Download Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo

Hoja de Problemas nº2 – Algebra II
9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las
cifras.
Solución:
Sea x1 x2 x3 x4 el número buscado con x1 ≠ 0 ya que si no, no seria de cuatro cifras.
Tenemos que
x1 x2 x3 x4 = (x1 + x2 + x3 + x4 )3
y como
1000 ≤ x1 x2 x3 x4 < 10000 ⇒ 1000 ≤ (x1 + x2 + x3 + x4 )3 < 10000 ⇒
⇒ 10 ≤ (x1 + x2 + x3 + x4 ) ≤ 21
Como todo número se puede escribir de la forma
3n – 1, 3n o 3n + 1, entonces
el cubo de dicho número, es decir, x1 x2 x3 x4 se puede escribir de la forma 9K – 1,
9K,
9K + 1, y aplicando el criterio de divisibilidad del 9, se tiene que
x1 + x2 + x3 + x4
es de la forma
9K – 1, 9K o 9K + 1,
es decir, que
x1 + x2 + x3 +x4
tiene que ser el 10, el 17, el 18 o el 19. Entonces:
103 = 1000 ≠ 13 → Este número no es solución.
173 = 4913 = (4 + 9 + 1 + 3)3 = 173 ⇒ Es solución del problema.
183 = 5832 = (5 + 8+ 3 + 2)3 = 183 ⇒ Es solución del problema.
193 = 6859 ≠ (6 + 8 + 5 + 9)3 = 283 ⇒ Este número no es solución.
La solución del problema es:
n1 = 4913 n2 = 5832
10. Hallar en el sistema de base 9 un número formado por tres cifras significativas,
tal que transportado al sistema de base 13 se escriba con las tres mismas cifras.
Solución:
Sea N el número buscado, como tiene las tres mismas cifras significativas en
base 9 y en base 13 se tiene que
132 ≤ N < 93 ⇒ 169 ≤ N ≤ 728,
o lo que es lo
mismo
10013) ≤ N ≤ 44013).
Supongamos que
que
N = x1 x2 x3
entonces por lo dicho anteriormente se tiene
13)
1 ≤ x1 ≤ 4, 0 ≤ x2 ≤ 8 y 0 ≤ x3 ≤ 8.
Entonces:
a) Si N = x1 x2 x3 ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x1 + 9x2 + x3 ⇒
9)
⇒ 88x1 + 4x2 = 0 que no tiene solución.
1/8
b) Si N = x1 x3 x2 ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x1 + 9x3 + x2 ⇒
9)
⇒ 88x1 + 12x2 = 8x3 pero 8x3 ≤ 64 < 88x1 + 12x2 ⇒
⇒ No tiene solución.
c) 160x1 = 68x2 ⇒ 40x1 = 17x2 pero 40x1 con 1 ≤ x1 ≤ 4 no es múltiplo de 17 ⇒
⇒ No tiene solución.
d) Si N = x2 x3 x1 9 ) ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x2 + 9x3 + x1 ⇒
⇒ 42x1 = 17x2 + 2x3 donde x2 ha de ser par:
• para x1 = 1 ⇒ 42 = 17x2 + 2x3 con x2 = 2 y x3 = 4
• para x1 = 2 ⇒ 84 = 17x2 + 2x3 ⇒ x2 = 4 y x3 = 8
• para x1 = 3 ⇒ 126 = 17x2 + 2x3 que no tiene solución
• para x1 = 4 ⇒ 168 = 17x2 + 2x3 que no tiene solución.
e) Si N = x3 x1 x2 9 ) ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x3 + 9x1 + x2 ⇒
⇒ 160x1 + 12x2 = 80x3 ⇒ 40x1 + 3x2 = 20x3 ⇒ 3x2 = 20(x3 – 2x1 ) ⇒
⇒ x3 – 2x1 tiene que ser múltiplo de 3 ⇒
⇒ tenemos:
• x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2
• x1 = 2, x2 = 0, x3 = 4
• x1 = 3, x2 = 0, x3 = 6
• x1 = 4, x2 = 0, x3 = 8
porque si x3 – 2x1 ≥ 3 ⇒ x2 > 8
f) Si N = x3 x2 x1 9 ) ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x3 + 9x2 + x1 ⇒
⇒ 168x1 + 4x2 = 80x3 ⇒ 42x1 + x2 = 20x3 ⇒ x2 tiene que ser par, es decir,
x2 = 2(10x3 – 21x1 ), pero como 1≤ x1 ≤ 4 ⇒ 10x3 – 21x1 es mayor que 6 ⇒
⇒ No hay solución.
Las soluciones son:
Base 9
Base 13
214
124
482
248
210
102
420
204
2/8
630
306
840
408
11. Probar que 11n – 4n es múltiplo de 7.
Solución:
Sea A = {n∈Ð/11n – 4n = 7k}
ι) ¿1∈A?
11 – 4 = 7 ⇒ 1∈A
ιι) Supongamos cierto que n∈A, es decir:
Veamos si
11n – 4n = 7k
n + 1∈A, ¿11n+1 – 4n+1 = 7k1 ?
11n+1 – 4n+1 = 11 · 11n – 4 · 4n = (7 + 4) · 11n – 4 · 4n =
= 7 · 11n + 4 · 11n – 4 · 4n = 7 · 11n + 4(11n – 4n ) =
= 7 · 11n + 4 · 7k = 7(11n + 4k) = 7k ⇒ n + 1 + 1∈A
⇒A=Ð
12. Los coeficientes de los términos tn , tn+1 , tn+2 que ocupan los lugares n, n+1, n+2
en el desarrollo de (a + b)14 están en progresión aritmética. Calcular n sabiendo
que es menor que 7.
Solución:
El desarrollo del binomio de Newton para (a + b)14 es (a + b)14 =
14  j 14 − j
a b
j 
j= 0
14
∑ 
Entonces las posiciones n, n + 1 y n + 2 las ocupan los términos:
 14  n −1 15−n
tn = 
 a b
 n − 1
14 
; t n +1 =   a n b14 −n
n
 14  n +1 13 −n
; t n + 2 = 
a b
 n + 1
y como los coeficientes están en progresión aritmética, se tiene que:
14   14   14  14 
  − 
 = 
 −  
 n   n − 1  n + 1  n 
⇒
14!
14!
14!
14!
−
=
−
n!(14 − n )! ( n − 1)(15 − n)! ( n + 1)! (13 − n )! n! (14 − n)!
pero multiplicando por
(n − 1)! (13 − n)!
14!
nos queda:
1
1
1
1
−
=
−
⇒
n(14 − n) (14 − n)(15 − n) n( n + 1) n(14 − n )
3/8
⇒ (n + 1)(15-n) – n(n + 1) = (14 – n)(15 – n) – (n + 1)(15 – n) ⇒
9
⇒ n2 – 14n + 45 = 0 ⇒ n =
14 ± 196 − 180 14 ± 4
=
=
2
2
5
pero como n < 7 ⇒ n = 5
13. Se colocan al azar n bolas en n urnas. Calcular las probabilidades siguientes:
a) de que las n urnas queden ocupadas
b) de que quede una sola urna vacía
Solución:
a) El número de cosas favorables es n! que son las n formas diferentes de colocar n
bolas en n urnas (permutaciones sin repetición de n elementos).
Entonces:
n!
P= n
n
b) El número de cosas posibles es nn que es el número de variaciones con repetición
de n elementos tomados de n en n.
El número de cosas favorables viene dado por:
• Primero elegimos que urnas vamos a dejar vacía entre las n que hay y esto es
 n
  = n .
 1
• Segundo elegimos que urna va a tener dos bolas, porque las demás van a tener
 n − 1
una, y esto es

 = n − 1.
 n 
• Tercero elegimos que dos bolas de las n que hay vamos a situar en la urna que
 n  n( n − 1)
tendrá dos bolas, esto es,
  =
.
2
 2
• Y por último situemos las (n – 2) bolas restantes en las (n – 2) urnas restantes ⇒
(n – 2)!
Entonces las cosas favorables son:
n (n − 1)
4/8
n (n − 1)
( n − 2)!
2
Entonces la probabilidad es:
P=
n( n − 1)
n( n − 1)
( n − 2)! ( n − 1) 2 (n − 2)!
2
=
nn
2·n n −2
Soluciones:
a) P =
b) P =
n!
nn
( n − 1) 2 (n − 2)!
2n n − 2
14. En un armario hay n pares de zapatos distintos, es decir, cada par es diferente
de los restantes pares. Se toman r zapatos al azar. Se pide la probabilidad de
que entre los zapatos elegidos aparezcan exactamente h pares.
Solución:
 2n 
El número de casos posibles es   que son el número de combinaciones de 2n
 r 
elementos tomados de r en r.
El número de casos favorables viene dado por:
 n
 
 h
• En segundo lugar debemos elegir entre los (n – h) pares que quedan los r – 2h de
n − h 
los cuales vamos a sacar un zapato de cada uno, esto es: 

 r − 2h 
 2
• Y por último, hay   formas de elegir un zapato de las dos que hay en cada par,
1 
de manera que nunca elijamos un par completo.
• Primero elegimos h pares entre los n que hay, esto es:
 n  n − h 
n =  
 2
casos favorables.
 n  r − 2h 
Entonces la probabilidad viene dada por:
Entonces hay
 n  n − h 
 
2
n  r − 2h 

P=
 2n
 
r 
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15. Resolver en 9 7 el sistema:
x − 2y + 5z = 2

3x + y − 2 z = 1
5 x + 4 y + z = 5

Solución:
1 − 2 5 2
1 − 2
 x − 2 y + 5z = 2
5 2 





→  0 7 − 17 − 5  →
3x + y − 2 z = 1 ⇒  3 1 − 2 1  
F2' = F2 −3 F1
5 4
5 x + 4 y + z = 5
1 5  F3 '=F3 − 5 F1  0 14 − 24 − 5 


 1 − 2 5 2
1 − 2 5 2



 x − 2 y + 5z = 2
→  0 0 4 2  
→ 0 0 4 2  ⇒
F '3 = F3 − F2
4z = 2
 0 0 4 2
 0 0 0 0




⇒ z = 4 ⇒ x – 2y + 20=2 → x = 2y – 18 ⇒ x = 2y + 3
x = 2y + 3
⇒
z = 4
con y∈97
16. Demostrar que siendo n un número entero, la expresión
n5 − 5n 3 + 4n
n+2
siempre es divisible por 24.
Solución:
Sea
xn =
n5 − 5n 3 + 4n
n+2
Vamos a intentar factorizar el numerador ya que, si uno de los factores fuese el
propio (n + 2) podríamos simplificar la expresión.
n5 – 5n3 + 4n = n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 4)(n2 – 1) = n(n – 2)(n + 2)(n – 1)(n + 1)
entonces xn = (n – 2)(n – 1) n(n + 1).
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Como queremos demostrar que xn es divisible por 24 = 8 · 3, es suficiente que
demostremos que xn es divisible por 8 y por 3.
• xn será divisible por ocho, porque como tenemos que xn es un producto de 4
número consecutivos, entonces como mínimo dos de ellos son pares, y como cada
cuatro números hay uno que es divisible por 4 entonces uno de ellos será divisible por 4
y el otro al ser par por 2, entonces xn es divisible por 8.
• xn es divisible por 3 porque cada tres números consecutivos hay uno que es
divisible por 3 ⇒ xn es divisible por 3.
⇒ xn es divisible por 24.
17. a) Sea x un número racional, ¿qué condición debe cumplir para que existan y
1 1
sean distintos
x, − x, ,− ?.
x x
b) Sean x e y dos números racionales que cumplen la condición del apartado a),
1 1
y además las siguientes:
x < y, < . Indicar que números son positivos
x y
del conjunto.

1 1
1 1
H =  x,− x , ,− , y, − y , ,− 
x x
y y

c) Si además se cumple y = MaxH,
1
< x, ordenar de menor a mayor los
x
números del conjunto HU{0, -1,1}.
Solución:
a) Para que x y –x sean distintos, como x = - x ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 debe ocurrir que
1
x ∉{0}. Pero por otro lado se tiene que si x = ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1 ⇒ x ∉ {− 1,0,1} y
x
1
1
como x ≠ − y − x ≠ ⇒ la solución de este apartado es:
x
x
x ∉ {− 1,0,1}
b) Como x < y y además
1
1
<
⇒ x e y tienen distinto signo, ya que si no
x
y
1 1
< . En concreto x < 0 < y ⇒ Se tiene que los elementos positivos del
y x
conjunto H (que los denotaremos como el conjunto H+ ) serán:
x<y ⇒
H+ = {- x, −
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1
1
, y, }
x
y
1
1
< x con x< 0, se tiene que x > -1 y por lo tanto
< -1 y además
x
x
1
1
y = MaxH ⇒ y > 1 ⇒
< 1. Pero al ser y = MaxH ⇒ y > − . Por lo tanto, el orden
x
y
de los elementos es:
1
1
1
1
- y<
< -1 < x < − < 0 < < - x < 1 < - < - y
x
x
y
y
c) Como
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