b ) = ( x, a )( y , b )
⇒ ( x, a )(14243
( x, y, b ) = ( b, x, y ) = ( y, b, x ) = ( y, x )( y, b )
= Id
Luego tenemos dos descomposiciones
- 53 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 54 -
( x, a )( x, y )( b, y )( b, x )
( x, a )( y , b )
en las que no hay unicidad en la cantidad de factores.
( x, y , a )( x, y, b ) =
Definición 2.3 Dada una función f : ¢ n → ¢ y una permutación σ ∈ S n definimos
la siguiente función σ f : ¢ n → ¢ como:
σ f ( x1 ,..., xn ) = f ( xσ (1) ,..., xσ ( n) ) ∀x1 ,..., xn ∈ ¢
Observación 2.2 Dadas dos permutaciones σ ,τ ∈ S n y una función f : ¢ n → ¢
entonces se cumple:
1) Idf = f en forma obvia.
2) (τσ ) f = τ (σ f )
Ya que:
[τ (σ f )] ( x1 ,..., xn ) = (σ f ) ( xτ (1) ,..., xτ ( n ) )
llamemos yi = xτ (i ) para i = 1,..., n entonces
(σ f )( y1 ,..., yn ) = f ( yσ (1) ,..., yσ ( n ) )
y como yσ ( i ) = xτ (σ ( i ) ) ∀i = 1,...n sustituyendo nos queda:
[τ (σ f )] ( x1 ,..., xn ) =
f ( xτσ (1) ,..., xτσ ( n ) ) = [(τσ ) f ] ( x1 ,..., xn )
lo que queríamos probar.
Observación 2.3 Si f , g : ¢ n → ¢ , c ∈ ¢ y σ ∈ Sn entonces:
σ ( f + g ) = σ f + σ g ; σ ( fg ) = (σ f )(σ g ) ; σ ( cf ) = c (σ f )
Demostración Ejercicio.
Proposición 2.4 Existe un único morfismo ε : S n → {−1,1} = ¢× tal que ε (τ ) = −1
para toda trasposición τ .
Demostración Para ello definimos una función ∆ : ¢ n → ¢ tal que:
∆ ( x1 ,..., xn ) = ∏ ( x j − xi )
1≤ i < j ≤ n
Primero que nada ∆ ≠ 0 por ser cada factor distinto de cero.
Consideremos una trasposición cualquiera σ = ( r , s ) entonces de acuerdo a la
definición 2.3 está definida σ∆ : ¢ n → ¢ y además si suponemos r < s tenemos:
- 54 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 55 -
σ∆ ( x1 , x2 ,..xr ,..., xs ,..., xn ) = ∆ x1 ,..., xr −1 , xs ,..., xs −1 , xr ,..., xn
E5555555F
cambiamos r con s
entonces podemos escribir:
∆3
∆2
∆1
64447444
8
6
474
8 6447448
∆ ( x1 ,..., xn ) = ( xs − xr ) ∏ ( x j − xi ) ⋅ ∏ ( x j − xs )( xj − xr ) ⋅
1≤ i < j ≤ n
{i , j}I{r , s} =φ
j >s
⋅ ∏ ( xs − x j )( xr − x j ) ⋅ ∏ ( xs − x j )( x j − xr )
j<r
< j<s
14442444
3 1144424443
∆4
De esta forma
∆5
∆ = ∆1∆ 2 ∆ 3 ∆4 ∆5
ahora σ∆1 ( x1 ,..., xn ) = ( xσ ( s ) − xσ ( r ) ) = ( xr − xs ) = −∆1
∆2 =
∏ (x
1≤ i < j ≤ n
{i , j}I{r , s}=φ
j
σ
− xi )
→ ∆ 2 ya que r y s no aparecen
σ
∆ 3 = ∏ ( x j − xs )( x j − xr )
→ ∏ ( x j − xr )( xj − xs ) = ∆ 3
1
r
s
σ
∆ 4 = ∏ ( xs − x j )( xr − x j )
→ ∏ ( xr − x j )( xs − x j ) = ∆ 4
1 j r
s
n
s
n
j >s
j<r
∆5 =
∏ (x
r < j <s
j
n
j >s
j <r
− x j )( x j − xr )
→ ∏ ( xr − x j ) ( x j − xs ) = ∆ 5 1
424
31
424
3
r < j <s 1
σ
s
=− ( x j − xr )
r
j
=− ( xs − x j )
Luego σ∆ = −∆ , con σ = ( r , s )
Para el caso general σ ∈ S n cualquiera, tenemos por el corolario anterior que existen
trasposiciones τ 1 ,...,τ k tal que:
τ = τ 1τ 2 ...τ k
entonces
k
σ∆ = (τ 1τ 2 ...τ k ) ∆ = τ 1 (τ 2 ( ...(τ k ∆ ) ...) ) = ( −1) ∆
Definimos ε : S n → {−1,1} por σ∆ = ε (σ ) ∆ ∀σ ∈ Sn ; por lo visto hasta ahora
tiene sentido dicha definición y además:
Sean σ ,τ ∈ S n entonces
ε (στ ) ∆ = (στ ) ∆ = σ (τ∆ ) = σ ε (τ ) ∆ = ε (τ ) σ∆ = ε (τ ) ε (σ ) ∆
{
∈¢
Luego ε (στ ) = ε (σ )ε (τ ) es decir que ε : S n → ¢× = {−1,1} es un morfismo de
grupos y ε (τ ) = −1 si τ es una transposición.
- 55 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 56 -
La unicidad de ε se deduce de que las trasposiciones generan a S n como grupo,
porque ya vimos que cualquier permutación se puede escribir como producto de
trasposiciones.
Observación 2.4 Ya vimos que una permutación se puede escribir como producto
de trasposiciones lo que además se cumple que esta descomposición no es única ni
siquiera en el número de factores, pero estos son iguales módulo dos.
Es decir si: σ ∈ S n y
σ = τ 1τ 2 ...τ r
r
s
⇒ ( −1) = ( −1) ⇒ r ≡ s ( mod 2 )
σ = η1η2 ....ηs
Definición 2.4 Dada una permutación σ ∈ S n decimos que es par si ε (σ ) = 1
Notar que si una permutación es par entonces se descompone en un número par de
trasposiciones.
r
σ = τ 1τ 2 ...τ r con r par ⇔ ε (σ ) = ( −1) = 1
En caso contrario decimos que σ es impar.
Definición 2.5 Llamaremos grupo alternado al grupo:
An = {σ ∈ Sn : σ es par}
Como Id ∈ An y si σ ,τ ∈ An ⇒ στ −1 ∈ An luego An < S n otra forma de ver lo mismo
es observando que An = ker (ε ) ⇒ An < Sn y además como ε : S n → {−1,1} es
sobreyectiva entonces
S
{−1,1} ≅ S n A ⇒ 2 = [ S n : An ] = n
n
A
n
luego
Sn n!
=
2
2
Observación 2.5 Si σ ∈ S n es un r-ciclo de la forma σ = ( a1 , a2 ,..., ar ) como:
a1 , ar )( a1 , ar −1 ) ...( a1 , a2 )
( a1 , a2 ,..., ar ) = (1444
424444
3
An =
r −1 factor
entonces σ es par ⇔ r es impar
Ejemplo 2.4
S 2 = {Id, (1, 2 )} ⇒ A2 = {Id}
S3 = {Id, (1, 2 ) ; (1,3) ; ( 2,3) ; (1, 2,3) ; (1,3, 2 )} entonces A3 = {Id, (1, 2,3) ; (1,3, 2 )} ≅ ¢ 3
- 56 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 57 -
Definición 2.6 Dado un grupo G ≠ {Id} decimos que es un grupo simple si no
contiene subgrupos normales propios (no triviales).
Es decir si H < G ⇒ H = {Id} o H = G
Ejemplo 2.5 Si G es abeliano, G es simple si y solo sí G ≅ ¢ p con p primo.
Ya que si es abeliano todo subgrupo es normal y si es isomorfo a ¢ p con p primo
implica que no tiene subgrupos propios, los únicos subgrupos son los triviales ⇒
los únicos subgrupos normales de G son los triviales.
Ejemplo 2.6 En base al ejemplo anterior y al ejemplo 2.4 ⇒ A3 es simple
Ejemplo 2.7 Sea en S 4 N = {Id, (12 )( 34 ) ; (13)( 24 ) ; (14 )( 23)} < A4 (ejercicio del
practico) luego A4 no es simple.
Probaremos que An es simple si n ≥ 5 para lo cual veremos los siguientes lemas.
Lema 2.5 An es el subgrupo de S n generado por los 3-ciclos para todo n ≥ 3
Demostración Sea L= subgrupo de S n generado por los 3-ciclos.
Como ( abc ) = ( ab )( bc ) ∈ An ⇒ L ⊂ An
Para n = 3 A3 = {Id, (123) ; (132 )} y se cumple A3 = L
Para n ≥ 3 si σ ∈ An ⇒ σ = τ 1τ 2 ...τ 2k con τ i trasposición ∀i = 1,..., 2k es decir se
descompone en un número par de trasposiciones. Entonces según sean estas
disjuntas o no se tiene:
= Id
6
474
8
( xa )( yb ) = ( xa )( xy )( xy )( yb ) = ( xya )( xyb )
τ i τ i +1 =
⇒ An ⊂ L
( ab )( bc ) = ( ba )( bc ) = ( bca ) = ( abc )
y por lo tanto L = An
Definición 2.7 Dado un grupo G, sean a, b ∈ G decimos que son conjugados si
existe c ∈ G tal que a = cbc−1 .
Observación 2.6 Ser conjugados es una relación de equivalencia en G
Ya que
i) a = eae−1 ⇒ a es conjugado consigo mismo.
ii) Si a es conjugado con b ⇒ ∃c ∈ G tal que a = cbc −1 ⇒ c −1ac = b
- 57 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 58 -
∴ ∃c −1 ∈ G tal que b = c −1a ( c −1 ) ⇒ b es conjugado con a
−1
iii) Sean a conjugado con b y b conjugado con c entonces:
∃h ∈ G tal que a = hbh −1
−1
−1 −1
con hk ∈ G
a
=
hkck
h
⇒
a
=
hk
c
hk
(
)
(
)
∃k ∈ G tal que b = kck −1
luego a es conjugado con c .
Definición 2.8 Dado un grupo G y a ∈ G llamamos clase de conjugación de a y
anotamos CG ( a ) a la clase de equivalencia que pertenece a:
CG ( a ) = {cac −1 : c ∈ G}
Lema 2.6 Dada una permutación σ ∈ S n entonces:
σ ( a1 , a2 ,..., ar ) σ −1 = (σ ( a1 ) , σ ( a2 ) ,..., σ ( ar ) )
Demostración Primero consideremos que :
x ∉ {σ ( a1 ) ,..., σ ( ar )} ⇒ σ −1 ( x ) ∉ {a1 ,..., a r } luego se tiene:
σ ( a1 ,..., ar )σ −1 ( x ) = σ (σ −1 ( x ) ) = x = (σ ( a1 ) ,..., σ ( ar ) ) ( x )
Ahora si x ∈ {σ ( a1 ) ,..., σ ( ar )} ⇒ x = σ ( ak ) para algún k ≤ r entonces:
σ ( ak +1 ) si k ≠ r
σ ( a1 ,..., ar )σ −1 ( x ) = σ ( a1 ,..., ar )σ −1 (σ ( ak ) ) = σ ( a1 ,..., ar )( ak ) =
σ ( a1 ) si k = r
Luego
σ ( a1 ,..., ar )σ −1 = (σ ( a1 ) ,..., σ ( ar ) )
Lema 2.7 Si n ≥ 5 , entonces todos los 3- ciclos son conjugados entre sí en An .
Demostración Sea ( abc ) e ( ijk ) dos 3-ciclos :
∃σ ∈ S n tal que σ ( a ) = i ; σ ( b ) = j ; σ ( c ) = k
entonces σ ( abc )σ −1 = ( ijk ) por lema anterior
Si σ ∈ An ya está
Si σ ∉ An se tiene que si de ∉ {abc} ⇒ σ . ( de ) ∈ An y entonces:
conmutan
Id
64748
6
474
8
−1
−1
−1
σ
σ
=
σ
σ
=
σ
.
de
abc
.
de
de
abc
de
de
de
( )( )( )
( )( )( abc ) σ −1 =
( ( )) ( ) ( ( ) )
= σ ( abc ) σ −1 = ( ijk )
Es decir que todos los 3-ciclos son conjugados entre sí en An
- 58 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 59 -
Corolario 2.8 Si n ≥ 5 , N < An y N contiene un 3-ciclo, entonces N = An
Demostración Por ser N normal se tiene que: στσ −1 ∈ N ∀τ ∈ N y σ ∈ An
por hip. ∃τ ( 3-ciclo ) ∈ N ⊂ An
N contiene a todos los 3-ciclos
⇒δ ∈N
⇒
N = An
−1
∀δ ( 3-ciclo ) ∈ An ⇒ ∃σ ∈ An / στσ
=δ
y An = 3-ciclo
{
prop. ant.
∈N
Proposición 2.9 El subgrupo An para n ≥ 5 es simple
Demostración Consideramos que tenemos N < An con N ≠ {Id} entonces
probaremos que N = An . Para ello usaremos el corolario anterior, es decir
demostraremos que N contiene un 3-ciclo.
Como N ≠ {Id} ⇒ ∃σ ∈ N , σ ≠ Id es decir que: σ = τ 1τ 2 ...τ r , τ i ciclos disjuntos
τ i ≥ 2 , i = 1,..., r Tenemos 4 casos posibles:
1) Existe un i tal que τ i ≥ 4
2) ∀i , τ i ≤ 3 pero existen i ≠ j tales que τ i = τ j = 3
3) Existe un i tal que τ i = 3 y τ k < 3 ∀k ≠ i
4) ∀i , τ i = 2
Caso 1 Como existe un ciclo de orden mayor que cuatro sea este ( a1a2 ...ar ) y
consideremos σ = ( a1a2 ...ar )τ con ( a1a2 ...ar ) y τ disjuntos
−1
−1
Sea δ = ( a1a 2a3 ) ∈ An entonces como σ ∈ N ⇒
δσδ −1 ) ∈ N
{ δσδ ∈ N ⇒ σ{ (1
3
N < An
∈ N 424
σ
−1
(δσδ ) = τ ( a ...a ) ( a a a )( a ...a )τ ( a a a )
−1
−1
−1
1
r
1 2 3
1
r
1 2 3
∈N
−1
=
τ −1 ( ar ... a1 )( a1 a2 a3 )( a1...ar )τ ( a1a2 a3 ) = τ −1τ ( ar ...a1 )( a1a2 a3 )( a1...ar )( a1a2 a3 )
14444244443
−1
−1
Aplicamos el lema 2.6
= ( ar ... a1 )( a2 a3 a1a4 ...ar ) = ( a1a3ar ) ∈ N con r ≥ 4;
luego encontramos un 3-ciclo perteneciente a N, por corolario anterior N = An
Caso 2 σ = ( a1a2a3 )( a4a5a6 )τ , con ( a1 a2 a3 ) , ( a4 a5 a6 ) , τ ∈ S n disjuntos
Sea δ = ( a1a 2a 4 ) ∈ An ⇒ σ −1 (δσδ −1 ) ∈ N
σ −1δσδ −1 = τ −1 ( a6 a5 a4 )( a3 a2 a1 )( a1a2a4 )( a1a2 a3 )( a4 a5 a6 ) τ ( a4a2 a1 ) =
= ( a4 a2 a6 a3 a1 ) ∈ N y estamos en el caso 1
- 59 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 60 -
Caso 3 σ = ( a1a2a3 )τ1...τ s , con τ 1 ,...,τ s trasposiciones ; ( a1a2 a3 ) ,τ 1 ,...,τ s disjuntos
Como σ ∈ N ⇒ σ 2 ∈ N , σ 2 = ( a1a2a3 )τ1...τ s ( a1a2a3 )τ 1...τ s =
= ( a1a2 a3 )( a1a2 a3 ) τ12 ...τ s2 = ( a1 a3a2 ) ∈ N
123
= Id ( por trasp.)
luego N = An
σ = ( a1a2 )( a3a4 )τ con ( a1a2 ) , ( a3a4 ) ,τ disjuntos ; con τ producto de
Caso 4
trasposiciones.
Sea δ = ( a1a 2a3 ) ∈ An ⇒ σ −1δσδ −1 ∈ N
σ −1δσδ −1 = τ −1 ( a4 a3 )( a2 a1 )( a1a2 a3 )( a1a2 )( a3a4 ) τ ( a1a 2a3 )
144444
42444444
3
−1
aplicamos lema 2.6
= ( a4 a3 )( a2 a1 )( a2 a3 )( a1a4 ) = ( a1a3 )( a2 a4 )
Llamemos σ 2 = ( a1a3 )( a2 a4 ) ∈ N sea b ≠ a1 , a2 , a3 , a4 esto es posible por ser n ≥ 5
Sea δ 2 = ( a1a3b ) ∈ An ⇒ σ 2−1δ 2σ 2δ 2−1 ∈ N y entonces:
σ 2−1δ 2σ 2δ 2−1 = ( a2 a4 )( a1a3 )( a1 a3b )( a1a3 )( a2 a4 )( a1 a2 b ) =
144444244444
3
−1
Aplicamos Lema 2.6
= ( a2 a4 )( a1a3 )( a3b )( a2 a4 ) = ( ba1a3 ) ∈ N
Luego también en este caso N = An
Grupos Libres
Proposición 2.10 Dado un conjunto X ≠ φ entonces existe un grupo F ( X ) y una
función inyectiva i : X → F ( X ) tal que para todo grupo G y función ϕ : X → G
existe un único morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que el diagrama conmuta, es decir que
ϕˆ o i = ϕ
ϕ
Demostración Para la demostración primero vamos a
construir al grupo F ( X ) que definiremos de la siguiente
manera.
Definición 2.9 Decimos que F ( X ) es un grupo libre de
base X, o generado por X, o de alfabeto X.
Sea X −1 un conjunto disjunto con X y con la misma
cantidad de elementos:
- 60 -
X
G
#
ϕ̂
i
F(X)
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 61 -
X = X −1 y X I X −1 = φ
entonces existe una biyección entre dichos conjuntos , y convenimos en llamar al
correspondiente de un elemento x en dicha biyección, x −1 , o sea
X → X −1
x Î x −1
no indica el inverso de x debido a que no tenemos definido un
Notar que acá x −1
producto, aún.
Tomamos un elemento que llamamos 1 ∉ X U X −1 .
Una palabra en X (o de alfabeto X ) es una función g : ¥ → Y
Y = X U X −1 U {1} una palabra entonces es una sucesión de elementos de Y.
α = ( a1 , a2 ,....) tal que ai ∈ Y ∀i = 1, 2...
donde
y tal que existe n0 ∈ ¢ + tal que ai = 1 ∀i ≥ n0
es decir:
α = ( a1 , a2 ,...., ano −1 ,1,1,1,.....)
A los elementos ai , ai+1 se les llaman adyacentes.
La palabra constante (1,1,1,......) es la palabra vacía y le llamamos 1 es decir
escribimos:
1 = (1,1,1,.....)
Definición 2.10 Una palabra α se llama reducida si se verifica:
1) ∀x ∈ X x, x −1 no son adyacentes en α .
2) Si existe k ∈ ¢ + tal que ak = 1 ⇒ ai = 1 ∀i ≥ k
Como caso particular la palabra 1 = (1,1,1,.....) es reducida.
F ( X ) como conjunto es el conjunto de las palabra reducidas es decir:
F ( X ) = {palabras reducidad de alfabeto X }
Observar que toda palabra reducida es de la forma:
( x1λ1 , x2λ2 ,..., xnλn ,1,1...) con xi ∈ X , λi = ±1, i = 1,..., n xi+1 ={ xi
def.
Escribimos
( x1λ1 , x2λ2 ,..., xnλn ,1,1,...) = x1λ1 x2λ2 ....xnλn
Con la anotación acordada entonces:
x1λ1 x2λ2 ....xnλn = y1µ1 y2µ 2 .... ymλm
- 61 -
n = m
⇔ xi = yi
λ = µ ∀i = 1,.., n
i
i
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 62 -
Definiremos un producto en F ( X ) de tal manera de obtener una estructura de
grupo.
⋅
Sea F ( X ) × F ( X )
→ F ( X ) mediante las siguientes consideraciones:
1) La palabra vacía 1 es el neutro :
p ⋅1 = 1 ⋅ p = p ∀p ∈ F ( X )
2) Si
p = x1λ1 x2λ2 ... xnλn
con xnλn ≠ y1− µ1 ⇒ p ⋅ q = x1λ1 x2λ2 ...xnλn y1µ1 y2µ 2 ... ymµ m
µm
µ1 µ 2
q = y1 y2 ... ym
3) Si
p = x1λ1 x2λ2 ...xnλn z1δ1 z 2δ 2 ...z rδ r
con xnλn ≠ y1− µ1 ⇒ p ⋅ q = x1λ1 x2λ2 ...xnλn y1µ1 y2µ 2 ... ymµ m
µm
− δ r − δ r −1
− δ1 µ 1 µ 2
q = zr zr −1 ...z1 y1 y2 ... ym
4) Si
p = x1λ1 ...xnλn ym− µm ... y1− µ1
λ
λ
⇒ p ⋅ q = x1 1 ... xn n
µm
µ1
q = y1 ... ym
5) Si
p = x1λ1 ...xnλn
⇒ p ⋅ q = y1µ1 ... ymµm
− λn
µm
− λ1 µ1
q = xn ...x1 y1 ... ym
6) Si
p = x1λ1 ...xnλn
⇒ p⋅q =1
q = xn− λn ... x1− λ1
Esta última nos dice que todo elemento es invertible , lo que falta probar es que este
producto es asociativo (ejercicio).
Luego ( F ( X ) , ⋅) es un grupo.
Definimos i : X → F ( X )
función
x Îx
x1 = ( x,1,1,...)
Como i ( x ) = i ( y ) ⇒ ( x,1,1,...) = ( y,1,1,...) ⇒ x = y luego i es inyectiva.
Sea G un grupo y ϕ : X → G una función. Probaremos que existe un único
morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que : ϕˆ o i = ϕ .
Entonces de existir tal morfismo ϕˆ : F ( X ) → G con ϕˆ o i = ϕ se tiene:
- 62 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
ϕˆ ( x1 ) = ϕ ( x ) ∀x ∈ X
entonces
- 63 -
−
−
−1
⇒
{ ϕˆ ( x ) = ϕˆ ( x ) = ϕ ( x ) ∀x ∈ X
1
1
ϕˆ morfismo
ϕˆ ( x λ ) = ϕ ( x ) ,λ = ±1
λ
x = 1 ϕˆ ( x ) = e
Si x ∈ F ( X ) ⇒
λ1 λ2
λn
x ≠ 1 ∃! x1 ,..., xn ∈ X , λi = ±1 tal que: x = x1 x2 ...xn
Y se tiene:
λ
λ
λ
ϕˆ ( x ) = ϕˆ ( x1λ1 x2λ2 ...xnλn ) = ϕˆ ( x1 ) 1 ϕˆ ( x2 ) 2 ...ϕˆ ( xn ) n
= ϕ ( x1 ) 1 ϕ ( x2 ) 2 ...ϕ ( xn ) n ∈ G
Esto implica que si el morfismo ϕ̂ existe, entonces queda determinado por la
fórmula anterior (Unicidad). Es un ejercicio verificar que dicha fórmula determina
un morfismo (Existencia).
λ
Observación 2.7
λ
λ
Como la función i : X → F ( X ) es inyectiva , podemos
identificar
X con i ( X ) via x ↔ x1 mediante esta
X ⊂ F ( X ) y el mapa i : X y F ( X ) es la inclusión
x = i ( x1 ) 1 i ( x2 ) 2 ...i ( xn )
es decir X genera F ( X ) como grupo.
λ
λ
λn
identificación
tenemos
, λi = ±1
Observación 2.8 Si X ≥ 2 ⇒ F ( X ) no es abeliano
Demostración
Como
X ≥ 2 ⇒ ∃x, y ∈ X con x ≠ y entonces xyx −1 y −1 es una
palabra reducida ⇒ xyx −1 y −1 ∈ F ( X ) :
xyx −1 y −1 = ( x, y , x −1 , y −1 ,1,1...) ≠ (1,1,....) = 1
∴ xyx −1 y −1 ≠ 1 ⇒ xy ≠ yx
luego F ( X ) no es conmutativo.
Definición 2.11 Dado un grupo F decimos que es un grupo libre si existe un
ϕ
conjunto X y una función i : X → F inyectiva tal que
verifica la propiedad universal de la proposición 2.10 es
X
G
decir que para todo grupo G y toda función ϕ : X → G
#
existe un único morfismo de grupos ϕˆ : F → G tal que:
ϕ̂
i
ϕˆ o i = ϕ
F
- 63 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 64 -
Proposición 2.11 Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre.
Demostración Sea G un grupo y X un generador de G (por
ejemplo X = G ) y consideremos la función inclusión
ϕ : X y G entonces por la proposición 2.10 existe un
único morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que:
ϕˆ ( i ( x ) ) = ϕ{ ( x ) = x ∀x ∈ X ⇒ X ⊂ Im ϕˆ
ϕ
X
G
#
ϕ̂
i
= inc.
Pero X genera a G ⇒ X es el menor subgrupo de G que
contiene a X. Pero
X ⊂ Im ϕˆ < G ⇒ X ⊂ Im ϕˆ
{
P
⇒ G = Im ϕˆ
G
F X
Luego ϕ̂ es sobre ⇒ G ≅ ( )
ker ϕˆ
Observar que el morfismo ϕ̂ es simplemente:
F(X)
ϕˆ x1λ1 x2λ2 ...xnλn = x1λ1 x2λ2 ...xnλn
14243 14243
∈G
∈F ( X )
↓
↓
no hay relaciones
puede haber relaciones
entre x1 x2 ...xn
Proposición 2.12 Dado un grupo F, éste es libre si y solo sí existe un conjunto X tal
que F ≅ F ( X )
Demostración Veamos primero el recíproco
Sabemos por la proposición 2.10 que dada una función
inyectiva iX : X → F ( X ) entonces para toda función
ϕ : X → G existe un único morfismo ϕ1 tal que:
ϕ1 o i X = ϕ
Como por hipótesis existe un isomorfismo α : F ( X ) → F
podemos definir el morfismo ϕ̂ = ϕ 1 o α y una función
inyectiva i = α o iX (es inyectiva por ser composición de
funciones inyectivas), luego existe un morfismo ϕ̂ que
conmuta el diagrama ya que:
ϕˆ o i = ϕ1 o α −1 o α o iX = ϕ1 o iX = ϕ
−1
- 64 -
ϕ
X
iX
F(X )
α ≅
F
G
ϕ1
ϕ̂
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 65 -
falta ver que esta ϕ̂ es única. Supongamos que existe otro morfismo ψ : F → G tal
que:
ψ oi =ϕ
ϕ
X
G
entonces consideremos el morfismo ψ = ψ o α donde
ψ α : F ( X ) → G y tal que
α
ψ α o iX = ψ o α o iX = ψ o i = ϕ
{
=i
iX
F(X )
ψα
ψ
∴ψ α o iX = ϕ
pero el morfismo que cumple con eso era único luego:
α ≅
ψ α = ϕ1 ⇒ ψ = ψ α o α −1 = ϕ1 o α −1 = ϕˆ
F
lo que prueba la unicidad.
Ahora demostraremos el directo.
Por ser F grupo libre ⇒ ∃ X ≠ φ y una función i : X → F ; a esta función y a este X
aplicamos la proposición 2.10 ⇒ ∃ un grupo F ( X ) y una
F(X )
función iX : X → F ( X ) inyectiva tal que para todo grupo
(y en particular para F) y para toda función (y en particular
iX
Ñ
∃! ϕ 2
para la función i) existe un único morfismo ϕ1 : F ( X ) → F
tal que:
i
ϕ1 o iX = i (parte de abajo del diagrama)
X
F
Por otro lado como F es libre implica que para todo grupo
Ñ
(y en particular F ( X ) ) y toda función iX : X → F ( X )
entonces existe un único morfismo ϕ 2 : F → F ( X ) tal que:
iX
∃! ϕ1
ϕ 2 o i = ix (parte de arriba del diagrama)
F(X )
Tenemos entonces que ϕ 2 o ϕ1 : F ( X ) → F ( X ) pero si
aplicamos la propiedad universal a iX , implica que existe
un único morfismo de F ( X ) en sí mismo que conmuta el
iX
diagrama, pero como la identidad ya es un morfismo que
X
F(X )
cumple lo anterior.
Ñ
Es decir que:
iX
ϕ 2 o ϕ1 = Id F ( X )
ϕ 2 o ϕ1 ≡ Id
Análogamente.
ϕ1 o ϕ 2 = Id F
F(X)
por lo tanto ϕ1 : F ( X ) → F es un isomorfismo.
- 65 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 66 -
Generadores y Relaciones
Definición 2.12 Sea G un grupo y S ⊂ G un subconjunto, llamamos subgrupo
normal generado por S y anotamos N S a la intersección de todo subgrupo normal
que contiene a S.
Es decir :
NS = I N
S ⊂ N <G
en particular S ⊂ N S ya que S ⊂ N ∀N < G además por ser intersecciones de
subgrupos normales, entonces es normal.
Observación 2.9 El subgrupo normal generado por S es el subgrupo generado por:
GSG −1 = {asa −1 : a ∈ G, s ∈ S }
Demostración Sea H < G subgrupo de G generado por GSG −1 , o sea H = GSG −1
S ⊂ N S < G ⇒ ∀a ∈ G aN S a −1 ⊂ N S
123
−1
U
⇒ H = GSG ⊂ N S
aSa −1
Por otro lado si x ∈ H entonces:
x = a1s1λ1 a1−1a2 s2λ2 a2−1...an snλn an−1
luego
∀g ∈ G se tiene gxg −1 = ga1s1λ1 a1−1a2 s2λ2 a2−1...an snλn an−1 g −1 =
= ga1s1λ1 a1−1 g −1 ga2 s2λ2 a2−1 g −1...gan snλn an−1 g −1 =
= ( ga1 ) s1λ1 ( ga1 ) ( ga2 ) s2λ2 ( ga2 ) ...( gan ) snλn ( gan ) ∈ H
−1
es decir
entonces H = N S
−1
−1
H < G
⇒ NS = I N ⊂ H
S ⊂ H
S ⊂ N <G
Definición 2.13 Sea X un conjunto y P ⊂ F ( X ) un subconjunto del grupo libre
determinado por X , decimos que un grupo G es el grupo definido por los
generadores x ∈ X y relaciones p = e ( con p ∈ P ) si:
F X
G≅ ( )
NP
siendo N P el subgrupo normal generado por P en F ( X ) y anotamos ( X | P ) y
decimos que es un representación de G .
- 66 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
Ejemplo 2.8 Si P = φ , N = {1} ⇒
F(X )
Nφ
- 67 -
≅ F ( X ) entonces
F ( X ) = (X |φ)
es decir que una representación de F ( X ) es la dada por el conjunto X y ninguna
relación.
Ejemplo 2.9 Sea X = {a, b, c} P = {a 2b, bab −1 , ac} N =
F(X )
N
I
H entonces:
P⊂H <F ( X )
= {a, b, c : a 2b = bab −1 = ac = 1} = {1}
ya que
ac = 1 ⇒ c = 1
bab −1 = 1 ⇒ ba = b ⇒ a = 1 ⇒ 2
a b = 1 ⇒ b = 1
Notación De ahora en adelante adoptaremos la siguiente anotación :
x1 x1 y −1 y −1 y −1 = x 2 y −3
Proposición 2.13 Dado un grupo G , Y ⊂ G , Y = { yi }i∈I un generador de G y
supongamos que los elementos de Y verifican relaciones:
α
α
yi1 i1 .... yil il = e , α i1 ,...,α il ∈ ¢ , i1 ,..., il ∈ I
1424
3
↓
palabras reducidas
Sea X un conjunto tal que X = Y , X = { xi }i∈I y sea :
{
}
P = xi1 i1 ...xil il : i1 ,..., il ∈ I ,α i1 ,...,α il ∈ ¢ ⊂ F ( X )
α
α
N P el subgrupo normal generado por P en F ( X ) , entonces existe un epimorfismo:
F(X )
²G
NP
xi Î yi
Demostración
Consideremos ϕ : X → G definida por ϕ ( xi ) = yi
aplicando la propiedad universal de F ( X ) implica que
existe un único morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que conmuta
el diagrama, o sea:
ϕˆ o i = ϕ
Además
Y ⊂ Im ϕ ⊂ Im ϕˆ < G
⇒ Im ϕˆ = G
G= Y
- 67 -
ϕ
X
#
i
F(X )
G
ϕ̂
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 68 -
Luego ϕ̂ es sobreyectiva y es un epimorfismo.
Entonces si p ∈ P ⇒ ∃i1 ,..., il ∈ I ;α i1 ,...,α il ∈ ¢ tales que:
i1
p = xi1 i1 ...xil il y ϕˆ ( p ) =
{ ϕˆ ( xi1 ) ...ϕˆ ( xil )
α
α
α
α il
α
α
= yi1 i1 ... y i il = e
l
morfismo
⇒ ∀p ∈ P p ∈ ker ϕˆ
Luego
P ⊂ ker ϕˆ < F ( X )
N P = I H ⇒ N P ⊂ ker ϕˆ , N P < F ( X )
P⊂H <F ( X )
Aplicando la propiedad universal a ϕ̂ (proposición 1.27)
tenemos que existe un único morfismo ψ que conmuta el
diagrama, es decir:
ψ o π = ϕˆ
además Imψ = Im ϕˆ ⇒ ψ es sobre.
Ejemplo 2.10
Sea X = {a, b} P = {a n , b 2 , abab} G =
F(X )
F(X )
π
F(X )
ϕ̂
G
Ñ
ψ
NP
NP
Sean α = a , β = b con α , β ∈ G tenemos que :
αn = e
2
β 2 = b 2 = b2 = 1 = e
⇒ β = e
αβαβ = abab = abab = 1 αβαβ = e
luego F ( X ) = a, b ⇒ G = α , β
y como:
#
β 2 = e ⇒ β = β −1 ⇒ {β n : n ∈ ¢} = {e, β }
→ 2
⇒ G ≥ 2n
#
α n = e ⇒ {α m : m ∈ ¢} = {e,α ,α 2 ,...,α n−1}
→ n
además
αβαβ = 1 ⇒ αβ = β −1α −1 = βα −1
m
2
n −1
M
⇒ {α β : m ∈ ¢} = {β ,αβ , α β ,..., α β }
α m β = βα − m
Entonces al ser:
G = α , β = {α m β n : m, n ∈ ¢} = {e,α ,α 2 ,...,α n −1, β ,αβ , α 2 β ,...,α n−1 β } ⇒ G ≤ 2 n
α n = a n = an = 1 = e
luego G = 2n
- 68 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 69 -
El ejemplo anterior es un modelo de Dn = R, S con R n = S 2 = RSRS = Id donde R
representa rotación y S simetría axial , ya sabemos que G = 2n
ϕ : G → Dn
Por el teorema anterior existe un epimorfismo
α Î R ⇒ G ≥ Dn = 2n
β Î S
Y como G = 2n ⇒ ϕ es un isomorfismo.
Ejemplo 2.11
Sea X = {a, b} , P = {aba −1b −1} Probaremos que ( X | P ) es una presentación de
¢⊕¢
F(X )
, α = a , β = b ⇒ G = α , β y αβ =βα
NP
Tenemos en ¢ ⊕ ¢ a los generadores (1, 0 ) y ( 0,1) , son tales que:
(1, 0 ) + ( 0,1) = ( 0,1) + (1, 0 )
conmutan. Por el teorema anterior existe un epimorfismo ϕ : G → ¢ ⊕ ¢ tal que:
ϕ (α ) = (1, 0 )
Sea G =
ϕ ( β ) = ( 0,1)
G es abeliano por ser generado por dos elementos que conmutan.
Consideremos los morfismos ψ 1 ,ψ 2 : ¢ → G definidos por:
ψ1 ( n ) = α n
como αβ = βα ⇒ ψ 1 ( n )ψ 2 ( m ) = α n β m = β mα n = ψ 2 ( m )ψ 1 ( n )
m
ψ 2 (m) = β
∀n, m ∈ ¢
i ( n ) = ( n, 0 )
Sean i1 , i2 : ¢ → ¢ ⊕ ¢ definidas 1
i2 ( m ) = ( 0, m )
Entonces existe un único morfismo:
ψ :¢⊕¢ →G
tal que ψ (1, 0 ) = α , ψ ( 0,1) = β y es claro que:
(ψ o ϕ )(α ) = α , (ψ o ϕ )( β ) = β
como α y β generan a G entonces ψ o ϕ = Id G .
Análogamente
(ϕ oψ )(1, 0 ) = (1, 0 ) y (ϕ oψ )( 0,1) = ( 0,1)
entonces ϕ oψ = Id ¢⊕¢ luego ϕ = ψ
entonces de un isomorfismo.
−1
y se trata
- 69 -
¢
ψ1
i1
¢⊕¢
ψ
G
ϕ
ψ2
i2
¢
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 70 -
Definición 2.13 Dado un grupo abeliano ( A, + ) decimos que A es finitamente
generado si lo es como grupo es decir: ∃a1 , a2 ,..., ar ∈ A tal que ∀a ∈ A existen
n1 , n2 ,..., nr ∈ ¢ y a = n1a1 + ... + nr ar .
Si además los ni i = 1,..., r son únicos decimos que A es un grupo abeliano libre ,
que {a1 ,..., ar } son una base de A y que r = rango de A.
Entonces si A es un grupo abeliano libre existe A ⊂ A tal que ∀a ∈ A existen
únicos ni ∈ ¢, ai ∈A tal que a = ∑ ni ai en que ni = 0 ∀ ai ∈A salvo una
ai ∈A
cantidad finita.
Observación 2.10 En el caso que A es un grupo abeliano libre la función
r
r
ϕ : A → ¢ definida por ϕ ∑ ni ai = ( n1 ,...nr ) es un isomorfismo.
i =1
Observase que un grupo abeliano libre nunca es un grupo libre ya que este último no
es abeliano (observación 2.8).
Observación 2.11 Si A es un grupo abeliano libre y tenemos A,A% ⊂ A bases de
A entonces A = A%
Observación 2.12 Si A es abeliano libre y G < A (subgrupo de A ) entonces G
también es un grupo abeliano libre.
Ejemplo 2.12 ¢ n y ¢ son grupos finitamente generados ( abelianos libres )
generado por el 1
generado por la clase del 1
entonces lo son también los de la forma:
... ⊕3
¢ n1 ⊕ ... ⊕ ¢ nt ⊕ ¢
⊕24
¢
14
s veces
observar además que todo grupo finito es finitamente generado.
Definición 2.14 Sea ( A, + ) un grupo abeliano definimos el grupo que llamaremos
subgrupo de torsión de A y anotamos T ( A ) como:
T ( A ) = {a ∈ A : ∃n ∈ ¢ + , na = 0}
es fácil verificar que es un subgrupo de A.
Si además se cumple que T ( A ) = A entonces decimos que A es de torsión
Por la observación anterior si A es abeliano libre entonces T ( A ) < A también es un
grupo abeliano libre.
- 70 -
Notas de Álgebra II
Grupos de Permutaciones
- 71 -
Observación 2.13 ¢ m ⊕ ¢ n ≅ ¢ mn si mcd ( m, n ) = 1 Por el teorema chino de los
restos
¢ m ⊕ ¢ n ≅ ¢ mn
En caso general ¢ m con m = p1n1 ... plnl donde los pi i = 1,..., l son primos distintos
entonces
¢ m ≅ ¢ pn1 ⊕ ... ⊕ ¢ pnl
l
1
Proposición 2.14 Si A es un grupo abeliano finitamente generado entonces:
1) Existe F subgrupo de A , F abeliano libre , tal que A = T ( A) ⊕ F
Donde el rango de F depende solo de A.
2) Existen únicos 1 < m1 ≤ m2 ≤ ... ≤ mt tales que m1 | m2 | ... | mt y:
T ( A ) ≅ ¢ m1 ⊕ ... ⊕ ¢ mt
3) Existen únicos p1 ,..., pr primos y n1 ,..., nr ∈ ¢ + tal que:
T ( A ) ≅ ¢ pn1 ⊕ ... ⊕ ¢ p nr
1
r
y llamamos a los m1 ,..., mt factores invariantes y a los p1n1 ,..., prnr divisores
elementales
En el caso en que A es un grupo abeliano finito ⇒ T ( A ) = A entonces:
A ≅ ¢ m1 ⊕ ... ⊕ ¢ mt
A = m1m2 ...mt
Ejemplo 2.13 Hallar los grupos abelianos de orden 1500.
Descomponemos 1500 en producto de factores primos:
1500 = 22.3.53
( 2, 2,3,5,5,5) → ¢ 2 ⊕ ¢ 2 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5
( 2, 2,3,5 ,5) → ¢
( 2, 2,3,5 ) → ¢
( 2 ,3,5,5,5) → ¢
( 2 ,3,5 ,5) → ¢
( 2 ,3,5 ) → ¢
2
⊕ ¢ 2 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 25 ⊕ ¢ 5
2
⊕ ¢ 2 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 125
4
⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢5 ⊕ ¢5
4
⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 25 ⊕ ¢ 5
4
⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 125
2
3
2
2
2
2
3
6 = p ( 2 ) p (1) p ( 3) siendo p número de particiones
El algoritmo para hallar los factores invariantes es el siguiente:
Tomamos todos los primos repitiéndolos tatas veces como el factor que más se
repite, elevándolos a la cero si no está en la descomposición de factores primos.
- 71 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 2
- 72 -
En el ejemplo para el caso ( 2, 2,3,5,5,5) el factor que más se repite es el 5 que se
repite 3 veces luego escribimos tres veces a cada factor primo y elevando a la cero
cuando no integraba la descomposición es decir:
20.30.5
20 , 2,2 ; 30 ,30 ,3 ; 5,5,5
2.3.5
0
2.3 .5
0 0
tomando los primeros ( 2 .3 .5 = 5 ) luego los segundos ( 2.30.5 = 10 ) y por los
últimos ( 2.3.5 = 30 ) los factores invariantes son:
5{ |10
{ | 30
{ ⇒ A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢10 ⊕ ¢ 30
m1
m2
m3
Para ( 2, 2,3,5 ,5 ) → 2,2 ; 3 ,3 ; 5,52 luego los factores invariantes para este caso
2
0
son m1 = 2.30.5 = 10 ; m2 = 2.3.52 = 150 ⇒ A ≅ ¢10 ⊕ ¢150
Para ( 2, 2,3,53 ) → 2, 2 ; 30 ,3 ; 50 ,53 en este caso los factores invariantes son:
m1 = 2.30.50 = 2 , m2 = 2.3.53 = 750 ⇒ A ≅ ¢ 2 ⊕ ¢ 750
Para el caso
( 2 ,3,5,5,5) → 2 , 2 , 2
2
0
0
2
; 30 ,30 ,3 ; 5,5,5 luego los factores
invariantes son:
m1 = 20.30.5 = 5 , m2 = 20.30.5 = 5 , m3 = 22.3.5 = 60 ⇒ A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 60
Para el caso ( 2 2 ,3,5 2 ,5 ) → 2 0 , 2 2 ; 30 ,3 ; 5,52 los factores invariantes son:
m1 = 20.30.5 = 5 , m2 = 2 2.3.52 = 300 ⇒ A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢ 300
Para el caso ( 2 2 ,3,53 ) → m = 2 2.3.53 = 1500 ⇒ A ≅ ¢ 1500
Ejemplo 2.14 Hallar los divisores elementales y factores invariantes de:
A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢15 ⊕ ¢ 25 ⊕ ¢ 36 ⊕ ¢ 45
tenemos que A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢ 3.5 ⊕ ¢ 52 ⊕ ¢ 22.32 ⊕ ¢ 32.5 entonces:
A ≅ ¢ 22 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 32 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 52
es decir que los divisores elementales son ( 2 2 ,3,32 ,32 ,5,5,5,52 )
Si escribimos 20 , 20 , 20 ,2 ; 30 ,3,32 ,32 ; 5,5,5,52
y los factores invariantes son ( 5,3.5,32.5, 2 2.3 2.5 2 ) → A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢15 ⊕ ¢ 45 ⊕ ¢ 500
Corolario 2.15 Sea G un grupo abeliano finito y m | G entonces existe H < G tal
que H = m .
Demostración Alcanza con tomar en la proposición anterior H = ¢ m
- 72 -
Capítulo 3
Acción de un grupo en un conjunto
El teorema de Cayley demuestra que los elementos de G pueden ser considerados
como permutaciones de los elementos de un conjunto, es decir G y Biy ( X ) para
algún X. Este es un caso especial de una situación más general de gran utilidad para
el estudio de un grupo, lo cual se precisa con la siguiente definición.
Definición 3.1 Sea G un grupo y X un conjunto. Una acción de G en X es una
función
g
→X
G × X
( g, x ) Î g gx
tales que verifica:
i) g1 g( g 2 g x ) = ( g1 ⋅ g 2 )g x, ∀g1 , g 2 ∈ G y ∀x ∈ X ;
ii) eg x = x ∀x ∈ X .
En esta situación se dice que G actúa en X y que X es un G-conjunto.
Observación 3.1 Si G actúa en X y H < G entonces H actúa en X
Consideramos la función inclusión
g
i : H × X → G× X
X
G× X
tenemos así definido una función
ˆg: H × G → X
ĝ
Donde por ser el neutro de un subgrupo igual al neutro del
H×X
grupo se tiene que cumple con las propiedades de la
definición anterior.
Observación 3.2 En la definición de la acción hablamos de una función que
llamamos g probaremos que para cada g ∈ G se trata de una biyección de X en sí
mismo.
Dado g ∈ G , y ∈ X , como G es un grupo ⇒ ∃g −1 ∈ G ⇒ ∃x = g −1 g y ∈ X tal que:
- 73 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
(i)
- 74 -
( ii )
g g x = g g( g −1 g y ) = ( g ⋅ g −1 )g y = eg y = y ⇒ que es sobreyectiva; ahora para ver que es
inyectiva consideremos para un determinado g 0 ∈ G
g 0 g x1 = g 0 g x2
entonces como existe g 0 −1 ∈ G por ser G un grupo podemos escribir:
g 0−1 g( g 0 g x1 ) = g 0−1 g( g 0 g x2 )
y por definición de acción aplicando la condición (i) :
−1
−1
(1g424
0 ⋅ g 0 )g x1 = ( g 0 ⋅ g 0 )g x2
3
1
424
3
=e
=e
eg x1 = eg x2
Aplicando la condición (ii) x1 = x2 .
Lo mismo se cumple para cualquier otro g ∈ G.
Proposición 3.1 Sea G un grupo y X un conjunto. Existe una biyección entre el
conjunto de las acciones de G en X y el conjunto de los morfismos de grupos de G
en Biy ( X ) , definida mediante:
ψ
→ Hom ( G , Biy ( X ) )
acciones de G en X } ←
{144424443
144
42444
3
P
g
G × X
→X
( g, x) Î g gx
Demostración Definimos:
P
ϕ : G → Biy ( X )
g Î ϕg : X → X
g g x = ϕ ( g )( x ) ∀g ∈ G , x ∈ X
esta fórmula nos da una biyección
Consideremos morfismos ϕ : G → Biy ( X ) g1 , g 2 ∈ G entonces por ser morfismo:
ϕ ( g1 ⋅ g 2 ) = ϕ ( g1 ) o ϕ ( g 2 )
y tenemos que:
ϕ ( g1 ⋅ g 2 )( x ) = ϕ ( g1 ) (ϕ ( g 2 )( x ) )
14
4244
3 144
42444
3
P
aplicamos la fórmula
P
( g1 ⋅ g 2 )g x = g1 g( g 2 g x )
esto último es la condición (i) de acción, luego se cumple por ser ϕ morfismo
Por otro lado si ϕ : G → Biy ( X ) es un morfismo ⇒ ϕ ( e ) = Id
eg x = ϕ ( e )( x ) = Id ( x ) = x ⇒ ( ii )
De esta forma dado un morfismo en las condiciones de arriba implica tener una
acción G en X.
g
Y recíprocamente sea G × X
→ X una acción de G en X.
- 74 -
Notas de Álgebra II
Acciones
Definimos
- 75 -
ϕ : G → fun ( X )
g Îϕ (g)
de manera que ϕ ( g ) : X → X está definida por ϕ ( g )( x ) = g g x
entonces:
i) ⇒ ( g1 ⋅ g 2 )g x = g1 g( g 2 g x ) ∀g1 , g 2 ∈ G, x ∈ X
1424
3 1424
3
P
P
ϕ ( g1 ⋅ g 2 )( x ) = ϕ ( g1 ) (ϕ ( g 2 )( x ) ) = (ϕ ( g1 ) o ϕ ( g 2 ) ) ( x )
luego ϕ es un morfismo.
Por otro lado
ii) ⇒ e{
gx = x
P
⇒ ϕ ( e ) = Id .
ϕ ( e )( x ) = x
ϕ ( g ) o ϕ ( g −1 ) = ϕ ( g ⋅ g −1 ) = ϕ ( e ) = Id
luego ϕ ( g ) es invertible y ϕ −1 ( g ) = ϕ ( g −1 ) ⇒ ϕ ( g ) es biyectiva y entonces
ϕ : G → Biy ( X ) .
Entonces dar una acción de G en X es lo mismo que dar un morfismo
ϕ : G → Biy ( X ) y viceversa. Y esta podía haber sido nuestra definición de acción
de un grupo en un conjunto, en consecuencia todo grupo por el teorema de Cayley es
un G-conjunto ya que existe siempre un morfismo ϕ : G → Biy ( G ) .
g
Corolario 3.2 Si G × X
→ X acción ⇒ { g ∈ G : g g x = x , ∀x ∈ X } < G
Demostración Por el teorema anterior y el comentario final de dicho teorema, tener
una acción es lo mismo que tener definido un morfismo ϕ : G → Biy ( X ) , tal que
ϕ ( g )( x ) = g g x
el núcleo de ϕ es ker ϕ = { g ∈ G : ϕ ( g ) = Id} y como:
ϕ ( g )( x ) = Id ( x ) = x
1
424
3
P
⇒ g g x = x ∀x ∈ X
g gx
entonces ker ϕ = { g ∈ G : g g x = x , ∀x ∈ X } y como ker ϕ < G ⇒ la tesis
g
Definición 3.2 Sea una acción G × X
→ X tal que g g x = x ∀g ∈ G , x ∈ X
entonces decimos que dicha acción es la acción trivial.
- 75 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 76 -
g
Definición 3.3 Una acción G × X
→ X se dice fiel si ker ϕ = {e} es decir que
g g x = x , ∀x ∈ X ⇒ g = e , en este caso ϕ : G → Biy ( X ) es inyectiva y anotamos:
ϕ : G ° Biy ( X )
Definición 3.4 Un subconjunto Y de un G-conjunto X se dice G-estable si:
g g y ∈ Y ∀g ∈ G , y ∈ Y
En esta situación G actúa en Y por restricción
g
G
× X
→{
X
{
U
U
G × Y − − −> Y
y por lo tanto Y es un G-conjunto.
Es decir que un conjunto Y es G-estable haciendo abuso de notación podemos
escribir GY ⊂ Y y entonces:
∀y ∈ Y ⇒ {
g −1 y ∈ Y ⇒ y = g ( g −1 y ) ∈ GY ⇒ Y ⊂ GY
123
∈G
∈Y
∴ Y = GY
Luego Y es G- estable ⇔ Y = GY
Observación 3.1 Si G actúa en X entonces G actúa en P ( X ) = {Y : Y ⊂ X }
(conjunto de partes de X ) mediante una acción inducida de la siguiente manera:
g
Dada la acción G × X
→ X induce una acción en la partes de X:
g
G ×P ( X )
→P ( X )
( g , Y ) Î g gY = { g g y : y ∈ Y }
Sea Yn = {Y ∈P ( X ) : Y = n} siendo n un cardinal fijo, como gY = Y ∀g ∈ G ,
entonces Yn es G-estable y G actúa en Yn por restricción de la acción de G en
P (X ).
g
G ×P ( X )
→P ( X )
14243
123
U
U
G × Yn − − − > Yn
Definición 3.5 Sean X,Y dos G-conjuntos, entonces a una función f : X → Y se le
llama G-función si verifica:
f ( g g x ) = g g f ( x ) ∀g ∈ G , x ∈ X
g
Definición 3.6 Dada una acción G × X
→ X decimos que es transitiva si
∀x, y ∈ X existe algún g ∈ G tal que g g x = y
- 76 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 77 -
Ejemplo 3.1 Sea X un conjunto una acción de las Biy ( X ) en X es la siguiente:
g
Biy ( X ) × X
→X
(ϕ , x ) Î ϕ g x := ϕ ( x )
definido
Caso particular del anterior ejemplo es el siguiente:
g
S n × I n
→ In
(σ , i ) Î σ gi := σ ( i )
Ejemplo 3.2 Consideremos el conjunto de las matrices lineales GLn ( K ) actuando en
K n dado por:
g
GLn ( K ) × K n
→Kn
( A, v ) Î Agv := A ⋅ v
Observar que en los dos ejemplos anteriores las acciones son transitivas y fieles.
g
Proposición 3.3 Dada una acción G × X
→ X entonces
i) La relación : en X definida por: x : y ⇔ ∃g ∈ G tal que g g x = y es una
relación de equivalencia.
ii) Para cada x ∈ X , Gx = { g ∈ G : g g x = x} es un subgrupo de G.
Demostración
i) a) x : x ya que eg x = x
b) Sea x : y ⇒ ∃g ∈ G tal que g g x = y
pero como G es un grupo implica que:
∃g −1 ∈ G tal que g −1 g( g g x ) = g −1 g y
1424
3
−1
P
⇒ x = g gy ⇒ y : x
( g −1 ⋅ g )g x = x
c) Transitiva
x : y ⇒ ∃g ∈ G tal que g g x = y
g ′g( g g x ) = z
⇒
{
424
3
y : z ⇒ ∃g ′ ∈ G tal que g ′g y = z sustituyendo 1
P
⇒ ( g ′g )g x = z ⇒ x : z
g ′g )g x
({
∈G
ii) Primero que nada e ∈ Gx de forma obvia.
Sean g1 , g 2 ∈ Gx ⇒ g1 g x = x y g 2 g x = x como G es un grupo tenemos que existe
g 2−1 ∈ G y podemos escribir g 2−1 g( g 2 g x ) = g 2−1 g x pero por otro lado:
123
=x
- 77 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 78 -
g 2−1 g( g 2 g x ) = ( g 2−1 ⋅ g 2 )g x = x
luego
sustituyendo en g1 g x = x tenemos:
g 2−1 gx = x
g1 g x = g1 g( g2−1 g x ) = ( g1 ⋅ g 2−1 )g x = x
∴ g1 ⋅ g 2−1 ∈ Gx
y Gx < G
Definición 3.7 La relación de equivalencia anterior establece una partición de X en
clases de equivalencia que llamamos orbitas y anotamos por σ ( x ) a la clase de
equivalencia de x.
σ ( x ) = { g g x : g ∈ G} , con x ∈ X
Definición 3.8 Al subgrupo Gx definido en la proposición anterior le llamamos
estabilizador o grupo de isotropía de x; Gx = { g ∈ G : g g x = x}
Observación 3.2 1) Si x, y ∈ X ⇒ σ ( x ) = σ ( y ) o σ ( x ) I σ ( y ) = φ esto es claro
porque las orbitar son las clases de equivalencia.
2) Una acción es transitiva si y solo sí tiene solo una orbita.
3) Para cada x ∈ X , σ ( x ) ⊂ X es G-estable y además la acción restringida a σ ( x )
g
es decir de G × σ ( x )
→ σ ( x ) es transitiva.
Para ver lo de G-estable basta con ver que σ ( x ) = G σ ( x ) ya que:
∀x% ∈ σ ( x ) , g ∈ G ⇒
{ g g x% ∈ σ ( x )
por def.
y la acción de G sobre σ ( x ) es transitiva ya que ∀x1 , x2 ∈ σ ( x ) tenemos por
definición que
∃g1 ∈ G tal que g1 g x = x1
g1−1 g( g1 g x ) = g1−1 g x1
⇒ 1
4243
−1
∃g 2 ∈ G tal que g 2 g x = x2
⇒ x = g1 g x1
P
( g1−1 ⋅ g1 )g x = x
entonces
sustituyendo
−1
g 2 g( g1 g x1 ) = x2
14243
−1
P
⇒ ( g 2 ⋅ g1 )g x1 = x2
1
424
3
∈G
( g2 ⋅ g1−1 )g x1
Por definición es transitiva.
- 78 -
Notas de Álgebra II
4)
IG
x∈X
x
Acciones
= { g ∈ G : g g x = x , ∀x ∈ X } = ker ϕ ⇒
- 79 -
IG
x∈X
x
< G.
Ya habíamos visto que dar una acción es lo mismo que tener un morfismo
ϕ : G → Biy ( X ) entonces ker ϕ = { g ∈ G : ϕ ( g ) = Id} como ϕ ( g )( x ) = g g x ∀x ∈ X
luego ker ϕ = { g ∈ G : Id ( x ) = g g x , ∀x ∈ X } = {g ∈ G : x = g g x, ∀x ∈ X } =
Además por el ejemplo1.41 se cumple que ker ϕ < G ⇒
Observar además que si la acción es fiel entonces
IG
x∈X
x
IG
x∈ X
x
<G.
IG
x∈X
x
= {e}
Proposición 3.4 Sea X un G-conjunto e Y ⊂ X un subconjunto. Entonces Y es un
subconjunto G-estable si y solo sí es unión de orbitas.
Demostración ⇐ como cada orbita es G-estable implica que la unión también lo es.
⇒ Si y ∈ Y ⇒ σ ( y ) ⊂ Y luego U σ ( y ) ⊂ Y pero como la otra inclusión es obvia
y∈Y
se tiene que Y = U σ ( y )
y∈Y
Proposición 3.5 Sea X un G-conjunto y x ∈ X entonces σ ( x ) = [G : Gx ]
Demostración Dado un x ∈ X consideremos una función
ϕ : G ² σ ( x)
g Î g gx
por definición es sobreyectiva, y además se tiene
ϕ ( g ) = ϕ ( h ) ⇔ g g x = h g x ⇔ h −1 g( g g x ) = h −1 g( h g x )
1424
3 1424
3
(h
P
−1
P
⋅ g )g x = ( h −1 ⋅ h )g x ⇔ ( h −1 ⋅ g )g x = x ⇔ h −1 ⋅ g ∈ Gx
1
424
3
=e
⇔ gGx = hGx entonces ϕ induce una biyección
ϕˆ : G → σ ( x )
Gx
ϕ
G
gGx Î g g x
ϕ̂
entonces
σ ( x) = G
Gx
σ ( x)
= [ G : Gx ]
como se quería demostrar.
- 79 -
G
Gx
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 80 -
g
Definición 3.9 Dada una acción G × X
→ X decimos que x es punto fijo si:
g g x = x ∀g ∈ G
Al conjunto de puntos fijos lo anotamos por X 0 es decir:
X 0 = { x ∈ X : g g x = x ,∀g ∈ G} ⊂ X
Observar que claramente X 0 es G-estable y además la acción de G sobre X 0 es la
trivial.
Si x ∈ X 0 ⇔ Gx = G ⇔ [G : Gx ] = 1 ⇔ σ ( x ) = 1∴σ ( x ) = { x}
Observación 3.3 Sea X un G-conjunto con X < ∞ y sea { x1 ,..., xn } ⊂ X un
conjunto de representantes de las orbitas entonces:
{σ ( x ) : x ∈ X } = {σ ( x1 ) ,...,σ ( xn )} y σ ( xi ) I σ ( x j ) = φ si i ≠ j
Podemos escribir:
luego
X = âσ ( xi ) ⇒ X = ∑ σ ( xi )
n
n
i =1
i =1
n
X = ∑ G : Gxi
i =1
observar además que necesariamente X 0 ⊂ { x1 ,..., xn } entonces si escribimos:
{ x1 ,..., xn } = X 0 U { x1 ,..., xm } con m ≤ n
nos queda
m
X = X 0 + ∑ G : Gxi con G : Gxi ≥ 2 , ∀i = 1,..., m
i =1
Aplicaciones
1) Acción por conjugación
Como conjunto X tomamos el propio G y definimos la función siguiente:
g
G × G
→G
gxg −1
( g , x ) Îg
o sea que a g g x = gxg −1 (o también g g x = int g ( x ) siendo int g la función definida
en la observación 3.4)
1) eg x = exe−1 = x ;
−1
2) hg( g g x ) = hg( gxg −1 ) = h ( gxg −1 ) h −1 = ( hg ) x ( hg ) = hg g x .
- 80 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 81 -
luego se trata de una acción.
Las orbitas σ ( x ) = { gxg −1 : g ∈ G} = C ( x )
Clase de conjugación de x
El estabilizador, que para este caso recibe el nombre de centralizador de x y
anotamos CG ( x ) es:
CG ( x ) = { g ∈ G : gxg −1 = x} = { g ∈ G : gx = xg} < G
El centro de G que anotamos como Z ( G ) es: Z ( G ) = {g ∈ G : gx = xg , ∀x ∈ G}
luego:
Z ( G ) = I CG ( x ) < G
x∈G
14
4244
3
observación 3.2 (4)
Es decir que el centro es un subgrupo normal a G
Observación 3.4 Si H < G ⇒ gHg −1 < G , ∀g ∈ G y decimos que gHg −1 es el
conjugado de H y : ψ : H → gHg −1 definida por ψ ( h ) = ghg −1 es un isomorfismo.
Consideremos la función int g definida:
int g : G → G
x Î gxg −1
Claramente dicha función es un morfismo ya que:
int g ( xy ) = g ( xy ) g −1 = gxg −1 gyg −1 = int g ( x ) int g ( y )
Entonces de acuerdo a la proposición 1.6 (iii) si H < G ⇒ int g ( H ) < G y como
int g ( H ) = gHg −1 se tiene la primera parte de la afirmación.
Ahora ψ es sobre ya que dado y ∈ gHg −1 ⇒ ∃h ∈ H tal que y = ghg −1 ⇒ h = g −1 yg
es tal que ψ ( h ) = g ( g −1 yg ) g −1 = y; por otro lado:
Si gh1 g −1 = gh2 g −1 ⇔ h1 = {
g −1 g h2 {
g −1 g = h2
=e
=e
Es por lo tanto inyectiva, también podíamos haberlo justificado por el hecho de que
ψ = int g |H y esta última (ejercicio del practico) ya sabemos que es inyectiva luego
se trata de un isomorfismo.
Como conclusión tenemos que la conjugación pasa de un subgrupo a otro con el
mismo cardinal.
Observación 3.5 La acción de G en G por conjugación , induce una acción de G en
P ( G ) dada por g g X = gXg −1 = { gxg −1 : x ∈ X } la observación anterior implica que
Subg ( G ) = {H : H < G} , y Subg n ( G ) = { H : H < G, H = n} n ∈ ¢ + (conjunto de
- 81 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 82 -
subgrupos de G, y conjunto de subgrupos de G de orden n respectivamente) son
subconjuntos G-estables de P ( G ) . Luego G actúa por conjugación en Subg ( G ) y
Subg n ( G ) , además si G = m > n ⇒ Subg ( G ) = âSubg n ( G )
m
n =1
Definición 3.10 Si H ∈ Subg ( G ) al estabilizador de H se le llama normalizador de
H, y anotamos como N G ( H ) entonces:
N G ( H ) = { g ∈ G : gHg −1 = H } < G
Observar que en forma obvia H < N G ( H )
Además :
si ∃K : H < K < G
⇒ K < NG (H )
y H<K
Es decir que N G ( H ) es el mayor subgrupo de G que contiene a H y en el cual H es
normal , dicho de otra forma:
H < G ⇔ NG ( H ) = G
Proposición 3.6 Sea G un grupo finito entonces:
i) C ( x ) = [G : CG ( x )] ⇒ C ( x ) | G ∀x ∈ G
ii) ∃x1 ,..., xm ∈ G tales que
m
G = Z ( G ) + ∑ [G : CG ( xi )] con [G : CG ( xi )] ≥ 2, ∀i = 1,..., m
i =1
iii) Si K < G y n = {H < G : H conjugado de K } ⇒ n = [G : N G ( K )] y luego n | G
Demostración
i) En este caso la orbita es igual a la clase de conjugación, entonces:
σ ( x ) = C ( x ) = [G : CG ( x )] ∀x ∈ G
ii) Si x ∈ X 0 ⇔ gxg −1 = x ∀g ∈ G ⇔ gx = xg ∀g ∈ G ⇔ x ∈ Z ( G ) ⇒ X 0 = Z ( G )
Aplicando lo obtenido en la observación 3.3 para este caso particular se obtiene lo
que se da en llamar ecuación de las clases.
iii) Sea H < G , g ∈ G ⇒ gHg −1 < G entonces si consideramos la acción definida por:
g
G × Subg ( G )
→ Subg ( G )
g g H := gHg −1
( g , H ) Îg
definido
tenemos que:
- 82 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 83 -
σ ( K ) = { g g K : g ∈ G} = { gKg −1 : g ∈ G}
en forma general, el orden de la orbita es el índice del estabilizador en el grupo G,
pero en este caso el estabilizador es el normalizador; luego:
σ ( K ) = [G : N G ( K )] = {H < G : H conjugado de K } = n
luego n | G .
2) Si G actúa en X, esto equivale a tener un morfismo ϕ :G → Biy ( X )
llamemos N (ϕ ) = ker ϕ . Tenemos que se induce un
G
monomorfismo ϕˆ : G
° Biy ( X )
N (ϕ )
π
ker ϕ = N (ϕ ) = I Gx < G , G
≅ ϕ ( G ) < Biy ( X )
N
ϕ
(
)
x∈ X
G
| X!
N (ϕ )
Podemos entonces considerar esto para la siguiente
situación:
N (ϕ ) < G
Si G Œ X ! ⇒
{
N (ϕ ) ≠ {e}
no divide
Entonces si G < ∞, X < ∞ ⇒ [G : N (ϕ )] =
G
ϕ
Biy ( X )
ϕ̂
N (ϕ )
Es decir que tenemos un subgrupo normal distinto del trivial, por lo que G no es
simple.
3) Acciones por traslación (izquierda)
Definición 3.11
Sea X = G un grupo y definimos la acción que llamamos acción por traslación por
medio de la siguiente función
g
→G
G × G
g⋅x
( g , x ) Îg
Producto en G
O sea g g x = g ⋅ x .
A diferencia de la acción por conjugación, la función que define la acción en este
caso no es un morfismo (en el caso de acción por conjugación vimos que era un
isomorfismo observación 3.4)
Claramente se cumplen las condiciones para que sea acción :
i) eg x = e ⋅ x = x ∀x ∈ X = G
- 83 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 84 -
ii) g1 g( g 2 g x ) = g1 g( g 2 ⋅ x ) = g1 ⋅ ( g 2 ⋅ x ) = ( g1 ⋅ g 2 ) ⋅ x = ( g1 ⋅ g 2 )g x ∀g1 , g 2 , x ∈ G .
Observar que es una acción transitiva ya que ∀x, y ∈ G, tenemos que ver si existe
g ∈ G que cumpla g g x = y .
ggx = y
{
−1
P
⇒ g = yx ∈ G
gx
Además es una acción fiel ya que g g x = x ⇒ gx = x ⇒ g = e .
Observación 3.6
La acción por traslación induce una acción por traslación de G sobre las partes de G.
g
G ×P ( G )
→P ( G )
( g , Y ) Î gY = { gy : y ∈ Y }
% ∈G ⇒ G
Sea H < G , G ⊂ P ( G ) y ∀g ∈ G , fH ∈ G se tiene gfH = gH
H
H
H
H
es G-estable, entonces por restricción, G actúa por traslación en G , y se tiene:
H
g
G
G
G×
→
H
H
( g , fH ) Î gfH
que por ser la primera transitiva esta última también, luego tenemos solo una orbita:
% : g% ∈ G} = G
σ ( fH ) = { gfH : g ∈ G} = {gH
H
El estabilizador de fH es por definición:
G fH = { g ∈ G : gfH = fH }
Pero por otro lado:
gfH = fH ⇔ f −1 gf ∈ H ⇔ ∃h ∈ H tal que f −1 gf = h ⇔ g = fhf −1 ⇔ g ∈ fHf −1
luego:
G fH = { g ∈ G : gfH = fH } = fHf −1
Consideremos
ϕ : G → Biy G
H
G ϕ
Biy G
H
g Î ϕ (g):G → G
H
H
π
ϕ̂
fH Î gfH
monomorfismo
Sea K = ker ϕ entonces como:
G
K = I G fH ⇒ K = I gHg −1 < G
K
(
f ∈G
y fHf
−1
)
(
g∈G
= H si f ∈ H entonces K ⊂ H luego:
- 84 -
)
Notas de Álgebra II
Acciones
- 85 -
K ⊂ H
⇒ K es el mayor subgrupo normal a G contenido en H
K <G
ya que si existe algún T que cumple:
T <G
−1
−1
⇒
T⊂K
⇒ ∀f ∈ G, T = fTf ⊂ fHf
{
T ⊂ H
−1
por ser K = I fHf
f ∈G
Aplicando 2) a esta situación obtenemos:
K < G
Si G < ∞ , H < G y G Œ [G : H ]! ⇒ ∃K ≠ {e} tal que
K ⊂ H
De esta forma obtenemos un subgrupo normal a G que está contenido en el subgrupo
dado H.
Ejemplo 3.3 Si G = 99 y H < G con H = 11 ⇒ H < G
Ya que
G 99
K <G
=
= 9 y G Œ 9! ⇒ ∃K ≠ {e} t.q.
[G : H ] =
{
H 11
K ⊂ H
= 99
Pero H = 11 primo ⇒ K = H
Proposición 3.7 Sea G un grupo G < ∞ , H < G tal que [G : H ] = p siendo p el
menor número primo que divide a G entonces H < G
Demostración Sea la acción sobre el cociente considerada
en la proposición anterior
G ϕ Biy G
H
g
G
G
G
G × H
→ H y el morfismo ϕ : G → Biy H
Tenemos que se induce un monomorfismo (inyectivo)
π
ϕ̂
G
G
ker ϕ ⊂ H ⊂ G entonces:
ϕˆ :
° Biy
H {
N (ϕ )
G
= N (ϕ )
N (ϕ )
G : H ]!
[G : N (ϕ )] | [123
(
(
(
)
)
=p
y como [G : N (ϕ )] = [G : H ][ H : N (ϕ )] | p ! ⇒ [ H : N (ϕ )] | ( p − 1)!
123
14243
P
=p
H
N (ϕ )
Supongamos que N (ϕ ) Ö H ⇒ [ H : N (ϕ )] > 1 . Sea q primo tal que:
q | [ H : N (ϕ )] | ( p − 1)! entonces q | ( p − 1)!
- 85 -
)
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 86 -
además como
q | [ H : N (ϕ ) ] =
H
⇒ q| H | G ⇒ q| G
N (ϕ )
entonces:
q | ( p − 1)! ⇒ q ≤ p − 1
⇒ absurdo
q| G ⇒
q
>
p
{
por hip.
Luego N (ϕ ) = H ⇒ H < G
Producto semidirecto
Dado un grupo G tal que existe N < G y K < G tales que N I K = {e} y NK = G .
Si además K < G entonces
N×K →G
( n, k ) Î nk
es un isomorfismo.
Analicemos el caso en que K no es necesariamente normal.
Observar que N I K = {e} ⇒ ∀g ∈ G existe un único n ∈ N , k ∈ K tal que g = nk
ya que de no ser así :
n1 , n2 ∈ N , k1k2 ∈ K
n = n2
−1
k1−1 ∈ N I K = {e} ⇒ 1
⇒ n{
2 n1 = k
2
{
n1k1 = n2k 2
k1 = k 2
∈N
∈K
Consideremos la acción por conjugación
g
G × G
→G
( g , x ) Î gxg −1
g
Como N es normal es G-estable y por lo tanto induce una acción G × N
→N y
como K < G tenemos una acción por restricción:
g
K × N
→N
( k , x ) Î kxk −1
lo que equivale a tener un morfismo:
τ : K → Biy ( N )
k Î τk : N → N
n Î knk −1
es decir τ ( n ) = knk −1
Observar además que G = NK entonces el producto nos queda:
- 86 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 87 -
n1k1 ⋅ n2 k2 = n1 k1 n2 k1−1 k1k2 = n1τ k1 ( n2 ) ⋅ k1k2
123
1
424
3 {
∈N
Observar que τ k = int k | N : N → kNk
−1
∈N
∈K
de acuerdo a lo visto en la observación 3.4 es
un isomorfismo, pero como N es normal kNk −1 = N se trata de un automorfismo
para todo k ∈ K . Luego τ : K → Aut ( N ) < Biy ( N ) .
Con esta idea modelamos el producto semidirecto que definimos a continuación.
Definición 3.12 Sean N y K dos grupos y el morfismo:
τ : K → Aut ( N )
k Î τk
definimos el producto semidirecto (o producto torcido) que anotamos N ãτ K
como el grupo que como conjunto es N × K con producto, neutro e inverso definido
por:
Producto
( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , k 2 ) = ( n1τ k1 ( n2 ) , k1k 2 )
Neutro
eNãK = ( eN , eK )
Inverso
( n, k ) −1 = (τ k ( n −1 ) , k −1 )
−1
Es un ejercicio verificar que N ãτ K con estas definiciones es efectivamente un
grupo. Veremos acá que el inverso está bien definido.
( n, k ) ⋅ ( n, k )−1 = ( n, k ) ⋅ (τ k −1 ( n −1 ) , k −1 ) = por definición del producto
= ( nτ k (τ k −1 ( n −1 ) ) , k −1k ) = n τ k o τ k −1 ( n −1 ) , eK = ( nn −1 , eK ) = ( eN , eK )
123
Id
por ser τ un morfismo
y
( n, k ) −1 ⋅ ( n, k ) = (τ k ( n −1 ) , k −1 ) ⋅ ( n, k ) =
−1
−1
= (τ k −1 ( n )τ k −1 ( n ) , k k ) = τ k −1 ( n n ) , eK = τ k −1 ( eN ) , eK ( eN , eK )
{
424
3
1
= eN
= eN
por ser τ k −1 morfismo automorfismo
−1
−1
Observación 3.7 Es equivalente tener un morfismo τ : K → Aut ( N ) a tener una
función
- 87 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 88 -
τ : K → Fun ( N )
k Î τk : N → N
que verifique:
τ k ( n1n2 ) = τ k ( n1 )τ k ( n2 )
∀n , n ∈ N
τ k1 (τ k2 ( n ) ) = τ k1k2 ( n ) 1 2
∀k1 , k 2 ∈ K
τ e (n) = n
−1
−1
En particular tenemos (τ k ) = τ k −1 , τ k ( e ) = e, τ k ( n −1 ) = τ k ( n ) ∀k ∈ K , n ∈ N .
Proposición 3.8 Sean N y K grupos y τ : K → Aut ( N ) morfismo definimos:
N% , K% ⊂ N ã K por N% = {( n, e ) : n ∈ N } , K% = {( e, k ) : k ∈ K }
τ
entonces:
% % = Nã K
i) N% < N ãτ K , K% < N ãτ K , N% I K% = {( e, e )} y NK
τ
ii) N → N%
y K → K%
son isomorfismos
n Î ( n, e )
k → ( e, k )
iii) ( e, k ) ⋅ ( n, e ) ⋅ ( e, k ) = (τ k ( n ) , e ) ∀k ∈ K , n ∈ N
Recíprocamente, si G es un grupo y existen N < G , K < G tales que
N I K = {e} y NK = G , entonces definiendo τ : K → Aut ( N ) por τ k ( n ) = knk −1 ,
resulta que
N ãτ K → G
−1
es un isomorfismo.
( n, k ) Î nk
Demostración Definimos
ϕ : N → N ãτ K y ψ : K → N ãτ K
n Î ( n, e )
k Î ( e, k )
ϕ ( n ) ⋅ ϕ ( n′ ) = ( n, e ) ⋅ ( n′, e ) = ( n ⋅ τ e ( n′ ) , e ⋅ e ) = ( n ⋅ n′, e ) = ϕ ( n ⋅ n′ )
ψ ( k ) ⋅ψ ( k ′ ) = ( e, k ) ⋅ ( e, k ′ ) = ( e ⋅ τ k ( e ) , k ⋅ k ′ ) = ( e, k ⋅ k ′) = ψ ( k ⋅ k ′)
lo que implica que ϕ y ψ son morfismos, como N% = Im ϕ , K% = Imψ y claramente
ϕ ,ψ son inyectivos, se deduce N% < N ã K , K% < N ã K y N ≅ N% , K ≅ K% .
•
•
N% I K% = {( e, e )} es obvio.
τ
τ
%%.
( n, e ) ⋅ ( e, k ) = ( nτ e ( e ) , k ) = ( n, k ) ⇒ N ãτ K = NK
- 88 -
Notas de Álgebra II
•
Acciones
- 89 -
( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , e ) ⋅ ( n1 , k1 )−1 = ( n1τ k ( n2 ) , k1 ) ⋅ (τ k ( n1−1 ) , k1−1 ) =
−1
1
1
∈N
678 −1 %
−1
−1
= n1 ⋅τ k1 ( n2 ) ⋅τ k1 τ k −1 ( n1 ) , k1k1 = n1 ⋅τ k1 ( n2 ) ⋅ n1 , e ∈ N
1
3
14
4244
3
144244
∈N
−1
Id ( n1 )
luego N% < N ãτ K .
(
)
• Tomando n1 = e ⇒ ( e, k1 ) ⋅ ( n2 , e ) ⋅ ( e, k1 ) = ( e ⋅τ k1 ( n2 ) ⋅ e, e ) = (τ k1 ( n2 ) , e )
−1
Recíprocamente sea la función:
µ
N ãτ K
→G
( n, k ) Î nk
Claramente es sobreyectiva (G = NK ) y es inyectiva porque N I K = {e} , luego µ
es biyectiva.
µ ( ( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , k 2 ) ) = µ ( n1 ⋅ τ k1 ( n2 ) , k1k 2 ) = µ ( n1k1n2 k1−1 , k1k2 ) =
= n1k1n2 k1−1k1 k2 = n1k1n2 k2 = µ ( n1 , k1 ) ⋅ µ ( n2 , k 2 )
{
=e
luego µ es un morfismo.
Proposición 3.9 Sea G un grupo tal que existen N < G , K < G que verifiquen
G = NK = KN y N I K = {e} Entonces K < G si y solo sí nk = kn, ∀n ∈ N , k ∈ K
Demostración ⇒ ya lo demostramos en la proposición 1.26 (iii)
⇐ Sea k ∈ K y g = k1n1 ∈ G , con k1 ∈ K , n1 ∈ N consideremos:
gkg −1 = k1 n1k n1−1k1−1 = k1k n1n1−1 k1−1 = k1kk1−1 ∈ K
{
{
= kn1
luego K < G
=e
Observación 3.8 Si K y N son grupos y τ : K → Aut ( N ) es el morfismo trivial es
decir τ k = Id, ∀k ∈ K si y solo sí :
N ãτ K = N × K
Demostración
( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , k 2 ) ={ ( n1τ k1 ( n2 ) , k1k 2 ) = ( n1n2 , k1k2 ) ∀n1 , n2 ∈ N , k1k 2 ∈ K
def
se cumple si y solo sí τ k = Id ∀k ∈ K
- 89 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 90 -
Proposición 3.10 Si K, N son grupos y τ : K → Aut ( N ) es un morfismo no trivial,
entonces N ãτ K no es abeliano.
Demostración Como τ no es trivial ∃k ∈ K tal que τ k ≠ Id ⇒ ∃no ∈ N tal que
τ k ( n0 ) ≠ n0 para este k y este n0 sea:
•
⇒ ( n0 , e ) ⋅ ( e, k ) ≠ ( e, k ) ⋅ ( n0 , e )
( e, k ) ⋅ ( n0 , e ) = ( eτ k ( n0 ) , ke ) = (τ k ( n0 ) , k )
( n0 , e ) ⋅ ( e, k ) = ( n0τ e ( e ) , ek ) = n0 , k
Proposición 3.11 Si K es un cuerpo y G < K × con G < ∞ entonces G es cíclico. En
particular si K es un cuerpo finito, entonces K × es cíclico.
Demostración Si G = {1} es trivial. Supongamos ahora que G ≠ {1} G abeliano
finito ⇒ ∃ 1 < m1 | m2 | ... | mk tal que G ≅ ¢ m1 ⊕ ¢ m2 ⊕ ... ⊕ ¢ mk
Tenemos que:
notación multiplicativa
k
mi ⋅ ¢ mi = 0 ∀i ⇒ mk ⋅ ¢ mi = 0 ∀i ⇒ mk ⋅ ⊕ ¢ mi = 0 ⇒ g mk = 1 ∀g ∈ G .
i =1
mk
Luego todos los elementos de G son raíces de x − 1 ∈ K [ X ] , pero este polinomio
tiene a lo sumo mk raíces, entonces G ≤ mk .
Pero G = m1.m2 ....mk con 1 < m1 | m2 | ... | mk , si fuese k > 1 sería G > mk lo cual es
absurdo, entonces k = 1 y G ≅ ¢ m1 .
Observación 3.9 Si p es primo ⇒ ¢ p es un cuerpo finito ⇒ ¢×p es cíclico
⇒ Aut ( ¢ p ) es cíclico
∃a ∈ {1, 2,..., p − 1} tal que
a p −1 ≡ 1( mod p ) .
¢×p = {1, a ,..., a p− 2 } con
Como ¢×p = p − 1 ⇒ ( ¢×p , ⋅) ≅ ( ¢ p −1 , + ) .
an Ï n
Subgrupos de Sylow
Ya hemos visto que si G es un grupo de orden n, el orden de cada subgrupo H de G
divide a n. También sabemos con ejemplos del practico que el recíproco no es cierto
en general. A4 no posee subgrupos de orden 6.
- 90 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 91 -
A continuación probaremos que si m | n y m es potencia de un primo ( m = p r )
entonces todo grupo de orden n posee subgrupos de orden m. Además fijaremos las
condiciones respecto al número de tales subgrupos. En particular verificaremos la
existencia de p-subgrupos de orden máximo y demostraremos que todos ellos son
conjugados. Estos resultados se conocen como Teoremas de Sylow y se encuentran
entre los más importantes de la teoría de grupos.
Definición 3.13 Sea p un número primo decimos que un grupo G es un p-grupo si
el orden de todo elemento de G es p n para algún n = 0,1, 2,..... .
Ejemplo 3.4 Si G = {e} , es un p-grupo para todo primo p, es el p-grupo trivial.
Observación 3.10 Si G es un p-grupo finito entonces G = p n para algún n
Demostración Supongamos que existe un primo q ≠ p tal que q | G entonces por
el teorema de Cauchy existe un elemento cuyo orden es q y G no sería un p-grupo.
Observar que nosotros probamos el teorema de Cauchy más adelante usando Sylow,
pero se puede demostrar sin usar Sylow (ver al final del capítulo).
Definición 3.14 Si G es un grupo y H < G es un p-grupo entonces decimos que H
es un p-subgrupo de G.
Definición 3.15 Dado un grupo G , decimos que H < G es un p-subgrupo de Sylow
de G si H es un p-subgrupo maximal de G (en el sentido de que si K es un psubgrupo de G entonces K < H ). Por otra parte si G es finito entonces H < G es un
p-subgrupo de Sylow si y solo sí H = p n siendo n el mayor natural tal que p n | G.
Si p Œ G entonces {e} el único p-subgrupo de Sylow.
Proposición 3.12 Sea G un p-grupo que actúa en un conjunto X finito. Entonces:
X ≡ X 0 ( mod p )
Siendo X 0 = { x ∈ X : g g x = x , ∀g ∈ G} (el conjunto de los puntos fijos de la acción)
Demostración Si la acción es la trivial todos los puntos son fijos y se cumple por ser
G un p-grupo.
Si la acción no es la trivial ⇒ ∃x1 ,..., xm ∈ X tales que:
m
X = X 0 + ∑ G : Gxi con G : Gxi > 1 ∀i = 1,..., m
i =1
Ahora G = p y 1 < G : Gxi | G ⇒ G : Gxi = p l i ∀i = 1,..., m luego
n
- 91 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 92 -
⇒ p | G : Gxi , ∀i = 1,..., m ⇒ X ≡ X 0 ( mod p )
Corolario 3.13 Si G es un p-grupo finito no trivial. Entonces:
Z ( G ) ≠ {e}
Demostración Consideremos la acción por conjugación, en la misma X = G y la
ecuación de clases nos queda:
m
G = Z ( G ) + ∑ [G : CG ( xi )] con [G : CG ( xi )] > 1 ∀i = 1,..., m
i =1
y
1 < [G : CG ( xi )] | G = p n ⇒ [G : CG ( xi )] = p l i ⇒ p | [G : CG ( xi )] ∀i = 1,...m
luego
p | Z (G ) ⇒ Z (G ) ≠ 1
Observación 3.11 1) Si G ≠ {e} ⇒ CG ( x ) ≠ {e} , ∀x ∈ G
2) Si H < Z ( G ) ⇒ H < G
Demostración 1) CG ( x ) = {a ∈ G : xa = ax} en particular x ∈ CG ( x ) , ∀x ∈ G
entonces si ∃x ∈ G tal que CG ( x ) = {e} ⇒ x = e ⇒ {e} = CG ( x ) = CG ( e ) = G por lo
tanto se tiene:
G = {e}
2) Si g ∈ G , h ∈ H ⇒ ghg −1 =
{ h⇒ H <G
H < Z (G )
Proposición 3.14 Si G es un p-grupo no trivial, entonces existe una torre (cadena)
G
de subgrupos {e} = G0 < G1 < ... < Gn = G tales que Gi < G y i +1
es cíclico de
Gi
orden p ∀i = 0,1,..., n luego Gi = p i , i = 0,1,..., n
Demostración Razonaremos por inducción completa en n con G = p n .
Para n = 1 es {e} = G0 < G1 = G con G = p luego se cumple trivialmente.
Sea G = p n y supongamos que la proposición vale para todo grupo de orden p n −1 .
Como G es un grupo no trivial ⇒ Z ( G ) ≠ {e} ⇒ Z ( G ) = p l con 1 ≤ l ≤ n pero
Z ( G ) es abeliano finito, considerando corolario 2.15 ⇒ existe H tal que:
H < Z (G ) < G
⇒
{ H <G
H = p obsev.3.11(2)
- 92 -
Notas de Álgebra II
consideramos G
H
Acciones
, como G
tenemos:
H
- 93 -
= p n −1 podemos aplicar la hipótesis de inducción y
G% 0 = {e} < G%1 < ... < G% n−1 = G
H
con
G% i < G
H
G% i +1
cíclico y
G% i
G% i +1
= p ∀i = 0,1,..., n − 2
G% i
Por la proposición 1.32 tenemos una biyección entre los subgrupos de G y los
monótona creciente que respeta la normalidad. Es decir que
subgrupos de G
H
aplicando dicha biyección que en su momento establecimos por medio de π :
G% 0 = {e} < G%1 < ... < G% n−1 = G H
π↑
b
↓ π −1
e} < {
H
< Gˆ1 < .... < Gˆ n −1 = G
{{
ˆ
= G0
= G0
ˆ
entonces:
Es decir que para cada i existe Gˆ i < G con H < Gˆ i y tal que G% i = Gi
H
Gˆ i +1
ˆ
Gi +1
H = G% i +1
=
=p
G% i
Gˆ i
Gˆ i
H
Definimos
Gi = Gˆ i −1 ∀i = 1,..., n
G0 = {e}
luego tenemos {e} = G0 < G1 < ... < Gn = G en las condiciones de la tesis.
P
Gˆ 0
P
Gˆ n−1
Además Gi = p i ∀i = 0,1,..., n
Proposición 3.15 (Primer Teorema de Sylow)
Dado un grupo G, si p | G con p primo, entonces existe un p-subgrupo de Sylow.
Además si G = p n k , con ( p , k ) = 1 , entonces S p = p n siendo S p un p-subgrupo de
Sylow.
Demostración Si G = p el propio G es un p-subgrupo se Sylow de G
Supongamos que el teorema es valido para todo grupo H con H < G y sea:
- 93 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 94 -
G = p n k con ( p , k ) = 1
Si G no tiene subgrupos propios ⇒ G es primo ⇒ G = p ⇒ la tesis.
Supongamos entonces que existe H < G con {e} ≠ H ≠ G , consideremos las
siguientes situaciones:
a) p Π[G : H ] , entonces como:
G = [G : H ] ⋅ H ⇒ p n k = [G : H ] ⋅ H
n
⇒ p | H
n
( p , [G : H ]) = 1
Luego H = p n ⋅ r , pero como H | G = p n ⋅ k ⇒ r | k y por lo tanto ( p, r ) = 1 es
decir que H = p n ⋅ r con ( p, r ) = 1 y H < G ⇒ que podemos aplicar la hipótesis
de inducción, y tenemos que ∃K < H tal que K = p n ⇒ que K es un p-subgrupo de
Sylow de G.
b) p | [G : H ] , ∀H < G con {e} ≠ H ≠ G entonces considerando la ecuación de
clases:
m
G = Z ( G ) + ∑ [G : CG ( xi )] , [G : CC ( xi )] > 1, ∀i = 1,..., m
i =1
[G : CG ( xi )] > 1 ⇒ CG ( xi ) ≠ G
⇒
{
por obser.3.11 (1)
{e} ≠ CG ( xi ) ≠ G y CG ( xi ) < G , luego por
hipótesis:
p | [G : CG ( xi )] , ∀i = 1,..., m
p | Z (G )
⇒
⇒ ∃H < Z ( G ) tal que H = p
p | G Z ( G ) abeliano
Pero que H < Z ( G ) ⇒ H < Z ( G ) y podemos considerar el cociente G
que
H
cumple:
n
G = p ⋅ k = p n −1 ⋅ k
⇒
∃K% < G
tal que K% = p n −1
{
H
H
p
por hipótesis de inducción
considerando la biyección de la proposición 1.32 se tiene que:
∃K < G con H < K tal que K% = K ⇒ K = K ⋅ H = p n−1 ⋅ p = p n
H
H
Este K es el p-subgrupo de Sylow que estábamos buscando.
Corolario 3.16 Sea G un grupo tal que G = p n ⋅ k con ( p, k ) = 1 , entonces existen
subgrupos de G de orden p l , ∀l = 0,1,..., n
Demostración Por la proposición anterior existe H < G tal que H = p n y por la
proposición 3.14 aplicada al H implica que existen H i < H ( ⇒ H i < G ) tales que:
{e} = H 0 < H1 < ... < H n = H con H i = p i para i = 0,1,..., n
- 94 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 95 -
Otro corolario muy importante es el que se conoce como Teorema de Cauchy
Corolario 3.17 (Teorema de Cauchy)
Dado un grupo G y un número primo p tal que p | G , entonces existe un elemento
a ∈ G tal que a = p .
Demostración Por el Teorema de Sylow existe H < G tal que H = p.
Si e ≠ a ∈ H de acuerdo al corolario 1.19 a | H = p ⇒ a = p .
{
>1
Lema 3.18 Sea G un grupo, p un número primo tal que p | G , H un p-subgrupo de
G y S un p-subgrupo de Sylow de G. Si H < N G ( S ) , entonces H < S .
G
Demostración Usando la proposición 1.26 (i) tenemos:
S < NG (S )
⇒ HS < N G ( S ) < G
NG ( S )
H < N G ( S )
Luego HS < G
HS
Sea S = pn , H = pm por definición de p-subgrupo de
=
Sylow m ≤ n .Además podemos considerar que m ≥ 1 ya
H
S
que si m = 0, H sería el p-subgrupo trivial ⇒ H < S
como queremos probar.
=
Como consecuencia del segundo teorema de
H IS
isomorfismo teníamos que:
[ HS : S ] = [ H : H I S ] pero este último divide a H = p m luego [ HS : S ] | p m
supongamos que HS ≠ S ⇒ [ HS : S ] > 1 ⇒ [ HS : S ] = p l con l ≥ 1 por otro lado:
HS = [ HS : S ] ⋅ S = p l+ n con l + n > n
Luego encontramos un p-subgrupo de G de mayor orden que S lo cual es absurdo
por definición, entonces HS = S ⇒ H < S .
Proposición 3.19 (Segundo Teorema de Sylow)
Sea G un grupo finito y p primo tal que p | G entonces se cumplen:
i) Todo p subgrupo de G está contenido en algún p-subgrupo de Sylow.
ii) Todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados
iii) Si n p = { p − subgrupos de Sylow de G} entonces:
n p ≡ 1( mod p )
- 95 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 96 -
Demostración i) Sea S un p-subgrupo de Sylow de G. Es S = p n siendo
G = p n ⋅ k , ( p, k ) = 1
Consideremos la acción:
g
G × Subg ( G )
→ Subg ( G )
gKg −1
( g , K ) Îg
Sea S = { gSg −1 : g ∈ G} la orbita de S (σ ( S ) = S )
De acuerdo a la proposición 3.5 S = [G : N G ( S )] por otro lado:
S < N G ( S ) < G considerando los ordenes ⇒ p n | N G ( S ) | p n ⋅ k ⇒ N G ( S ) = p n ⋅ h
con ( p, h ) = 1 , entonces:
S = [G : N G ( S )] =
G
NG ( S )
=
pn ⋅ k k
=
con
pn ⋅ h h
( kh , p ) = 1
luego S ≡ 0 ( mod p ) .
Sea H un p-subgrupo de G . Como S es G-estable, podemos restringir la acción a
S (ver observación 3.2) y tenemos
g
G × S
→S
gSg −1
( g , S ) Îg
y restringiendo a H
g
H × S
→S
hSh −1
( h, S ) Îh
Como H es un p-subgrupo por la proposición 3.12 S0 H ≡ S ( mod p ) siendo S 0 H
el conjunto de puntos fijos de la acción restringida a H, es decir:
S 0 H = {Q ∈ S : hQh −1 = Q , ∀h ∈ H }
y como S ≡ 0 ( mod p ) ⇒ S 0 H ≡ 0 ( mod p ) ⇒ S 0 H ≠ 0 ⇒ S 0 H ≠ φ
luego existe Q ∈ S 0 H ⇒ hQh −1 = Q , ∀h ∈ H ⇒ H < N G (Q )
123
∈
⇒
{ H < Q ⇒ i)
Lema
3.18
S ⇒ Q = S ⇒ Q es un p -subgrupo de Sylow
Si además H es un p-subgrupo de Sylow de G y Q ∈S0 H es H < Q , con H = Q
luego H = Q ∈ S ⇒ ∃g ∈ G tal que H = gSg −1 y esto prueba ii)
Esto prueba además que todo p-subgrupo de Sylow está en S , y S 0 H = {H } luego
S0 H = 1, como S ≡ S0 H ( mod p ) ⇒ S ≡ 1( mod p ) pero:
S = { p-subgrupos de Sylow de G}
entonces n p = S ≡ 1( mod p ) .
- 96 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 97 -
Observación 3.12 Si S p es un p-subgrupo de Sylow de G y :
n p = { p − subgrupos de Sylow de G}
entonces valen
n p ≡ 1( mod p )
np =
G
NG ( S p )
y np |
G
Sp
G
Demostración n p = S = G : N G ( S p ) =
NG ( S p )
G
S p < N G ( S p ) < G ⇒ G : N G ( S p ) ⋅ N G ( S p ) : S p = G : S p ⇒ n p | G : S p =
14
4244
3
Sp
=np
Corolario 3.20 Sea p primo tal que p | G y S p es un p-subgrupo de Sylow de G.
Entonces S p < G ⇔ n p = 1
Demostración
np = 1 ⇔
G
= 1 ⇔ NG ( S p ) = G ⇔ S p < G
NG ( S p )
Corolario 3.21 Sea p primo tal que p | G y S p un p-subgrupo de Sylow de G.
Entonces N G ( N G ( S p ) ) = N G ( S p )
Demostración Si H < G es N G ( H ) = { g ∈ G : gHg −1 = H } y N G ( H ) es el mayor
subgrupo de G del cual H es un subgrupo normal
Luego es N G ( S p ) < N G ( N G ( S p ) )
S p < N G ( S p ) y es un p-subgrupo de Sylow de N G ( S p ) , luego por el corolario
anterior implica que S p es el único p-subgrupo de Sylow contenido en N G ( S p ) .
Si x ∈ NG ( N G ( S p ) ) ⇒ xNG ( S p ) x −1 = N G ( S p )
⇒
{
S p < NG ( S p )
xS p x −1 < NG ( S p ) , pero
xS p x es un p-subgrupo de Sylow de N G ( S p ) ⇒ xS p x −1 = S p ⇒ x ∈ NG ( S p ) luego:
−1
NG ( N G ( S p ) ) ⊂ NG ( S p )
como la otro inclusión es obvia son iguales.
Veamos ahora algunas aplicaciones.
- 97 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 98 -
Aplicaciones
Ejemplo 3.5 Sea un grupo G tal que G = 72 probar que G no es simple.
Descomponemos el 72 = 23 ⋅ 32 . Entonces si S3 es un 3-subgrupo de Sylow, implica
que S3 = 9 (Primer Teorema de Sylow).
Por el segundo Teorema de Sylow
G
72
1 ⇒ S3 < G ⇒ af.
=
= 8 ⇒ n3 | 8 y n3 ≡ 1( mod 3) ⇒ n3 =
n3 |
9
Sp
4
Si n3 = 4 ⇒ [G : N G ( S3 )] = 4 ⇒ G Œ G : N G ( S p ) ! = 4!
{ entonces de acuerdo a lo
{
24
72
visto en la aplicación 2) de acciones (pag.83) (ver conclusión de la observación 3.6)
∃ K
{ < G tal que {e} ≠ K < N G ( S3 ) ⇒ K < S3
Lema 3.18
= ker ϕ
Ejemplo 3.6 Sea G un grupo tal que G = p 2 con p primo, entonces G es abeliano
luego es G ≅ ¢ p 2 o G ≅ ¢ p ⊕ ¢ p .
G es un p-grupo, luego tenemos:
p 2 ⇒ Z ( G ) = G ⇒ af.
⇒ Z ( G ) ≠ {e} como G ≡ Z ( G ) ( mod p ) ⇒ Z ( G ) =
cor.3.13
p
Si Z ( G ) = p, como Z ( G ) < G ⇒ G
es un grupo con:
Z (G )
G
Z (G )
G
=p ⇒
es cíclico
{
Z (G )
cor. 1.20
a ≡ α n ( mod Z ( G ) ) ⇒ α − n a ∈ Z ( G ) ⇒ ∃h ∈ Z ( G ) tal que a = α n h
∀a, b ∈ G ⇒
m
−m
m
b ≡ α ( mod Z ( G ) ) ⇒ α b ∈ Z ( G ) ⇒ ∃k ∈ Z ( G ) tal que b = α k
↔
}
m
n
n m
n+ m
n
m
n
entonces ab = α hEα
hk
kh = α m α
{ αα E
{ α
{ α
{k α
{h = ba
F k =
F =
E5Fk h =
↔
h∈Z (G )
↔ h∈Z ( G )
↔
k∈Z (G )
=b
=a
por lo que G es abeliano ⇒ Z ( G ) = G pero Z ( G ) = p ≠ G luego es absurdo.
Ejemplo 3.7 Sea G un grupo tal que G = 112132 demostrar que es abeliano.
1 ⇒ n11 = 1 ⇒ S11 < G
n11 = 1 + 11k |132 ⇒ n11 = 1 + 11k = 13
132
- 98 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 99 -
1 ⇒ n13 = 1 ⇒ S13 < G
n13 = 1 + 13k |112 ⇒ n13 = 1 + 13k = 11
112
S11 = 112 , S13 = 132 ⇒ S11 I S13 = 1 ⇒ S11 I S13 = {e} ⇒ S11S13 = 112132
⇒ G = S11S13 , S11 < G , S13 < G y S11 I S12 = {e} ⇒ G ≅ S11 × S13
ej. 1.42
Y como S11 = 11 y S13 = 13 por el ejemplo anterior S11, S13 son abelianos y por
lo tanto S11 × S13 también.
2
2
Ejemplo 3.8 Si G = 6 y G no es abeliano entonces es G ≅ S3 entendiendo por S3 a
las permutaciones de 3 elementos.
Como [G : S3 ] = 2 ⇒ S3 < G
S3 <G y S 2 I S 3 =1
}
1 ⇒ S < G
⇒
G ≅ S 2 × S3 ≅ ¢ 2 × ¢ 3 ⇒ abeliano
n2 = 1 + 2k | 3 ⇒ n2 =
2
3
Luego n2 = 3 ⇒ S2 <G Consideremos la siguiente acción sobre el conjunto G
S2
dada por:
G×G
S2
g
→G
S2
( g , hS 2 ) Î ghS 2
Lo que equivale a tener un morfismo:
( S)
ϕ : G → Biy G
2 3
g Î ϕ (g):G
S2
→G
S2
ϕ ( g )( hS2 ) Î ghS2
{e}
< S 2 (ver observación 3.6) pero como S 2 = 2 ⇒ ker ϕ =
g∈G
S2
−1
entonces si ker ϕ = S 2 como ker ϕ = I gS 2 g < G ⇒ S2 < G
ker ϕ =
I gS g
−1
2
g∈G
( S )≅S
luego ker ϕ = {e} ⇒ ϕ : G ° Biy G
2
implica que ϕ es un isomorfismo ∴ G ≅ S3
- 99 -
3
ya que G
S2
= 3 y como G = S3
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 100 -
Observación 3.13 Si p < q son primos y q ≡ 1( mod p ) , entonces existe un entero r
tal que:
r p ≡ 1( mod q )
y que {a, b : a = b = 1, aba = b
p
q
−1
r ≡ 1( mod q )
r
} es un grupo no abeliano de orden pq.
Proposición 3.22 Sea G un grupo, G = pq, p < q primos:
i) Si G es abeliano, entonces G ≅ ¢ pq luego G es cíclico.
ii) Si G no es abeliano, entonces se cumplen:
a) q ≡ 1( mod p ) ;
b) ∀r ∈ ¢ + tal que r p ≡ 1( mod q ) y r ≡ 1( mod q ) , tenemos que:
G ≅ {a, b : a p = b q = 1, aba −1 = b r }
Demostración Sean S p < G y S q < G tal que S p = p , S q = q ( S p ≅ ¢ p , S q ≅ ¢ q )
Como ( p, q ) = 1 ⇒ S p I Sq = 1 ⇒ S p Sq = pq = G luego:
G = S p Sq
S p I S q = {e}
nq = 1 + kq | p ⇒
{ nq = 1 ⇒ S q < G
p <q
n p = 1 ⇒ S p < G ⇒ G ≅ S p × S q ≅ ¢ p × ¢ q ≅ ¢ pq
n p = 1 + kp | q ⇒
n p = q
Si n p = q ⇒ q ≡ 1( mod p ) Sea r ∈ ¢ + tal que r p ≡ 1( mod q ) y r ≡ 1( mod q ) .
Como n p ≠ 1 ⇒ S p <G , y además G = S p S q , S q < G , S p I S q = {e} implica que:
∃α ∈ S p y β ∈ S q tal que αβ ≠ βα
ya que de lo contrario α = βαβ −1 , ∀α ∈ S p , β ∈ S q y entonces:
∀g ∈ G ⇒ ∃a ∈ S p , ∃b ∈ Sq tal que g = ab, y ∀s ∈ S p y se tiene que:
−1 −1
−1
gsg −1 = ( ab ) s ( ab ) = absb
{ a = asa ⊂ S p ⇒ S p < G
−1
=s
S p y Sq
son cíclicos más aún son simples ⇒ si α
β ∈ S q entonces
{ ∈ Sp, y {
≠e
≠e
S p = α , S q = β con α = p , β = q y como:
- 100 -
Notas de Álgebra II
Acciones
- 101 -
−1
−1
l
α β
{ α ≠ β ⇒ ∃!l ∈ {2,..., q − 1} tal que αβα = β
c Sq < G
P
β
Si αβα −1 = β l ⇒ (αβα −1 ) = ( β l ) ⇒ αβ lα −1 = β l sustituyendo:
l
l
2
α (αβα −1 )α −1 = β l ⇒ α 2 βα −2 = β l y así sucesivamente α t βα −t = β l
2
2
t
∀t ∈ ¢
pero como α p = e ⇒ α p βα − p = β l ⇒ β = β l ⇒ l p ≡ 1( mod q ) donde 2 ≤ l ≤ q − 1
p
p
luego l ≡ 1( mod q )
En ¢×q es
( l)
p
=1 y l≠1⇒ l = l = p
Análogamente para r ∈ ¢×q es r = r = p ,
r = {1, r ,..., r p −1}
Pero como ¢×q es cíclico, entonces tiene un único subgrupo de orden p; luego
l = r
⇒ ∃c ∈ {1,..., p − 1} tal que l = r c en ¢ q .
l≠1
1 ≤ c ≤ p − 1 ⇒ c ≠ 0 en ¢ p ⇒ ∃d ∈ {1,..., p − 1} tal que cd = 1 ⇔ cd ≡ 1( mod p )
En ¢ q es l d = r cd = r ⇒ ld ≡ r ( mod q )
E555555555F
cd ≡ 1( mod p )
r =p
Sea α 0 = α d ∈ α = S p , d ≡ 0 ( mod p ) ⇒ S p = α 0
E55555F
α 0 βα 0−1 = α d βα − d = β
( ld )
= β r ⇒ α 0 βα 0−1 = β r
↑
l ≡ r ( mod q )
β =q
d
Luego G = S p S q = α 0 β = α 0 , β , α 0p = e, β q = e y α 0 βα 0−1 = β r esto implica
que existe un epimorfismo entre {a, b : a p = b q = 1, aba −1 = b r } y G dado por :
{a , b : a
p
= b q = 1, aba −1 = b r } → G
a Î α0
bÎ β
Como ambos grupos tienen orden pq dicho epimorfismo es un isomorfismo.
Observar que la proposición anterior prueba que hay solamente dos grupos de orden
pq con p < q a menos de isomorfismos.
- 101 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 3
- 102 -
Corolario 3.23 Dado un grupo G tal que G = 2 p con p primo distinto de 2,
entonces G ≅ ¢ 2 p o G ≅ D p
Demostración
2
Si G es no abeliano, como ( p − 1) = p 2 − 2 p + 1 ≡ 1( mod p )
p − 1 ≡ 1( mod p )
pues p ≠ 2
Entonces tomando p = 2, q = p y r = p − 1 en la proposición anterior es:
G ≅ {a, b : a 2 = b p , aba −1 = b p −1} = D p
Ejemplo 3.9 Si G = 6 y G no es abeliano entonces G ≅ D3 en particular S 3 ≅ D3
Ejemplo 3.10 Si G = 35 ⇒ G = 3 ⋅ 7, 7 ≡ 1( mod 5 ) ⇒ G ≅ ¢ 35 .
Teorema de Cauchy Sea G un grupo finito, p primo tal que p | G , entonces existe
un elemento a ∈ G tal que a = p .
Demostración (J.H. MacKay) Consideremos la p-uplas de elementos de G tales
que su producto nos de el neutro del grupo o sea:
X = {( a1 , a2 ,..., a p ) : ai ∈ G ∀i = 1,..., p y a1a2 ...a p = e}
Como a p es determinado unívocamente por ( a1a2 ...a p −1 ) , entonces:
−1
p −1
X = AApG−1 = G (arreglos con repetición)
Consideremos la acción de ¢ p actuando en X, definida por una k permutación
circular de la p-upla, en forma explícita:
k ( a1 ,..., a p ) = ( ak +1 ,..., a p , a1 ,..., ak )
Primero que nada ( ak +1 ,..., ak ) ∈ X por que si xy = e ⇒ yx = x −1 ( xy ) x = x −1x = e , y
por otro lado se trata de una acción de ¢ p sobre X porque:
i) h g( k g x ) = ( h + k )g x (notación aditiva para el grupo aditivo ¢ p ) ii) 0 g x = x y en
este caso X 0 conjunto de puntos fijos de la acción, es tal que ( a1 ,..., a p ) ∈ X 0 si y
solo sí a1 = a2 = ... = a p es decir X 0 = {( a,..., a ) : a ∈ G y a p = e} .
Además como ¢ p = p ⇒ ¢ p es un p-grupo actuando en X, entonces por la
proposición 3.12
X = X0
(mod p) y
p| G
entonces
X = 0 ( mod p ) y
como ( e,..., e ) ∈ X 0 ⇒ X 0 ≥ 1 , entonces X 0 ≥ p ⇒ ∃a ≠ e tal que a p = e ⇒ a = p
- 102 -
Capítulo 4
Cuerpos
Definición 4.1 Un cuerpo es un anillo conmutativo K ≠ {0} en el cual todo
elemento no nulo es invertible.
Definición 4.2 Un subcuerpo de K es un subconjunto S ⊂ K que verifica:
• Si a, b ∈ S ⇒ a − b ∈ S y a ⋅ b ∈ S ∀a, b ∈ S
• Si a ∈ S , a ≠ 0 ⇒ a −1 ∈ S , ∀a ∈ S
• 1∈ S
Luego S es un cuerpo restringiendo + y ⋅ de K a S.
Ejemplo 4.1 Tenemos que ¤ ⊂ ¡ ⊂ £ es una cadena de subcuerpos.
Ejemplo 4.2 ¢ p = ¢
p¢
con p primo, es un cuerpo.
Ejemplo 4.3 Si K es un cuerpo ⇒ K [ x ] polinomios en la variable x es un dominio
de ideales principales, K ( x ) = { gf : f , g ∈ K [ x ] , g ≠ 0} es el cuerpo de fracciones
de K [ x ] llamado el cuerpo de las expresiones racionales en la variable x.
Generalizando para más variables si K es cuerpo K [ x1 ,..., xn ] dominio factorial y
su cuerpo de fracciones es K ( x1 ,..., xn ) = { gf : f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] , g ≠ 0}.
Ejemplo 4.5 Si K cuerpo, f ∈ K [ x ] y f = { fg : g ∈ K [ x ]} el ideal generado por
f, entonces:
K [ x]
f
es un cuerpo ⇔ f es irreducible.
- 103 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 104 -
Definición 4.2 Dados dos cuerpos k , f un morfismo de cuerpos es una función
ϕ : K → f que verifica:
ϕ ( a + b ) = ϕ ( a ) + ϕ (b ) ;
∀a, b ∈ K
ϕ ( ab ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) ;
⇔ ϕ es un morfismo de anillos
ϕ (1) = 1
Observación 4.1 Si ϕ : k → f es un morfismo y a ∈ K , a ≠ 0 ⇒ a es invertible,
entonces:
ϕ ( a ) ≠ 0
1 = ϕ (1) = ϕ ( aa −1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( a −1 ) ⇒
−1
−1
ϕ ( a ) = ϕ ( a ) .
por lo que Imϕ es un subcuepo de F y como kerϕ < K y los únicos ideales de un
cuerpo son {0} y el propio cuerpo K y por definición ϕ (1) = 1 ⇒ ker ϕ = {0} ⇒ ϕ
es inyectivo. Entonces K es isomorfo a Imϕ y podemos ver al morfismo ϕ como la
inclusión, es decir K ≅ Imϕ ⊆ F , tenemos una copia de K por medio de ϕ en F.
Definición 4.3 Dados dos cuerpos F , K , decimos que el par ordenado ( F ,K ) es
una extensión de cuerpos, y si K es un subcuerpo de F , decimos también que F
es una extensión de K . En general usaremos la notación F ⊃ K para indicar que F
es una extensión de K.
Observación 4.2 Si A es un anillo y K es un subanillo de A que es un cuerpo,
entonces A es un K-espacio vectorial. En particular si F es una extensión de K ,
entonces F es un K-espacio vectorial. Escribimos [ F : K ] = dim K F .
Definición 4.4 La extensión F ⊃ K se dice finita si [ F : K ] < ∞ e infinita en el
caso contrario. Llamaremos grado o dimensión de la extensión F ⊃ K a [ F : K ].
Observación 4.3 Si F es un cuerpo y K i ⊂ F es un subcuerpo ∀i ∈ I , entonces:
IK
i
es un subcuerpo de F .
i∈I
Además:
K :=
I
L
K i ⊂ L
i∈I
U
donde L subcuerpo de F.
K es el menor subcuerpo de F que contiene a K i , ∀i ∈ I .
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Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 105 -
Definición 4.5 Si I = {1,..., n} , escribimos K = K 1 ...K n y decimos de K que es el
cuerpo compuesto de K1 ,..., K n .
Observación 4.4 Lo anterior prueba que si F es un cuerpo fijo, la familia de
subcuerpos de F forma un retículo completo respecto al orden dado por la inclusión.
Definición 4.5 Si F ⊃ E ⊃ K es una torre de extensiones, decimos que E es un
cuerpo intermedio entre F y K . Sea F ⊃ K una extensión fija, definimos:
Lat ( F , K ) = {E : E es un cuerpo intermedio entre F y K }
Claramente Lat ( F , K ) es un reticulado completo respecto a la inclusión, si
L , E ∈ Lat ( F ,K ) ⇒ E ∧ L = E I L y E ∨ L = E L .
Definición 4.6 Sea F ⊃ K una extensión fija. Si S ⊂ F es un subconjunto,
definimos:
1)El conjunto generado por K y S es:
K [S ] =
I A,
K US ⊂ A
A subanillo de F
K [ S ] ⊂ F subanillo y luego K [ S ] es un dominio.
2) El subcuerpo generado por K y S es:
K (S ) =
K ( S ) ⊂ F subcuerpo.
Es K U S ⊂ K [ S ] ⊂ K ( S ) ⊂ F .
I
L,
K US ⊂L
L subcuerpo de F
Notación Si S = {u1 ,..., un } escribimos K [{u1 ,..., un }] = K [u1 ,..., un ].
K ({u1 ,..., u n } ) = K ( u1 ,..., u n ) .
y
K [u1 ,..., u n ] = { f ( u1 ,..., u n ) : f ∈ K [ x1 ,..., xn ]}
K ( u1 ,..., un ) =
{ ((
f u1 ,...,un )
g u1 ,...,un )
}
: f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] , g ( u1 ,..., un ) ≠ 0
Observación 4.5 Si K ⊂ F y L ⊂ F son subcuerpos, entonces:
K L = K (L ) = L (K ) ⊂ F
Definición 4.7 Si F es un cuerpo, le llamamos cuerpo primo de F a la
intersección de todos los subcuerpos de F .
- 105 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 106 -
Proposición 4.1 Si P es un cuerpo primo de F, entonces P ≅ ¤ o P ≅ ¢ p para
algún p primo.
Demostración Observar que como:
1F ∈ P ⇒ n ⋅ 1F ∈ P , ∀n ∈ ¢ ⇒ {n ⋅1F : n ∈ ¢} ⊂ P .
Consideremos el morfismo de anillos ϕ : ¢ → F definido por ϕ ( n ) = n ⋅1F .
El kerϕ es un ideal de ¢ y Imϕ = {n ⋅1F : n ∈ ¢} ⊂ P .
Entonces se pueden presentar los siguientes casos:
a) ker ϕ = {0} ⇒ ϕ es inyectivo: si 0 ≠ n ∈ ¢ ⇒ ϕ ( n ) ≠ 0 en F ⇒ ϕ ( n ) es invertible
⇒ ∃! ϕˆ : ¤ → F morfismo de cuerpos tal que el diagrama
ϕ
conmuta.
¢
F
Como ϕ̂ es inyectivo ⇒ ¤ ≅ Im ϕˆ = ϕϕ((mn)) : n, m ∈ ¢, m ≠ 0
Ñ
Como Im ϕ ⊂ P y P es un subcuerpo entonces:
ϕ̂
Im ϕˆ ⊂ P
⇒ Im ϕˆ = P ⇒ P ≅ ¤
¤
¤ ≅ Im ϕˆ ⇒ ¤ es subcuerpo de F
{
b)
ker ϕ ≠ {0} ⇒ ∃! p ∈ ¢ + tal que ker ϕ = p
}
y
∃ϕ% : ¢
inyectivo de anillos tal que el diagrama conmuta:
Con Im ϕ% = Im ϕ y ¢ p ≅ Im ϕ% = Im ϕ .
Imϕ% ⊂ F subanillo y F cuerpo Imϕ% dominio, entonces:
¢ p dominio ⇒ ¢ p cuerpo y p es primo.
Luego ⇒ Im ϕ ≅ ¢ p es un subcuerpo de F y Im ϕ ⊂ P lo
que implica P = Im ϕ ⇒ P ≅ ¢ p .
→F
p
¢
π
morfismo
ϕ
F
Ñ
¢p = ¢
ϕ%
p
Definición 4.8 Si P ≅ ¤ decimos que la característica de F es cero ( carF =0 ) y si
P ≅ ¢ p decimos que la característica de F es p ( carF = p ).
Luego si carF = p > 0, es p = min {n ∈ ¢ + : n ⋅ 1F = 0}.
Observar que si F es cuerpo finito, necesariamente es carF = p > 0. Por otro lado, si
p es primo positivo entonces ¢ p ( x ) es un cuerpo infinito de característica p.
Definición 4.9 Una extensión F ⊃ K se dice finitamente generada si existen
u1 ,..., un ∈ F tales que F = K ( u1 ,..., un ) .
- 106 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 107 -
Definición 4.10 Una extensión se dice simple si existe u ∈ F tal que F = K ( u ) .
Observación 4.6 K ( x ) ⊃ K , es simple (luego finitamente generado) pero
dim K K ( x ) = ∞, ⇒ K ( x ) ⊃ K no es finita.
Proposición 4.2 Sea F ⊃ E ⊃ K una torre de extensiones entonces:
[F : K ] = [F : E ] ⋅ [E : K ],
y por lo tanto F ⊃ K es finita si y solo sí F ⊃ E y E ⊃ K son finitas.
Demostración Sean {ei : i ∈ I } una base de E como K-espacio vectorial
{f
j
: j ∈ J } una base de F como E-espacio vectorial.
Afirmamos que {ei f j : ( i, j ) ∈ I × J } es una base de F como K-espacio vectorial.
Primero probamos que es generador:
Si x ∈ F ⇒ ∃a j ∈ E tal que x = ∑ a j f j
⇒ x = ∑ aij ei f j ;
∃aij ∈ K tal que a j = ∑ aij ei
i, j
i∈I
j∈J
Ahora probamos que es L.I.
K
∈}
}
aij e j = 0 ⇒ aij = 0
Sean aij ∈ K tal que 0 = ∑ aij ei f j = ∑ ∑ aij ei f j ⇒ ∑
i
i, j
j i
1424
3
∀j ∈ J , ∀i ∈ I
∈E
∈K
Definición 4.11 Sea F ⊃ K una extensión y u ∈ F fijos
Definimos:
εu : K [ x] → F
n
n
i=0
i=0
∑ ai xi Î ∑ aiu i
morfismo de anillos. Im ε u = K [u ] y ker ε u = { f ∈ K [ x ] : f ( u ) = 0} ideal de K [ x ].
a) Si ker ε u = {0} decimos por definición que u es trascendente sobre K. Lo
εu
que implica K [u ] ≅ K [ x ] .
K [ x]
≅
K [u ]
Si f ∈ K [ x ] verifica f ( u ) = 0 ⇒ f = 0.
Considerando el siguiente diagrama:
ϕ
ψ
Si 0 ≠ f ∈ K [ x ] ⇒ 0 ≠ f ( u ) = ϕ ( f ) ∈ K ( u ) lo
K ( x)
K (u )
que significa que ϕ ( f ) es invertible en K ( u ) .
Entonces ∃!ψ : K ( x ) → K ( u ) morfismo de
- 107 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 108 -
cuerpos que extiende a ϕ .
f (u )
ψ (f g)=
, ∀f , g ∈ K [ x ] con g ≠ 0
g (u )
⇒ ψ es sobre ⇒ ψ es isomorfismo K ( u ) ≅ K ( x )
b) ker ε u ≠ {0} decimos por definición que u es algebraico sobre K.
⇔ 0 ≠ f ∈ K [ x ] tal que f ( u ) = 0
∃! p ∈ K [ x ] mónico de grado positivo tal que ker ε u = p .
εu
Es por el diagrama de la derecha que implica:
K [ x]
K [u ] ⊂ F
K [ x]
≅ K [u ] dominio ⇒ p irreducible
p
Ñ
π
≅
K x
⇒ [ ]
cuerpo ⇒ K [ u ] cuerpo luego:
K [ x]
p
p
K [ x]
K [ u ] ⊂ K ( u ) ⇒ K ( u ) = K [u ] ≅
p
El polinomio p se llama el polinomio irreducible de u sobre K y escribimos:
p = IrrK ( u ) y queda determinado por lo siguiente:
p es mónico
p (u ) = 0
Si f ∈ K [ x ] y f ( u ) = 0 ⇒ p | f
Definición 4.12 Una extensión F ⊃ K se dice algebraica si todo elemento de F es
algebraico sobre K , en caso contrario se dice trascendente.
Ejemplo 4.6 K ⊃ K es una extensión algebraica:
si u ∈ K ⇒ u es raíz de x − u ∈ K [ x ] ⇒ IrrK ( u ) = x − u.
Ejemplo 4.7 K ( x ) ⊃ K es trascendente y simple.
n
n
i =1
i =0
Sea u = x ∈ K ( x ) si f = ∑ ai x i ∈ K [ x ] es tal que f ( u ) = 0 ⇒ ∑ ai x i = 0 en K ( x )
n
⇒ ∑ ai x i = 0 en K [ x ] ⇒ f = 0 ⇒ u = x es trascendente sobre K .
i =0
Ejemplo 4.8 £ ⊃ ¡ es algebraica y simple
£ = {a + bi : a, b ∈ ¡} ⊂ ¡ [ i ] ⊂ ¡ ( i ) ⊂ £ ⇒ £ = ¡ [i ] = ¡ ( i )
Si
u = a + bi ⇒ ( u − a ) = ( bi ) ⇒ u 2 − 2 au + a 2 + b 2 = 0 luego u es raíz del
2
2
polinomio x 2 − 2ax + a 2 + b 2 ∈ ¡ [ x ] ⇒ u es algebraico sobre R.
- 108 -
Notas de Álgebra II
- 109 -
2 es algebraico sobre ¤ :
Ejemplo 4.9
( 2) = x
Cuerpos
( )
{ ( )
− 2 ⇒ ¤ 2 = ¤ 2 cuerpo. Observar que:
¤ 2 = f 2 : f ∈ ¤ [ x ]
es decir que si f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n con ai ∈ ¤ entonces:
Irr¤
f
( 2) = a
0
2
+ a1 2 + a2
{
}
2 ) + a ( 2 ) ... + a ( 2 )
({
{
= a + b 2 : a, b ∈ ¤ = ¤
una base de ¤
2
3
n
3
2
( 2)
2 2
cuerpo y ¤
2 sobre ¤. Recordar:
( )
}
n
reagrupando nos queda:
( 2 ) : ¤ = 2 teniendo que {1, 2} es
1
1
a −b 2 a −b 2
a
b
=
⋅
= 2
= 2
− 2
2
2
2
2
a
−
2
b
a
−
2
b
a + b 2 a + b 2 a − b 2 a − 2b
1
424
3 1
424
3
∈¤
Ejemplo 4.10
Irr¤
(
Irr¤( 2 )
)
2 + 3 es algebraico sobre ¤:
2 + 3 = x 4 − 10 x + 1 ∈ ¤ [ x ]
(
∈¤
)
2 + 3 = x 2 − 2 2 x + 1∈ ¤
( 2 ) [ x] .
Si u = 2 + 3 ⇒ u − 2 = 3 ⇒ u 2 − 2 2u + 1 = 0 ⇒ u 2 − 1 = 2 2u luego:
⇒ u 4 − 2u 2 + 1 = 8u 2 ⇒ u 4 − 10u 2 + 1 = 0
Ejemplo 4.11 ¡ ⊃ ¤ es trascendente:
π y e son trascendente.
Proposición 4.3 Sea K ⊂ E ⊂ F una torre de extensiones y u ∈ F algebraico
sobre K entonces u es algebraico sobre E y IrrE ( u ) | IrrK ( u ) .
Demostración Sea p = IrrK ( u ) ⇒ p ∈ K [ x ] ⊂ E [ x ] y p ( u ) = 0 ⇒ u es algebraico
sobre E y IrrE ( u ) | p = IrrK ( u ) .
Como consecuencia si F ⊃ K es una extensión algebraica ⇒ F ⊃ E es algebraica.
Proposición 4.4 Sea F ⊃ K una extensión y u ∈ F . Entonces las siguientes
propiedades son equivalentes:
i) K [u ] es un cuerpo
ii) K [u ] = K ( u )
iii) dim K K [u ] < ∞
- 109 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 110 -
iv) [ K ( u ) : K ] < ∞ (es decir que la extensión K ( u ) ⊃ K es finita)
v) u es algebraico sobre K .
Además, si u es algebraico sobre K, entonces si n = grIrrK ( u ) = [ K ( u ) : K ] implica
que {1, u , u 2 ,..., u n−1} es una base de K ( u ) como K- espacio vectorial.
Demostración De ser u = 0 todo es obvio. Entonces supongamos u ≠ 0
i) ⇔ ii) esto es evidente porque K U {u} ⊂ K [u ] ⊂ K ( u )
{
≠0
iv) ⇒ iii) Es K ⊂ K [u ] ⊂ K ( u ) ⇒ K [u ] es un K –subespacio de K ( u ) , luego si
dim K K ( u ) = [ K ( u ) : K ] < ∞ ⇒ dim K K [u ] < ∞ .
iii) ⇒ v) {1, u , u 2 ,..., u n ,...} ⊂ K [u ] necesariamente es L.D. ⇒ ∃a0 , a1 ,..., an ∈ K no
todos nulos tales que a0 + a1u + a2u 2 + ... + anu n = 0 ⇒ f ( u ) = 0 siendo:
n
0 ≠ f = ∑ ai xi ∈ K [ x ]
i=0
v) ⇒ iii) Sea IrrK ( u ) = a0 + a1 x + ... + an−1 x n−1 + x n ∈ K [ x ]. Sea S el subespacio
generado por {1, u , u 2 ,..., u n−1} esto implica:
n −1
n
u n = −∑ ai u i ∈ S ⇒ u n+1 = −∑ ai u i ∈ u , u 2 ,..., u{n ⊂ S ⇒ u n+1 ∈ S ⇒
i =0
i =1
∈S
n +1
⇒ u n+ 2 = −∑ ai u i ∈ u 2 ,..., u n , u n+1 ⊂ S ⇒ u n+ 2 ∈ S ⇒
i =2
...
{
por inducción
⇒ u m ∈ S ∀m ∈ ¥
luego f ( u ) ∈ S , ∀f ∈ K [ x ] ⇒ S = K [u ] y {1, u, u ,..., u n−1} genera a K [u ]; Ahora
2
supongamos que {1, u ,..., u n −1} no es linealmente independiente, entonces:
∃b0 , b1 ,..., bn−1 ∈ K no todos nulos tales que
n −1
n −1
i=0
i =0
∑ biu i = 0, sea 0 ≠ g = ∑ biu i ∈ K [ x ]
lo anterior ⇒ g ( u ) = 0 ⇒ IrrK ( u ) | g y como grIrrK ( u ) = n y gr ( g ) = n − 1 tenemos
un absurdo luego {1, u ,..., u n −1} es L.I y por lo tanto es base de K [u ] y:
⇒ dim K K [u ] = n = grIrrK ( u ) .
i) ⇒ v) 0 ≠ u ∈ K [u ] ⇒ ∃u −1 ∈ K [u ] ⇒ ∃g ∈ K [ x ] tal que u −1 = g ( u ) ⇒ ug ( u ) = 1
luego u es raíz de xg − 1 ∈ K [ x ] y xg − 1 ≠ 0.
i)
ii)
K x
v) ⇒ i) esto ya lo probamos K [u ] ≅ [ ]
iii)
IrrK ( u )
cuerpo, (ver definición 4.11 b).
v)
iv)
iii) ⇒ iv) Es dim K K [u ] < ∞ y como iii) ⇒ ii), es:
- 110 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 111 -
K ( u ) = K [u ] ⇒ [ K ( u ) : K ] = dim K K ( u ) = dim K K [ u ] < ∞.
Proposición 4.5 Sea σ : K → l un isomorfismo de cuerpos, K ⊂ F , l ⊂ H , y
sean u ∈ F , v ∈ H entonces si:
i) u y v son trascendentes sobre K y l respectivamente.
ii) u y v son algebraicos y Irrl ( v ) = σ ( IrrK ( u ) ) .
En cualquiera de los dos caso existe un isomorfismo σ% : K ( u ) → l ( v ) tal que
σ% |K = σ y σ% ( u ) = v .
Demostración i) De acuerdo a la definición
4.11 si u y v son trascendentes entonces:
K ( x ) ≅ K (u )
l ( x ) ≅ l (v )
llamemos a dichos isomorfismos ψ K ,u y ψ l ,v
respectivamente.
Definimos σ% = ψ l ,v o σ oψ K−1,u , obviamente
queda σ% : K ( u ) → l ( v ) y tal que:
K ( x)
ψ K ,u
K (u )
σ
σ%
l ( x)
ψ l ,v
l (v )
σ% ( u ) = ψ l ,v σ ψ K−1,u ( u ) = ψ l ,v σ ( x ) = ψ l ,v ( x ) = v
{
1442443
=x
=x
análogamente ∀k ∈ K se tiene que:
σ% ( k ) = ψ l ,v σ ψ K−1,u ( k ) = ψ l ,v σ ( k ) = σ ( k ) ⇒ σ% |K = σ
{
1442443
∈l
=k
ii) De acuerdo a lo visto en la definición 4.11
K [ x]
l [ x]
≅ K (u ) y
≅ l ( v ) y llamemos a dichos isomorfismos ϕ ,ψ
IrrK ( u )
Irrl ( v )
K [ x]
σ
π
ϕ
K (u )
K [ x]
IrrK ( u )
l [ x]
π
σ0
σ%
- 111 -
l [ x]
Irrl ( v )
ψ
l (v )
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 112 -
A partir del isomorfismo de cuerpo que tenemos, definimos el isomorfismo de
anillos que seguimos llamando igual y tal que:
n
n
σ ∑ ai x i = ∑ σ ( ai ) x i
i =0
i =0
como σ ( IrrK ( u ) ) = Irrl ( v ) tenemos que se induce un isomorfismo σ 0 tal que:
σ0 :
K [ x]
l [ x]
→
dado por σ 0 ( f + IrrK ( u ) ) = σ ( f ) + Irrl ( v )
IrrK ( u )
Irrl ( v )
entonces σ% = ψ o σ 0 o ϕ −1 es un isomorfismo de K ( u ) → l ( v ) y tal que:
∀k ∈ K σ% ( k ) = ψ (σ 0 (ϕ −1 ( k ) ) ) = ψ (σ 0 ( k + IrrK ( u ) ) ) = ψ σ ( k ) + Irrl (v ) = σ ( k )
∈l
luego σ% |K = σ y además:
σ% ( u ) = ψ (σ 0 (ϕ −1 ( u ) ) ) = ψ (σ 0 ( x + IrrK ( u ) ) ) = ψ σ ( x ) + Irrl ( v ) = v
=x
o sea σ% ( u ) = v como en la tesis.
Proposición 4.6 Sean E y F extensiones de K y u ∈ E y v ∈ F algebraicos sobre
K. Entonces u y v son raíces de un mismo polinomio irreducible f ∈ K [ x ] si y solo
sí existe un isomorfismo ϕ de cuerpos entre K ( u ) y K ( v ) que lleva a u en v y es
la identidad sobre K.
Demostración ⇐
que :
Sea ϕ : K ( u ) → K ( v ) isomorfismo tal
ϕ (u ) = v
K
ϕ ( x ) = x ∀x ∈ K
n
f ( x ) = ∑ ai xi ∈ K [ x ] , si f = IrrK ( u ) ⇒ f ( u ) = 0,
Sea
K (u )
ϕ
≅
ϕ |K
K (v)
K
i=0
entonces:
0
n
n
∈K
n
n
i
ϕ f ( u ) = ϕ ∑ ai u i = ∑ ϕ ai ϕ ( u i ) = ∑ ai ϕ ( u ) = ∑ ai vi = f ( v )
{ i =0
=0
i =0
i =0 123
ϕ morfismo
i =0
=v
=
{
= ai
luego f ( v ) = 0 .
⇒ Sea f ∈ K [ x ] irreducible tal que f ( v ) = f ( u ) = 0.
Siempre podemos suponer que f es mónico, luego f = IrrK ( u ) = IrrK ( v ) y esto
implica:
- 112 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
K ( u ) = K [u ] ≅
- 113 -
K [ x] K [x ] K [ x ]
=
=
≅ K [v] = K ( v )
IrrK ( u )
f
IrrK ( v )
↓
↓
↓
↓
↓
u
[ x ]u
[ k ]u
↓
[ x ]v
[ k ]v
v
k
↓
k
∀k ∈ K
p (u )
p ( v ) ∀p ∈ K [ x ]
[ p]
Luego K ( u ) ≅ K ( v ) .
En el cuadro anterior la notación [ x ]u corresponde a la clase de x respecto a
IrrK ( u ) .
Observación 4.7 El isomorfismo de la proposición anterior es único:
Si ϕ : K ( u ) → K ( v ) , ϕ |K = Id. y ϕ ( u ) = v , entonces como
K ( u ) = K [u ] = { g ( u ) : g ∈ K [ x ]}
entonces:
n
n
ϕ ∑ ai u i = ∑ ai v i , ∀a0 ,..., an ∈ K ⇔ ϕ ( g ( u ) ) = g ( v ) , ∀g ∈ K [ x ].
i =0
i =0
Ejemplo 4.12 Sea f = x 3 − 2 ∈ ¤ [ x ] u = 3 2 ⇒ f = Irr¤ ( u ) apliquemos Ruffini
para determinar las otras raíces
1 0
0
−2
3
2
1
(
luego x 3 − 2 = x − 3 2
)( x
2
+ 3 2 x + 3 22
3
2
3
22
−2
3
2
3
22
0
)
Consideremos v = λ 3 2 (candidato a isomorfismo) entonces:
f ( v ) = v3 − 2 = 2λ 3 − 2 = 2 ( λ 3 − 1) = 0 ⇒ λ 3 − 1 = 0
Aplicamos Ruffini para hallar todas las raíces de λ 3 − 1
1 0 0 −1
1
1 1 1
1 1 1 0
o sea que λ 3 − 1 = ( λ − 1) ( λ 2 + λ + 1) y hallando las raíces de λ 2 + λ + 1
λ=
−1 ± −3 −1 ± i 3 −1+2i
=
= −1−i
2
2
2
- 113 -
3
=w
3
=w
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 114 -
se tiene que ww = 1 ⇒ w = w−1 además:
2
1 − 2i 3 − 3 −2 − 2i 3 −1 − i 3
w2 = ( −1+2i 3 ) =
=
=
=w
4
4
2
Luego las raíces de λ 3 − 1 son w0 , w y w2 :
⇒ f ( v ) = v3 − 2 = 0 ⇔ v = wl 3 2, l = 0,1, 2
los posibles isomorfismos son:
ϕ
32
¤ 32
¤ wl 3 2
ϕ 3 2 = w⋅ 3 2
2 3
w ⋅ 2
¤
( )
( )
(
)
Proposición 4.7 i) Toda extensión finita es algebraica y finitamente generada.
ii) Toda extensión finitamente generada por elementos algebraicos es finita (y
consecuentemente algebraica).
iii) Toda extensión generada por elementos algebraicos es algebraica (y vale el
recíproco).
Demostración i) Sea F ⊃ K finita. Si u ∈ F es F ⊃ K ( u ) ⊃ K , como F ⊃ K
es finita ⇒ K ( u ) ⊃ K es finita ⇒ u es algebraico sobre K.
Sea B = {u1 ,..., un } una base de F como K-espacio vectorial.
⇒ F = K u1 + ... + K un ⊂ K ( u1 ,..., un ) ⊂ F ⇒ F = K ( u1 ,..., un ) .
ii) Sea F = K ( u1 ,..., un ) ⊃ K con u1 , u2 ,..., un ∈ F algebraicos sobre K.
Tenemos una torre de extensiones:
F = K ( u1 ,..., un ) ⊃ .... ⊃ K ( u1 , u2 ) ⊃ K ( u1 ) ⊃ K
F = K ( u1 ,..., un )
u1 es algebraico sobre K ⇒ K ( u1 ) ⊃ K es finita
K ( u1 ,..., un −1 )
u2 es algebraico sobre K K ⊂ K ( u1 ) ⊂ F
{ ⇒ u2 es
u2∈
algebraico sobre K ( u1 ) ⇒ K ( u1 , u2 ) = K ( u1 )( u2 ) ⊃ K ( u1 )
es finita, entonces:
K ( u1 , u2 ) ⊃ K ( u1 ) ⊃ K ⇒ K ( u1 , u2 ) ⊃ K es finita
finita
finita
K ( u1 , u2 )
K ( u1 )
Razonando por inducción obtenemos que:
F = K ( u1 ,..., un ) ⊃ K es finita
iii) ⇐ Supongamos F ⊃ K es una extensión algebraica ⇒ F = K ( F ) ⊃ K y los
elementos de F son algebraicos sobre K.
- 114 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 115 -
⇒ Supongamos que F = K ( S ) ⊃ K , S conjunto de elementos de F algebraicos
sobre K .
Sea l = U K (T ) , como K U S ⊂ U K (T ) = l , entonces si l es un cuerpo
T ⊂S
T finito
T ⊂S
T finito
⇒ K ( S ) ⊂ l por definición de K ( S ) (cuerpo generado), además como T ⊂ S
⇒ K (T ) ⊂ K ( S ) ⇒ l =
U
T ⊂S
S finito
K (T ) ⊂ K ( S ) , luego l = K ( S ) = F .
Probemos entonces que l es un cuerpo:
K ⊂ L ⇒ 1∈ L
Si a, b ∈ L ⇒ ∃T1 ,T2 finitos tal que:
a ∈ K (T1 )
⇒ {a, b} ⊂ K (T1 U T2 ) subcuerpo de F
b ∈ K (T2 )
⇒ a − b, ab, a −1 ( si a ≠ 0) ∈ K (T1 U T2 ) ⊂ U K (T ) = L ⇒ l es un cuerpo.
T ⊂S
T finito
En forma explícita:
f u ,..., u
K ( S ) = g ((u11,...,unn )) : f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] con g ( u1 ,..., u n ) ≠ 0, u1 ,..., un ∈ S ∀n ∈ ¢ + .
{
}
Si u ∈ K ( S ) ⇒ ∃n ∈ ¢ + , T = {u1 ,..., un } ⊂ S
y f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] con g ( u1 ,..., un ) ≠ 0 tal que:
u=
f (u1 ,...,un )
g (u1 ,...,un )
, luego u ∈ K ( u1 ,..., u n ) .
Como u1 ,..., un ∈ S ⇒ u1 ,..., un son algebraicos sobre K. ⇒
{ K ( u1 ,..., un ) ⊃ K es
ii)
finita y por lo tanto algebraica, y u ∈ K ( u1 ,..., un ) ⇒ u es algebraico sobre K.
Observación 4.8 i) y ii) implican que una extensión F ⊃ K es finita si y solo sí F
es finitamente generada por elementos algebraicos.
¤ 2, 3
Ejemplo 4.13 ¤ 2, 3 ⊃ ¤ es finitamente generado
(
)
por elementos algebraicos, luego es finita.
Ejemplo 4.14 K ( x ) ⊃ K es finitamente generado (es
más es simple) pero no es algebraica, ya que x es
trascendente sobre K. (ejemplo 4.7)
(
¤
)
( 2)
¤
( 3)
¤
Definición 4.13 Sea C una clase de extensiones de cuerpos. Decimos que C es una
buena clase si verifica:
- 115 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 116 -
i) Dada una torre de extensiones E ⊃ F ⊃ K . La extensión
E ⊃ K está en C si y solo sí E ⊃ F y F ⊃ K están en C.
ii) Dada F ⊃ K en C, se cumple que para toda extensión
E ⊃ K tal que existe L con L ⊃ F y L ⊃ E , entonces:
E F ⊃ E está en C.
Observación 4.9 i) y ii) implican que si C es una buena clase,
entonces vale:
Si tenemos L ⊃ F ⊃ K y L ⊃ E ⊃ K con F ⊃ K y E ⊃ K en
E
C , entonces E F ⊃ K está en C.
∈C
E
EF
K
F
∈C
∈C
E
∈C
EF
EF
F
K
E
F
K
L
E.F
F
K
∈C
K
Proposición 4.8 a) La clase de extensiones finitas es una buena clase.
b) La clase de extensiones algebraicas es una buena clase.
Demostración a) La parte i) ya la vimos.
L
ii) Dado el reticulado de la derecha con F ⊃ K finita esto
implica que existen u1 ,..., un ∈ F algebraicos sobre K tales que:
E.F
F = K ( u1 ,..., un )
?
⇒ E F = E K ( u1 ,..., un ) = E ( u1 ,..., un ) con u1 ,..., un ∈ E F alg. E
F
sobre K ⊂ E ⇒ son algebraicos sobre E ⇒ E F ⊃ E es finita.
K
b) i) Sean E ⊃ F ⊃ K . Si E ⊃ K es algebraica ⇒ ∀u ∈ F ⊂ E
es algebraica sobre K ⇒ F ⊃ K es algebraica y ∀u ∈ E
algebraica sobre K ⊂ F ⇒ es algebraica sobre F ⇒ E ⊃ F es algebraica.
Recíprocamente si E ⊃ F y F ⊃ K son algebraicas:
Si u ∈ E . como E ⊃ F es algebraico ⇒ ∃a0 ,..., an ∈ F no todos nulos tales que:
a0 + a1u + ... + an u n = 0.
Sea F0 = K ( a0 ,..., an ) u es algebraico sobre F0 ⇒ F0 ( u ) ⊃ F0 es finita y como
a0 ,..., an ∈ F y F ⊃ K es algebraica ⇒ a0 ,..., an son algebraicos sobre K
⇒ F0 ⊃ K es finita, luego:
⇒ F0 ( u ) ⊃ K finita ⇒ F0 ( u ) ⊃ K algebraica ⇒ u es algebraica sobre K.
Luego E ⊃ K es algebraica.
- 116 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 117 -
ii) F ⊃ K es algebraica ⇒ E F = E ( F ) ⊃ E
los elementos de F (pensados en E F ) son algebraicos sobre E.
⇒ E F ⊃ E es algebraica.
Observación 4.10 Vale también que la clase de extensiones finitamente generadas
es una buena clase.
Proposición 4.9 Sea F ⊃ K extensión y E = {u ∈ F : u es algebraico sobre K}.
Entonces E es un subcuerpo de F , K ⊂ E ⊂ F y E ⊃ K es algebraica.
Demostración Es claro que K ⊂ E ⊂ F .
Sean u , v ∈ E ⇒ K ( u , v ) ⊃ K es algebraica y :
u − v ∈ K ( u , v ) , uv ∈ K ( u , v ) , v −1 ∈ K ( u , v ) si v ≠ 0
Luego u − v, uv, v −1 son algebraicos sobre K. ⇒ u − v, uv, v −1 ∈ E por definición
⇒ E es un subcuerpo de F y es obvio que E ⊃ K es algebraica.
Observación 4.11 El cuerpo E construido en la proposición anterior es la mayor
extensión algebraica de K contenida en F.
Proposición 4.10 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] irreducible, gr ( f ) = n > 0 .
Entonces existe una extensión simple F = K ( u ) de K tal que:
i) u ∈ F es raíz de f.
ii) [ K ( u ) : K ] = n.
iii) Si E = K ( v ) es otra extensión simple de K tal que v es raíz de f, entonces existe
un único isomorfismo de cuerpos η : K ( u ) → K ( v ) tal que η ( u ) = v y η |K = Id.
Demostración Observar que si probamos que existe F = K ( u ) extensión simple tal
que u es raíz de f, entonces [ K ( u ) : K ] = grIrrK ( u ) = gr ( f ) = n ⇒ [ K ( u ) : K ] = n.
f ∈ K [ x ] es irreducible ⇒
π
Sea ϕ : K y K [ x ]
→
K [ x]
K [ x]
f
es un cuerpo.
f
= E morfismo de anillos.
≅
→ ϕ ( K ) entonces
⇒ ϕ : K → E morfismo de cuerpos ⇒ ϕ es inyectivo ⇒ K
ϕ
123
⊂E
n
n
si es f = ∑ ai y i ∈ K [ y ] , sea ϕ f = ∑ ϕ ( ai ) y i ∈ E [ y ] .
{
i=0
i=0
= ai
- 117 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
n
Sea z = x ∈ E , ϕ f ( z ) = ∑ ai x i = f = 0 en E =
- 118 -
K [ x]
i =0
f
luego:
ϕ f ∈ E [ y ] , z ∈ E es raíz de ϕ f
Sea S un conjunto tal que S = E \ ϕ ( K ) y S I K = φ .
Definimos F = S U K y extendemos ϕ : K → E a una
biyección ϕ̂ . Definimos una estructura de cuerpo en F
copiando la estructura de E vía ϕ̂ :
Si a, b ∈ F ,definimos:
(ϕˆ ( a ) + ϕˆ ( b ) )
a ⋅ b = ϕˆ −1 (ϕˆ ( a ) ⋅ ϕˆ ( b ) ) .
a + b = ϕˆ
ϕ
E z=x
K
ϕ̂
F
−1
u = ϕˆ −1 ( z )
De esta forma F es un cuerpo y ϕˆ : F → E es un isomorfismo de cuerpos.
Como ϕ : K → E es un morfismo de cuerpos y ϕˆ |K = ϕ , entonces la operaciones de
F restringidas a K coinciden con las de K ; por ejemplo si a, b ∈ K , es:
ϕˆ a{
+ b = ϕˆ ( a ) + ϕˆ ( b ) = ϕ ( a ) + ϕ ( b ) = ϕ a{
+ b = ϕˆ a{
+ b ⇒ a{
+ b = a{
+b
en F
en K
en K ϕˆ biy. en F
en K
Luego F ⊃ K es una extensión.
Sea
n
n
i
u = ϕˆ −1 ( z ) ∈ F ⇒ ϕˆ ( u ) = z ⇒ ϕˆ ( f ( u ) ) = ∑ ϕˆ ai ϕˆ ( u ) = ∑ ϕ ( ai ) z i ⇒
{
∈K
i=0
i=0
=a
i
ϕˆ ( f ( u ) ) = ϕ f ( z ) = 0 ⇒ f ( u ) = 0 en F con u ∈ F
ϕˆ iso.
K [ x]
{
}
m
i
i
b
x
:
b
∈
K
∀
i
=
1,...,
m
=
b
x
:
b
∈
K
∀
i
=
1,...,
m
=
∑
∑
i
i
i
i
i =0
f
i=0
m
m
= ∑ bi z i : bi ∈ K ∀i = 1,..., m = ∑ ϕ ( bi ) z i : bi ∈ K ∀i = 1,..., m =
i =0
i =0
= {ϕ g ( z ) : g ∈ K [ x ]} = ϕ ( K ) [ z ]
Como E =
=
m
F = ϕˆ −1 ( E ) = ϕˆ −1 (ϕ ( K ) [ z ]) = ϕˆ −1 (ϕ ( K ) ) ϕˆ −1 ( z ) = K [u ]
⇒ F = K (u ).
=
{
K (u )
u alg. sobre K
iii) Se deduce de la proposición 4.5
Corolario 4.11 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] , gr ( f ) = n . Entonces existe una
extensión simple F = K ( u ) de K tal que:
i) u ∈ F es raíz de f.
ii) [ K ( u ) : K ] ≤ n y vale la igualdad si f es irreducible.
- 118 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 119 -
Demostración Si f es irreducible, entonces es el teorema anterior.
Si f no es reducible, gr ( f ) > 0 ⇒ ∃f1 ,..., f r ∈ K [ x ] irreducibles tales que:
f = f1. f 2 ..... f r
La tesis se deduce aplicando a f1 el teorema anterior.
Definición 4.14 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] , gr ( f ) = n > 0. Decimos que f se
escinde en K (o en K [ x ] ) si existen u0 , u1 ,..., un ∈ K tales que:
f = u0 ( x − u1 ) ... ( x − un )
(pueden aparecer elementos repetidos en u0 ,..., un ).
Definición 4.15 Una extensión F ⊃ K es un cuerpo de descomposición de f sobre
K si f se escinde en F y F = K ( u1 ,..., un ) siendo u1 ,..., un las raíces de f en F.
Ejemplo 4.15 x 2 − 2 ∈ ¤ [ x ] tiene raíces ± 2 ∈¤
Entonces ¤
( 2 ) = {a + b
( 2 ) es el cuerpo de descomposición de x
2
}
2 : a, b ∈ ¤ .
− 2 ∈ ¤[ x] .
Corolario 4.12 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] , gr ( f ) = n > 0. Entonces existe F
cuerpo de descomposición de f con [ F : K ] ≤ n !.
Demostración Por el corolario anterior, existe F1 = K ( u1 ) ⊃ K extensión tal que u1
es raíz de f y [ F1 : K ] ≤ n . Como f ∈ F1 [ x ] y u1 ∈ F1 es raíz de f ⇒ ∃g1 ∈ F1 [ x ] tal
que f = ( x − u1 ) g1 con gr ( g1 ) = n − 1. Aplicando ahora el mismo razonamiento a
g1 ∈ F1 [ x ] , gr ( g1 ) = n − 1 ⇒ ∃F2 = F1 ( u2 ) ⊃ F1 extensión tal que u2 es raíz de g1 y
[ F2 : F1 ] ≤ n − 1. Luego F2 = F1 ( u2 ) = K ( u1 )( u2 ) = K ( u1 , u2 ) y:
[ F2 : K ] = [ F2 : F1 ][ F1 : K ] ≤ ( n − 1) n
g1 ∈ F2 [ x ] , u2 ∈ F2 tal que g1 ( u2 ) = 0 ⇒ ∃g 2 ∈ F2 [ x ] , gr ( g 2 ) = n − 2 tal que:
g1 = ( x − u2 ) g 2 ⇒ f = ( x − u1 ) g1 = ( x − u1 )( x − u2 ) g 2 .
Ahora consideramos g 2 ∈ F2 [ x ] , gr ( g 2 ) = n − 2 y le aplicamos el corolario anterior
y así seguimos hasta obtener F = Fn = K ( u1 ,..., u n ) extensión de K, tal que:
f = g n ( x − u1 )( x − u2 ) ...( x − un ) en F [ x ]
con gr ( g n ) = 0 ⇔ g n = u0 ∈ F ⇒ por lo tanto:
f = u0 ( x − u1 )( x − u2 ) ... ( x − un ) y [ F : K ] ≤ n!.
Observar que si f ∈ K [ x ] y f = u0 ( x − u1 )( x − u2 ) ...( x − un ) en F [ x ] con F ⊃ K
extensión entonces u0 ∈ K (ya que f = u0 x n + ... ).
- 119 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 120 -
Definición 4.16 Sea K un cuerpo y S ⊂ K [ x ] \ K , una extensión F ⊃ K se dice
un cuerpo de descomposición de S sobre K si todo polinomio de S escinde en F y
F = K (T ) siendo T el conjunto de las raíces de los polinomios de S.
Observar que en el caso finito S = { f1 ,..., f n } entonces un cuerpo de descomposición
de S es el mismo que un cuerpo de descomposición de f = f1. f 2 .... f n .
Corolario 4.13 Sea K cuerpo y f1 , f 2 ,..., f n ∈ K [ x ] \ K . Entonces existe una
extensión F ⊃ K finita que es un cuerpo de descomposición de f1 ,..., f n .
Ejemplo
4.16
Sea
f = ( x 2 − 2 )( x 2 + 1) ∈ ¤ [ x ] para
descomposición de f consideramos F = ¤
(
(
)
el
(
)
2, − 2, i, −i = ¤
)( x + 2 ) ( x − i)( x + i ) en ¤ (
y el cuerpo de descomposición es F = ¤ ( 2, i ) .
f = x− 2
hallar
cuerpo
de
2, i entonces:
)
2, i [ x ]
Definición 4.17 Un cuerpo K es algebraicamente cerrado si todo polinomio no
constante en K [ x ] tiene alguna raíz en K .
Observación 4.12 Es claro que si K es algebraicamente cerrado y f ∈ K [ x ] \ K ,
entonces f escinde en K.
En particular si f ∈ K [ x ] es irreducible, entonces necesariamente es gr ( f ) = 1 .
Ejemplo 4.17 Si estamos en un cuerpo algebraicamente cerrado el polinomio:
x 2 + 1 no es irreducible
Luego si K es algebraicamente cerrado y E ⊃ K es algebraica ⇒ E = K
Observación 4.13
Si K es algebraicamente cerrado ⇒ K = ∞ .
Demostración Supongamos que K es finito y sea K = {u1 , u2 ,..., un } consideremos:
f ( x ) = ( x − u1 )( x − u2 ) ... ( x − un ) + 1
f ( x ) ∈ K [ x ] ya que después de hacer todos los productos, los coeficientes de f son
productos y sumas de elementos de K, luego tienen que pertenecer a K , por ser este
un cuerpo, como además 1∈ K , resulta que f es un polinomio en K [ x ]. Pero no
- 120 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 121 -
tiene ninguna raíz en K ( f ( ui ) = 1 ∀i = 1,..., n ) lo que es un absurdo por se K
algebraicamente cerrado.
Proposición 4.14 Si K es un cuerpo, entonces existe F algebraicamente cerrado
que extiende a K.
Demostración Sea
Λ = K [ x] \ K
y consideremos para cada
indeterminada x f . Sea el anillo K x f : f ∈ Λ =
U
Γ⊂Λ ,
Γ finito
f ∈Λ
una
K x f : f ∈ Γ y el ideal
I = f ( x f ) : f ∈ Λ . Probaremos que 1 ∉ I , para lo cual suponemos que 1 ∈ I ⇒
= xi
n
∃g1 ,..., g n ∈ K x f : f ∈ Λ
}
I = K x f : f ∈ Λ ⇒
tal que 1 = ∑ g i f i x fi
f
f
i =1
∃ 1 ,..., n ∈ Λ
Cada gi es un polinomio en una cantidad finita de variables y podemos suponer que
g1 ,...g n ∈ K [ x1 ,..., xm ] con m ≥ n :
n
⇒ 1 = ∑ gi ( x1 ,..., xm ) fi ( xi ) ∈ K x f : f ∈ Λ
i =0
Considerando f1 ,..., f n ∈ K [ x ] \ K el corolario 4.12 nos dice que existe una
extensión E de K en la cual cada fi tiene una raíz zi , i = 1,..., n entonces definiendo
zi = 0 si n < i ≤ m y evaluando en z1 ,..., zm tenemos:
1 = ∑ g i ( z1 ,...zm ) fi ( zi ) = 0 en E
{
=0
Luego I Ü K x f : f ∈ Λ ⇒ ∃M ideal maximal de K x f : f ∈ Λ tal que I ⊂ M .
Sea ϕ : K y K x f : f ∈ Λ la inclución como terminos independientes
K x : f ∈ Λ
π
π : K x f : f ∈ Λ
→ f
la proyección canónica
M
ϕ es un morfismo de anillos inyectivo; π es un morfismo de anillos inyectivo.
Como M es ideal maximal ⇒ L =
K x f : f ∈ Λ
es un cuerpo
M
Tenemos que ϕˆ : K → L es un morfismo de anillos por ser ( ϕ̂ = π o ϕ ) composición
de morfismos de anillos y como además K y L son cuerpos entonces ϕ̂ es un
morfismo de cuerpos, no nulo ϕˆ (1) ≠ 0 ⇒ inyectivo.
- 121 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 122 -
n
Si f = ∑ ai y i ∈ Λ ⊂ K [ y ] ⇒ ϕˆ ( f ) ∈ L [ y ] , sea x f ∈ L , es ϕˆ ( f ) ( x f ) =
i=0
n
n
n
= ∑ ϕˆ ( ai ) x if = ∑ ai x if = ∑ ai xif = f ( x f
{
i =0
i =0
i =0
= ai
)
=
x f ∈I ⊂ M
0
⇒ ϕˆ f ( x f ) = 0 en L , ∀f ∈ Λ.
Como en la proposición 4.10 , construimos un cuerpo F1 que extiende a K tal que si
f ∈ K [ x ] \ K , entonces f tiene alguna raíz en F1 .
Aplicando el razonamiento anterior a F1 , existe una extensión F2 ⊃ F1 tal que todo
polinomio no constante en F1 [ x ] tiene alguna raíz en F2 .
Razonando inductivamente construimos una sucesión de extensiones:
... ⊃ Fn ⊃ Fn−1 ⊃ .... ⊃ F2 ⊃ F1 ⊃ K
tal que todo polinomio en Fn−1 [ x ] \ Fn−1 tiene alguna raíz en Fn , ∀n = 1, 2,...
∞
Sea
F = U Fn , la condición Fn ⊃ Fn −1 extensión ∀n ⇒ que F es un cuerpo y
n =1
F ⊃ K extensión.
Sea f ∈ F [ x ] \ F ⇒ ∃n tal que f ∈ F n [ x ] ⇒ ∃u ∈ F n+1 ⊂ F tal que f ( u ) = 0.
⇒ F es algebraicamente cerrado.
Definición 4.18 Si K es un cuerpo y F ⊃ K es una extensión algebraica y F es
algebraicamente cerrado, entonces decimos que F es una clausura algebraica de K.
Corolario 4.15 Si K es un cuerpo, entonces existe K clausura algebraica de K.
Demostración Sea F ⊃ K extensión con F algebraicamente cerrado.
Sea K = {u ∈ F : u es algebraico sobre K } ⇒ F ⊃ K ⊃ K es una torre de
extensiones y K ⊃ K es algebraica.
Sea f ∈ K [ x ] \ K ⇒ f ∈ F [ x ] \ F con F algebraicamente cerrado ⇒ ∃u ∈ F tal
que f ( u ) = 0.
u
K ⊂F
es algebraico sobre K ⇒
K ( u ) ⊃ K algebraica
⇒ K ( u ) ⊃ K algebraica
K ⊃ K algebraica
⇒ u es algebraico sobre K ⇒ u ∈ K. Luego K es algebraicamente cerrado.
Observación 4.14 Existencia del cuerpo de descomposición
Sea K un cuerpo y S = { f λ : λ ∈ Λ} ⊂ K [ x ] \ K .
Sea K la clausura algebraica de K y T = {u ∈ K : ∃λ ∈ Λ tal que f λ ( u ) = 0} .
- 122 -
Notas de Álgebra II
Cuerpos
- 123 -
Entonces K (T ) es el cuerpo de descomposición de S.
Observación 4.15 Si K es una clausura algebraica de K, entonces K es el cuerpo
de descomposición sobre K de S = K [ x ] \ K .
Observación 4.16 En general escribiremos K a la clausura algebraica de K que
es único a menos de isomorfismo.
Proposición 4.16 Sea σ : K → l isomosfismo de cuerpos, S ⊂ K [ x ] de grado ≥ 1
y sea σ ( S ) = {σ ( f ) : f ∈ S } definido por:
σ ( an x n + ... + a1x + a0 ) = σ ( an ) x n + ... + σ ( a1 ) x + σ ( a0 )
Entonces si K ′ y l ′ son respectivamente los cuerpos de descomposición de S y
σ ( S ) , σ se extiende a un isomorfismo σ ′ : K ′ → l ′ .
Demostración
σ′
• Primero lo probaremos para cuando el conjunto S
K′
l′
consta de un solo polinomio S = { f } ⊂ K [ x ] .
σ%
Procedemos por inducción en el grado [ K ′ : K ] .
K (u )
K (v)
Si [ K ′ : K ] = 1 ⇒ K ′ = K ⇒ que f se descompone
sobre K :
σ
f ( x ) = u0 ( x − u1 )( x − u2 ) ... ( x − un ) con ui ∈ K
y
K
l
por lo tanto
σ ( f )( x ) = σ ( u0 ) ( x − σ ( u1 ) ) ( x − σ ( u 2 ) ) ...( x − σ ( u n ) ) con σ ( ui ) ∈ l
luego σ ( f ) se descompone en l y no hay nada que extender, es decir σ ′ = σ .
Supongamos ahora que el resultado es válido para [ K ′ : K ] = n > 1 , entonces existe
u raíz de f en K ′ \ K y consideremos K Ø K ( u ) ⊂ K ′ ⇒ [ K ′ : K ( u )] < n .
Se tiene que u es raíz de un factor irreducible g de grado > 1 de f y sea v una raíz de
σ ( g ) en l ′ , σ ( g ) es irreducible de grado > 1 ⇒ l Ø l ( v ) y por la proposición
4.5 σ se extiende a σ%:K ( u ) → l ( v ) tal que σ% ( u ) = v y σ%|K = σ .
Y como [ K ′ : K ( u )] < n y K ′ cuerpo de descomposición de f sobre K ( u ) , l ′
cuerpo de descomposición de σ f sobre K ( v ) , se puede aplicar la hipótesis de
inducción y σ% (y por lo tanto σ ) se extiende a un isomorfismo σˆ : K ′ → l ′ .
• En general con S conjunto arbitrario de funciones.
( F ,τ , E ) : K ⊂ F ⊂ K ′; l ⊂ E ⊂ l ′ y
Sea F =
τ : F → E es un isomorfismo que extiende a σ
- 123 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 4
- 124 -
F ≠ φ por lo anterior y definimos en F una relación de orden dada por:
( F ,τ , E ) ≤ ( F ′,τ ′, E ′) si F ⊂ F ′, E ⊂ E ′,τ = τ ′ |F
así tenemos una cadena {( Fα ,τ α , E α ) : α ∈ I } que además esta acotada por:
U Fα ,τ , U E α donde τ |Fα = τ α ∀α ∈ I
α∈I
α∈I
Aplicando el lema de Zorn hay un elemento maximal que llamamos ( K 0 ,τ 0 , l0 )
falta probar que K 0 = K ′ y que l0 = l ′.
Supongamos que K 0 ≠ K ′ ⇒ ∃ f ∈ S tal que no se descompone en K 0 pero como f
se descompone en K ′ ⇒ existe un cuerpo K1 de descomposición de f sobre K 0 .
K0 ⊂ K1 ⊂ K ′
Por el caso anterior donde S = { f } , τ 0 se extiende a un isomorfismo τ%0 : K 1 → l1
donde l0 ⊂ l1 ⊂ l ′ , l1 cuerpo de descomposición de τ 0 ( f ) sobre l0 , entonces
( K 0 ,τ%0 , l1 ) ≥ ( K 0 ,τ 0 , l 0 ) lo cual es absurdo, luego K 0 = K ′
Supongamos que l0 ≠ l ′ entonces usamos el mismo argumento que antes con τ 0−1 .
Corolario 4.17 Sea S = { fα ∈ K [ x ] : de grado ≥ 1 ∀α ∈ I } , si K ⊂ l , K ⊂ l ′
son dos cuerpos de descomposición de S sobre K , entonces l y l ′ son isomorfos.
Demostración Simplemente aplicamos la proposición
anterior a σ = Id|K .
σ′
l
l′
σ = Id
K
K
Corolario 4.18 Si F y E son dos clausuras algebraicas de K entonces existe un
isomorfismo τ entre ellos y tal que:
σ′
τ |K = Id
K
Demostración Por observación 4.14 si
S = K [ x] \ K
K′
σ = Id
K
K
⇒ K es el cuerpo de descomposición sobre K de S.
Entonces si tenemos dos clausuras algebraicas ⇒ tenemos dos cuerpos de
descomposición, y por el corolario anterior tienen que ser isomorfos, luego las
clausuras algebraicas son isomorfas.
- 124 -
Capítulo 5
Extensiones de Galois
Definición 5.1
Sea F un cuerpo, Aut ( F ) = {ϕ : F → F : ϕ isomorfismo de cuerpos} es un grupo
con la operación de composición.
Si K ⊂ F es un subcuerpo, definimos GalK F = Aut K F = {ϕ ∈ Aut ( F ) : ϕ |K = Id.}
es el grupo de Galois de F en K.
Observar que GalK F < Aut ( F ) (subgrupo).
Observación 5.1 Si E ⊃ K y F ⊃ K son extensiones escribimos ϕ : E
^
→ F si
K
Z
ϕ : E → F es un morfismo de cuerpos tal que ϕ |K = Id. y diremos que ϕ es un
morfismo sobre K . Observar que en este caso E y F son K-espacio vectorial y
ϕ : E → F es K- lineal :
ϕ ( k ⋅ x ) = ϕ ( k ) ⋅ ϕ ( x ) = k ⋅ ϕ ( x ) , ∀k ∈ K , x ∈ E
Luego un morfismo de cuerpos ϕ : E → F es K-lineal ⇔ ϕ |K = Id.
En particular GalK F < {ϕ : F → F : ϕ es isomorfismo de K − espacios vectoriales}
Ejemplo 5.1 F = K ( x ) expresiones racionales.
f ( x ) f ( ax )
Para cada a ∈ K \ {0} definimos σ a : F → F por σ a
claramente
=
g ( x ) g ( ax )
σ a ∈ Gal K F . Si K = ∞ ⇒ σ a : a ∈ K \ {0} = ∞ ⇒ Gal K K ( x ) es infinito.
Para cada b ∈ K definimos τ b : F → F por:
f ( x) f ( x + b)
τb
⇒ τ b ∈ GalK K ( x ) , ∀b ∈ K .
=
g ( x) g ( x + b)
- 125 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 126 -
τ σ ( x ) = ax + b
Si a ≠ 1, b ≠ 0 ⇒ b a
⇒ τ bσ a ≠ σ aτ b ⇒ GalK F
σ aτ b ( x ) = a ( x + b ) = ax + ab
es no
abeliano
Proposición 5.1 Sea F ⊃ K extensión, σ ∈ Gal K F y f ∈ K [ x ] . Si u ∈ F es una
raíz de f, entonces σ ( u ) también es raíz de f.
Demostración
Como
σ ( u ) es raíz de f.
f ( u ) = 0 ⇒ 0 = σ ( 0 ) = σ ( f ( u ) ) = f (σ ( u ) ) implica
Observación 5.2 Sea u algebraico sobre K y
{1, u,..., u } base de K ( u ) como K-espacio vectorial.
f = IrrK ( u ) ,
que
gr ( f ) = n ⇒
n −1
Sea K ( u ) ⊃ K y consideremos el conjunto R = {raíces en K ( u ) de f }
Si σ ∈ GalK K ( u ) ⇒ σ ( u ) ∈ R ,como σ : K ( u ) → K ( u ) se tiene que para un
^
elemento cualquiera de K ( u ) :
K
Z
σ ( a0 + a1u + ... + an −1u n−1 ) = a0 + a1σ ( u ) + ... + an −1σ ( u )
n −1
con ai ∈ K ∀i = 1,..., n − 1
y σ queda determinado conociendo σ ( u ) .
Luego el mapa:
Φ u : GalK K ( u ) → R y como σ ( u ) = τ ( u ) ⇔ τ −1σ ( u ) = u ⇔
σ Î σ ( u ) ⇔ τ −1σ = Id. ⇔ σ = τ ⇒ Φ u es inyectivo.
Por otro lado si v ∈ K ( u ) es una raíz de f , queremos saber si existe σ ∈ GalK K ( u )
tal que σ ( u ) = v ⇒ Φ u es una biyección.
Sabemos que existe un único isomorfismo (proposición 4.5):
≅
σ : K ( u )
→ K ( v)
^
K
Z
tal que: σ ( u ) = v , además como v ∈ K ( u ) ⇒ K ( v ) ⊂ K ( u ) y el que
IrrK ( v ) = f = IrrK ( u ) esto implica que [ K ( v ) : K ] = gr ( f ) = [ K ( u ) : K ] luego
K ( u ) = K ( v ) entonces σ es un automorfismo ⇒ σ ∈ GalK K ( u )
GalK K ( u ) = {raíces de f en K ( u )} ≤ gr ( f ) = [ K ( u ) : K ]
si f se factoriza completamente en K ( u ) (sin raíces repetidas) implica que vale la
igualdad. Si f escinde en K ( u ) y tiene solo raíces simples en K ( u ) , entonces:
GalK K ( u ) = [ K ( u ) : K ]
Ejemplo 5.2 K ⊃ K extensión trivial ⇒ Gal K K = {Id} .
- 126 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 127
Ejemplo 5.3 Gal¤ ¤ ( u ) con u = 3 2 ⇒ Si σ ∈ Gal¤ ¤ ( u ) significa que σ ( u ) es raíz
σ ( u ) = u
de x 3 − 2 y σ ( u ) ∈ ¤ ( u ) ⊂ R ⇒
⇒ σ = Id. luego:
σ |¤ = Id.
Gal¤ ¤ ( u ) = {Id} y ¤ Ö ¤ ( u )
Ejemplo 5.4 Sea u = 2 Gal¤ ¤
( 2 ) , como
x 2 − 2 = Irr¤ ¤
(
x2 − 2 = x − 2
( 2 ),
)( x + 2 )
2
raíces
∈¤
− 2
( 2)
( 2 ) = 2 ⇒ Gal ¤ ( 2 ) ≅ ¢ ⇒ Gal ¤ ( 2 ) = {Id;σ } con σ = Id
Además ¤ ( 2 ) : ¤ = gr ( Irr ¤ ( 2 ) ) = 2 ⇒ {1, 2 } es una base y se tiene:
¤ ( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ ¤}
− 2 es raíz de x − 2 = Irr ¤ ( 2 ) ⇒ ∃σ ∈ Gal ¤ ( 2 ) , σ ( 2 ) = − 2 entonces:
σ ( a + b 2 ) = a − b 2 a, b ∈ ¤
⇒ Gal¤¤
¤
2
¤
2
¤
2
¤
¤
Ejemplo 5.5 £ ⊃ ¡, £ = ¡ ( i )
raíces
Irr¡ ( i ) = x 2 + 1
→ ±i ∈ ¡ ( i )
x 2 + 1 = ( x − i )( x + i ) en £ [ x ]
Gal¡ £ = 2 ⇒ Gal¡ £ = {Id;σ } σ ( i ) = −i tal que σ deja a los reales fijos entonces
σ ( a + bi ) = a − bi a , b ∈ ¡ es σ ( z ) = z
Ejemplo 5.6 Sea la extensión ¤
Irr¤
( 3) = x
2
− 3 ∈ ¤ [ x] ⊂ ¤
Veamos si 3 ∈ ¤
(
( 2 )[ x ]
( 2 ) = {a + b
)
2, 3 ⊃ ¤
}
2, a, b ∈ ¤ ⇒
¤
(
)
2, 3 = ¤
2
3 = a + b 2 con a , b ∈ ¤ elevando al cuadrado
¤ 2
se tiene:
2
3 = a 2 + 2 2ab + 2b 2 ordenando
a = 0
3144
= a 242444
+ 2b 2 + 23
ab 2 ⇒ 2ab = 0 ⇒
¤
b = 0
∈¤
es decir que :
Irr¤( 2 )¤
( )
- 127 -
( 2 )( 3 )
Irr¤ ¤
( 3) = x
( 2) = x
2
−3
2
−2
Notas de Álgebra II
3 ∉¤
( 2) ⇒ x
2
Capítulo 5
( 2 )[ x] ⇒ Irr ( ) ( 3 ) = x − 3
3 ) : ¤ ( 2 ) = 2 ⇒ ¤ ( 2, 3 ) : ¤ = 4
− 3 Irred. en ¤
(
2
¤
¤ 2,
Por otro lado como:
2 ∈ ¤ 2, 3
⇒ 2 + 3 ∈¤
3 ∈ ¤ 2, 3
y como vimos en el ejemplo 4.10
(
(
Irr¤¤
)
)
(
- 128 -
(
2
)
2, 3 ⇒ ¤
(
)
2+ 3 ⊂¤
(
2, 3
)
4
G555555555555555555555
H
4
2
2 + 3 = x − 10 x + 1 ⇒ ¤ ⊂ ¤ 2 + 3 ⊂ ¤ 2, 3
E55555555555
F
)
(
)
(
)
4
Es decir:
¤ 2 + 3 : ¤ = 4 = dim ¤ ¤
¤ 2, 3 : ¤ = 4 = dim ¤ ¤
tenemos las raíces del Irr¤ ¤ 2 + 3
(
)
)
(
(
(
(
)
)
2 + 3
⇒¤
2, 3
)
(
)
2+ 3 =¤
(
2, 3
)
2+ 3
2+ 3
σ1
σ
2− 3
2− 3
x 4 − 10 x 2 + 1
LL 2 LL
σ3
− 2− 3
− 2 − 3
σ4
− 2+ 3
− 2 + 3
1
= 3 − 2 entonces si llamamos u = 2 + 3 entonces:
Observar que
2+ 3
3 − 2 = u −1 , − 2 − 3 = −u ,
2 − 3 = −u −1 los automorfismos:
σ1 σ 2 σ 3 σ 4
u
−u −1
u
Id
−u u −1
Y como σ 22 ( u ) = σ 2 ( −u −1 ) = − ( −u −1 ) = u; σ 32 ( u ) = σ 3 ( −u ) = − ( −u ) = u ;
−1
σ 42 ( u ) = σ 4 ( u −1 ) = ( u −1 ) = u
−1
Todos al cuadrado dan la identidad ⇒ Gal¤ ¤
(
)
2, 3 ≅ ¢ 2 × ¢ 2 ≅ ¢ 2 ⊕ ¢ 2
2 = 12 ( u + u −1 )
y mirando las bases se
Como u = 2 + 3, u = 2 − 3 ⇒
−1
3 = 12 ( u − u )
tiene 1, 2 base de ¤ 2 y 1, 3 base de ¤ 3 entonces:
−1
{
}
( ) {
}
- 128 -
( )
Notas de Álgebra II
Galois
{
}
( 2, 3 ) y
¤ ( 2, 3 ) = {a + b 2 + c 3 + d 6 : a, b, c, d ∈ ¤}
σ ( 2 ) = σ ( u + u ) = ( −u − u ) = − 2
⇒
σ ( 3 ) = σ ( u − u ) = ( −u + u ) = 3
σ ( 2 ) = (u + u ) = 2
2 → 2
⇒
3 → − 3
σ ( 3 ) = (u − u ) = − 3
- 129
⇒ 1, 2, 3, 6 base de ¤
−1
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
2
4
1
2
1
2
−1
1
2
−1
−1
−1
σ2
2
→− 2
σ
2
→
3
3
σ4
σ4
−1
entonces:
σ2
→a − b 2 + c 3 + d 6
σ
3
→a − b 2 − c 3 + d 6
a + b 2 + c 3 + d 6 →
σ4
→ a + b 2 − c 3 + d 6
Observación 5.3 Se puede probar que dado G grupo finito ⇒ ∃F ⊃ K extensión
tal que GalK F = G. Es un problema abierto si ∃F ⊃ ¤ tal que Gal¤ F = G.
Proposición 5.2 Sea F ⊃ K una extensión entonces:
i) Si F ⊃ E ⊃ K cuerpo intermedio ⇒ Gal E F < Gal K F
ii) Si H < GalK F ⇒ F H = {v ∈ F : σ ( v ) = v, ∀σ ∈ H } es un cuerpo intermedio entre
F y K.
Demostración
i) si σ ∈ GalE F , F
^
σ
→ F ⇒ σ ∈ GalK F
E
↑
K
Z
ii) v ∈ K ⇒ σ ( v ) = v, ∀σ ∈ GalK F ⇒ K ⊂ F H falta probar que F H es un cuerpo
σ ( u − v ) = σ ( u ) − σ ( v ) = u − v
Sean u , v{ ∈ F H ⇒
⇒ u − v, uv −1 ∈ F H luego F H
−1
−1
−1
≠0
σ ( uv ) = σ ( u ) σ ( v ) = uv
es un cuerpo.
Observación 5.4 Sea F ⊃ K una extensión fija y G = GalK F consideremos los
conjuntos:
S = { H : H < G} , F = {E : F ⊃ E ⊃ K cuerpo intermedio}
Definimos las siguientes funciones:
- 129 -
Notas de Álgebra II
F →S
Capítulo 5
S →F
E Î E ′=
= Gal E F
H Î 'H = F H
La correspondencia da vuelta las inclusiones
F ′ = GalF F = {Id}
K ′ = Gal K F = G
por def.
'{Id} = F = F
Ahora no siempre se cumple que:
' G = F G = F GalK F = K por ejemplo:
Id
Si u = 2 ∈ ¡ ⇒ Gal¤ ¤
3
( 2 ) = {Id} ⇒ ¤ ( 2 )
3
3
- 130 F
U
{Id}
∧
F
U
{Id}
E
U
E’
∧
‘H
U
H
∧
K
G
Gal¤ ¤
(3 2)
=¤
( 2)
3
∧
?
K
Id
=¤
G
( 2) × ¤
3
En general lo que se cumple que K ⊂ F G
Definición 5.2 Dada una extensión F ⊃ K decimos que es de Galois si
F GalK F = K es decir que si y solo sí ∀u ∈ F \ K , ∃σ ∈ GalK F , σ ( u ) ≠ u.
Ejemplo 5.7 Según lo visto en ejemplo 5.5 Gal¡ £ = {Id,σ } , σ ( z ) = z .
Si z ∈ £, y σ ( z ) = z ⇔ z ∈ ¡ ⇒ £Gal ¡£ = ¡ . Luego es una extensión de Galois.
Ejemplo 5.8 Las extensiones que ya hemos visto:
F ⊃ F , ¤ 3 ⊃ ¤, ¤ 3, 2 ⊃ ¤,
( )
son de Galois. Y las extensiones
¤
( 2 ) ⊃ ¤,
3
(
)
¡ ⊃ ¤,
no son de Galois.
Lema 5.3 Sean F ⊃ K extensión y L, M cuerpos intermedios. Sea H y J subgrupos
de G = GalK F entonces:
i) F ' = {Id} y K ' = G
i) GalF F = {Id} , Gal K F = G
ii) '{Id} = F
ii) F {Id} = F
iii) l ⊂ m ⇒ GalM F < GalL F ;
iii) l ⊂ m ⇒ m ' < l ' ;
H <J ⇒FJ ⊂FH
iv) l ⊂ F GalL F , H < Gal F H F
( )
H < J ⇒ 'J ⊂ 'H
iv) l ⊂ ' ( l ') y H ⊂ ( ' H ) '
v) l ' = [ ' ( l ')] ' 'H = '[( ' H ) ']
v) GalL F = GalF ( GalL F ) F , F H = F
- 130 -
Gal
FH
F
Notas de Álgebra II
Galois
- 131
Demostración Los casos i) y ii) ya los vimos.
iii) l ⊂ m , ⇒ m ' = Gal M F < Gal L F = l '
J
H
H < J ⇒ ' J = F ⊂ F = ' H
iv) l ⊂ ' ( l ') ⇔ ' ( l ') = F GalL F = {v ∈ F : σ ( v ) = v, ∀σ ∈ GalL F } ⊃ l
( ' H ) ' = GalF H F = ϕ : F ^→ZF , σ ∈H ⇒
FH
v ∈F H
σ : F → F ⇒σ : F ^→ZF , ⇒ H ⊂ GalF H F = ( ' H ) '
⇒
FH
σ ( v) = v
v)
l ⊂ ' ( l ') ⇒ [ ' ( l ')] ' ⊂ l '
⇒ l ' = [ ' ( l ')] ' el otro es análogo.
l ' ⊂ [ ' ( l ')] '
Observación 5.5 Sea F ⊃ K extensión, por definición F es de Galois sobre K si y
solo sí F GalK F = K es decir si y solo sí ' ( K ') = K .
Sea E un cuerpo intermedio F ⊃ E ⊃ K entonces:
F ⊃ E es de Galois ⇔ F Gal E F = E ⇔ ' ( E ') = E
Definición 5.3 Dada F ⊃ K y G = GalK F . Sean F ⊃ E ⊃ K y H < G decimos
que E es cerrado si ' ( E ') = E ⇔ F GalE F = E ⇔ F ⊃ E es de Galois; y decimos que
H es cerrado si ( ' H ) ' = H ⇔ Gal F H F = H .
Luego F ⊃ K es de Galois si y solo sí K es cerrado.
Proposición 5.4 Sea F ⊃ K una extensión, la correspondencia l → l ' , H → ' H
(definida en la observación 5.4) establece una biyección entre los subcuerpos
cerrados de F que contienen a K y los subgrupos cerrados de G = Gal K F .
Demostración
Sean Fc = {l ⊃ E ⊃ K : ' ( E ') = E }
S c = {H < G : ( ' H ) ' = H }
Si E ∈Fc ⇒ [' ( E ' )] ' = E ' ⇒ E ' ∈ S c ⇒ (Fc ) ' ⊂ S c y análogamente ' (S c ) ⊂ Fc
Ahora vamos a ver una serie de lemas previos a la demostración del teorema central
de este capítulo, que es el Teorema de Galois.
Lema 5.5 Sea F ⊃ K una extensión, F ⊃ M ⊃ l ⊃ K , cuerpos intermedios.
Si [ M : l ] < ∞ ⇒ [ l ' : M '] ≤ [ M : l ] en particular:
- 131 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 132 -
Si [ F : K ] < ∞ ⇒ Gal K F ≤ [ F : K ].
Demostración Tenemos que l ' = Gal L F , M ' = Gal M F supongamos que se
cumple la primer afirmación de la tesis lo que significa que la correspondencia de
subcuerpos l → l ' a subgrupos es en general una contracción.
Entonces:
[ GalL F : GalM F ] ≤ [ M : l ]
y en el caso particular siguiente:
GalK F :GalF F ≤ [ F : K ]
123
{Id}
P
GalK F ≤ [ F : K ]
tenemos la segunda parte de la afirmación de la tesis.
Para probar la primera parte lo hacemos por inducción completa en el grado [ M :l ]
Sea n = [ M : l ] y consideremos el caso n = 1 ⇔ M = l ⇒ l ' = M ' luego se
cumple.
M
M’
Sea ahora n > 1 , ⇒ M × l y supongamos que el
n
k
teorema vale para toda extensión con grado < n .
Sea u ∈ M \ l , M ⊃ l finita ⇒ u es algebraico sobre
l (u )
l (u ) '
L.
Sea f = IrrL ( u ) con gr ( f ) = k > 1 ( u ∉ l ) .
k
k
G55555H
L
L’
M ⊃ l ( u ) ⊃ l entonces [ M : l ( u )] = nk consideremos
E5555555555F
n
los siguientes casos:
a) k < n
[ l (u ) ' : M '] ≤ [ M : l ( u )] = kn
nk < n , [ M : l ( u )] = kn hip⇒
de ind.
⇒1< k < n ⇒
[ l ' : l ( u ) '] ≤ [ l ( u ) : l ] = k
k < n , [ l ( u ) : l ] = k hip.⇒
de ind.
Luego [ l ' : M '] = [ l ' : l ( u ) '] ⋅ [ l ( u ) ' : M '] ≤ nk ⋅ k = n = [ M : l ]
b) k = n
n
l (u )
l (u ) '
k = 1 ⇒ M = l ( u ) , f = IrrL ( u )
Sea T = {raíces de f en l ( u )} , T ≤ gr ( f ) = n = [ M :l ]
n
Sean las coclases a izquierda:
L
L’
l'
= τ ⋅ l ( u ) ' : τ ∈ l '} ⇒ l '
= l ' : M '
l (u ) ' {
l (u ) '
P
l (u ) '
K
G
- 132 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 133
f ∈ l x y τ |l = Id
↓
Entonces si τ ∈ l ' = Gal L F , f ( u ) = 0 ⇒ 0 = τ ( f ( u ) ) = f (τ ( u ) ) ⇒ τ ( u ) ∈ T
Tenemos entonces un mapa µ : l ' → T
τ Î τ (u )
()
Debido a que si τ ∈ l ', ∀σ ∈ l ( u ) ' = GalL ( u ) F ⇒ τ ⋅ σ u = τ ( u ) , se puede pasar
↓
∈l ( u )
al cociente, con lo cual se induce el siguiente mapa:
µˆ : l '
→T
l (u ) '
τ = τ ⋅ l (u ) ' Î τ ( u )
µ
GalL F
µ̂
Sean τ 1 ,τ 2 ∈ l ' = Gal L F tal que τ 1 ( u ) = τ 2 ( u )
⇒ τ 2−1τ 1 ( u ) = u con τ 2−1τ 1 : F
^
→ F luego deja fijo
l
Z
T
GalL F
GalL ( u ) F
u y L entonces:
τ 2−1τ 1 : F → F ⇒ τ 2−1τ 1 ∈ Gal l ( u ) F = l ( u ) ' ⇒ τ 1 ⋅ l ( u ) ' = τ 2 ⋅ l ( u ) ' ⇒ el mapa µ̂
^
l (u )
Z
↑
l
es inyectivo ⇒ [ l ' : M '] ≤ T ≤ [ M : l ].
Si F es el cuerpo de descomposición de f sobre l ⇒ µ es sobreyectivo.
Lema 5.6 Sea F ⊃ K una extensión , H < J < G = Gal K F .entonces:
Si [ J : H ] < ∞ ⇒ [ ' H : ' J ] ≤ [ J : H ].
Es decir que la segunda correspondencia de H → ' H es también una contracción
Demostración Sea [ J : H ] = n y supongamos que [ ' H : ' J ] > n
⇒ ∃{u1 ,..., u n+1} ⊂ ' H , linealmente independiente sobre ' J
{Id}
[ J : H ] = n, sea J H = {τ1H ,τ 2 H ,...,τ n H } , τ1 ,τ 2 ,...,τ n ∈ J
Consideremos el sistema de n ecuaciones con n+1
H
variables x1 ,..., xn+1 definido por:
τ 1 ( u1 ) x1 + τ 1 ( u 2 ) x2 + L + τ 1 ( un +1 ) xn +1 = 0
M
(1) M
τ ( u ) x + τ ( u ) x + L + τ ( u ) x = 0
n 1 1 n 2 2
n
n +1
n +1
Sea A = (τ i ( u j ) )ij ; A ∈ Mn×( n +1) ( F ) , ⇒ T ( X ) = AX
TA : F n +1 → F n
X Î AX
J
GalK F
F
'H = F H
'J = F J
K
ker TA ≠ {0} ⇒ Este sistema siempre admite una solución no trivial.
- 133 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 134 -
Sea ( a1 ,..., an +1 ) ∈ F n+1 solución no trivial con una cantidad minimal de entradas no
nulas. Reordenando si es necesario podemos suponer ai ≠ 0 ∀i = 1,..., r y ai = 0
para todo i = r + 1,..., n + 1 .
Como ker TA es un subespacio de F n+1 podemos suponer a1 = 1F (si no
multiplicamos por a1−1 ).
Afirmación 1
Probaremos que {u1 ,..., u n+1} L.I. sobre ' J = F J ⇒ ∃σ ∈ J tal que y1 = σ ( a1 ) ,
y2 = σ ( a2 ) ,..., yr = σ ( ar ) , yr +1 = .... = yn +1 = 0 es solución de (1) y σ ( a2 ) ≠ a2
Si se cumple lo anterior, tenemos que la resta de dos soluciones es también una
solución, pero:
x1 − y1 = 1 − σ (1) = 1 − 1 = 0 implica que la resta es una solución no
⇒
trivial de (1) con r − 1 entrada no nula
x2 − y2 = a2 − σ ( a2 ) ≠ 0
Luego necesariamente [ ' H : ' J ] ≤ n = [ J : H ] y se cumple la tesis.
Demostración
En J
!i : τ iH = H , reordenando podemos suponer τ 1H = H ⇔ τ 1 ∈ H luego
H ∃
como u1 ,..., un+1 ∈ ' H = F H ⇒ τ1 ( ui ) = ui , ∀i = 1,..., n + 1. Los ai son solución,
tenemos que la primer ecuación de (1) queda:
u1a1 + u2 a2 + ... + ur ar = 0
Como {u1 ,..., u n+1} ⊂ F es L.I. sobre ' J y a1 ,..., ar ∈ F son no nulos, ⇒ ∃i : ai ∉ ' J y
podemos suponer reordenando que a2 ∉ ' J = F J ⇒ ∃σ ∈ J : σ (a 2 ) ≠ a 2 .
Consideremos el sistema de ecuaciones en F.
στ 1 ( u1 ) x1 + στ 1 ( u 2 ) x2 + L + στ 1 ( u n+1 ) xn+1 = 0
τ1 ∈ H < J
(2) M
M
στ i ∈ J
σ
τ
J
,
∈
i
στ ( u ) x + στ ( u ) x + L + στ ( u ) x = 0
n 1 1
n
2
2
n
n +1
n +1
Como x1 = a1 , x2 = a2 ,..., xr = ar , xr +1 = .... = xn +1 = 0 es solución de (1) en F y
σ ∈ Aut ( F ) ⇒ y1 = σ ( a1 ) ,..., yr = σ ( ar ) , yr +1 = ... = yn +1 = 0 es solución de (2).
Afirmación 2 El sistema de ecuaciones (1) y el (2) son el mismo a menos de
reordenar las filas.
Demostración Dado i ∈ {1,.., n} , ∃! j ∈ {1,.., n} tal que στ i ( ul ) = τ j ( ul ) , ∀l = 1,.., n + 1
Ya que:
{στ1H , στ 2 H ,...,στ n H } = {τ1H ,τ 2 H ,...,τ n H } = J H
porque si η ∈ J ⇒ σ −1η ∈ J ⇒ ∃!i tal que σ −1η H = τ i H ⇒ η H = στ i H luego:
J = {η H : η ∈ J } ⊂ {στ H ,..., στ H } ⊂ J
1
n
H
H
Es decir que para cada j , ∃!i tal que τ j H = στ i H .
- 134 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 135
Además, Sea i, j tal que στ i H = τ j H ⇒ στ i ( ul ) = τ j ( ul ) , ∀ = 1,..., n + 1 ya que:
∃V ∈ H tal que στ i = τ j V
l
u
l = τ j ( ul ) , ∀l = 1,..., n + 1 .
∈H ∈F H
Lo que significa que los sistemas son equivalentes porque la fila i de (2) coincide
con la fila j de (1) , y entonces:
y1 = σ ( a1 ) ,..., yr = σ ( ar ) , y r +1 = ... = yn = 0 es solución de (1) con σ ∈ J ,σ ( a2 ) ≠ a2
luego queda probada la afirmación 1, y por lo tanto el Lema.
y ul ∈ ' H = F H ⇒ στ i ( ul ) = τ j
V
Lema 5.7 Sea F ⊃ K una extensión, F ⊃ M ⊃ l ⊃ K , H < J < G = GalK F .
i) Si L es cerrado y [ M : l ] < ∞ ⇒ M es cerrado y [ l ' : M '] = [ M : l ] ;
ii) Si H es cerrado y [ J : H ] < ∞ ⇒ J es cerrado y [ ' H : ' J ] = [ J : H ];
iii) Si F ⊃ K es de Galois finita, entonces todos los cuerpos intermedios entre F y
K y todos los subgrupos de G son cerrados y GalK F = [ F : K ].
Demostración i) l cerrado ⇔ ' ( l ') = l
( l ' ) ≤ [ l ' : M '] ≤ [ M : l ]
[ M :l ] < ∞ ⇒
{ [ l ' : M '] ≤ [ M : l ] < ∞ ⇒
{ ' ( M ' ) : '{
L. 5.5
L. 5.6
=l
l ⊂ M ⊂ ' ( M ' ) ⇒ [ M : l ] ≤ ' ( M ') : ' ( l ') ≤ [ l ' : M '] ≤ [ M : l ] ⇒ se tienen
{
=l
que cumplir todas las igualdades:
[ M : l ] = [ l ' : M ']
[ ' ( M ') : l ] = [ M
: l ]
⇒ M = ' ( M ')
l ⊂ M ⊂ ' ( M ')
ii) H cerrado ⇒ ( ' H ) ' = H
' H ) ' ≤ [ ' H : ' J ] ≤ [ J : H ] < ∞
[J : H ] < ∞ ⇒
{ [' H : ' J ] ≤ [ J : H ] < ∞ ⇒
{ ( ' J ) ' : ({
L. 5.6
L. 5.5
=H
H < J < ( ' J ) ' ⇒ [ J : H ] ≤ ( ' J ) ' : {
H ≤ [' H : ' J ] ≤ [ J : H ] < ∞ luego se tienen que
=( ' H ) '
cumplir todas las igualdades:
[ J : H ] = [' H : ' J ]
[( ' J ) ' : H ] = [ J : H ] < ∞
⇒ J = (' J ) '
H < J < (' J ) '
- 135 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 136 -
iii) Sea F ⊃ K de Galois finita
F ⊃ K finita ⇒ ∀E tal que F ⊃ E ⊃ K es E ⊃ K finita
F ⊃ K de Galois ⇒ K es cerrado ;E ⊃ K finita ⇒ E es
cerrado y K
{' : E
=G
' = [ E : K ]
finita
F
{Id}
E
H
finita
Tomando E = F es Gal K F = G = G
:
Id
=
F
:
K
{
}
[
]
{ { {
= K ' =F ' ( i)
K
G
Luego G < ∞ ⇒ H < ∞, ∀H < G ,
{Id} = F ' ⇒ ( '{Id}) ' = F ' = {Id} ⇒ {Id} cerrado
⇒ H es cerrado.
Si H < G ⇒ [ H : {Id}] = H < ∞
Definición 5.4 Sea F ⊃ K una extensión y E tal que F ⊃ E ⊃ K . Decimos que E
estable (respecto a F ⊃ K ) si σ ( E ) ⊂ E , ∀σ ∈ Gal K F .
En este caso σ |E : E
^
→ E , σ ∈ GalK F ⇒ σ −1 ∈ GalK F y esto implica:
K
Z
σ (E ) ⊂ E
⇒ σ ( E ) = E ⇒ σ |E ∈ Gal K E ∀σ ∈ Gal K F
σ −1 ( E ) ⊂ E ⇒ E ⊂ σ ( E )
Lema 5.8 Sea F ⊃ K extensión, G = GalK F entonces se cumplen:
i) Si F ⊃ E ⊃ K y E es estable ⇒ E ' < G ,
ii) Si H < G ⇒ ' H es estable.
Demostración i) E ' = Gal E F .
Sean σ ∈ G = GalK F y τ ∈ E ' = GalE F τ : F
^
→ F
E
↑
K
Z
⇒ σ −1τσ ∈ Aut ( F ) queremos ver si σ −1τσ ∈ GalE F = E ' .
Sea u ∈ E como E es estable se cumple que:
−1
−1
σ (u ) ∈ E ⇒
σ ( u ) = u ⇒ σ −1τσ |E = Id
{ τσ ( u ) = σ ( u ) ⇒ σ τσ ( u ) = σ{
τ ∈Gal E F
lo que
Id
significa que σ −1τσ ∈ GalE F = E ' ⇒∴ E ' < G .
ii) Sea H < G, ' H = F H = { x ∈ F : σ ( x ) = x ∀σ ∈ H } .
Sea u ∈ F H y σ ∈ Gal K F queremos ver si σ ( u ) ∈ F H ⇔ τσ ( u ) = σ ( u ) , ∀τ ∈ H
esto último a su vez se cumple ⇔ σ −1τσ ( u ) = u, ∀τ ∈ H .
Entonces como H < G ⇒ σ −1τσ ∈ H ⇒H σ −1τσ ( u ) = u , ∀u ∈ ' H = F H ⇒ tesis.
u∈F
- 136 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 137
Lema 5.9 Sea F ⊃ K extensión de Galois y
F ⊃ E ⊃ K con E estable, entonces E ⊃ K es de
Galois.
Demostración Sea u ∈ E \ K ⇒ u ∈ F \ K y por ser
F ⊃ K de Galois ∃σ ∈ GalK F tal que σ ( u ) ≠ u .
E es estable ⇒ σ |E ∈ Gal K E y σ |E ( u ) ≠ u .
F
Galois
E
k
estable
⇒
Galois
Lema 5.10 Sea F ⊃ E ⊃ K tal que E ⊃ K es algebraica y de Galois entonces E
es estable.
⊃4
F ⊃E
K ⇒ E estable
1
42
3
alg. y Galois
Demostración
Sea u ∈ E y IrrK ( u ) = f ∈ K [ x ] ,
distintas de f en E ⇒ r ≤ n = gr ( f ) .
sean u = u1 , u2 ,..., ur
raíces
Sea τ ∈ GalK E , como f ∈ K [ x ] y f ui = 0 ⇒ 0 = τ ( f ( ui ) ) = f (τ ( ui ) ) es decir
∈E
que τ ( ui ) son raíces de f en E ⇒ {τ ( u1 ) ,...,τ ( ur )} = {u1 ,..., ur }
Sea g = ( x − u1 ) ... ( x − ur ) ∈ E [ x ] ⇒ τ g = ( x − τ ( u1 ) ) ... ( x − τ ( ur ) ) = g entonces:
⇒ τ g = g ∀τ ∈ GalK E , pero τ g = ∑τ ( ai ) x i = ∑ ai x i = g luego τ ( ai ) = ai
i
i
∀τ ∈ GalK E ⇒ ai ∈ E
y como E ⊃ K de Galois ⇒ ai ∈ E GalK E = K ⇒
que tenemos así g ∈ K [ x ] , y u = u1 raíz de g ⇒ f | g por ser f = IrrK ( u ) entonces
n = gr ( f ) ≤ gr ( g ) = r
⇒ f = g ⇒ n= r,
como g mónico
luego todas las raíces de f son distintas y están en E. Importante resultado a tener en
cuenta.
F ⊃E
⊃4
K si f = IrrK ( u ) ⇒ todas las raíces de f son distintas y están en E
1
42
3
Gal K E
alg. Galois
Si σ ∈ GalK F , f ∈ K [ x ] ⇒ σ ( u ) ∈ {u1 ,..., u n } ⊂ E ⇒ σ ( E ) ⊂ E
⇒ E es estable
∀σ ∈ Gal K F
Definición 5.5 Sea F ⊃ E ⊃ K , τ ∈ GalK E decimos que es extendible a F si
existe σ ∈ GalK F tal que σ |E = τ
F
F σ
Observación 5.6
E τ
E
{τ ∈ GalK E : τ extendible a F } < GalK E
Sea e% = σ ( e ) = τ ( e ) ⇒ σ −1 ( e% ) = τ −1 ( e% ) = e
K
- 137 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 138 -
Si σ 1 |E = τ1 , σ 2 |E = τ 2 ⇒ σ 2−1 |E = τ 2−1 como σ 2 ( E ) = τ 2 ( E ) = E ⇒ σ 1σ 2 |E = τ1τ 2
Lema 5.11 Sea F ⊃ E ⊃ K con E estable y G = GalK F entonces G
isomorfo a {τ ∈ GalK E : τ es extendible a F } < GalK E .
E'
es
Demostración Si E estable ⇒ Φ : G = GalK F → GalK E morfismo de grupos, tal
σ Îσ|
|E
≅ Im Φ ; entonces como Im Φ = {τ ∈ GalK E : τ estiende a F } , y :
ker Φ
ker Φ = {σ ∈ GalK F : σ |E = Id} = GalE F = E ' , sustituyendo se tiene la tesis.
que G
Proposición 5.12 (Teorema de Galois) Si F ⊃ K es una extensión de Galois
finita, entonces existe una correspondencia uno a uno que invierte el orden de
inclusión entre F = {E : F ⊃ E ⊃ K , cuerpo intermedio} y S = {H : H < Gal K F }
Definida en la observación 5.4 que verifica:
i) [ E :l ] = [ GalL F :GalE F ] ∀l , E tal que K ⊂ L ⊂ E ⊂ F ;
En particular GalK F = [ F : K ].
ii) ∀E tal que F ⊃ E ⊃ K ⇒ F ⊃ E es de Galois;
Y además E ⊃ K es de Galois si y solo sí GalE F < GalK F y en este caso el mapa:
GalK F → Gal K E
σ Îσ|
|E
es un epimorfismo de núcleo GalE F . Luego induce un
isomorfismo
GalK F
≅ GalK E
GalE F
F
{Id}
E
GalE F
σ Ïσ|
|E
A las correspondencias ya la hemos notado como
Galois L
Gal( g) F y F ( g) o ( g ) ' y ' ( g ) y decir que una es la
inversa de la otra quiere decir que:
E GalE F = E , GalF H F = H ; o ' ( E ') = E , ( ' H ) ' = H
K
GalL F <
G
Demostración Para ver que la correspondencia es una biyección, basta con probar
que todos los subcuerpos y subgrupos son cerrados y eso es el Lema 5.7 y antes
habíamos probado de que existe una correspondencia biyectiva entre cerrados
(proposición 5.4). Además el Lema 5.7 prueba que en este caso si F ⊃ E ⊃ l ⊃ K
entonces [ E : l ] = [ l ' : E '] y GalK F = [ F : K ] .
Sea F ⊃ E ⊃ K como E es cerrado, es F ⊃ E de Galois.
- 138 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 139
F ⊃ K finita ⇒ E ⊃ K finita ⇒ E ⊃ K es algebraica.
Si E ⊃ K es de Galois ⇒
{ E es estable ⇒
{ E ' < G.
Lema 5.10
Lema 5.8
Si E ' < G ⇒
⇒ E es estable
⇒
{ ' ( E ') es estable
{ E ⊃K
Lema5.9
Lema 5.8
E cerrado ⇒ ' ( E ') = E F ⊃ K de Galois
es de Galois
Sea F ⊃ E ⊃ K con E ⊃ K de Galois.
GalK E = [ E : K ]
GalK F
≅
GalK F
=G
GalE F
E'
E y E ' son cerrados y ' G = K (F ⊃ K de Galois)
⇒G
= G : E '] =
{ [ ' ( E ') : ' G ] = [ E : K ]
E' [
Lema 5.7
≅
G
→ Gal K E
Lema 5.11 G ° Gal K E
'
E
⇒
E'
σ Î σ |E
σ Î σ |E
pero E ⊃ K de Galois ⇒ GalK E = [ E : K ] < ∞
Ejemplo 5.9 Sea F = ¤
G = Gal¤ ¤
(
)
(
)
2, 3 ⊃ ¤ veremos que es de Galois.
2, 3 = {σ 1 , σ 2 , σ 3 ,σ 4 } = {Id,σ ,τ ,στ }
σ 2 = τ 2 = Id; y στ = τσ
σ
tales
στ ⇒ G ≅ ¢ 2 ⊕ ¢ 2
τ
2
− 2
2
− 2
3
3
− 3
− 3
Los subgrupos de G son:
H = {Id,σ } , J = {Id,τ } , K = {Id,στ }
Como vimos en el ejercicio 5.6
{
σ yτ
siendo
F = a+b 2+c 3 +d
}
6 : a, b, c, d ∈ ¤
= 2 3
(
)
( 3)
τ (a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a + b 2 − c 3 − d 6 ⇒ F = ¤( 2 )
στ ( a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a − b 2 − c 3 + d 6 ⇒ F = ¤ ( 6 )
σ a+b 2+ c 3+d 6 = a−b 2+c 3−d 6 ⇒ F H = ¤
J
K
- 139 -
que
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
F G = F {Id,σ ,τ ,στ } = F {σ } I F {τ } I F {στ } = ¤
- 140 -
( 3) I ¤( 2 ) I ¤( 6 )
{Id}
H
K
F =¤
J
¤
( 3)
¤
Se tiene que ¤
2, 3
¤
)
( 2)
¤
G
Subgrupos
( 6)
(
Subcuerpos
( 3 ) I ¤ ( 2 ) I ¤ ( 6 ) = ¤ ⇒ ' ¤ ' = ¤ ⇒ la extensión es de Galois.
Corolario 5.13 Sea F ⊃ K de Galois finita, L y E cuerpos intermedios entre F y
K ; H y J subgrupos de G = GalK F , entonces se cumple:
i) GalE L F = GalE F I GalL F ,
ii) GalE IL F = Gal E F ∨ Gal L F . Si E ⊃ K es de Galois, entonces:
GalE IL F = Gal E F ⋅ GalL F
iii) F H I J = F H ⋅ F J
iv) F H ∨ J = F H I F J . Si H < G ⇒ F HJ = F H I F J
Demostración Según la nomenclatura que estamos usando la i) y ii) corresponde a
demostrar que:
El ′ = E ′ I l ′ ; ( E I l )′ = e ′ ∨ l ′
F
Id
El ' = E 'I l '
EL
E
L
E Il
K
⇒
E’
L’
E '∨ l ' = ( E I l ) '
( El ) ' ⊂ E 'I l '
⇒
( E I l ) ' ⊃ E '∨ l '
G
E 'I l ' ⊂ E ' ⇒ ' ( E 'I l ') ⊃ ' E ' = E
⇒ ' ( E 'I l ') ⊃ El ⇒ E 'I l ' ⊂ ( El ) '
⊂l'
⊃ 'l ' = l
E ' ⊂ E ' ∨ L ' ⇒ E ⊃ ' ( E '∨ L ')
⇒ E I L ⊃ ' ( E '∨ L ') ⇒ ( E I L ) ' ⊂ E '∨ L '
L'⊂
L⊃
- 140 -
i)
ii)
Notas de Álgebra II
Galois
- 141
Si E ⊃ K de Galois ⇒ E ' < G ⇒ E '∨ L ' = E ' L ' ⇒ ( E I L ) ' = E ' L '.
iii) y iv)
F
Id
Sean:
' H = E y 'J = l
EL
HIJ
E
⇐
L
Galois
'( g )
E Il
H
J
<
H ∨ J = HJ
K
Observar que si
H <G
entonces:
y E ⊃ K es
H ∨ J = HJ
de Galois.
G
(i)
( ' H ' J ) ' = ( ' H ) ' I (' J ) ' = H I J ⇒ H ' J ' = ' ( H I J )
E = 'H, L = 'J ⇒
( ' H I ' J ) ' (=ii) ( ' H ) '∨ ( ' J ) ' = H ∨ J ⇒ H ' I J ' = ' ( H ∨ J ) ,
Corolario 5.14
Si
con F ⊃ K Galois finita entonces si
GalL F I GalE F = {Id} ⇒ F = E l
F
L
E
K
Demostración
GalE L F = GalL F I Gal E F = {Id} ⇒ E l = F {Id} = F
Proposición 5.15 (Teorema de Artin) Sea F un cuerpo, G < AutF y K = F G ,
entonces F ⊃ K es de Galois.
Si G es finito, entonces F ⊃ K es de Galois finita y GalK F = G.
Demostración Como K = F G = {u ∈ F : σ ( u ) = u , ∀σ ∈ G} entonces:
Si u ∈ K ⇒ σ ( u ) = u , ∀σ ∈ G ⇒ G < Gal K F .
Sea u ∈ F \ K ⇒ u ∉ F G ⇒ ∃σ ∈ G tal que σ ( u ) ≠ u
σ ( u ) ≠ u ⇒ F ⊃ K es de Galois.
Si G es finito ⇒ [ F : K ] = F {Id} : F G ≤
{
Lema 5.6
F ⊃ K de Galois finita
⇒
{ ∃σ ∈ GalK F
tal que
G < Gal K F
[G : {Id}] = G ⇒ F
⊃ K es finita.
⇒ GalK F = [ F : K ] ≤ G < ∞
⇒ G = GalK F .
G < Gal K F
- 141 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 142 -
Observación 5.7 Sea K cuerpo , f ∈ K [ x ] \ K , F ⊃ K extensión y u ∈ F tal que
f ( u ) = 0, entonces:
i) u es raíz múltiple de f ⇔ f ( u ) = f ' ( u ) = 0 ⇔ ( x − u ) divide a f y f ' en F [ x ] .
ii) f tiene solo raíces simples en F ⇔ f ' ≠ 0 (suponiendo f irreducible).
iii) Si f es irreducible en K [ x ] y car ( K ) = 0 ⇒ f ' ≠ 0 . Luego f tiene sólo raíces
simples en F.
Definición 5.6 Sea K un cuerpo
i) f ∈ K [ x ] irreducible se dice separable si existe extensión F ⊃ K , cuerpo de
descomposición de f sobre K tal que f tiene sólo raíces simples en F.
Si f ∈ K [ x ] no es irreducible, f = f1. f 2 .... f r con fi ∈ K [ x ] irreducible no
necesariamente distintos decimos que f es separable si fi es separable ∀i.
Ejemplo 5.10 f = ( x 2 + 1)( x 2 − 2 ) ( x − 1) ∈ ¤ [ x ] es separable por serlo cada factor.
3
4
ii) Sea F ⊃ K extensión. Un elemento u ∈ F se dice separable sobre K si u es
algebraico sobre K e IrrK ( u ) ∈ K [ x ] es separable.
iii) Una extensión F ⊃ K es separable si todo u ∈ F es separable sobre K.
Observación 5.8 i) Si f ∈ K [ x ] , F ⊃ K extensión ⇒ f ∈ F [ x ] , entonces
f ∈ K [ x ] es separable ⇒ f ∈ F [ x ] es separable.
ii) Si F ⊃ K es separable ⇒ F ⊃ K es algebraica.
iii) Si car ( K ) = 0 y F ⊃ K es algebraica ⇒ F ⊃ K es separable.
Lema 5.16 Sea F ⊃ K extensión finita entonces F ⊃ K es de Galois si y solo sí:
GalK F = [ F : K ]
Demostración ⇒ ya la vimos.
⇐ [ F : K ] finita ⇒ GalK F ≤ [ F : K ] < ∞
Sea K 0 = F G = ' G entonces por el Teorema de Artin F ⊃ K 0 es
de Galois finita y GalK F = GalK 0 F
F
K0
GalK F = GalK 0 F = [ F : K 0 ]
K
P
⇒ [F : K 0 ] = [ F : K ]
[F : K ]
Pero [ F : K ] = [ F : K 0 ] ⋅ [ K 0 : K ]
↓
y por lo tanto F ⊃ K es de Galois finita.
finito ⇒ [ K 0 : K ] = 1 ⇒∴ K 0 = K
- 142 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 143
Proposición 5.17 Sea F ⊃ K extensión entonces las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
i) F ⊃ K es algebraica y de Galois.
ii) F ⊃ K es separable y F es el cuerpo de descomposición de una familia S de
polinomios de K [ x ].
iii) F es un cuerpo de descomposición de una familia S de polinomios separables de
K [ x ].
Demostración i) ⇒ ii) u ∈ F
⇒ IrrK ( u ) = ( x − u1 ) .... ( x − ur ) ∈ F [ x ]
Lema 5.10
Con u = u1 , u2 ,.., ur ∈ F raíces simples y distintas (escinde) luego por definición es
separable ⇒ u es separable sobre K ⇒ F ⊃ K separable.
F ⊃ K algebraica ⇒ F = K (T ) , T ⊂ F elementos algebraicos sobre K.
Si t ∈ T , t es algebraico sobre K ⇒ f t = IrrK ( t ) ∈ K [ x ] , f t ( t ) = 0
Sea S = { f t : t ∈ T } ⊂ K [ x ] y consideremos R = {raíces de los f t , con t ∈ T }.
Como ft ∈ K [ x ] es separable ∀t ∈ T y las raíces de ft están en F se tiene:
F = K (T ) ⊂ K ( R ) ⊂ F ⇒ F = K ( R )
⇒ F es el cuerpo de descomposición de S.
ii) ⇒ iii) Por hipótesis F ⊃ K es separable y F cuerpo de descomposición de S
entonces sea f ∈ S ⊂ K [ x ] , f = af1... f r ∈ K [ x ] con f1 ,..., f r ∈ K [ x ] mónicos e
≠0
irreducibles y a ∈ K × .
f escinde en F ⇒ f i escinde ∀i ∈ {1,..., r}
Sea u ∈ F tal que fi ( u ) = 0
⇒ f i = IrrK ( u ) ∈ K [ x ]
⇒ f i separable
fi mónico e irreducible ∈ K [ x ]
F ⊃ K separable
u∈
iii) ⇒ i) Para demostrar esto consideraremos dos casos:
a) Sea S < ∞, S = { f1 ,..., f r : separables} ⊂ K [ x ]
r
si f = ∏ f i ∈ K [ x ] ⇒ f es separable ⇒ F es el cuerpo de descomposición de f
i =1
por def.
Queremos probar que F ⊃ K es de Galois finito. F ⊃ K finitamente generada por
elementos algebraicos ⇒ finita ⇒ [ F : K ] = n < ∞ . Queremos ver que:
[ F : K ] = Gal K F
y lo probaremos por inducción completa en n.
1) Supongamos [ F : K ] = 1 ⇒ F = K ⇒ GalK F = {Id} y se tiene:
GalK F = 1 = [ F : K ].
2) Supongamos n > 1 y razonamos por inducción
- 143 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 144 -
f = ag1...g t ∈ K [ x ] con g i mónico e irreducible ∈ K [ x ] ⇒ gi separable ∀i = 1,..., t
Si gr ( gi ) = 1 ∀i = 1,..., t ⇒ F = K ⇒ n = 1
Existe entonces alguno de grado > 1 podemos suponer sin perder generalidad que es
el primero.
gr ( g1 ) = s > 1
Como f se escinde en F y es separable ⇒ g1 se escinde y es separable.
Entonces si T = {raíces de g1 en F } ⇒ T = s es decir:
g1 = ( x − u1 ) ... ( x − us ) ∈ K [ x ] con ui ≠ u j ∀i ≠ j
Sea u = u1 entonces IrrK ( u ) = g1 ∈ K [ x ] donde [ K ( u ) : K ] = gr ( g1 ) = s .
El mapa µ̂ ya definido en Lema 5.5, en este caso es una biyección:
µˆ : GalK F
GalK ( u ) F
F
→T
{Id}
τ Î τ (u )
entonces s = GalK F
=
F
F
GalK ( u ) F GalK : Gal K ( u )
n
K (u )
como s > 1 ⇒ [ F : K ( u )] = ns < n
s
F es el cuerpo de descomposición de f sobre K ⇒ F
es cuerpo de descomposición de f ∈ K ( u ) [ x ] sobre
K
K ( u ) ⇒ f ahora como polinomio en K ( u ) [ x ] es
separable y por hipótesis de inducción como:
[ F : K ( u )] = ns < n ⇒ GalK (u ) F = [ F : K ( u )] entonces por ser:
GalK (u ) F
s
GalK F
GalK F = GalK F : Gal K ( u ) F ⋅ Gal K ( u ) F
sustituyendo
GalK F = [ K ( u ) : K ] ⋅ [ F : K ( u )] = [ F : K ]
⇒ F ⊃ K es de Galois.
b) Sea ahora S = ∞ con S familia de polinomios separables.
F = K (T ) , con T = {u ∈ F : f ( u ) = 0 para algún f ∈ S }
⇒F =
U
t1 ,..., tn ∈T
n∈¢ +
K ( t1 ,..., t n ) tenemos que probar que F ⊃ K es algebraica y de
Galois, algebraica es obvio ya que los elementos de T son algebraicos y toda
extensión generada por elementos algebraicos es algebraica.
F ⊃ K es de Galois ⇔ F Gal K F = K lo que equivale a demostrar:
Si u ∈ F \ K entonces ∃σ ∈ Gal K F , tal que σ ( u ) ≠ u.
- 144 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 145
Sea u ∈ F \ K , F = K (T ) = U K ( t1 ,..., tn ) ⇒ ∃ algún n ∈ ¢ + , t1 ,..., tn ∈ T tal que:
u ∈ K ( t1 ,..., tn )
Si i ∈ {1,..., n} , ti ∈ T ⇒ ∃f i ∈ S ⊂ K [ x ] tal que f i ( ti ) = 0
Consideremos el cuerpo de descomposición de los fi y sea:
R = {ti ∈ T : f i ( ti ) = 0 para algún i = 1,..., n}
Luego K ( R ) es el cuerpo de descomposición de los fi es decir de
{ f1 ,..., f n } ⊂ S ⊂ K [ x ] y t1 ,..., tn ∈ R ⇒ u ∈ K ( t1 ,..., tn ) ⊂ K [ x ] ⇒ u ∈ K ( R ) \ K
y por lo tanto K ( R ) ⊃ K es finita y aplicando la parte a) se tiene que es de Galois.
Luego ∃σ ∈ GalK K ( R ) tal que σ ( u ) ≠ u
Como F es el cuerpo de descomposición de S
σ%
F
F
sobre K ( R ) σ se extiende a σ% ∈ Gal K F
alg.
σ% : F → F tal que σ% |K ( R ) = σ y como σ ( u ) ≠ u
se tiene:
K ( R)
σ% ( u ) ≠ u ⇒ ' ( GalK F ) = K
u∈K ( R )
P
≅
K ( R)
K
' ( K ')
⇒ F ⊃ K es de Galois.
Corolario 5.18 Sea F ⊃ K una extensión entonces son equivalentes:
i) F ⊃ K es finita y de Galois.
ii) F ⊃ K es separable y F es el cuerpo de descomposición de una familia de
polinomios en K [ x ].
iii) F es el cuerpo de descomposición de una familia finita de polinomios separable.
iv) F es el cuerpo de descomposición de un polinomio f ∈ K [ x ] separable, es decir
cuyos factores irreducibles son separables.
Definición 5.7 Dada una extensión F ⊃ K decimos que es normal si para todo
f ∈ K [ x ] irreducible que tiene una raíz en F , entonces tiene todas sus raíces en F .
Proposición 5.19 Sea F ⊃ K una extensión algebraica, entonces son equivalentes
las siguientes afirmaciones:
i) F ⊃ K es normal
ii) F es el cuerpo de descomposición de una familia de polinomios S ⊂ K [ x ].
iii) Si K clausura algebraica de K
σ : F → K entonces: σ ( F ) = F .
^
K
y K ⊂ F ⊂ K , y para todo morfismo
Z
- 145 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
- 146 -
Demostración i) ⇒ ii) Sea {uα }α∈I una base de F sobre K , por definición de
normal el polinomio IrrK ( uα ) como tiene una raíz uα ∈ F se descompone en F , (y
además F está generado por {uα }α∈I ) por lo tanto F es el cuerpo de
descomposición de S = {IrrK ( uα ) : α ∈ I } .
ii) ⇒ iii) Sea el morfismo σ : F
^
→ K , si F es el cuerpo de descomposición de
K
Z
S ⊂ K [ x ] y u es raíz de f ∈ S ⇒ σ ( u ) es raíz de f ⇒ σ ( u ) ∈ F .
Sea T = {raíces de f : f ∈ S } entonces σ lleva a T sobre sí mismo y T genera a F
(por definición de cuerpo de descomposición) entonces σ ( F ) = F .
iii) ⇒ i)
K alg. cerrado
Si σ : F → K ⇒ σ ( F ) = F
^
K
Z
alg.
Por ser:
alg. F
64
4744
8
K ⊂1
F42
⊂4
K
3
⇒ F = K
alg.
K
K ⊂ F ⊂ K
Sean f ∈ K [ x ] , irreducible con una raíz u ∈ F nos
⇒F =K
alg.
tomamos v ∈ F = K otra raíz de f, por ser u y v raíces de un mismo polinomio
irreducible sabemos que existe σ : K ( u ) → K ( v ) isomorfismo que deja fijo K , y
que σ ( u ) = v , por la proposición 4.16 (para S = K [ x ] \ K ) σ se extiende a
σ : K → K isomorfismo, y entonces como σ |F : F → K se tiene que lleva
F en F ⇒ σ ( u ) = v ∈ F , es decir que por definición la extensión F ⊃ K es
normal como se quería demostrar.
Corolario 5.20 Sea F ⊃ K una extensión algebraica entonces F ⊃ K es de
Galois si y solo sí. F ⊃ K es normal y separable.
(Y si car ( K ) = 0, alcanza con pedir que F ⊃ K sea normal).
Demostración Por la proposición 5.17 F ⊃ K de
Galois y algebraica ⇔ la extensión F ⊃ K es
separable y F es cuerpo de descomposición de una
familia S de polinomios de K [ x ] y por la
proposición anterior esto último es equivalente a
que F ⊃ K es normal.
Si la característica de K es cero y F ⊃ K
algebraica ⇒ F ⊃ K es separable.
- 146 -
σ
K
K
F
F
K (u )
σ
K
K (v)
Notas de Álgebra II
Galois
- 147
Proposición 5.21 (Teorema fundamental de Galois generalizado) Sea F ⊃ K
una extensión algebraica de Galois, entonces existe una correspondencia biunívoca
entre la familia F de cuerpos intermedios y la familia S de subgrupos cerrados
de G = GalK F que verifica:
ii)’ ∀E tal que F ⊃ E ⊃ K ⇒ F ⊃ E es de Galois.
Y además E ⊃ K es de Galois si y solo sí GalE F < GalK F y:
GalK F
GalK E ≅
GalE F
Demostración Alcanza con probar que toda extensión intermedia es cerrada.
Por la proposición 5.17 sabemos que F es el cuerpo de descomposición de una
familia S ⊂ K [ x ] de polinomios separables sobre K .
Sea S ′ = { g ∈ E [ x ] factor irreducible de algún polinomio en S } es una familia en
E [ x ] de polinomios separables, ⇒ F ⊃ E es de Galois.
( F cuerpo de descomposición de S’ sobre E ) ⇒ que es cerrada ya que
F GalE F = E ⇒ ( ' E ) ' = E ⇒ E cerrado.
ii)’ E ⊃ K es de Galois ⇔ GalE F < GalK F igual que en el teorema fundamental.
Si GalE F < GalK F ⇒ E es estable y :
GalK F
≅ {σ ∈ GalK E que se extiende a GalK F } = GalK E
GalE F
ya que F es el cuerpo de descomposición de polinomios en E porque F ⊃ E es de
Galois.
Ejemplo 5.11 Sea F = ¤ ( u , i ) , con u = 4 2 ∈ ¡
f = x 4 − 2 ∈ ¤ [ x],
(
x4 − 2 = 0 ⇒ x2 − 2
)( x
2
)
+ 2 =0⇒
( x − 2 )( x + 2 )( x − i 2 )( x + i 2 ) = 0
4
4
4
4
las raíces de f son ±u , ± iu ∈¤ ( u , i ) .
Se deduce de ¤ ( u , i ) = ¤ ( u , −u , ui, −ui ) raíces de f ⇒ f ∈ ¤ [ x ] es irreducible
Más inmediato que lo anterior es decir que es f = x 4 − 2 ∈ ¤ [ x ] irreducible por el
criterio de Eisenstein (2 divide a 2 y a cero, pero 22 no divide a 2).
Sea G = Gal¤ F .
Tenemos que ¤ ( u , i ) ⊃ ¤ ( u ) ⊃ ¤ ⇒ [ ¤ ( u , i ) : ¤] = [ ¤ ( u )( i ) : ¤ ( u )] ⋅ [ ¤ ( u ) : ¤]
E5555555555F E555555
F
2
Irr¤ ( u ) = x − 2
4
4
i ∉ ¤ ( u ) ⊂ ¡, x 2 + 1 ∈ ¤ [ x ] ⊂ ¤ ( u ) [ x ] ⇒ Irr¤( u ) ( i ) = x 2 + 1
- 147 -
G =8
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
¤ ( u, i )
- 148 -
{Id}
Gal 2
4 Gal
¤ (u )
4
¤ (i )
8
¤
H
2 Gal
J
G
2 <
Siendo H = Gal¤(u )¤ ( u , i ) y J = Gal¤(i )¤ ( u , i )
H = [ ¤ ( u , i ) : ¤ ( u )] = 2
J = [ ¤ ( u , i ) : ¤ ( i )] = 4 ⇒ [G : J ] = 2 ⇒ J < G ⇒ ¤ ( i ) ⊃ ¤ es de Galois.
Como: J < G , H < G
y J I H = Gal¤( u )¤ ( u , i ) I Gal ¤( i ) ¤ ( u, i ) = Gal ¤( u )( i ) ¤ ( u, i ) = Gal¤(u ,i ) ¤ ( u, i ) = {Id}
Se tiene JH = J ⋅ H = 2 ⋅ 4 = 8 = G ⇒ G = HJ ⇒ G ≅ J ãτ H
τ
H = 2 ⇒ H = {Id,τ } , ¤ ( u , i )
→ ¤ ( u, i )
^
¤( u )
Z
Irr¤( u ) ( i ) = x 2 + 1 tal que i ∉ ¤ ( u )
τ ( i ) = ±i ∈ ¤ ( u, i ) si τ ≠ Id ⇒ τ ( i ) = −i y τ ( u ) = u
⇒ H = {Id,τ } , con τ ( u ) = u y τ ( i ) = −i
J = 4,
J = Gal¤(i )¤ ( u, i )
[¤ ( i )(u ) : ¤ ( i )] = [¤ ( u, i ) : ¤ ( i )] =
J = 4 ⇒ grIrr¤( i ) ( u ) = 4
4
⇒ Irr¤( i ) ( u ) = x − 2
4
4
u verifica x − 2 = 0 con x − 2 ∈ ¤ [ x ] ⊂ ¤ ( i ) [ x ]
Si ϕ ∈ Gal¤( i ) ¤ ( u , i ) ⇒ ϕ ( u ) = ±u , ±iu y ϕ ( i ) = i, ϕ |¤ = Id entonces
J = {Id,σ ,η ,ϕ } tales que:
Id σ
u
i
u
i
η
ϕ
iu −u −iu
i
i
i
¢
J = 4 ⇒J ≅ 4
¢ 2 × ¢ 2
σ ( u ) = iu ⇒ σ 2 ( u ) = σ ( iu ) = iσ ( u ) = i ⋅ iu = −u ⇒ σ 2 = η
σ 3 ( u ) = σ (σ 2 ( u ) ) = σ ( −u ) = −σ ( u ) = −iu = ϕ ( u ) ⇒ σ 3 = ϕ entonces:
- 148 -
Notas de Álgebra II
Galois
- 149
J = {Id,σ ,σ 2 ,σ 3} , σ 4 = Id ⇒ J ≅ ¢ 4
τ
σ
J < G ⇒ τσ τ −1 ∈ J , u
→ u
→ iu
=τ
τ
→ {
−iu ⇒ τστ −1 = σ 3
τ ( iu ) =τ ( i )u =− iu
=σ 3
⇒ G = τ ,σ , con τ = 2, σ = 4, τστ = σ 3 ⇒ G ≅ D4
luego G = {Id,τ ,σ ,σ 2 ,σ 3 ,στ ,σ 2τ ,σ 3τ } = Gal¤ ¤ ( u , i )
u
i
Id
τ
σ
σ2
σ3
στ
σ 2τ
σ3
u
i
u iu
−i i
−u
i
−iu
i
iu
−i
−u
−i
−iu
−i
τ
σ
u
→ u
→ iu
i
→ −i
→ −i
σ 2τ ( u ) = σ 2 ( u ) = −u = σ 2 ( u ) = τσ 2 ( u )
2
2
2
⇒ σ τ = τσ ⇒ σ τ es de orden 2,
2
2
2
2
σ τ ( i ) = σ ( −i ) = −i = σ ( −i ) = τσ ( i )
análogamente στ = τσ 3 , σ 3τ = τσ ⇒ que στ ; σ 3τ son de orden 2 .
Los subgrupos de orden 4 son:
σ 2 ,τ = {Id,σ 2 ,τ , σ 2τ } ; σ = {Id,σ ,σ 2 , σ 3} ; σ 2 , στ = {Id,σ 2 ,στ ,σ 3τ }
La tabla de subgrupos de G es:
¤ ( u, i )
{Id}
τ
σ 2τ
σ2
σ 2 ,τ
σ
¤ (u )
σ 3τ
στ
σ 2 , στ
(C )
( D)
( A)
¤ (i )
(E)
(F )
( B)
¤
σ ,τ
(A) [ ¤ ( u ) : ¤] = 4 ⇒ ¤ ( u ) = {a + bu + cu 2 + du 3 : a, b, c, d ∈ ¤}
σ 2 ( u ) = −u
2
σ 2 ( u 2 ) = ( −u ) = u 2 ⇒ σ 2 ( a + bu + cu 2 + du 3 ) = a − bu + cu 2 − du 3 =
3
σ 2 ( u 3 ) = ( −u ) = −u 3
= a + bu + cu 2 + du 3 ⇔ b = d = 0
¤ ( u, i )
σ 2 ,τ
⊂ ¤ (u ) ⇒ ¤ ( u, i )
σ 2 ,τ
= ¤ (u )
σ 2 ,τ
- 149 -
= ¤ (u )
τ |¤( u ) = Id
σ2
= {a + cu 2 : a, c ∈ ¤}
Notas de Álgebra II
Capítulo 5
que es igual a ¤ ( u 2 ) , luego ¤ ( u , i )
- 150 -
= ¤(u2 )
σ 2 ,τ
(D) Como:
σ 2 ,τ I σ = σ 2 ⇒ ¤ ( u , i )
Luego ¤ ( u , i )
(B) ¤ ( u , i )
σ2
σ 2 ,στ
= ¤ ( u, i )
σ2
= ¤(u2 , i )
⊂ ¤ ( u 2 , i ) ⇒ ¤ (u, i )
P
¤ ( u ,i )
σ 2 ,τ
⋅ ¤ ( u, i )
= ¤(u2 , i )
σ 2 ,στ
σ
σ 2 ,στ
= ¤ ( u 2 ) ⋅¤ ( i ) = ¤ ( u 2 , i )
= ¤(u2 , i)
στ
σ2
¤ (u 2 , i ) = ¤ (u 2 ) (i ) ⊃ ¤ (u 2 ) ⊃ ¤
u = 4 2 ⇒ u 2 = 2, ⇒ Irr¤ ( u 2 ) = x 2 − 2 ⇒ {1, u 2 } base de ¤ ( u 2 ) sobre ¤
Irr¤ ( i ) = x 2 + 1 ⇒ {1, i} base de ¤ ( u 2 , i ) sobre ¤ ( u 2 ) Luego:
¤ ( u 2 , i ) = {a + bi + cu 2 + diu 2 } : a, b, c, d ∈ ¤
entonces como:
τ
σ
i
→ −i
→ −i
u 2
→ u 2
→ −u 2 ⇒ στ ( a + bi + cu 2 + diu 2 ) = a − bi − cu 2 + diu 2 =
iu 2
→ −iu 2
→ iu 2
= a + bi + cu 2 + diu 2 ⇔ b = c = 0
σ 2 ,στ
Luego ⇒ ¤ ( u , i )
= ¤ ( iu 2 )
(C ) , ( E ) y ( F )
u
−u
1
σ τ
στ
σ 3τ
2
u2
1
u
1 iu −u 2
1 −iu −u 2
a b
c
2
u3
−u 3
−iu 3
iu 3
d
i
−i
ui
ui
−i u
−i −u
e
f
u 2i
−u 2 i
u 2i
u 2i
g
(C)
¤ ( u, i )
σ 2τ
⇒ b = d = e = g = 0 ⇒ ¤ (u, i )
σ 2τ
→ base de ¤ ( u , i ) sobre ¤
u 3i
ui
−u 3
u3
h
3
= {a + cu 2 + fui + hu 3i : a , c, f , h ∈ ¤}
( ui )2 = −u 2 ⇒ ( ui )3 = −u 3i luego como ¤ ( u , i ) σ τ = ¤ ( u 2 , ui, u 3i ) = ¤ ( ui ) .
2
Entonces: ⇒ ¤ ( u , i )
Análogamente:
σ 2τ
= ¤ ( ui )
¤ ( u, i )
στ
¤ ( u, i )
σ τ
3
= ¤ ( u ( i + 1) )
= ¤ ( u (1 − i ) )
- 150 -
Capítulo 6
Proposición 6.1 Sea E ⊃ K una extensión algebraica, entonces existe un cuerpo F
tal que K ⊂ E ⊂ F y :
i) F ⊃ K es normal.
ii) Si K ⊂ E ⊂ E' ⊂ F y E' ⊃ K es normal entonces E' = F
iii) Si E ⊃ K es separable entonces F ⊃ K es de Galois.
iv) Si [ E : K ] < ∞ entonces [ F : K ] < ∞ y F está determinada por i) y ii) salvo
isomorfismos.
F
F
Demostración
i) Sea {uα }α∈I una base de E sobre K y consideremos el
E normal Galois
conjunto:
Sep.
S = {IrrK ( uα ) : α ∈ I } y sea F el cuerpo de descomposición y alg.
⇒
de S sobre E. Entonces F es el cuerpo de descomposición
K
K
sobre K ⇒ F ⊃ K es normal (y K ⊂ E ⊂ F )
ii) Si K ⊂ E ⊂ E' ⊂ F y E' ⊃ K es normal ⇒ que todas las raíces de
IrrK ( uα ) ∀α ∈ I están en E' ⇒ E' = F .
iii) Si E ⊃ K es separable ⇒ IrrK ( uα ) son separables ∀α ∈ I entonces F es el
cuerpo de descomposición de polinomios separables ⇒ F ⊃ K es separable (y
normal) ⇒ es de Galois.
iv) Si [ E : K ] es finito ⇒ I es finito ⇒ S es finito ⇒ [ F : K ] es finito porque si
S = { f1 ,..., f m } ⇒ [ F : K ] ≤ ( grf1 )!( grf 2 )!... ( grf m )! < ∞
Si K ⊂ E ⊂ F' y F' verifica i) y ii) , dado uα ∈ E ⊂ F' el IrrK ( uα ) se descompone
en F' ⇒ F' contiene un cuerpo de descomposición F0 de S ( F0 = K ( R ) con R el
ii)
conjunto de las raíces de los f ∈ S ) ⇒ F0 ⊃ K es normal ⇒ F0 = F' ≅ F (ya que
dos cuerpos de descomposición son isomorfos).
- 151 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 152 -
Definición 6.1 Dada una extensión E ⊃ K entonces al cuerpo de la proposición
anterior F llamaremos clausura normal de E ⊃ K .
Observación 6.1
f ∈ ¡ [ x ] de grado impar tiene una raíz real ( por Teorema de
Bolzano), y además para todo λ ∈£ ⇒ ∃u ∈£ tal que ( ±u ) = λ .
2
Lema 6.2 Si K es un cuerpo infinito, E ⊃ K una extensión separable de
dimensión [ E : K ] finita, entonces ∃u ∈ E tal que E = K ( u ) , es decir es simple.
Demostración Sea u ∈ E tal que K ⊂ K ( u ) ⊂ E y de manera que [ K ( u ) : K ] sea
máximo.
Si fuera K ( u ) ≠ E ⇒ ∃v ∈ E \ K ( u ) entonces por ser E ⊃ K algebraica y
separable por proposición anterior existe F tal que K ⊂ E ⊂ F y además F ⊃ K
es de Galois de dimensión finita ( [ F : K ] < ∞ ) ⇒ que hay una cantidad finita de
extensiones intermedias entre K y F ya que por ser la extensión de Galois se tiene
que GalK F = [ F : K ] < ∞ ⇒ que tenemos una cantidad finita de subgrupos y por la
correspondencia de Galois tenemos una cantidad finita de cuerpos intermedios,
entonces si consideramos:
K ⊂ K ( u + av ) con a ∈ K
son una cantidad finita de extensiones luego por ser K infinito para distintos valores
de a tienen que ser la misma extensión.
∃a, b ∈ K , a ≠ b tal que K ( u + av ) = K ( u + bv )
entonces se puede escribir:
−1
v = ( a − b ) ( u + av − ( u + bv ) ) ∈ K ( u + av )
y en consecuencia:
u = ( u + av ) − av ∈ K ( u + av )
luego:
K ( u ) Ø K ( u + av ) con u + av ∈ E
y [ K ( u ) : K ] no sería máximo, lo cual es absurdo ⇒ K ( u ) = E .
Observación 6.2 No existen extensiones de dimensión 2 sobre £ .
Demostración Sea una extensión F ⊃ £ con [ F : £ ] = 2 y consideremos u ∈ F \ £
2
G5555555H
£ ⊂ £ ( u ) ⊂ F ⇒ [ F : £ ( u )] = 1 ⇒ F = £ ( u )
E5555F
≠1
⇒ Irr£ ( u ) tiene grado 2, sea entonces Irr£ ( u ) = x 2 + px + q con p, q ∈ £ lo que
tiene raíces en los complejos ⇒ u ∈£ , lo que es absurdo.
- 152 -
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 153 -
Proposición 6.3 (Teorema fundamental del álgebra) El cuerpo de los complejos
es algebraicamente cerrado.
Demostración Alcanza con probar que £ no tiene extensiones de dimensión finita.
Supongamos que si las hubiera E ⊃ £ , entonces:
¡
⊂ £ ⊂ E , con ¡ ⊂ E alg. y sep.
E55F
2
ya que car ¡ = 0 ⇒ ∃F tal que ¡ ⊂ £ ⊂ E ⊂ F con F ⊃ ¡ de Galois y dimensión
finita.
Como [£ : ¡ ] = 2 ⇒ 2 | [ F : ¡ ] ⇒ 2 | Gal¡ F , sea H un 2-Sylow de Gal¡ F
entonces
[ Gal¡ F :H ] es impar ⇒ F H : ¡ es impar, entonces F H ⊃ ¡ de
dimensión finita y separable con ¡ infinito ⇒ por el lema que es una extensión
simple, o sea F H = ¡ ( u ) y ese u es tal que Irr¡ ( u ) tiene como grado F H : ¡
que es impar ⇒ que el grado del irreducible es uno ya que todo polinomio de grado
impar tiene una raíz real u ∈ ¡ ⇒ F H = ¡ ⇒ F H : ¡ = 1 entonces:
[ Gal¡ F : H ] = 1 ⇒ H = Gal¡ F = 2m
por ser un 2-Sylow
Si m > 1 ⇒ como F ⊃ ¡ es de Galois ⇒ F ⊃ £ es de Galois ⇒ Gal£ F = 2m−1 > 1
por corolario 3.16 Gal£ F tiene un subgrupo J de orden 2m− 2 ≥ 1 ⇒ [ Gal£ F : J ] = 2 ,
pero entonces F J : £ = 2 , contradiciendo la observación ⇒ m = 1
[ F :¡ ] = 2 ⇒ [ F : £ ] = 1 ⇒ £ = E ⇒ que es algebraicamente cerrado.
y luego
Corolario 6.4 Toda extensión algebraica propia de ¡ es isomorfa a £ .
Demostración Sea E Ù ¡ una extensión algebraica.
Sea u ∈ E \ ¡ sea v ∈£ raíz de Irr¡ ( u ) ⇒ ∃ un isomorfismo σ : ¡ ( u ) → ¡ ( v ) tal
que σ ( u ) = v y σ |¡ = Id. se tiene:
2
G5555555
H
¡ Ø ¡ ( v ) ⊂ £ ⇒ [£ : ¡ ( v )] = 1 ⇒ ¡ ( v ) = £
E5555F
≠1
entonces ¡ ⊂ £ ≅ ¡ ( u ) ⊂ E y E es algebraico sobre £ ⇒ ¡ ( u ) = E y £ ≅ E
Notación Si K es un cuerpo, f ∈ K [ x ] notaremos K f al cuerpo de
descomposición de f sobre K y G f al grupo de Galois GalK K f .
- 153 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 154 -
Observación 6.3 Si las raíces de f son todas distintas en K f ⇒ sus factores
irreducibles { g1 ,..., g l } son separables, como K f es el cuerpo de descomposición
de { g1 ,..., g l } ⇒ K f ⊃ K es una extensión de Galois.
Definición 6.2 Un subgrupo H de S n es transitivo si la acción de H sobre S n es
transitiva, es decir si dados ( i , j ) ∈ {1,..., n} ⇒ ∃σ ∈ H tal que σ ( i ) = j .
Proposición 6.5
i) G f es isomorfo a un subgrupo de S n si f tiene n raíces distintas en K f .
ii) Si f , irreducible es separable de grado n, entonces n | G f
y G f ⊂ S n es
transitivo.
Demostración
i) Si las raíces de f sobre K f son u1 ,..., un y σ ∈ G f ⇒ σ ( ui ) = u j para algún j, ∀i .
Sea la correspondencia σ → permutación σ que lleva i en j como arriba, es decir:
σ ( ui ) = uσ ( i )
Por ser σ inyectiva ⇒ que dicha correspondencia está bien definida.
Además esa correspondencia es un morfismo de grupos de G f → S n y es inyectivo
porque como K f = K ( u1 ,..., u n ) , si σ ( ui ) = ui y σ ∈ Gal K K f ⇒ σ = Id. ⇒ que el
núcleo es la identidad ⇒ inyectivo.
ii) G f ⊂ S n con n el grado de f
Sea u una raíz de f en K f entonces:
K ⊂ K ( u ) ⊂ K f por ser f irreducible ⇒ [ K ( u ) : K ] = n
E55555F
n
entonces n | K f : K y como f es separable y K f cuerpo de descomposición de f
sobre K ⇒ la extensión es de Galois K f : K = G f luego n | G f .
Sean ui , u j dos raíces de f en K f ⇒ ∃σ 0 : K ( ui ) → K ( u j ) isomorfismo con
σ 0 |K = Id. y tal que σ 0 ( ui ) = u j y sabemos que se extiende a:
σ :Kf → Kf
entonces σ es un automorfismo tal que σ |K = Id. ⇒ σ ∈ G f con σ ( ui ) = u j esto
quiere decir viendo a σ ∈ S n que σ ( i ) = j .
Corolario 6.7 Si f es irreducible de grado 2 entonces G f ≅ ¢ 2 ( ≅ S2 ) si f es
separable y G f = {Id.} en caso contrario.
- 154 -
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 155 -
Demostración S 2 ≅ ¢ 2 el único subgrupo transitivo y de orden un múltiplo de dos
es el mismo grupo.
Si no es separable f ( x ) = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 se tiene que 0 = f ' ( x ) = 2ax + b
por lo que carK = 2 y b = 0 entonces f ( x ) = ax 2 + c tiene una raíz doble d ∈ K f
tal que d 2 = − c a
(
ya que a ( x − d ) = a x 2 − 2 dx + d 2
2
σ ( d ) = d y σ |K = Id. ⇒ G f = {Id.}
=0
)
entonces si σ ∈ G f
Definición 6.3 Si carK ≠ 2, f ∈ K [ x ] de grado n con n raíces distintas en K f
definimos:
∆ = ∏ ( ui − u j ) ∈ K f , u1 ,..., un raíces de f en K f
i< j
Llamaremos discriminante de f a D = ∆ 2 ∈ K f
Ejemplo 6.1 f ( x ) = ax 2 + bx + c entonces:
D = ∆ 2 = ( u1 − u 2 ) = ( u1 + u2 ) − 4u1u2 =
2
D=
2
b 2 4c
−
a2 a
b 2 − 4ac
a2
Proposición 6.8 Sean K y f como en la definición anterior entonces:
i) Si σ ∈ G f ⊂ S n σ ( ∆ ) = sgσ ⋅ ∆
ii) D ∈ K
Demostración
i)
σ ∏ ( ui − u j ) = ∏ ( uσ ( i ) − uσ ( j ) ) = sgσ ⋅ ∏ ( ui − u j ) = sgσ ⋅ ∆
i< j
i< j
i< j
ii)
2
2
σ ∈ G f ⇒ σ ( D ) = σ ( ∆ 2 ) = (σ ( ∆ ) ) = ( ±∆ ) = D
luego D ∈ K f
Gf
= K por ser la extensión de Galois, (corolario 5.18).
Corolario 6.9 Sean K y f como en la proposición anterior, la extensión intermedia
que corresponde a G f I An en la correspondencia de Galois es K ( ∆ ) . En
particular si G f ⊂ An , entonces V∈ K .
Demostración
- 155 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
Consideremos la correspondencia de Galois para
subgrupos:
G IA
' ( G f I An ) = K f f n =
= {u ∈
K
f
: σ ( u ) = u ∀σ ∈ G f I An }
σ ∈ G f ⇒ σ : K f ^ → Z K f
K
σ ∈ G f I An ⇒
⇒
σ ∈ An ⇒ σ (V) =V
que K y V quedan fijos, luego K (V) queda
fijo y K f
G f I An
⊃ K (V) . Si ahora consideramos
- 156 Gf
K
K ( V)
G f I An
' ( G f I An )
Gal K ( V ) K f
Id
Kf
la correspondencia de Galois para subcuerpos K (V) ' = Gal K (V) K f se tiene que:
σ :Kf
K f ⇒ σ ∈ Gal K K f = G f
K ( V)
↑
⇒ σ ∈ G f I An ⇒ GalK (V) K f ⊂ G f I An
K
y como V∈ K (V) ⇒ σ (V) =V⇒ σ ∈ An
Pero como las correspondencias dan vuelta las inclusiones se tiene que: (ver figura)
GalK (V) K f = G f I An
^
→
Z
Por otro lado como:
An < S n ⇒ G f I An < G f ⇒ K (V ) ⊃ K es de Galois y entonces K (V) es cerrado
y se tiene:
Gal
K
G IA
K f f n = K f K ( V) f = K ( V )
En el caso particular que G f ⊂ An se tiene que G f I An = G f y por lo ya demostrado
K (V) = K f
G f I An
= Kf
Gf
= K y entonces K (V) = K ⇒V∈ K .
Proposición 6.10 Si carK ≠ 2 y f separable de grado 3, entonces:
S
Gf = 3
A3
Para ver cual es:
G f = A3 ⇔ D = d 2 para algún d ∈ K
Demostración G f es transitivo y el orden es múltiplo de 3, como además G f < S3
3 ⇒ G f = A3 porque es normal y es un 3-Sylow ⇒ transitiva
y S3 = 6 ⇒ G f =
6 ⇒ G f = S3
Para probar la otra afirmación:
⇐ ) Si D = d 2 para algún d ∈ K como d , ∆ son raíces en K f del polinomio
x 2 − D ⇒ d = ±∆ ⇒ ∆ ∈ K ⇒ G f ⊂ A3 ⇒ G f = A3
- 156 -
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 157 -
⇒ ) Si G f = A3 ⇒ G f ⊂ A3 ⇒ ∆ ∈ K ⇒ este ∆ es el d de la tesis por ser ∆ 2 = D .
Observación 6.4 Si las raíces de f son u1 , u2 , u3 G f tiene los subgrupos A3 , (1, 2 ) ,
( 2,3) , (1,3) , las correspondientes extensiones son K ( ∆ ) , K ( u3 ), K (u1 ) , K (u 2 ) .
Proposición 6.11 Sea carK ≠ 2,3 , f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d con b, c, d ∈ K tal que
tiene tres raíces diferentes en K f .
Sea g ( x ) = f ( x − b3 ) ∈ K [ x ] entonces g ( x ) = x 3 + px + q con discriminante D ( f )
D ( f ) = −4 p 3 − 27 q 2
Demostración Si las raíces de f son u1 , u 2 , u3 las de g son de la forma ui + b3 para
i = 1, 2,3 ⇒ D ( f ) = D ( g ) .
g ( x ) = ( x − b3 ) + b ( x − b3 ) + c ( x − b3 ) + d
3
2
= x 3 −bx 2 + b3 x − b27 + bx 2 − 2 b3 x + b3 + cx − cb3 + d
2
3
2
3
= x 3 + ( c − b3 ) x + d + 827b − cb3
14444244443
1442443
2
3
q
p
D ( f ) = ( u1 − u2 ) ( u2 − u3 ) ( u1 − u3 )
haciendo cuentas y usando relación entre
coeficientes y raíces se llega a que D ( f ) = −4 p 3 − 27 q 2
2
2
2
Ejemplo 6.2 f ( x ) = x3 − 3 x + 1 ∈ ¤ [ x ] es separable por ser car¤ = 0 . Además es
irreducible porque si tiene una raíz racional c d ⇒ c |1 y d |1 ⇒ ±1 sería raíz y no lo
es.
3
2
D ( f ) = −4 ( −3 ) − 27 (1) = 3 ( 27 ) = 81 = 9 2 ⇒ G f ≅ A3 .
Ejemplo 6.3 f ( x ) = x3 + 3 x 2 − x − 1 ∈ ¤ [ x ]
Entonces:
3
2
g ( x ) = ( x − 1) + 3 ( x − 1) − ( x − 1) − 1
= x 3 − 3 x2 + 3 x − 1 + 3 x 2 − 6 x + 3 − x + 1 − 1
= x3 − 4 x + 2
Aplicando Eisenstein se tiene que 2 divide a todos los coeficientes menos el primero
y su cuadrado no divide al termino independiente, por lo que es irreducible.
3
2
D ( f ) = −4 ( −4 ) − 27 ( 2 ) = 4 ( 64 ) − 4 ( 27 ) = 4 ( 37 ) que no es un cuadrado perfecto,
luego G f ≅ S3 .
- 157 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 158 -
Grupo de Klein
Llamamos grupo de Klein al siguiente grupo:
N = {e, (12 )( 34 ) , (13)( 24 ) , (14 )( 23)} ≅ ¢ 2 × ¢ 2 < S4
se tiene que N < S 4 ya que ∀σ ∈ S4 σ (12 )( 34 ) σ −1 = (σ (1)σ ( 2 ) ) (σ ( 3) σ ( 4 ) ) , es
un producto de trasposiciones disjuntas de S 4 y como la cantidad de elementos de
esta clase son tantos como:
C24 6
= =3
2 2
que son las tres que aparecen en el grupo de Klein, entonces σ (12 )( 34 )σ −1 ∈ N .
Además podemos ver que N < A4 < S4 con N < S4 ⇒ N < A4 .
Proposición 6.12 Sea f de cuarto grado con raíces u1 , u2 , u3 , u4 distintas en K f .
Sean α = u1u2 + u3u4 , β = u1u3 + u2u4 , γ = u1u4 + u2u3 entonces K (α , β , γ ) es la
extensión intermedia que corresponde a G f I N en la correspondencia de Galois.
Es decir GalK (α ,β ,γ ) K f = G f I N . Además:
GalK K (α , β , γ ) ≅
Gf
Gf I N
Demostración Para ver esto último observar que por
ser N < S 4 ⇒ G f I N < G f ⇒ que la extensión
K (α , β , γ ) ⊃ K es de Galois y por la proposición
5.12 (Teorema de Galois) se tiene dicho isomorfismo.
G IN
Consideremos K f f
está claro que los elementos
de N dejan fijo a los α , β , γ por como están definidos
los mismos.
Falta probar que si σ ∈ G f I N C no deja fijo a los
Kf
Id.
K (α , β , γ )
Gf I N
Galois
K
Gf
<
α , β , γ . Sea en S 4 σ = (12 ) entonces:
σ (β ) = γ ≠ β
lo mismo con cualquier otra trasposición.
Sea ahora σ = (123 ) entonces σ (α ) = u2u3 + u1u4 ≠ α lo mismo si se tratara de
cualquier otro 3-ciclo ( ijk )
Sea σ = (1234 ) entonces σ (α ) = u2u3 + u4u1 ≠ α y lo mismo para cualquier otro 4ciclo ( ijkl ) .Luego:
Kf
G f IN
= K (α , β , γ )
- 158 -
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 159 -
y por ser la extensión K (α , β , γ ) ⊃ K de Galois, K (α , β , γ ) es cerrado y como la
correspondencia de Galois lleva cuerpos cerrados en grupos cerrados, entonces:
GalK (α ,β ,γ ) K f = G f I N
Definición 6.4 Sea f de cuarto grado con raíces distintas en K f y sean α , β y γ
como en la proposición anterior, llamamos resolverte cúbica de f que notamos por
R f a:
R f = ( x − α )( x − β )( x − γ ) ∈ K (α , β ,γ ) [ x ]
Lema 6.13 Si f ( x ) = x 4 + bx3 + cx 2 + dx + e ∈ K [ x ] entonces:
R f = x3 − cx 2 + ( bd − 4e ) x − b 2e + 4ce − d 2
(en particular entonces está en K [ x ] )
Demostración Cuentas y relaciones entre raíces y coeficientes.
Polinomio de cuarto grado
4
8
4
|
G
Si f es además irreducible ⇒
f y G f < S 4 entonces: G f =
12
24 ⇒ G f = S 4
• Analicemos el caso G f = 12 ⇒ G f = A4 vamos a probar que el único subgrupo de
S 4 de orden 12 es A4 . Supongamos que H < S 4 , H = 12 ⇒ [ S4 : H ] = 2 ⇒ H < S 4
consideremos la proyección canónica:
S
π : S4 → 4
H
σ ÎσH
3
y tomemos un 3-ciclo σ ∈ S 4 entonces como π (σ 3 ) = (π (σ ) ) = Id. es decir si
π (σ ) ≠ Id. sería de orden 3, pero S3 H = 2 ⇒ π (σ ) = Id. ⇒ σ ∈ H y como los 3ciclos generan a A4 ⇒ A4 ⊂ H ⇒ A4 = H .
• Sea G f = 8 ⇒ G f es un 2-Sylow.
El diedral D4 = ( 24 ) ; (1234 ) es un grupo de orden 8 que no es normal en S 4 .
El número de 2-Sylow en S 4 tiene que dividir a 3 y como no es normal no puede ser
1 lo que significa que son tres 2-Sylow.
- 159 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 160 -
Entonces hay tres 2-Sylow, y los tres son ≅ D4 entonces G f = 8 ⇒ G f ≅ D4 que es
transitivo ya que (1234 ) lleva el 1 → k .
k
• G f = 4 si es generado por un 4-ciclo que es transitivo ⇒ G f ≅ ¢ 4 .
En caso contrario sea V = {e, (12 ) , ( 34 ) , (12 )( 34 )} no es transitivo y lo mismo si hay
dos trasposiciones disjuntas.
Como (12 ) ⋅ (13) = (132 ) que es un 3-ciclos que no puede haber por ser el grupo de
orden 4.
Si consideramos que {(12 ) , (12 )( 34 )} ⊂ V ⇒ ( 34 ) ∈ V y este caso ya fue analizado.
Sea {(12 ) , (13 )( 24 )} ⊂ V y como (12 ) ⋅ (13)( 24 ) = (1324 ) que tiene orden 4 y
generaría a G f , pero no estamos en este caso, luego:
N
Gf ≅
¢ 4
Observación 6.5 K (α , β , γ ) es el cuerpo de descomposición de R f es decir:
K (α , β , γ ) = K R f
Proposición 6.14 Sea f irreducible, y m = [ K (α , β , γ ) : K ] entonces (por problema
del practico) m | gr ( R f )! ⇒ m | 3! = 6 se tiene:
m = 6 ⇔ G f = S4
m = 3 ⇔ G f = A4
m = 1 ⇔ Gf = N
≅ ¢ 4
m = 2 ⇔ Gf =
≅ D4 ⇔ f es irreducible sobre K (α , β , γ )
Demostración Está claro que solo alcanza con hacer todas las implicancias en un
solo sentido, elegimos ⇐ , entonces:
• Sea G f = S 4 , por ser K (α , β , γ ) ⊃ K de Galois y K ⊂ K (α , β , γ ) ⊂ K f entonces:
E55555555F
m
m = GalK K (α , β , γ ) =
Gf
Gf I N
=
S
S4
24
= 4 =
=6
S4 I N
N
4
• G f = A4 en este caso:
m=
A4
12
=
=3
A4 I N
4
- 160 -
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 161 -
• Gf = N
N
=1
N
entonces G f está generado por un 4-ciclo es decir por ejemplo:
m=
• Gf ≅ ¢4
G f = (1234 ) , (13 )( 24 ) , (1432 ) , e{
1442443 144424443 1442443 ∈N
σ
σ 2∈N
σ3
y tenemos
¢4
4
= =2
¢4 I N 2
lo mismo si G f estuviera generado por otro 4-ciclo.
m=
• G f ≅ D4 un de las formas de escribir D4 es:
D4 = ( 24 ) , (1234 )
{ 1442443
entonces D4 = {e, σ ,τ ,τ , τ , στ , στ , στ
2
3
2
σ
3
τ
} observamos que σ ,τ ∉ N
y si hacemos:
στ = ( 24 )(1234 ) = (14 )( 23 ) ∈ N
pero στ ⋅ τ = στ 2 ∉ N porque uno pertenece y el otro no,
2
τ 2 = (1234 ) = (13 )( 24 ) ∈ N
στ ⋅ τ 2 = στ 3 = (14 )( 23) ⋅ (13)( 24 ) = (12 )( 34 ) ∈ N
son cuatro los elementos de la intersección, entonces:
8
m= =2
4
K ⊂ K (α , β , γ ) ⊂ K f , por otro lado GalK (α ,β ,γ ) K f = G f I N = D4 I N = N que es
E55555555F
2
transitivo, entonces dadas dos raíces ui , u j distintas de f sabemos que existe un
isomorfismo σ ∈ GalK (α ,β ,γ ) K f tal que σ ( ui ) = u j , es decir:
σ |K (α ,β ,γ )( ui ) : K (α , β ,γ )( ui )
^
→
K (α , β ,γ )
Z
K (α , β ,γ ) ( u j )
luego IrrK (α ,β ,γ ) ( ui ) = IrrK (α ,β ,γ ) ( u j ) ∀i , j = 1,..., 4 ⇒ IrrK (α ,β ,γ ) ( ui ) tiene grado ≥ 4 y
f se anula en u1 , u2 , u3 , u4 ⇒ IrrK (α ,β ,γ ) ( ui ) | f como f es mónico ⇒ f = IrrK (α ,β ,γ ) ( ui )
y por lo tanto f es irreducible sobre K (α , β , γ ) .
4
G555555555555
H
Por otro lado si G f ≅ ¢ 4 ⇒ K ⊂ K (α , β , γ ) ⊂ K f ⇒ K f : K (α , β , γ ) = 2
E55555555F
2
entonces si fuese f irreducible sobre K (α , β , γ ) se tendría que:
- 161 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 162 -
2
G5555555555555555555
H
K (α , β , γ ) ⊂ K (α , β ,γ )( ui ) ⊂ K f lo cual es absurdo.
E555555555555555F
4
Ejemplo 6.4 Sea f ( x ) = x 4 + 4 x 2 + 2 ∈ ¤ [ x ] irreducible por Eisenstein.
R f = x3 − 4 x 2 − 8 x + 32 = ( x − 4 ) ( x 2 − 8 )
( 2 ) ⇒ m = 2 y:
2 )( x + 2 − 2 ) entonces f no es irreducible en ¤ ( 2 )
entonces ¤ (α , β , γ ) = ¤ R f = ¤
(
por ser f ( x ) = x 2 + 2 +
2
∴Gf ≅ ¢ 4
Ejemplo 6.5 f ( x ) = x 4 − 10 x 2 + 4 ∈ ¤ [ x ] es irreducible ya que si tiene una raíz
racional c d tiene que ser c | 4 y d |1 ⇒ ±1, ±2, ±4 serán raíces y como f es par
alcanza con verificar si los positivos son raíces y se tiene que f (1) , f ( 2 ) , f ( 4 ) ≠ 0 ,
sea:
R f = x3 + 10 x2 − 16 x − 160 = ( x + 10 )( x + 4 )( x − 4 ) ∈ ¤ ( x )
luego m = 1 ⇒ G f = N .
Ejemplo 6.6 Sea f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 6 = ( x 2 − 3)( x 2 − 2 ) no es irreducible y para
hallar G f
de una forma diferente al ejemplo 5.9, como ¤ f = ¤
observamos que en ¤ ⊂ ¤
ya que
( 2 ) ⊂ ¤(
)
2
(
)
( 2 ) ya que si:
= 3 con b ≠ 0
2
a 2 4244
+ 2b432 + 2 ab
144
{ 2 = 3 ⇒ a = 0 ⇒ 2b = 3 ⇒ b = ±
=3
2, 3
2, 3 por ser x 2 − 2 irreducible sobre ¤
2 ∉ ¤ por otro lado x 2 − 3 es irreducible sobre ¤
(a + b 2 )
(
0
) ( )
(
)
( )
3
2
∉¤
(
)
entonces ⇒ ¤ 2, 3 : ¤ 2 = 2 y ¤ 2 : ¤ = 2 ⇒ ¤ 2, 3 : ¤ = 4
y como la extensión ¤ 2, 3 ⊃ ¤ es de Galois por ser cuerpo descomposición de
un conjunto de polinomios { x 2 − 2, x 2 − 3} separables. ⇒ G f = 4
Sea G f = {e,σ 1 , σ 2 ,σ 3} = {e,σ ,τ ,στ } con σ 2 = τ 2 y στ = τσ y definidos:
σ
τ
στ
2
− 2
2
− 2
3
3
− 3
− 3
- 162 -
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 163 -
y por lo tanto G ≅ ¢ 2 × ¢ 2 .
f
Ejemplo 6.7 f ( x ) = x 4 − 2 ∈ ¤ [ x ] es irreducible sobre ¤ entonces:
(
R f = x3 + 8 x = x ( x 2 + 8 )
)
(
)
y ¤ (α , β , γ ) = ¤ i 2 ⇒ ¤ i 2 : ¤ = 2 ⇒ m = 2 y entonces:
¢ 4
Gf ≅
D4
Sea u = 4 2 entonces las raíces de x 4 − 2 son u , −u , ui, −ui ⇒ x 4 − 2 es irreducible
(
)
sobre ¤ i 2 ya que:
4
(
)
2 ∈ ¤ i 2 ⇒ 4 2 = a + bi 2 con a, b ∈ ¤ y b ≠ 0
entonces elevando al cuadrado:
2 = a 2 − 2b2 + 2 ab 2i ⇒ a = 0 ⇒ −2b 2 = 2 ⇒ b ∉ ¤
análogamente si
4
(
)
2i ∈ ¤ i 2 ⇒ 4 2i = a + b 2i con a, b ∈ ¤ b ≠ 0 elevando al
cuadrado:
− 2 = a 2 − 2b2 + 2 ab 2i ⇒ a = 0 ⇒ 2b 2 = 2 ⇒ b ∉ ¤
lo mismo con las demás raíces.
Luego G f ≅ D4 . Ver ejemplo 5.11 donde se muestran todos los subgrupos y los
correspondientes cuerpos intermedios.
Proposición 6.15 Sea p primo y f ∈ ¤ [ x ] de grado p, irreducible sobre ¤ y tal
que tiene p − 2 raíces reales y dos raíces complejas, entonces G f ≅ S p
Demostración Como f tiene dos raíces complejas estas tienen que ser conjugadas y
por lo tanto existe un isomorfismo τ : £ → £ tal que τ ( z ) = z ⇒ τ ∈ G f y es
(viendo a G f < S p ) es una transposición ( ab ) ∈ S p por otro lado como f es
irreducible p | G f ⇒ por ser p primo aplicando Cauchy ⇒ existe un elemento de
orden p ⇒ existe un p ciclo ( ai1....b....i p −1 ) ∈ G f entonces σ k = ( ab.....) para algún
k ⇒ ( ab....) ∈ G f
Podemos suponer reordenando las raíces de f si fuera necesario que:
(12 ) , (12.... p ) ∈ G f
Y como {(1k ) : k = 2,..., p} genera a S p , y:
k
−k
(12... p ) (12 )(12... p ) = ( k + 1, k + 2 ) ∈ G f ∀k = 0,..., p − 2
de esta forma tenemos todas las transposiciones de la forma:
- 163 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 164 -
(12 ) , ( 23 ) , ( 34 ) ,..., ( p − 1, p )
y podemos construir (13) = ( 23)(12 )( 23) y por inducción
(1, k + 1) = ( k , k + 1)(1, k )( k , k + 1) ∈ G f con k = 2,..., p − 1
∴G f ≅ S p
Ejemplo 6.8
es
f ( x ) = x5 − 4 x + 2 ∈ ¤ [ x]
irreducible
por
Eisenstein
y
haciendo un bosquejo de f ( x ) , por
ser f ′ ( x ) = 5 x 4 − 1
4 y
2
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
Entonces por tener 3 raíces reales y
dos complejas es aplicable la
proposición y G f ≅ S5
-4
Ejemplo 6.9 Sea f r ( x ) = ( x 2 + 4 ) x ( x 2 − 4 )( x 2 − 16 ) ... ( x 2 − 4 r 2 ) tal que 2r + 3 es
primo.
Tenemos que el grado de f r es p = 2r + 3 con p primo y con 2r + 1 raíz reales y
dos raíces complejas, entonces es aplicable la proposición ⇒ G f ≅ S p
Definición 6.5 Sea K un cuerpo, K ( x1 ,..., xn ) el cuerpo de fracciones del anillo
K [ x1 ,..., xn ] , siendo:
K ⊂ K ( x1 ,..., xn )
una extensión donde los xi son trascendente sobre K y algebraicamente
independientes.
Sea σ ∈ S n , existe un único homomorfismo de anillos que seguimos llamando σ :
σ : K [ x1 ,..., xn ] → K ( x1 ,..., xn )
tal que σ ( k ) = k ∀k ∈ K y σ ( xi ) = xσ (i ) , y se extiende a σ ∈ Aut ( K ( x1 ,..., xn ) )
por medio de:
f σ(f)
σ =
con g ≠ 0
g σ (g)
La aplicación de S n → Aut ( K ( x1 ,..., xn ) ) es un homomorfismo inyectivo, luego:
S n ≅ G ≤ Aut ( K ( x1 ,..., xn ) )
Sea
S K ( x1 ,..., xn ) = K ( x1 ,..., xn )
- 164 -
G
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 165 -
el cuerpo fijo de G, que llamamos funciones racionales simétricas sobre K en las
variables x1 ,..., xn .
Observación 6.6 Por el teorema de Artin la extensión
S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn )
es de Galois y con grupo de Galois isomorfo a S n y como S n es finito entonces la
dimensión es n! .
Proposición 6.16 Sea G un grupo finito, entonces existe una extensión de Galois
con grupo de Galois isomorfo a G.
Demostración G es isomorfo a un subgrupo G% de S n donde n = G .
Por el Teorema de Cayley G actúa por biyecciones en G con la multiplicación a
izquierda:
G×G → G
x ⋅ y Î xy
se induce un morfismo de G → Biy ( G ) ≅ S n que es inyectivo.
Sea K un cuerpo
S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn )
es de Galois con grupo de Galois S n y dimensión finita.
G%
Sea E = K ( x1 ,..., xn ) entonces:
G% = Gal E K ( x1 ,..., xn ) ≅ G
y la extensión E ⊂ K ( x1 ,..., xn ) es de Galois.
S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ E ⊂ K ( x1 ,..., xn )
Definición 6.6 Sea K un cuerpo llamaremos funciones simétricas elementales
f1 ,..., f n ∈ S K ( x1 ,..., xn ) a las siguientes:
f1 ( x1 ,..., xn ) = x1 + x2 + ... + xn = ∑ xi
f 2 ( x1 ,..., xn ) =
M
f k ( x1 ,..., xn ) =
∑
1≤ i < j ≤ n
1≤ i ≤ n
xi x j
M
∑
1≤ i1 <... <ik ≤n
xi1 ...xik
Probaremos que K ( f1 ,..., f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) para ello veremos el siguiente lema:
- 165 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 166 -
Lema 6.17 Sean f1 ,..., f n las funciones elementales en S K ( x1 ,..., xn ) y para
1 ≤ k ≤ n − 1 sean h1 ,..., hk funciones elementales en la variables x1 ,..., xk , dichas
funciones h1 ,..., hk ⊂ K ( x1 ,..., xn ) ; entonces las h j son polinomios en las variables
f1 ,..., f n , xk +1 ,..., xn con coeficientes en K.
Demostración Si k = n − 1
f1 = x1 + ... + xn
y entonces h1 = f1 − xn , análogamente:
h2 =
h1 = x1 + ... + xn−1
∑ xx
i, j≠n
i< j
i
j
= f 2 − h1 xn
y así sucesivamente:
hk = f k − hk −1 xn
Aplicando una inducción para atrás.
Si vale para k + 1 llamemos a dichas funciones g1 ,..., g k +1 entonces como antes:
h j = g j − h j −1 xk +1
Como por hipótesis de inducción los g j son polinomios en f1 ,..., f n , xk + 2 ,..., xn ,
entonces las h j son polinomios en f1 ,..., f n , xk +1 ,..., xn .
Proposición 6.18 Sea K un cuerpo, entonces:
S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n )
Demostración Sea F = K ( f1 ,..., f n ) sabemos que:
K ( f1 ,..., f n ) ⊂ S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn )
144444444444424444444444443
grado n !
vamos a probar que [ K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., f n )] ≤ n ! entonces como:
[ K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., f n )] ≤ 1
[ K ( x1 ,..., xn ) : S K ( x1 ,..., xn )]
se tiene que [ S K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., f n )] = 1 ⇒ S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n )
[ S K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., fn )] =
Consideremos F ⊂ F ( xn ) ⊂ F ( xn , xn −1 ) ⊂ ... ⊂ F ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn ) entonces
tenemos que [ F ( xn ) : F ] ≤ n ya que:
g n ( y ) = ( y − x1 )( y − x2 ) ... ( y − xn )
y haciendo cuentas
n
g n ( y ) = y n − ( x1 + ... + xn ) y n −1 + ... + ( −1) ( x1 x2 ...xn ) ∈ F [ y ] , g n ( xn ) = 0
y es el irreducible de xn en F .
Para la extensión F ( xn ,..., xk +1 ) ⊂ F ( xn ,..., xk +1, xk ) probaremos que:
- 166 -
Notas de Álgebra II
Grupo de Galois de Polinomios
- 167 -
[ F ( xn ,..., xk ) : F ( xn ,..., xk +1 )] ≤ k
para ello tomamos el polinomio irreducible:
g k ( y ) = ( y − x1 ) ... ( y − xk )
donde los coeficientes son las funciones elementales en las variables x1 ,..., xk , que
por el Lema anterior ∈ F ( xk +1 ,..., xn ) ⇒ g k ∈ F ( xk +1 ,..., xn ) [ y ] y g k ( xk ) = 0 .
Luego [ F ( x1 ,..., xn ) : F ] ≤ n! ⇒ F = S K ( x1 ,..., xn ) .
Corolario 6.19 Sea Pn ( x ) = xn − f1 xn −1 + ... + ( −1) f n ∈ K ( f1 ,..., f n ) [ x ] llamado
polinomio general de grado n, como Pn ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 ) ....( x − xn )
Entonces el grupo de Galois de Pn sobre K ( f1 ,..., f n ) es:
GPn = GalK ( f1 ,..., fn ) K ( x1 ,..., xn ) ≅ S n
n
Demostración Claramente el cuerpo de descomposición de Pn es:
K ( f1 ,..., f n )( x1 ,..., xn ) = K ( x1 ,..., xn )
y como K ( f1 ,..., f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) = K ( x1 ,..., xn ) n ⇒ GPn ≅ S n .
S
Lema 6.20 Sea el conjunto B = { x1i1 x2i2 ...xnin : 0 ≤ ik < k , ∀k = 1,..., n} es una base de
K ( x1 ,..., xn ) sobre S K ( x1 ,..., xn ) .
Demostración Primero que nada # B = n! ya que tenemos k valores posibles para ik
luego # B = 1 × 2 × 3 × ... × k × ...× n = n !
Por la observación 6.6 se cumple:
(1)
[ K ( x1 ,..., xn ) : S K ( x1 ,..., xn )] = n !
y por lo visto en la proposición 6.18 se cumple que:
(2)
[ K ( f1 ,..., fn , xn ,..., xk ) : K ( f1 ,..., fn , xn ,..., xk +1 )] ≤ k
Para que se cumpla (1) ⇒ que en (2) se tienen que cumplir todas las igualdades.
Entonces como K ( f1 ,..., f n , xn ) ⊃ K ( f1 ,..., f n ) es una extensión simple, el conjunto
{x
in
n
: 0 ≤ in < n} es una base de K ( f1 ,..., f n , xn ) sobre K ( f1 ,... f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) .
De igual manera el conjunto { xkik : 0 ≤ ik < k } es una base de K ( f1 ,..., f n , xn ,..., xk )
sobre K ( f1 ,..., f n , xn ,..., xk +1 ) , generalizamos por inducción y multiplicando las
bases se tiene { x1i1 x2i2 ...xnin : 0 ≤ ik < k ,∀k = 1,..., n} es una base de K ( x1 ,..., xn ) sobre
K ( f1 ,..., f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) .
- 167 -
Notas de Álgebra II
Capítulo 6
- 168 -
Proposición 6.21 Sea K un cuerpo y f1 ,..., f n las funciones simétricas elementales
en K ( x1 ,..., xn ) , entonces:
i) Todo polinomio P ∈ K [ x1 ,..., xn ] , se puede escribir de manera única como
combinación lineal de los n! elementos de B del lema anterior con coeficientes en
K [ f1 ,..., f n ] .
ii) Todo polinomio P ∈ K [ x1 ,..., xn ] simétrico, entonces P ∈ K [ f1 ,..., f n ] .
Demostración
k
Sea g k ( y ) = ( y − x1 )( y − x2 ) ....( y − xk ) = y k − h1 y k −1 + ... + ( −1) hk siendo h j los
mismos que consideramos en la proposición 6.17, que de acuerdo a la misma son
polinomios en las variables f1 ,..., f n , xn ,..., xk +1 , y como g k ( xk ) = 0 se puede
despejar xkk :
xkk = h1 xkk −1 + .... − ( −1) hk
k
y así resulta que xkk se expresa como un polinomio sobre K en las variables
f1 ,..., f n , xn ,..., xk +1 y en xkik con 0 ≤ ik < k . Si procedemos paso a paso empezando
por k = 1 y sustituimos las xkk en el polinomio P ∈ K [ x1 ,..., xn ] se obtiene un
polinomio en f1 ,..., f n , x1 ,..., xn donde los exponentes de xk son menores que k, es
decir que P es combinación lineal de los n! elementos de B con coeficientes en
K [ f1 ,..., f n ] . La unicidad se desprende del hecho de que los elementos de B son una
base sobre S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n ) ⇒ los elementos de B son linealmente
independientes sobre K ( f1 ,..., f n ) .Esto prueba i) y también implica que si un
polinomio P ∈ K ( x1 ,..., xn ) es una combinación lineal de los elementos de B con
coeficientes en K ( f1 ,..., f n ) entonces los coeficientes son de hecho polinomios en
K [ f1 ,..., f n ]. En particular si P es un polinomio simétrico (esto es que
P ∈ S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n ) ) y escribiendo P = Px10 x20 ....xn0 se tiene que en
realidad por lo antes dicho que P ∈ K [ f1 ,..., f n ].
- 168 -
Apéndice A
Construcciones con regla y compás
Supongamos que disponemos solo de una regla, sin marcas y un compás donde
podemos hacer uso de la regla solo para construir una recta de la que conocemos dos
puntos y el compás para construir una circunferencia de la que conocemos el centro
y un punto de la misma.
Definición A.1 Sea P un subconjunto de ¡ 2 conteniendo por lo menos dos puntos
distintos.
Diremos que una recta r ∈ ¡ 2 es una recta de P si r contiene dos puntos distintos
en P, y diremos que una circunferencia C ∈ ¡ 2 es una circunferencia de P si C
tiene su centro, y un punto en P.
Definición A.2 Llamaremos operaciones elementales en P a las siguientes
operaciones:
I) Intersección de dos rectas en P.
II) Intersección de una recta de P y una circunferencia de P.
III) Intersección de dos circunferencias de P.
Definición A.3 Un punto P ∈ ¡ 2 se dice constructible a partir de P si podemos
determinar P a través de una de esas operaciones elementales en P.
Denotamos por P al subconjunto de puntos de ¡ 2 que son construtible a partir de
P.
Sea P0 = {O,A} siendo O ( 0,0 ) ; A (1,0 ) ⇒ P0 = {O,A,B,C,D,E} con B ( −1, 0 ) ,
1 3 1
3
C ( 2, 0 ) y D ,
; E ,−
y llamaremos P1 = P0
2
2 2 2
P2 = P1 ,....,Pn+1 = Pn ∀n ∈ ¥
- 169 -
y así sucesivamente
Notas de Álgebra II
Apéndice A
- 170 -
∞
Cada Pn es finito ∀n ∈ ¥ y si definimos P∞ = UPn , P∞ es obvio que es infinito y
n =1
que P∞ = P∞ .
Definición A.4 Los puntos del plano perteneciente a P∞ son llamados puntos
constructibles y las rectas en P∞ esto es conteniendo dos puntos distintos
constructibles son llamadas rectas constructibles
Definición A.5 Un número real a se dice constructible si ( a, 0 ) ∈P∞ .
Proposición A.1 i) Si A y B son dos puntos distintos constructibles, entonces el
punto medio M del segmento que determinan es también constructible y la rectas
perpendiculares a AB por A, B y M son constructibles.
ii) Sean A y r punto y recta respectivamente constructibles tales que A ∈ r , si B y C
son
puntos
constructibles,
entonces
existe
un
punto
constructible X tal que X ∈ r y
los segmentos AX y BC tienen la
misma longitud.
Demostración i) Usando las
circunferencias centradas en cada
punto y que pasa por el otro,
como en la figura, construimos
los puntos C, D, E , F y por lo
tanto la recta CD es constructible.
M queda construido por la
- 170 -
Notas de Álgebra II
Construcciones con regla y compás
- 171 -
intersección de dos recta CD y AB constructibles. Para las perpendiculares por A y
B procedemos en forma análoga teniendo presente que A es punto medio de EB y B
es punto medio de AF.
ii) Si construimos primero el
punto de intersección de BC con
r (P) haciendo circunferencias de
centro en P que pasen por B y C,
construimos los punto B’ C’
pertenecientes a r tales que la
longitud del segmento BC es
igual a la del segmento B’C’.
Luego podemos suponer que los
puntos A, B y C pertenecen a r.
Sea M el punto medio de BC construido como en la parte a) y haciendo la
circunferencia de centro B que pase por A obtenemos un punto N tal que
AB = BN ( esto es que los
segmentos AB y BN tienen la
misma longitud).
Construimos la circunferencia de
centro M que pase por N y
construimos el punto X como
intersección de dicha circunferencia
con la recta r.
Tenemos así XM = MN , luego
este punto X es la solución porque:
BM = MC
y
⇒ BX = NC
XM = MN
entonces AX = AB + BX = BN + NC = BC .
Observación A.1 Dados un punto y una recta constructibles que no se pertenecen,
se puede construir la perpendicular por el punto a la recta, construyendo primero la
circunferencia de centro el punto y que pase por un punto de la recta, determinando
con la intersección de dicha circunferencia y la recta un segmento, al cual como en
la proposición anterior construimos el punto medio, el punto dado y éste punto nos
determinan la perpendicular deseada.
Proposición A.2 i) Sean A, B y C tres puntos constructibles no alineados. Entonces
existe un punto constructible D, tal que A, B, C, y D forman un paralelogramo. En
particular la recta paralela a AB pasando por C es constructible.
- 171 -
Notas de Álgebra II
Apéndice A
- 172 -
ii) Un punto A = ( a, b ) ∈ ¡ 2 es constructible si y solo sí sus coordenadas a, b ∈ ¡
son números constructibles.
Demostración Sean r y s las recta constructibles determinadas por los puntos AB y
AC. Aplicando ii) de la proposición anterior construimos el punto X ∈ r tal que
BX = AC y con el mismo procedimiento construimos un punto Y ∈ s tal que
CY = AB . Ahora al punto D lo construimos como intersección de las
circunferencias C1 de centro
B que pasa por X y la
circunferencia C2 de centro
C que pasa por Y.
ii) ⇒ Sea A = ( a, b ) un
punto constructible y sea M
el punto medio de OA. El
punto A x ( a ,0 ) se obtiene
con intersección de la
circunferencia de centro en
M y que pasa por A con la recta OP con
O = ( 0,0 ) y P = (1, 0 ) La
misma
circunferencia interceptada con la
perpendicular por O, es el punto A1 de
coordenadas ( 0,b )
ii)
⇐
Supongamos
a, b ∈ ¡
constructibles, esto es que los puntos
son
constructibles.
( a , 0 ) y ( b, 0 )
Construimos
el
punto
( 0,b )
interceptando la circunferencia de centro en O y que pasa por ( b, 0 ) con la recta
perpendicular a la recta determinada por los puntos dados, y luego como sabemos
construir perpendiculares se construye el punto ( a, b ) .
Proposición A.3 Sea C¡ = { x ∈ ¡ : x es constructible} es un subcuerpo de ¡ que
contiene a ¤ .
Demostración Sabemos que ¢ ⊂ C¡ . Tenemos que probar:
1) Si a, b ∈C¡ ⇒ a − b ∈C¡
2) Si a, b ∈C¡ ⇒ a ⋅ b ∈C¡
- 172 -
Notas de Álgebra II
Construcciones con regla y compás
- 173 -
3) Si 0 ≠ a ∈C¡ ⇒ a −1 ∈C¡
Vamos a asumir sin perdida de generalidad que b > a > 0 Consideremos
A = ( a, 0 ) , B = ( b,0 ) Por la proposición A.1 ii) podemos construir X sobre la recta
OU (siendo O = ( 0,0 ) y U = (1, 0 ) ), tal que OX = AB y así X = ( b − a, 0 ) .
Antes que nada observe que existen rectas constructibles que pasan por O distintas
de las rectas OU y OT siendo T = ( 0,1)
Sea r una de esas rectas constructibles como en la figura de más abajo.
Construimos
la
perpendicular a r por A y
por U e interceptamos con
r para obtener el punto A’
y U’ luego construimos la
paralela a UA’ por U’ y la
interceptamos con OU, y
así obtenemos X. Que por
semejanza se tiene:
OA
OA' OU
a=
=
=
OU
OU' OX
1
luego OX =
lo que
a
prueba 3)
Construimos ahora la perpendicular por B a la recta r determinando B’, construimos
la paralela por A a UB’ interceptando a r en A’’, luego construimos la perpendicular
a r por A’’ interceptando a OU en Y, El punto Y es tal que por semejanza:
OA
OA'' OY
OY
a=
=
=
=
⇒ OY = a ⋅ b
OU
OB'
OB
b
Lo que prueba 2).
Definición A.6 Sea P = ( u , v ) ∈Pn diremos que u , v son coordenadas de Pn y
denotamos por Cn el conjunto de todas las coordenadas de Pn . Sabemos por la
proposición A.3 que Cn ⊂ C¡ , ∀n ∈ ¥ .
Así por ejemplo C0 = {0,1} ; C1 = {0,1, −1, 12 ,
3
2
,−
3
2
, 2}
Sea K 0 = ¤, K1 = ¤ (C1 ) , K 2 = ¤ (C2 ) ,..., K n = ¤ (Cn ) ,....
Como C0 ⊂ C1 ⊂ ... ⊂ Cn ⊂ .... ⊂ C¡ y ¤ ⊂ C¡ tenemos:
¤ = K 0 ⊂ K1 ⊂ .... ⊂ K n ⊂ K n+1 ⊂ ... ⊂ C¡ .
- 173 -
Notas de Álgebra II
Apéndice A
- 174 -
Obsérvese también que si a ∈C¡ entonces ( a,0 ) ∈Pn para algún n esto es a ∈Cn
para algún n, y por lo tanto a ∈ K n .
Luego:
∞
K ∞ = U K n = C¡
n= 0
Esta interpretación de C¡ la usaremos en la siguiente proposición.
Proposición A.4 C¡ es una extensión algebraica de los racionales tal que ∀α ∈C¡
tenemos que [ ¤ (α ) : ¤ ] es una potencia de 2.
Demostración Basta probar que ∀α ∈C¡ se tiene [¤ (α ) : ¤ ] = 2 s para algún s ∈ ¥ .
∞
Como α ∈C¡ = U K n ⇒ ∃n ∈ ¥ tal que α ∈ K n = ¤ (Cn ) . Por la proposición 4.2
n =0
[¤ (α ) : ¤] divide a [ K n : ¤] entonces es suficiente demostrar que [ K n : ¤] = 2s
para
algún s ∈ ¥ .
Vamos a probar que [ K n : ¤] es una potencia de 2 por inducción completo sobre n
Si n = 0 tenemos que K 0 = ¤ La proposición es válida. Observe además que si n = 1
tenemos que K1 = ¤
( 3 ) y la proposición es también válida.
Supongamos ahora que [ K i : ¤] es una potencia de 2 ∀i tal que 0 ≤ i < n , vamos a
probar que [ K n : ¤] es también una potencia de 2.
Como K n −1 ⊂ K n y [ K n : ¤] = [ K n : K n −1 ] ⋅ [ K n −1 : ¤] luego es suficiente si probamos
que [ K n : K n−1 ] es potencia de 2 para probar la proposición.
Sea L = K n y L0 = K n−1. Sabemos que:
L = L0 (Cn ) , si Cn = {α1 ,...,α k } ⇒ L = L0 (α1 ,...,α k )
Si denotamos L0 ⊂ L1 = L0 (α1 ) ⊂ L2 = L1 (α 2 ) ⊂ ... ⊂ Li = Li −1 (α i ) ⊂ ... ⊂ Lk = L
entonces es suficiente si probamos que [ Li : Li −1 ] es potencia de 2.
Li = Li −1 (α i ) y α i ∈Cn ⇒ ∃β i ∈Cn tal que Ai = (α i , β i ) o Bi = ( β i ,α i ) ∈Pn ,
Sin perdida de generalidad supongamos que Ai = (α i , β i ) ∈Pn .
Como Pn = Pn −1 ⇒ A i = (α i , β i ) es obtenido por una de las tres operaciones
elementales en Pn−1 .Se puede demostrar sin grandes dificultades que α i tendrá que
satisfacer una ecuación de grado menor o igual a 2 (será de grado uno si la operación
elemental es la I) con coeficientes sobre el cuerpo K n−1 = ¤ (Cn−1 ) .
Ahora como K n −1 = L0 ⊂ Li −1 1 ≤ i ≤ k ⇒ α i es raíz de un polinomio de grado uno o
2 sobre el cuerpo Li −1 ⇒ [ Li : Li −1 ] = 1 o 2 como queríamos demostrar.
- 174 -
Notas de Álgebra II
Construcciones con regla y compás
- 175 -
Proposición A.5 i) No existe α ∈C¡ tal que el volumen del cubo de arista α sea el
doble del volumen del cubo de arista 1.
ii) No existe α ∈C¡ tal que el área del cuadrado de lado α sea igual al área del
círculo de radio 1.
iii) Es imposible trisecar un ángulo de 60° con regla y compás (regla sin marcas)
Demostración i) Claramente α 3 = 2, o sea Irr¤ (α ) = x 3 − 2 ⇒ [¤ (α ) : ¤ ] = 3
entonces por la proposición anterior α no es constructible.
ii) Como α 2 = π y como π es trascendente sobre ¤ ⇒ π ∉C¡ y por tanto α ∉C¡ .
2π
2π π
1
iii) Sea θ =
⇒ 3θ =
= y como cos3θ = y por otro lado:
18
6
3
2
1
cos3θ = 4cos3 θ − 3cosθ = ⇒ 8cos3 θ − 6cosθ − 1 = 0
2
2π
es raíz del polinomio p ( x ) = 8x 3 − 6 x − 1 y p es
y por lo tanto u = cos
18
irreducible sobre ¤ ⇒ [ ¤ ( u ) : ¤] = 3 ⇒ que u no es constructible, entonces θ no es
constructible porque de serlo tendría que ser u = cosθ constructible.
Proposición A.6 i) Todo polígono regular de n = 2r lados es constructible.
ii) Si un polígono regular de n lados es constructible entonces el polígono regular
de 2n lados, también es constructible.
iii) Si p es un número primo ≥ 3 ,si un polígono regular de p lados es constructible,
s
entonces existe s ∈ ¥ tal que p = 22 + 1. En particular el heptágono regular no es
constructible.
Demostración Los itens i) y ii) es consecuencia de los siguientes casos:
a) El cuadrado es un polígono constructible.
b) Es posible bisecar un ángulo con regla y compás
2π
2π
iii) Como cos
es constructible, entonces se sigue
,sen
p
p
2π
2π
[ ¤ (α , β ) : ¤] = 2m donde α = cos y β = sen .
p
p
m+1
2
Ahora como [ ¤ (α , β , i ) : ¤] = 2 (con i = −1 ) donde ¤ (α , β , i ) ⊂ £.
2π
2π
+ isen
= α + i β ∈ ¤ (α , β , i ) entonces:
p
p
¤ (ζ ) ⊂ ¤ (α , β , i ) y [ ¤ (ζ ) : ¤] = 2 r para algún r ∈ ¥
Ahora sea ζ = cos
- 175 -
que
Notas de Álgebra II
Apéndice A
- 176 -
Observar que ζ es la raíz p-esima de la unidad distinto de uno, entonces:
Sabemos que Irr¤ (ζ ) = x p −1 + x p −2 + ... + x + 1 y por tanto p − 1 = 2r ⇒ p = 2 r + 1
Vamos a probar que r = 2 s para algún s ∈ ¥ .
Supongamos que t es un factor impar de r mayor que 1 entonces r = t ⋅ v y:
p = 2r + 1 = ( 2v ) + 1 donde t es impar mayor que 1
t
entonces:
p = ( 2v + 1) ( 2v )
contradiciendo el caso de que p es primo.
t −1
− ( 2v )
t −2
+ ... ± 1
Proposición A.7 (Teorema de Gauss) Un polígono regular de n lados es
constructible si y solo sí n = 2 r ⋅ p1.... pk donde r ∈ ¥ y p1 ,..., pk son primos distintos
impares de la forma pi = 22 + 1, 1 ≤ i ≤ k , si ∈ ¥.
si
s
Los números Fs = 2 2 + 1 son llamados números de Fermat.
- 176 -
Índice alfabético
Acción 73
Acción fiel 76
Acción por conjugación 80
Acción por traslación 83
Acción transitiva 76
Acción trivial 75
Algebraicamente cerrado 119
Algebraico 108
Anillo conmutativo 103
Asociativa 1
Automorfismo 16
Base 70
Buena clase 115
Característica de un cuerpo 106
Ciclo de longitud r 49
Clase de conjugación de un
elemento 58
Clausura algebraica 122
Clausura Normal 152
Coclase a derecha 25
Coclase a izquierda 25
Conjunto cociente a derecha 26
Conjunto cociente a izquierda 27
Conjunto de representantes 28
Conjunto generador 12
Conmutan 2
Constructible 153
Coordenadas 173
Cuerpo 103
Cuerpo algebraicamente cerrado
120
Cuerpo cerrado 138
Cuerpo compuesto 105
Cuerpo de descomposición 119
Cuerpo estable 133
Cuerpo extendible 139
Cuerpo intermedio 105
Cuerpo primo 105
- 177 -
Discriminante de f 155
Divisores elementales 71
Ecuación de las clases 82
Elemento separable 144
Elementos conjugados 57
Endomorfismo 16
Epimorfismo 16
Escinde 119
Estabilizador 78
Extensión algebraica 108
Extensión de cuerpos 104
Extensión de Galois 132
Extensión finita 104
Extensión finitamente generada
106
Extensión infinita 104
Extensión normal 143
Extensión separable 144
Extensión simple 107
Extensión trascendente 108
Factores invariantes 71
Finitamente generado 70
Finitamente generado 12
Funciones racionales simétricas
sobre un cuerpo 164
Funciones simétricas elementales
165
G-actúa en X 73
G-conjunto 73
G-estable 76
Grado de una extensión 104
Grupo 4
Grupo abeliano 4
Grupo abeliano libre 70
Grupo alternado 56
Grupo cíclico 19
Grupo de Galois 127
Grupo de isotropía 78
Grupo de Klein 157
Grupo definido por los
generadores 66
Grupo libre 60
Grupo simétrico 47
Grupo simple 57
Inclusión 19
Indice 27
Inverso 4
Invertible 3
Isomorfismo 16
Ley de Composición 1
Modulo H 24
Monoide 2
Monoide conmutativo
Monomorfismo 15
Morfismo de cuerpo 104
Morfismo de Grupos 14
Neutro 1
Normalizador 82
Número constructible 170
Operación binaria 1
Operaciones elementales 169
Orbitas 78
Orden de un elemento 12
Orden de un grupo 5
Palabra reducida 61
Permutación impar 56
Permutación par 56
Permutaciones 47
Permutaciones disjuntas 50
p-grupo 91
Polinomio de cuarto grado 159
Polinomio irreducible 108
Polinomio separable 144
Primer teorema de isomorfismo 40
Primer teorema de Sylow 93
Producto directo de Grupos 18
Producto semidirecto 87
Proyección 19
p-subgrupo de Sylow 91
- 178 -
Punto fijo 80
Puntos constructibles 169
Rango 70
r-ciclo 49
Recta constructible 170
Representación de un grupo 66
Resolverte cúbica de f 158
Segundo teorema de isomorfismo
42
Segundo teorema de Sylow 95
Semigrupo 2
Subcuerpo 103
Subcuerpo generado 105
Subgrupo 9
Subgrupo cíclico generado por a
11
Subgrupo de Galois cerrado 133
Subgrupo de torsión 70
Subgrupo normal 35
Subgrupo normal generado 66
Subgrupo transitivo 154
Subgrupos de Sylow 90
Subgrupos propios 10
Subgrupos triviales 10
Submonoide 3
Teorema de Artin 143
Teorema de Cauchy 95
Teorema de Galois 140
Teorema de Gauss 176
Teorema de Lagrange 30
Teorema fundamental del álgebra
153
Tercer teorema de isomorfismo 43
Trascendente 107
Trasposición 49
