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Hoja de Problemas nº2 – Algebra II 9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solución: Sea x1 x2 x3 x4 el número buscado con x1 ≠ 0 ya que si no, no seria de cuatro cifras. Tenemos que x1 x2 x3 x4 = (x1 + x2 + x3 + x4 )3 y como 1000 ≤ x1 x2 x3 x4 < 10000 ⇒ 1000 ≤ (x1 + x2 + x3 + x4 )3 < 10000 ⇒ ⇒ 10 ≤ (x1 + x2 + x3 + x4 ) ≤ 21 Como todo número se puede escribir de la forma 3n – 1, 3n o 3n + 1, entonces el cubo de dicho número, es decir, x1 x2 x3 x4 se puede escribir de la forma 9K – 1, 9K, 9K + 1, y aplicando el criterio de divisibilidad del 9, se tiene que x1 + x2 + x3 + x4 es de la forma 9K – 1, 9K o 9K + 1, es decir, que x1 + x2 + x3 +x4 tiene que ser el 10, el 17, el 18 o el 19. Entonces: 103 = 1000 ≠ 13 → Este número no es solución. 173 = 4913 = (4 + 9 + 1 + 3)3 = 173 ⇒ Es solución del problema. 183 = 5832 = (5 + 8+ 3 + 2)3 = 183 ⇒ Es solución del problema. 193 = 6859 ≠ (6 + 8 + 5 + 9)3 = 283 ⇒ Este número no es solución. La solución del problema es: n1 = 4913 n2 = 5832 10. Hallar en el sistema de base 9 un número formado por tres cifras significativas, tal que transportado al sistema de base 13 se escriba con las tres mismas cifras. Solución: Sea N el número buscado, como tiene las tres mismas cifras significativas en base 9 y en base 13 se tiene que 132 ≤ N < 93 ⇒ 169 ≤ N ≤ 728, o lo que es lo mismo 10013) ≤ N ≤ 44013). Supongamos que que N = x1 x2 x3 entonces por lo dicho anteriormente se tiene 13) 1 ≤ x1 ≤ 4, 0 ≤ x2 ≤ 8 y 0 ≤ x3 ≤ 8. Entonces: a) Si N = x1 x2 x3 ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x1 + 9x2 + x3 ⇒ 9) ⇒ 88x1 + 4x2 = 0 que no tiene solución. 1/8 b) Si N = x1 x3 x2 ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x1 + 9x3 + x2 ⇒ 9) ⇒ 88x1 + 12x2 = 8x3 pero 8x3 ≤ 64 < 88x1 + 12x2 ⇒ ⇒ No tiene solución. c) 160x1 = 68x2 ⇒ 40x1 = 17x2 pero 40x1 con 1 ≤ x1 ≤ 4 no es múltiplo de 17 ⇒ ⇒ No tiene solución. d) Si N = x2 x3 x1 9 ) ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x2 + 9x3 + x1 ⇒ ⇒ 42x1 = 17x2 + 2x3 donde x2 ha de ser par: • para x1 = 1 ⇒ 42 = 17x2 + 2x3 con x2 = 2 y x3 = 4 • para x1 = 2 ⇒ 84 = 17x2 + 2x3 ⇒ x2 = 4 y x3 = 8 • para x1 = 3 ⇒ 126 = 17x2 + 2x3 que no tiene solución • para x1 = 4 ⇒ 168 = 17x2 + 2x3 que no tiene solución. e) Si N = x3 x1 x2 9 ) ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x3 + 9x1 + x2 ⇒ ⇒ 160x1 + 12x2 = 80x3 ⇒ 40x1 + 3x2 = 20x3 ⇒ 3x2 = 20(x3 – 2x1 ) ⇒ ⇒ x3 – 2x1 tiene que ser múltiplo de 3 ⇒ ⇒ tenemos: • x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2 • x1 = 2, x2 = 0, x3 = 4 • x1 = 3, x2 = 0, x3 = 6 • x1 = 4, x2 = 0, x3 = 8 porque si x3 – 2x1 ≥ 3 ⇒ x2 > 8 f) Si N = x3 x2 x1 9 ) ⇒ 169x1 + 13x2 + x3 = 81x3 + 9x2 + x1 ⇒ ⇒ 168x1 + 4x2 = 80x3 ⇒ 42x1 + x2 = 20x3 ⇒ x2 tiene que ser par, es decir, x2 = 2(10x3 – 21x1 ), pero como 1≤ x1 ≤ 4 ⇒ 10x3 – 21x1 es mayor que 6 ⇒ ⇒ No hay solución. Las soluciones son: Base 9 Base 13 214 124 482 248 210 102 420 204 2/8 630 306 840 408 11. Probar que 11n – 4n es múltiplo de 7. Solución: Sea A = {n∈Ð/11n – 4n = 7k} ι) ¿1∈A? 11 – 4 = 7 ⇒ 1∈A ιι) Supongamos cierto que n∈A, es decir: Veamos si 11n – 4n = 7k n + 1∈A, ¿11n+1 – 4n+1 = 7k1 ? 11n+1 – 4n+1 = 11 · 11n – 4 · 4n = (7 + 4) · 11n – 4 · 4n = = 7 · 11n + 4 · 11n – 4 · 4n = 7 · 11n + 4(11n – 4n ) = = 7 · 11n + 4 · 7k = 7(11n + 4k) = 7k ⇒ n + 1 + 1∈A ⇒A=Ð 12. Los coeficientes de los términos tn , tn+1 , tn+2 que ocupan los lugares n, n+1, n+2 en el desarrollo de (a + b)14 están en progresión aritmética. Calcular n sabiendo que es menor que 7. Solución: El desarrollo del binomio de Newton para (a + b)14 es (a + b)14 = 14 j 14 − j a b j j= 0 14 ∑ Entonces las posiciones n, n + 1 y n + 2 las ocupan los términos: 14 n −1 15−n tn = a b n − 1 14 ; t n +1 = a n b14 −n n 14 n +1 13 −n ; t n + 2 = a b n + 1 y como los coeficientes están en progresión aritmética, se tiene que: 14 14 14 14 − = − n n − 1 n + 1 n ⇒ 14! 14! 14! 14! − = − n!(14 − n )! ( n − 1)(15 − n)! ( n + 1)! (13 − n )! n! (14 − n)! pero multiplicando por (n − 1)! (13 − n)! 14! nos queda: 1 1 1 1 − = − ⇒ n(14 − n) (14 − n)(15 − n) n( n + 1) n(14 − n ) 3/8 ⇒ (n + 1)(15-n) – n(n + 1) = (14 – n)(15 – n) – (n + 1)(15 – n) ⇒ 9 ⇒ n2 – 14n + 45 = 0 ⇒ n = 14 ± 196 − 180 14 ± 4 = = 2 2 5 pero como n < 7 ⇒ n = 5 13. Se colocan al azar n bolas en n urnas. Calcular las probabilidades siguientes: a) de que las n urnas queden ocupadas b) de que quede una sola urna vacía Solución: a) El número de cosas favorables es n! que son las n formas diferentes de colocar n bolas en n urnas (permutaciones sin repetición de n elementos). Entonces: n! P= n n b) El número de cosas posibles es nn que es el número de variaciones con repetición de n elementos tomados de n en n. El número de cosas favorables viene dado por: • Primero elegimos que urnas vamos a dejar vacía entre las n que hay y esto es n = n . 1 • Segundo elegimos que urna va a tener dos bolas, porque las demás van a tener n − 1 una, y esto es = n − 1. n • Tercero elegimos que dos bolas de las n que hay vamos a situar en la urna que n n( n − 1) tendrá dos bolas, esto es, = . 2 2 • Y por último situemos las (n – 2) bolas restantes en las (n – 2) urnas restantes ⇒ (n – 2)! Entonces las cosas favorables son: n (n − 1) 4/8 n (n − 1) ( n − 2)! 2 Entonces la probabilidad es: P= n( n − 1) n( n − 1) ( n − 2)! ( n − 1) 2 (n − 2)! 2 = nn 2·n n −2 Soluciones: a) P = b) P = n! nn ( n − 1) 2 (n − 2)! 2n n − 2 14. En un armario hay n pares de zapatos distintos, es decir, cada par es diferente de los restantes pares. Se toman r zapatos al azar. Se pide la probabilidad de que entre los zapatos elegidos aparezcan exactamente h pares. Solución: 2n El número de casos posibles es que son el número de combinaciones de 2n r elementos tomados de r en r. El número de casos favorables viene dado por: n h • En segundo lugar debemos elegir entre los (n – h) pares que quedan los r – 2h de n − h los cuales vamos a sacar un zapato de cada uno, esto es: r − 2h 2 • Y por último, hay formas de elegir un zapato de las dos que hay en cada par, 1 de manera que nunca elijamos un par completo. • Primero elegimos h pares entre los n que hay, esto es: n n − h n = 2 casos favorables. n r − 2h Entonces la probabilidad viene dada por: Entonces hay n n − h 2 n r − 2h P= 2n r 5/8 15. Resolver en 9 7 el sistema: x − 2y + 5z = 2 3x + y − 2 z = 1 5 x + 4 y + z = 5 Solución: 1 − 2 5 2 1 − 2 x − 2 y + 5z = 2 5 2 → 0 7 − 17 − 5 → 3x + y − 2 z = 1 ⇒ 3 1 − 2 1 F2' = F2 −3 F1 5 4 5 x + 4 y + z = 5 1 5 F3 '=F3 − 5 F1 0 14 − 24 − 5 1 − 2 5 2 1 − 2 5 2 x − 2 y + 5z = 2 → 0 0 4 2 → 0 0 4 2 ⇒ F '3 = F3 − F2 4z = 2 0 0 4 2 0 0 0 0 ⇒ z = 4 ⇒ x – 2y + 20=2 → x = 2y – 18 ⇒ x = 2y + 3 x = 2y + 3 ⇒ z = 4 con y∈97 16. Demostrar que siendo n un número entero, la expresión n5 − 5n 3 + 4n n+2 siempre es divisible por 24. Solución: Sea xn = n5 − 5n 3 + 4n n+2 Vamos a intentar factorizar el numerador ya que, si uno de los factores fuese el propio (n + 2) podríamos simplificar la expresión. n5 – 5n3 + 4n = n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 4)(n2 – 1) = n(n – 2)(n + 2)(n – 1)(n + 1) entonces xn = (n – 2)(n – 1) n(n + 1). 6/8 Como queremos demostrar que xn es divisible por 24 = 8 · 3, es suficiente que demostremos que xn es divisible por 8 y por 3. • xn será divisible por ocho, porque como tenemos que xn es un producto de 4 número consecutivos, entonces como mínimo dos de ellos son pares, y como cada cuatro números hay uno que es divisible por 4 entonces uno de ellos será divisible por 4 y el otro al ser par por 2, entonces xn es divisible por 8. • xn es divisible por 3 porque cada tres números consecutivos hay uno que es divisible por 3 ⇒ xn es divisible por 3. ⇒ xn es divisible por 24. 17. a) Sea x un número racional, ¿qué condición debe cumplir para que existan y 1 1 sean distintos x, − x, ,− ?. x x b) Sean x e y dos números racionales que cumplen la condición del apartado a), 1 1 y además las siguientes: x < y, < . Indicar que números son positivos x y del conjunto. 1 1 1 1 H = x,− x , ,− , y, − y , ,− x x y y c) Si además se cumple y = MaxH, 1 < x, ordenar de menor a mayor los x números del conjunto HU{0, -1,1}. Solución: a) Para que x y –x sean distintos, como x = - x ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 debe ocurrir que 1 x ∉{0}. Pero por otro lado se tiene que si x = ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1 ⇒ x ∉ {− 1,0,1} y x 1 1 como x ≠ − y − x ≠ ⇒ la solución de este apartado es: x x x ∉ {− 1,0,1} b) Como x < y y además 1 1 < ⇒ x e y tienen distinto signo, ya que si no x y 1 1 < . En concreto x < 0 < y ⇒ Se tiene que los elementos positivos del y x conjunto H (que los denotaremos como el conjunto H+ ) serán: x<y ⇒ H+ = {- x, − 7/8 1 1 , y, } x y 1 1 < x con x< 0, se tiene que x > -1 y por lo tanto < -1 y además x x 1 1 y = MaxH ⇒ y > 1 ⇒ < 1. Pero al ser y = MaxH ⇒ y > − . Por lo tanto, el orden x y de los elementos es: 1 1 1 1 - y< < -1 < x < − < 0 < < - x < 1 < - < - y x x y y c) Como 8/8