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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA
CI-1204 MATEMÁTICAS DISCRETAS
TEMA: TEORÍA DE NÚMEROS.
PROF. M.SC. KRYSCIA DAVIANA RAMÍREZ BENAVIDES
GRUPO: ESTRUCTURADOS
ALUMNOS:
CHRISTOFER RODRÍGUEZ SÁNCHEZ
B66110
JULIÁN MOYA ZELEDÓN
B34769
FABIÁN ROJAS MASÍS
B66236
ESTEBAN ROJAS SOLÍS
B66293
II CICLO 2016
Universidad de Costa Rica
Escuela de Ciencias de la Computación e Informática
CI-1204 Matemáticas Discretas
Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Práctica de Teoría de Números
Resuelva los siguientes problemas, haga el desarrollo de su trabajo completo,
ordenado y legible.
1. Demostrar que 7 | (11n – 4n).
R/
Prueba por inducción:
Caso Base, n=1:
7 |111 – 41=
7|7, como todo número se divide a sí mismo es verdadero. Por lo que se cumple el caso
base.
Hipotesís Inductiva:
7 | (11n – 4n), es verdadero, por lo tanto si se cumple para n+1, se cumplirá para
todo n:
7| 11n+1 – 4n+1=
11*11n -4n * 4=
11*11n -4n * (11-7)=
11*11n -4n *11- 4n *7=
11 *(11n -4n) - 4n *7
7| 11 *(11n -4n), es verdadero ya que se está multiplicando por la hipotesis inductiva.
7| 4n *7, también es verdadero ya que cualquier número multiplicado por 7 se podrá
dividir por 7.
Como ambas partes de la ecuación son divisibles entre 7, 11 *(11n -4n) - 4n *7 será todo
divisible entre 7, ya que se están restando dos multiplos de este número.
6. Indicar y justificar para cada uno de los siguientes números si es o no primo. Y cuáles
parejas de ellos son primos relativos.
a.
4803
b.
3803
c.
3804
d.
5027
e.
5803
R/ 4803,es divisible entre 3 por lo que no es primo.
3803, no se encontraron divisores distintos de 3803 y 1, por lo que es primo
3804, es divisible entre 2, por lo que no es primo
5027, es divisible entre 11, por lo que no es primo
5803, es divisible entre 7, por lo que no es primo.
Como 3803 es primo, el será primo relativo con todos los demás.
Mcd (4803,3804) = 3
Mcd (4803,5027)=1
Mcd (4803,5803)=1
Mcd(3804,5027)=1
Mcd(3804,5803)=1
Mcd(5027,5803)=1
Todos los demás números son primos relativos entre sí a excepción de 4803 y 3804, ya que
su mcd es igual a 3. Todas las demás parejas de mcd son igual a 1 y son primos relativos
R/
Para este ejercicio a=4, b= 5 , m=9 e i=inverso de 4modulo9
Para encontrar la solución, se debe hallar primero un i que sea el inverso de
4(mod9).Usando euclides extendido se encuentra que el inverso es -2. Entonces:
ap+mq=m.c.d(a,b)
4p+9y=1
4(-2)+9(1)=1
Para poder resolverlo, se debe encontrar la igualdad con 5, entonces se puede
Encontrar:
4(-2*5) +9(1*5) =5
4(-10) + 9(5) =5
donde p =-10 , y=5.
Finalmente, para encontrar la solución se debe aplicar:
x = p (mod m)
= -10 mod 9
=8
Como el m.c.d (a,b) = 1, entonces x tiene una solución única y esta es 8.
R/
( 0(mod3) = 0 = 0(mod5))
( 1(mod3)=1=1(mod5))
( 2(mod3),=2= 2(mod5))
( 3(mod3),=0 ≠ 3 3(mod5))
Como a partir de a=3, ambos módulos empiezan a generar valores diferentes hasta a = 15
que se excede del rango pedido en el ejercicio. Por lo tanto, la respuesta será a= {0,1,2}
Para las siguientes preguntas se tiene lo siguiente:
A=0, B=2, C=,...,Z=25
R/ DO NOT PASS GO se puede leer como la siguiente secuencia:
3-15 14-15-20 16-1-19-19 7-15
a) Utilizando el primer método, la secuencia cambia a:
6-18 17-18-23 19-4-22-22 10-18(sumando 3 al número antes de aplicar el modulo)
El mensaje por lo tanto quedará:
GS RSX TEWW KS
b)Por el segundo método la secuencia cambia a:
16-2 1-2-7 3-14-6-6 20-2 (sumando 13 al número antes de aplicar el modulo)
El mensaje por lo tanto quedará:
QC BCH DOGG VC
c) Por el tercer método la secuencia cambia a:
16-0 23-0-15 3-10-12-12 2-0 (multiplicando por 3 y sumando 7 al resultado antes de aplicar
el modulo)
El mensaje por lo tanto quedará:
QA XAP DKMM CA
R/
a) El primer mensaje se puede leer como la secuencia numérica
2-4-1-1-14-23-13-14-1 23-24-6
Utilizando el módulo de cada número de la secuencia anterior menos 10 y aplicándole al
resultado módulo 26, se obtiene:
18-20-17-17-4-13-3-4-17 13-14-22
Entonces el mensaje es:
SURRENDER NOW
b)El segundo mensaje se puede leer como la secuencia numérica
11-14 22-8 15-1-18-23-13
Utilizando el módulo de cada número de la secuencia anterior menos 10 y aplicándole al
resultado módulo 26, se obtiene:
11-14 22-8 15-1-18-14-23-13
Entonces el mensaje es:
BE MY FRIEND
c)El tercer mensaje se puede leer como la secuencia numérica
3-18-22-14 15-24-1 15-4-23
Utilizando el módulo de cada número de la secuencia anterior menos 10 y aplicándola al
resultado módulo 26, se obtiene:
19-8-12-4 5-14-17 5-20-13
Entonces el mensaje es:
TIME FOR FUN
R/ Para este ejercicio, se deben intercambiar las letras por los valores indicados. De esta
manera la letra en la posición 3 de cada segmento, corresponde a la letra que originalmente
tomaba la posición 1, la de la posición 1 era originaria de la posición 2, la de la posición 4
era originaria de la posición 3 y la letra en la posición 2 era originaria de la posición 4.
Aplicando lo anterior se obtiene:
BEWA REOF MART IANS
Luego se agrupan las letras de tal forma que se formen palabras con significado y se
obtiene:
BEWARE OF MARTIANS