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U D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO Col. LA PRESENTACIÓN PROBABILIDAD
0. DEFINICIONES PREVIAS 1. DISTINTAS CONCEPCIONES DE PROBABILIDAD a. Definición Clásica b. Definición Frecuentista 2. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD a. Espacio Muestral b. Suceso Aleatorio c. Tipos de Sucesos d. Operaciones con Sucesos e. Propiedades de las Operaciones f. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA 3. RESULTADOS PARA LA DEFINICIÓN AXIOMÁTICA 4. PROBABILIDAD CONDICIONADA a. Espacio de Probabilidad condicionado b. Dependencia de sucesos c. Tablas de Contingencia 5. PROBABILIDAD COMPUESTA a. Experimentos Independientes b. Experimentos Dependientes 6. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL 7. TEOREMA DE BAYES 1 U D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO Col. LA PRESENTACIÓN 0. DEFINICIONES PREVIAS Experimento aleatorio, es aquel cuyo resultado depende del azar. Ej. Tirar un dado a una mesa no sabes que número va a salir, siempre y cuando el dado tenga todas sus caras equiprobables. Experimento determinístico, es aquel que se realiza conociendo el resultado. Ej. El tiro de una bala. Suceso, (Hecho Observable). Cualquier hecho observable que pueda aparecer en la realización particular del experimento. Ej. Que salga el número 2 en el lanzamiento de un dado. 1. DISTINTAS CONCEPCIONES DE PROBABILIDAD a. Definición Clásica. Regla de Laplace. Se basa en un experimento aleatorio en el que hay un número finito de pasos y todos los resultados son igualmente factibles. Considero un experimento aleatorio, asociado a él, un suceso arbitrario, supongo que el suceso se presenta en de los posibles resultados del experimento, entonces se tiene: Casos favorables en los que aparece el suceso Casos posibles del experimento aleatorio De ahí se sabe que y se dice que “la probabilidad de que ocurra el suceso S es el número de casos favorables entre el número de casos posibles” •
•
Este tipo de probabilidad necesita de un número finito de resultados También necesita que todos los resultados sean equiprobables o tengan la misma probabilidad Ejemplo, Experimento aleatorio, lanzar dado; Suceso “Que salga Par” 3
6
0 5 b. Definición Frecuentista Considero un experimento aleatorio y lo repito veces en idénticas condiciones. Observo que el suceso A se repite veces dentro de esas veces (Frecuencia Absoluta de A). Entonces la frecuencia relativa de A va a estabilizarse. 1
,…,
, … 1
A esto lo llamamos: Sucesión de frecuencias relativas Ejemplo, EA: lanzar una moneda; Suceso A: “que salga Cara” Lanzamos la moneda 154.387 veces en las cuales nos sale cara en unas 76.004 veces, ,
,…,
,…
entonces la frecuencia relativa sería ,
.
.
.
0,4922953357 … 2. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD a. Espacio Muestral Ω Si consideramos un EA, cada uno de sus posibles resultados indescomponibles en otros más simples, es lo que se llaman sucesos elementales. 2 U D PROBABILIDAD b.
c.
d.
e.
2º BACHILLERATO El conjunto de todos sucesos elementales asociados a un EA constituyen el espacio muestral Ω. Veamos un ejemplo Experimento Aleatorio Espacio Muestral Ω
1,2,3,4,5,6 Lanzar un dado Lanzar un dado hasta Ω
2,1 , 1 , 5,3,1 , 6,4,2,5,1 , 3,3,5,1 , … que salga 1 El espacio muestral puede ser finito o infinito numerable como en este último caso. Suceso Aleatorio (Subconjunto del Ω) Cualquier característica, hecho o proposición lógica que pueda formularse en relación a un experimento aleatorio y cuya ocurrencia o no, pueda ser observada tras la realización de dicho experimento. Tipos de Sucesos (Ej. Lanzar un dado) • Suceso elemental, simple o individual, cada uno de los posibles resultados del EA, o cada uno de los elementos del espacio (que salga 1). • Suceso compuesto, consta de 2 o más sucesos elementales (que salga par). • Suceso seguro, aquel que ocurre siempre, está formado por todos los resultados muestrales, elementos del espacio muestral (que salga 1‐6). • Suceso imposible, aquel que no ocurre nunca. No está constituido por ninguno (que salga 7) • Si el Ω tiene un número finito de elementos, por ejemplo , entonces el número de sucesos de Ω es 2 . Operaciones con Sucesos, Dados dos sucesos y • Unión de Sucesos , suceso formado por todos los elementos de y de . Se verifica cuando ocurre uno de los dos ó ó y a la vez. , suceso formado por todos los • Intersección de sucesos elementos que son de y de a la vez. Se verifica cuando ocurren simultáneamente y • Diferencia de sucesos , suceso formado por todos los elementos de que no son de . Se verifica cuando lo hace y no . • Complementario de un suceso Ω A, suceso formado por todos los elementos que no son de . Se verifica cuando no se verifique . • Sucesos incompatibles (Disjuntos), no tienen ningún elemento en común, es decir, . Sucesos incompatibles no se pueden verificar simultáneamente. Propiedades de las Operaciones 1)
2)
3 Col. LA PRESENTACIÓN U D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO 3)
Col. LA PRESENTACIÓN Lenguaje de Sucesos (Ejercicio Resuelto) Dados tres sucesos , , que constituyen el espacio muestral. Expresar los siguientes sucesos en términos de , y : Los tres sucesos ocurren a la vez (simultáneamente): No ocurre ninguno de los tres lo contrario de que ocurra al menos uno de los tres: Que ocurra exactamente uno: , es decir, que sólo ocurra o que sólo ocurra o que sólo ocurra Que ocurran exactamente dos: , es decir, que sólo ocurra y o que sólo ocurra y o que sólo ocurra y Que ocurra y, ó , pero no ambos: Que ocurra ó pero no : Que ocurra al menos uno: Que ocurran al menos dos: f. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA La probabilidad de un suceso es un número, y se define por axiomas: 1)
0, “ ” UN SUCESO CUALQUIERA. 2) SI y SON IMCOMPATIBLES LA PROBABILIDAD DE LA UNIÓN ES GUAL A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES 3) LA PROBABILIDAD TOTAL ES 1, Ω
1 *0
1, ES UNA FUNCIÓN CUYA IMAGEN ES 0,1 3. RESULTADOS PARA LA DEFINICIÓN AXIOMÁTICA a)
1
b)
0 c)
d)
, esto es, es un función creciente. e)
, , … , sucesos incompatibles 2 a 2 (
,
1,2, … , ), entonces …
f)
g) Si Ω
, ,…, ,
,…,
, ,…,
es finito y suceso formado por sucesos elementales entonces, 4. LEY DE LAPLACE , entonces , ,…,
, ,…,
, y Si Ω
ú
ú
La ley de Laplace se usa cuando los sucesos son equiprobables. Para ello se utiliza un Instrumento aleatorio de Laplace, que produce todos sus posibles resultados equiprobables. Como ejemplo de instrumentos de Laplace, un dado, un moneda,… No aplicación de Laplace Por ejemplo no se pueden utilizar instrumentos irregulares o regulares que no den sucesos equiprobables Instrumentos irregulares, una silla a caer, no sabes por que lado va a caer 4 U D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO Col. LA PRESENTACIÓN Instrumentos regulares, lanzar dos dados, y quedarnos con la suma de sus caras, La probabilidad de 2 {(1,1)} no es la misma que la de 7 {(4,3),(3,4),(2,5),(5,2),(1,6),(6,1)}. 5. PROBABILIDAD CONDICIONADA a. Espacio de Probabilidad condicionado Imaginemos una población con número de habitantes. Sabemos que hay número de mujeres, por tanto sabemos que hay número de hombres. Supongamos que en esa población hay número de diabéticos. /
Definición de probabilidad condicionada Dados dos sucesos y , se llama probabilidad de condicionada a y se escribe / a la proporción de veces que ocurre de entre las que ocurre /
/
Propiedad: 1
/
/
1
/
b. Dependencia de sucesos Dos sucesos, y , se dice que son INDEPENDIENTES, cuando: /
/
·
Si y son INDEPENDIENTES entonces c. Tablas de Contingencia í
í
ú
í
,
;
;
;
;
5 ; U D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO Col. LA PRESENTACIÓN En las tablas de contingencia es fácil hallar la probabilidad de condicionado a . Veámoslo en unos ejemplos: /
Veamos un ejemplo concreto sobre marcas de coches: Nos encontramos a disposición de un área con una gran cantidad de coches de tres marcas de lujo en las mismas berlinas. El dueño del concesionario multimarca nos ha facilitado la siguiente tabla con los siguientes datos. El tío que es muy exigente nos ha propuesto un trabajillo por 150€. Simplemente nos pide hacer un estudio sobre la fiabilidad de sus coches. Para ello el profesor de mates que tenéis os da una pequeña ayuda indicando el camino a seguir. Marca de Mercedes BMW Lexus Automóvil Benz Salir 13 12 17 Defectuoso No Salir 987 888 1983 Defectuoso 3900 Calcular las siguientes probabilidades: ,
/ ,
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/ ,
/ ,
‐
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,
,
,
,
,
,
6. PROBABILIDAD COMPUESTA a. Experimentos Independientes Son aquellos que no dependen el uno del otro. Los sucesos que corresponden a cada uno de lo experimentos son independientes. (Ej. Extraer cartas o bolas con reemplazamiento, tirar dos dados, el resultado de uno no depende del resultado del otro). Cálculo de probabilidades: “ ” experimentos aleatorios independientes dan como resultado, “ ” sucesos, , , … , . Entonces la probabilidad de que ocurra en el primer experimento, en el segundo experimento, …, en el experimento n‐ésimo ·
· …·
, es decir, es ·
·…·
…
b. Experimentos Dependientes Son aquellos que dependen unos de otro. La ocurrencia o no de cada suceso, depende de la ocurrencia o no del suceso del experimento inmediatamente anterior. Cálculo de probabilidades: 6 U D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO Col. LA PRESENTACIÓN “ ” experimentos aleatorios en los cuales cada uno depende del anterior dan como resultado, “ ” sucesos, , , … , , en donde depende de , depende de y éste a su vez de , y así sucesivamente. Entonces la probabilidad de que ocurra en el primer experimento, en el segundo ·
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experimento, …, en el experimento n‐ésimo es /
…
, es decir, ·
…
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· …·
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…
7. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL ,
1,2, … , ) y Tenemos sucesos incompatibles dos a dos (
tales que …
Ω. Entonces para cualquier suceso , se cumple que: ·
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/
/ con 1,2, … , . Esto tiene interés cuando conocemos la Ejercicio Resuelto 1 página 251 Anaya 2º BTO C.C. S.S. 8. TEOREMA DE BAYES Se trata de calcular probabilidades a posteriori. Nosotros realizamos un experimento compuesto de dos etapas por ejemplo: Experimento Aleatorio Por el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL sabemos calcular la probabilidad de que ocurra ·
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Pero y si yo quiero calcular la probabilidad de que ocurra habiendo ocurrido , es decir, en definitiva lo que queremos calcular realmente es: /
Ahora si desarrollamos numerador (probabilidad compuesta – experimentos dependientes) y denominador (Probabilidad Total) debidamente obtenemos: /
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