Download Derivada de funciones trigonométricas inversas

CAPÍTULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
8.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Como en este momento del curso el estudiante ya debe estar bastante familiarizado con el
uso de las fórmulas de derivación, en este capítulo se darán las fórmulas de derivación de las
funciones trigonométricas inversas acompañadas de unos cuantos ejemplos.
Algunas características de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas inversas, así como de su escritura, son:
a) Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento.
b) Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo negativo, es decir,
la fórmula del arco seno es igual a la del arco coseno, solamente que ésta última es
negativa; la fórmula de la arco tangente es igual a la de la arco cotangente, siendo
ésta última negativa. Y algo semejante sucede con la arco secante y la arco cosecante.
c) El símbolo de una función trigonométrica inversa, por ejemplo del seno inverso, debe ser arc sen, que se lee “arco seno” y significa “seno cuyo arco es”, es decir, “seno
cuyo ángulo es”, ya que el arco en una circunferencia es igual al ángulo central que
131
Funciones trigonométricas inversas
abarca. En matemáticas el símbolo universal para denotar un inverso es un exponente
a la menos uno, por ejemplo, A- 1 significa el inverso de A.
Sin embargo, en virtud de que las reglas de escritura matemática recomiendan, para
evitar confusiones, no emplear el mismo símbolo que pueda tener dos significados
diferentes, resulta incorrecto escribir sen - 1 u en vez de arc sen u, ya que la primera
simbología podría tener dos significados que confundirían al lector, una como el seno inverso, la otra como
sen − 1u =
1
1
=
= csc u
1
sen u
sen u
8.2 FÓRMULAS:
(17)
(18)
(19)
(20)
d
arc sen u =
dx
d
arc cos u = −
dx
du
dx
1 − u2
du
dx
1 − u2
du
d
arc tan u = 2dx
dx
u +1
du
d
arc cot u = − 2dx
dx
u +1
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Funciones trigonométricas inversas
(21)
(22)
d
arc sec u =
dx
u
(
)
El argumento es u = x3 - x, de manera que por la fórmula (17):
d
x3 − x )
(
dx
dy
=
dx
1 − ( x3 − x )
1 − ( x3 − x )
Ejemplo 2: Calcular la derivada de y = arc tan
El argumento es u =
2
3x 2 − 1
dy
=
dx
Solución:
du
dx
u2 − 1
d
arc csc u = −
dx
u
Ejemplo 1: Derivar y = arc sen x 3 − x
Solución:
du
dx
u2 − 1
2
x
x , por lo que conforme a la fórmula (19) se obtiene:
dy
=
dx
(
d
dx
x
x
)
2
+1
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Funciones trigonométricas inversas
1
dy
2 x
=
dx
x +1
dy
1
=
dx
2 x ( x + 1)
⎛ 1 ⎞
⎟
⎝ x ⎠
Ejemplo 3: Calcular la derivada de y = arc sec ⎜
Solución:
El argumento es u =
1
= x −1 , por lo que conforme a la fórmula (21) se obtiene:
x
dy
=
dx
d −1
x
dx
(x )
−1 2
x −1
−1
dy
− 1x −2
=
dx
x −1 x −2 − 1
dy
=
dx
1
x
−
1
x2
1
−1
x2
Aplicando la ley de la herradura en las dos fracciones que aparecen afuera del radical y sacando común denominador adentro del radical:
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Funciones trigonométricas inversas
dy
=
dx
dy
=
dx
dy
=
dx
−x
1 − x2
x2
x2
−1
⎛
x⎜
⎜
⎝
1 − x2 ⎞
⎟
⎟
x2
⎠
−1
1 − x2
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Funciones trigonométricas inversas
EJERCICIO 14
Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas:
4
5x
2)
y = arc cos ( 3 − 8 x )
y = arc tan ( 5 − x 7 )
4)
⎛ 2 ⎞
y = arc cot ⎜
⎟
⎝ 3x − 1 ⎠
5)
y = arc sec e 2 x
6)
y = arc csc ( 4 x − 1)
7)
y = arc sen
8)
y = arc cos
9)
y = arc tan ( 3 x 2 − 11x + 5 )
10)
y = arc cot ( 5 x 7 − x )
11)
y = arc sec ( 5 x 3 − x )
12)
y = arc csc ( − 6 − x )
14)
⎛ 2 ⎞
y = arc cos ⎜ ⎟
⎝ x ⎠
16)
⎛ 3x − 7 ⎞
y = arc cot ⎜
⎟
⎝ 5 ⎠
1)
y = arc sen
3)
13)
y = arc sen
5
3 x − 11
1
x
2
8
4
(1 − x )
3 7
7
15)
⎛ x6 ⎞
y = arc tan ⎜
⎟
⎝ 7 ⎠
17)
⎛ 7 x2 + 8 ⎞
y = arc sec ⎜
⎟
⎝ 13 ⎠
18)
⎛ 8 − 7x ⎞
y = arc csc ⎜
⎟
⎝ 9 ⎠
19)
y = arc sen 7 2 x
20)
y = arc cos 5 7 x
21)
y = arc tan 6 ( 2 x − 19 )
22)
y=
arc cot 6 x
23)
y=
24)
y=
arc csc 7 x8
arc sec 6 x
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